图形变换—旋转综合题(含答案)-

图形变换—旋转综合题

1. 如图，在△ABC中，∠C=90º， ∠A=30º ，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转。

（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明。

（2）如图1,设AF=x，四边形CEDF的面积为y.求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围.

（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E,连结AE与CD延长线交于H,如图2，求DH的长。

2. 如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合），AE、AF分别与BD交于P、Q两点.

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（1）求证：△ABP∽△ACF，且相似比为1∶2；

（2）请再在图1中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为1∶2的非直角三角形的相似三角形；（直接写出）

（3），如图2当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上 时，连结ON,若ON=8,求MQ的长。

3. 如图，操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与边DC或射线DC相交于点Q。

① 当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；

② 当点Q在边CD运动上时，设四边形PBCQ的面积为S时，试用含有x的代数式表示S：

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③ 当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。

4. 在梯形ABCD中，AB∥CD,∠BCD=90,且AB=1,BC=2，tan∠ADC=2;对角线相交于O点，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转。

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想DE与BF的数量关系，并加以证明。

（2）在（1）问条件下，若BE：CE=1：2，∠BEC=135°,求sin∠BFE的值。

5（3）当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，作DH⊥PE于H,如图2，若OF=6时，求PE及DH的长。

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5. 等边△ABC边长为6，P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转。

（1）如图1，当P为BC的三等分点,且PD⊥AB时,判断△EPF的形状。

（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G, 如图2，求△EGB的面积。

（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2,(CF≠BP)， 如图3，求PE的长。

6. 如图，O是边长为a的正方形ABCD的对称中心，P为OD上一点，OPb

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（

0b2a2），连结AP，把一个边长均大于2a的直角三角板的直角顶点放置于P点处，

让三角板绕P点旋转，旋转时保持三角板的两直角边分别与正方形的BC、CD边（含端点）相交，其交点为E、F.

（1）在旋转过程中，PE的长能否与AP的长相等？若能，请作出此时点E的位置，并给出证明，若不能，请说明理由.

（2）探究在旋转过程中，线段EF与AP长的大小关系，并对你得出的结论给予证明.

（3）探究在旋转过程中,四边形PECF的面积S是否发生变化？若不变化，求出定值S；若发生变化，试求出面积S的变化范围（用含a、b的代数式表示）.

7. 已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线

AB的垂线，垂足为G、H。

（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；

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（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；

（3）当0°＜α＜90°时，如图④，若AM=2,求DH的长。

8. 把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B＝∠F＝30°，斜边AB和EF长均为4．

(1)当 EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时（如图①），求GH：GK的值

(2) 现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α<30°（如图②），EG交AC于点K ，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；

(3)在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

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（4）三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时，0°＜α≤90°，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形，若存在，请直接写出相应的旋转角α；若不存在，说明理由．

答案：

1. （1）EF2=AF2+BE2。

23（2）函数关系式为y=x，自变量x的取值范围为3＜x≤3.

2（3）DH的长为3。

2. （1）略；

（2）△AQD∽△AEC；△APQ∽△AFE.

（3）MQ=42。

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3. ①过点P作PEAB 交AB于E, 过点P作PFCD交BC于F

PE=AE,BE=1-AE,PF=1-PE=1-AE

∴BE=PF

EPBFPQ900

EPBEBP900∴EBPFPQ

∴ PEBPFQ

∴PB=PQ

① 设PM=x,BM=1-x, QC=1-x-x=1-2x

SSPBCSPCQ11BCPMCQPF22111x(2x1)x22x2

4. （1）当三角板旋转到图1的位置时， DE=BF,证明略。

1（2）sin∠BFE=3。

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10710（3）PE=6， DH=20。

5. （1）△EPF为等边三角形。

（2）△EGB的面积。

（3）可证△EBP为等边三角形，PE的长为4。

6. （1）当PE运动到PC位置时（点E与C重合）时（以P为圆心，以PC为半径画弧得与BC 的另一个交点G），PE=AP. 证明略

（2）探究结论:在旋转过程中，线段EFAP.证明略

（3）探究结论:在旋转过程中,四边形PECF的面积S发生变化.

22(a22b2)(a2b)a22ab2b4(a2b)4面积S的取值范围是: S

117. （1）当α＝30°时，证明AG=2AD；DH=2DB.

（2）当α＝60°时，证明△AMG≌△DNH；

（3）当0°＜α＜90°时,同样可证明AG=DH，可求DH=3

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8. (1)1:3，(2)不变，(3)

y3223x1x23)， (

(3)存在，30°、90°

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