三角形全等
一、知识网络
对应角相等性质对应边相等边边边 SSS全等形全等三角形边角边 SAS应用判定 角边角 ASA角角边 AAS斜边、直角边 HL作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念
1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；
即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形的表示方法： 2、全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 （二）灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS)
1、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS )
例1. 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：∠B=∠C。
例2. 如图，在ABC中,C90，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：
CEDABF（图22）DE⊥AB。
2、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ）
例1．例4. 如图，在ABC中,M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 。
求证：MB=MC
例2.如图,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：（1）CADDBC （2）∠CAB＝∠DBC
例3.已知：如图，在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG。 求证：AG=AD.
例4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，延长CB至E，使EB=AD，连接AE。 求证：AE=AC。
练习：
1.如图，AB=AC,BE和CD相交于P，PB=PC,求证：（1）∠B=∠C （2）PD=PE.
2.已知：如图点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE.求证：∠D=∠E.
11·2三角形全等的条件（2）
ACDBE3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA )
例1、如图：AD=AE，∠DAB=∠EAC，AM=AN。求证：AB=AC。
BCDMNAE4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 ( AAS )
例1、如图，在ABC中，∠B=∠C，D、E分别在BC、AC边上。且ADEB,AD=DE求证：ADB≌DEC.
例2、如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，AE⊥GD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F。
求证：AE=EF+BF。
A（图18）CEDFB
例3．如图，AB∥EF∥DC，∠ABC＝900，AB＝DC，那么图中有全等三角形 对．
生活中的轴对称
一．轴对称现象
[例]：下列各图形哪些是轴对称图形，哪些是成轴对称？
二．简章的轴对称图形 轴对称图形 角 等腰三角形 等边三角形 正方形 圆 三．探索轴对称的性质
对称轴
HH
H对称轴条数 1.轴对称的性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂平分。 （3）成轴对称图形的两个图形的对应线段相等，对应角相等。 2.轴对称图形的性质
（1）轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分。 （2）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等。
四.角平分线及垂直平分线
1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。[注]：角平分线的画法。
1.如图，在△ABC中，AB A示]：在AC上截出一点E，使AE=AB. BPDC 2.如图，在△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,AB=10,AC=8, △ABC的 面积为27，则DE的长为多少？ AFDC BE 2.线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 线段是轴对称图形，对称轴是它的中垂线和这条线段所在的直线。 （1）如图，∠ABC=700, ∠A=500,AB的垂直平分线交AC于D,则∠DBC=_________ (2)如图，△AABC中，DE垂直平分AC，AE=3, △ABD的周长为13，那么△ABC的周长为______。 A BDCEBDC(3)如图，公路l同帝有两工厂A.B，现要求在公路上建一仓库。 ①若要使仓库到A,B两工厂的距离相等，仓库应建在何处？ ②若要使仓库到A,B两工厂的距离之和最短，仓库应建在何处？ 五.等腰三角形 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上高重合（也称“三线合一”） 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角，等角对等边）。 （1）已知等腰三角形一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于______。 （2）等腰三角形的一个内角为1500，则它的底角为__________。 等腰三角形的一个内角为500，则它的底角为___________。 （3）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=360,BD平分∠ABC,求∠1的度数。 六. BAl MONDACB直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 [跟踪训练]9：如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，BE=5cm，△BCE的周长是18cm，求BC的长。 勾股定理 一．探索勾股定理 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为ɑ,b,斜边为c，那么ɑ2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 .如果三角形的三边长ɑ,b,c满足ɑ2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 满足ɑ2+b2=c2的三个整数ɑ,b,c，称为勾股数。 判别下列各组数是否为直角三角形。 （1）5，12，13； （2）7，24，25； （3）8，15，17. （4）9，12，15 三．勾股定理的应用举例 BAECD有一个棱柱，它的底面是边长为2.5厘米的正方形，侧面都是长为12厘米的长方形。在棱柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的 B食物，需要爬行的最短路是多少？ C 2.如图2，一根旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在 离旗杆12m处，旗杆折断之前有多高？ AB5mC12mA图2 0 3.一个零件如图3所示，已知AC=3cm，AB=4cm,BD=12cm, ∠A=∠CBD=90,求CD的长。 4.如图4，在四边形ABCD中，∠BAD=900, ∠CBD=900,且AD=4,AB=3,BC=12,求正方形DCEF的面 B3A积。 12D4CD CE图4FA图3B5．矩形纸片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,如图 5方式折点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm。 AB叠，使 A EBA2米C图82.3米6．矩形纸片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,如图5方式折叠，使点CD CF重合，折痕为EF，则DE=_______cm。 图5图6DB与点D C'7．如图，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子 从A出发，沿长方体表面到达C处，则绳子最短是________。 8.一架梯子斜靠在墙上，已知梯子长2.5米，且测得墙与梯子底端相距0.7米，那么此时墙高 为___________米。 9..一辆装满贷物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图8的某工厂，则这辆车能否通过厂门，并说明理由。 10.如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长 11．在直线l上依次摆放着七个正方形，如图9所求，已知 倾斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4, 则S1+S2+S3+S4=__________. 1S1S2图932S3S4 l 实 数 一．无理数 [跟踪训练]2：在-1122，0.304，2π，0.1212212221……（两个1之间依次多1个2），，-中， 7133正数集合{ ……} 负数集合{ ……} 有理数集合{ ……} 无理数集合{ ……} 二．平方根 1.概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 就叫做a的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0=0。 [跟踪训练]3：求下列各数的算术平方根： （1）900 （2）1 （3） 49 （4）14 [跟踪训练]4：（1）一个数的算术平方根是4，这个数是____________。 （2）求下列各式的值： 144= 0.81= (56) 2= 562= 2.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。 [例]的平方根是8.因为(8)2=，所以的平方根是8，即=8。 （1）一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 （2）正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根“a”，另一个是“-a”，它们是互为相反数，这两个平方根合起来可以记作 [跟踪训练]5：求下列各数的平方根 （1）36 （2）0.0004 （3）(-25)2 (4)11 [跟踪训练]6：求下列各式的值 （1）16，-1.44，1，-(7)2，(-0.3)2,(a)2,(a)2 （2）已知2m-1的算术平方根是3，18-n的算术平方根是4，求m+2n的算术平方根。 （3）求下列各式中的x 8x3-3= (2x+1)2=(-5)2 32 | + |32|- |21 | a，读作“正负根号a”。 （4）已知一个正数x的两个平方根分别是a+4, a-2，求a与x的值。 三．立方根 1.概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根 2.每个数都只有一个立方根；正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 3.数a的立方根，记为“3a”，读作“三次根号a”。 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。 [例]x3=7,x是7的立方根，即x=37;而(-2)3=-8，-2是-8的立方根，即38=-2 [跟踪训练]8：求下列各式的值 （1）327 （2）求下列各式中的未知数x的值 (x+5)3=27 27(x+1)3=-1000 31 381 (-37)3 ()3 (38)3 -37292( )2+-（-2）3 （3）312x与32y2（y0）互为相反数，求 2x1的值。 y 四．方根的估算 1.平方根的估算 思想：首先观察所求数是在哪两个整数之间，然后取两整数的中间值，先平方与所求数比较大小，以确定其进一步的范围，其次可再进一步取中间值进行依次比较来更精确的确定所求数的大小。 [例]：确定11的大小 [跟踪训练]9：（1）比较下列各数的大小 511与 2223与5 （2）比较6与2.5 、0.1与34的大小 （3）估算13.6（误差小于0.1）的大小。 第五章 平面直角坐标系 一．平面直角坐标系及象限内点的特征 1.两条坐标轴把平面分成四个部分：________________________________________ 注：(1)一到四象限内的点的坐标符号：(+,+),(-,+),(-,-),(+,-)。 (2)坐标轴上的点不在任何一个象限内。 （3）坐标轴上的点_____________________________________________________ (4)两坐标轴夹角平分线上的点：__________________________________________________ (5)和x轴、y轴平行的直线上点的坐标特征： ____________________________________ 第二象限y321第一象限-3-2-1O123x-1第三象限-2第四象限-3练习 1.设m是实数，若点A(-3,2m+1)关于原点对称的点在第四象限，求m的取值范围。 2.若点P(m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，则P点的坐标是____________。 3.若点P满足|x+1|+y3=0,则点P的坐标为______________。 4.若点A(m+1,3m-5)到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m。 5.点A(－ y11,)在第二象限的角平分线上，则a=—— 3a0x6.已知点A(m,－2)和点B(3,m－1),且直线AB∥x轴.则m的值为—— 7.在直角坐标系中，画出以点A(0,0),B(3,4),C(3,-4) 为顶点的△ABC,判断三角形的形状，并求此三角形的面积。 8.已知点A(0,5),B(0,-1),C(-4,-3),求△ABC的面积. 三．直角坐标系中的图形 2.图形的变化与图形上点的坐标变化： 若两个图案关于y轴对称，则两幅图案上各个对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；若两个图案关于x轴对称，则两幅图案上各个对应点的横坐标相同，纵坐标分别变为原来的相反数。 1.如图，作字母M关于y轴的轴对称图形，并写出所 y4321-4-3-2-10-1-21234x得图形相应各端点的坐标。 2.如图，三角形ABC的顶点分别为A(1,1),B(3,1),C(2,3)。 ①在同一直角坐标系中，将三角形向左平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标； y②将三角形向下平移2个单位，画出相应图形，并写出各点坐标； ③在①②中，你发现各点横、纵坐标发生了哪些变化？ 0321A12 CB3x 第六章 一次函数 一．函数 一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y,如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量,y是因变量。 [概念理解]：对x的每一个值，y都有确定的值与它是对应的关系。（这也是判别变量之间的关系是否是函数的关键） [跟踪训练]1：(1)下面变量之间的关系是不是函数关系？为什么？ ①矩形的面积确定时，它的长与宽；②任意三角形的高与底； ③矩形的周长与面积；④正方形的周长与面积。 二．一次函数 若两个变量x,y间的关系式可以表示成ykxb(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数。 [注]：(1)x的次数是1，b为任意实数。 (2) k≠0 (3)特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。 练习：已知函数y(m3)|m|23是一次函数，求一次函数的解析式。 三．一次函数的图象 1.图象的横坐标与纵坐标是一一对应的，且都在函数图象上，即函数图象通过该点。 2.图象的绘制：图象的绘制一般取x=0,y=0时，所对应的两点，另外x=-1，1等数求出相应y的值，然后用坐标表示，并在坐标系绘制上面各点，最后连线。 练习 (1)作出一次函数y=2x+1的图象。 (2)已知某个一次函数如图所示，求该函数的解析式。 (3)已知点(a+2,1-a)在函数y=2x+1的图象上，求a的值。 2y01x3. 一次函数的图象和性质 性质 函数 图象 经过象限 b＞0 变化规律 y=kx+b k＞0 b=0 b＜0 （k、b为常数， 且k≠0） k＜0 b＞0 b=0 b＜0 ☆一次函数y=kx+b（k≠0）中k、b的意义： k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k≠0） 的倾斜程度； b（称为截距）表示直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点的 。 且k越大越接近于y轴，反之越接近于x轴。 yk1xb14. yk2xb2(1)当k1=k2，且b1≠b2,表示两条一次函数的图象即两条直线平行； (2)当k1×k2=-1，两条直线垂直。 (3)k1≠k2时，两直线相交。 练习：1.已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(-6,0),与y轴交于点B，若△AOB面积为12，且y随x增大而减小，求一次函数的解析式。 2.如图，两直线y1kxb和y2bxk在同一坐标系内图象的位置可能是（ ） 3.如果ab0,aac0，则直线yx不通过（ ） cbbA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4直线y=kx+b与x轴交于A,与y轴交于B，且线段OA=1,OB=2,求这条直线的解析式。 5.正比例函数的图象经过(5,-2)点，那么这个函数的解析式为_____________________。 6.一次函数y=kx-3,当x=4时，y的值为-7，则k=___________。 7.当b=_______时，直线y=2x+b与直线y=3x-4的交点在x轴上。 8.设一次函数y=kx+b(k≠)，当x=0时，y=-3,当x=-1时，y=4. ①求这个一次函数的解析式； ②求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积。 9.为缓解用电紧张矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准。 y757050250255075100x每用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示，根据图象， 请分别当0≤x≤50和x>50时，y与x的函数关系式。 10函数ykx与ykxb的位置关系：ykxb是经ykx图象向纵轴上方移动b个单位得到的。若向下平移b个单位，则函数解析式为ykxb。 [注]：当b>0时，向y轴上方移动b个单位；当b<0时，向y轴下方移动b个单位。 [跟踪训练]5：(1)把直线y2x1向下平移2单位得到新的函数图象，求新函数的解析式。 四．一次函数图象的应用 (1)某气象研究中心观测一场沙尘暴以发生到结束的全过程，开始时风速平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/时，一段时间， 风速保持不变。当沙尘暴遇到绿色植 y/(千米/时)被区时，其风速平均每小时减少1千米/时，最终停止， 结合风速与时间的图象，回答下列问题： ①在y轴（ ）内填入相应的数值； ②沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？ ③求出当x≥25时，风速y（千米/时）与时间x(小时) 之间的函数关系式。 (2)王教授和孙子小强经常一起爬山,有一天小强让爷 （ ）（ ）041025x/(小时)y/米爷先上,然后追赶爷爷.图中的两条线段分别表示小强 和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关 系(从小强开始爬山时计时). ①小强让爷爷先上多少米? ②山顶离山脚的距离有多少米?谁先爬上山顶? ③小强经过多少时间追上爷爷? 36030024018012060024681012x/分(3)某医花研究所开发一种新蒶，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后： ①分别求出x≤2和x≥2时，y与x的函数关系式（即为解析式）； y/微克②如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，则在治疗疾 6病时是有效的，那么这个有效时间是多长？ 30210x/小时
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