数学竞赛选拔考卷

班级 学号 姓名

一、填空

1．已知f(x)e,f((x))1x，且(x)0，则(x)的定义域是 。

x2．已知当x0时，(1x)sin3x与ax2ln(1x2)是等价无穷小，则a= 。

e13．设limx0x22ln(1sinx)1,则曲线yf(x)在点(1,f(1))处的法线方程

f(1)f(1x)

是 。 4．设

f(x)xsinxcosx，则 f(2005)(0)= 。

sinxtf(x)limdt ，则 = 。 2tx0x2xx5．设f(x)6．曲线 racos在 处的切线方程是 。

67．I(ln(x1x2)1)dx 。

11

8．已知yy(x)由方程ey6xyx210确定，则y(0) 。

1x二、求曲线f(x)e(3x)xx0的凹凸区间及拐点。

x0

三、求f(x)arctanx在x0处带拉格朗日余项的三阶泰勒公式。

四、求极限

1lim2exx0(4sinx1exx)。 五、设函数f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)0，f(0)0，若af(h)bf(2h)f(0)在h0时是比h高阶的无穷小，试求a,b的值。

六、水流入半经为10m的半球形蓄水池，求水深h5m时，水的体积V对深度h的变化率。如果注水速度是53m3/min，问h5m时水面半经的变化速度是多少？

七、已知函数g(x)在区间[a,b]上连续，函数f(x)在[a,b]上满足

fgff0，又f(a)f(b)0，证明f(x)在[a,b]上恒为一常数。

八、函数f(x)在[0,)上可导，f(0)1，且满足等式

f(x)f(x) （1）求导数f(x)；

1xf(t)dt0 0x1 （2）证明：当x0时，成立不等式： exf(x)1。