案例2 降低咖啡屋的成本

一． 模型假设

1.每个问题，除非题目中要求

2.在计算中因为部分数据数值较小，而进行的旋转变化次数较多，精确到千分位. 二．问题分析

为降低咖啡屋的运营成本，经理打算在满足学校营养要求、口味和需求量的情况下，通过调整配料（土豆和绿豆或土豆和利马豆）的准备数量，并建立数学模型解决。为建立模型做如下假设：

目标函数：土豆数量x1、绿豆数量x2及利马豆数量x3，单位：100g; 约束条件：这道菜必须包含180g的蛋白质、80mg的铁、1050mg的维生素C.为是炖菜可口，土豆和绿豆的总量比至少应当是6:5；炖菜总量至少10kg.

（a）在满足营养口味和需求量的前提下，为使配料成本最小，则数学模型满足：

min z=0.088 x1+0.220 x2 s.t 1.5 x1+2 x2 ≥180 0.3 x1+1.2 x2 ≥80 12 x1+10 x2 ≥1050 x11.2 x2 ≥0 x1+ x2 ≥100 x1 , x2 ≥0

增加剩余变量x3、x4、x5、x6、x7转化为标准形式： min z=0.088 x1+0.220x2 s.t 1.5 x1+2 x2 x3 =180 0.3 x1+1.2 x2 x4 =80 12 x1+10 x2 x5 =1050 x11.2 x2 x6 =0 x1+ x2 x7 =100 x1 , x3 ≥0

只要将等式两边同乘（-1），就直接得到原问题的一个基本（不可行）解和对偶问题的一个可行解其对应的单纯形表如下： z x3 x4 x5 x6 x7 x1 x2 x3 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 x6 0 0 0 0 1 0 x7 0 0 0 0 0 1 RHS 0 -180 -80 -1050 0 -100 -0.088 -0.220 0 -1.5 -0.3 -12* -1 -1 -2 -1.2 -10 1.2 -1 1 0 0 0 0 通过多次旋转变化最终可得其最后单纯形表： z x3 x1 0 0 x2 0 0 x3 0 1 x4 -0.200 -2.520 x5 0 0 x6 x7 RHS 16.620 15.950 -0.022 0 -0.810 0 x2 x1 x5 x7 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -0.4 -0.776 0 0 0.190 0 -0.772 0 -7.350 0 -0.580 1 51.317 61.625 202.43 12.940 -15.740 1 -1.420 0 此时b>0，原问题的最优解为x=(61.625 , 51.317)T ，其最优解为16.620. （b）在不考虑口味的情况下，将土豆和绿豆的最低数量比调为1:2，在这种情况下可认为c和b均保持不变，只改变矩阵A中的一个元素（即a42由1.2→0.5），使用软件LINGO解得：

x`=(46.667 , 55.000)T，，最优解为16.207.

（c）将铁含量要求降低，可认为是在（a）的条件下使A和c保持不变情况下，改变b中的一个元素，即b2由80mg→65mg，可通过下式

b`= B-1b, z`=cBTb` 计算得出.

为避免在进行旋转变化时的繁琐，使用LINGO计算得： x`=(71.667,36.250)T，最优解为14.282.

（d）绿豆的价格降低到0.5美元每磅（即c2由0.22→0.11美元/100g），在（c）中调整铁含量的要求下，调整（a）中的数据，可利用公式 新的检验数：ζN*T=ζNT+(ck*cK)(B-1N)(l),其中(B-1N)(l)的第l行元素 新目标函数值：z0*=cBTb+( ck*cK)bl求解. 此处利用LINGO求解得：

x`=(56.842,47.368)T, 最优解为10.213.

(e)将绿豆替换为利马豆，利马豆价格为0.6美元/100g，每10盎司利马豆含22.68g蛋白质和6.804mg铁，但不含维生素C。使用利马

豆的成本和营养成分，在满足营养、口味和需求的前提下，其中采用（c）中对铁含量的要求，则数学模型为： min z=0.088 x 1+0.132 x3 s.t 1.5 x1+8 x3 ≥180 0.3 x1+2.4 x3 ≥65 12 x1 ≥1050 x11.2 x3 ≥0 x1+ x3 ≥100 x1 , x3 ≥0

代入LINGO求解得：x`=(87.500,16.146)T, 最优解为9.831. （f）Edson会对（e）的解决方案感到满意.因为在问题（e）中求得的土豆和利马豆的数量比为87.5/16.146=5.41>1.2.

在对维生素C含量至少是500mg的要求下，在（e）中即保持A和c不变，改变b中一个元素（b3由1050→500），可利用（c）中给出的计算公式计算，此处利用LINGO计算得： x`=(83.333，16.667)T， 最优解为9.533.

<在（f）存在数据缺失及与实际生活不符现象。其中铁元素要求80mg已远远高于实际日摄取量（15mg~18mg）> 附注：

下面为在每个问题用LINGO计算得出的结果用于分析. (a):

(b):

(c):

(d):

(e):

(f):