基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计研究

基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数

教学设计研究

硕士研究生：韩 凤

指导教师： 沈 嘉 高级教师 学科专业： 学科教学（数学） 所在学院： 数学科学学院

重庆师范大学

2018年5月

A Thesis Submitted to Chongqing Normal University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of

Master

Research on Algebra Teaching Design in

Junior High School Based on FREUDENTHAL’S Educational Ideas

Candidate： Han Feng

Supervisor：Shen Jia Senior Teacher

Major： Subject Teaching (Mathematics) College：School of Mathematical Sciences

Chongqing Normal University

May，2018

重庆师范大学硕士学位论文 中文摘要

基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计研究

摘 要

初中代数属于初中数学的基础内容和重要组成部分，约占初中数学的34%，在小学和高中代数学习中起到了承前启后的作用。初中代数具有抽象性和逻辑性强等特点，可有效锻炼初中生的抽象思维能力。在21世纪新课程改革中，《义务教育数学课程标准（2011 年版）》明确提出了应用意识、创新意识、符号意识和推理能力等核心概念，但我国数学教学方式仍主要为经验式传授，已经不能完全满足现代人对于代数学习的要求，因此需要引入新的数学教育方式。荷兰数学教育家弗赖登塔尔提出现实、数学化、再创造数学教育思想，该教育思想能够激发学生的学习动机和提高数学思维能力、开发学生的探究和创新能力，对于改进我国初中代数教学具有重要的借鉴意义。目前，弗赖登塔尔数学教育思想在我国初中代数教学方面的研究大多集中在理论探究阶段，实践操作部分相对较少且缺乏系统性，所以有必要在弗赖登塔尔数学教育思想的指导下，对初中代数教学设计进行更多的研究。

本文根据弗赖登塔尔教育思想，通过文献分析法、访谈法和问卷调查法对初中代数的教学进行研究，主要研究内容有：（1）综述弗赖登塔尔教育思想和初中代数的教学方式；（2）基于弗赖登塔尔教育思想，理论探析初中代数的教学设计，如分析弗赖登塔尔教育思想及其与初中代数教学的关系、基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学的教育价值等；（3）基于弗赖登塔尔教育思想，设计初中代数教学，包括分析初中代数教学内容，提出教学设计策略，设计教学案例，然后利用访谈法和问卷调查法对案例实施进行研究，最后验证分析案例。

研究认为基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计策略主要有：创设适宜的现实情境，关注代数应用性和个体现实差异性；综合运用合情推理与演绎推理实现数学化；强调学生的主体性，注重教师指导下学生的实践探究；提高代数教学过程中的反思能力。在“反比例函数”的教学设计研究中，教师的访谈和学生的问卷调查均发现弗赖登塔尔教育思想能有效提高学习效率，学生更能感受到数学化和再创造过程中的乐趣，增强数学学习的兴趣和动机，培养学生抽象思维和类比归纳的逻辑推理能力，从而验证了弗赖登塔尔教育思想的有效性。

关键词：弗赖登塔尔教育思想，初中代数，数学，教学设计

I

重庆师范大学硕士学位论文 英文摘要

Research on Algebra Teaching Design in Junior High School

Based on FREUDENTHAL’S Educational Ideas

ABSTRACT

Algebra in junior high school is the basic content and important part of mathematics in the junior high school, and it nearly accounts for 34% of junior high school mathematics. It serves as a link between primary school and high school algebra study. Algebra in junior high school synthesize the characteristics of abstraction and logic, which can effectively exercise the abstract thinking ability of junior high school students. In the new curriculum reform of the 21st century, the “compulsory education mathematics curriculum standard (2011 edition)” has clearly put forward the core concepts of application consciousness, innovation consciousness, symbol consciousness and reasoning ability. However, the teaching method of mathematics in China is still mainly taught by experience, which has not been able to meet the requirements of modern people for algebra learning. Therefore, a new educational method of mathematics needs to be introduced. Freudenthal, a Dutch mathematics educator, puts forward the ideas of reality, mathematization and re-creation of mathematics education, which can stimulate students' learning motivation, improve their mathematical thinking ability, and develop students' ability to explore and innovate. It has important significance for improving algebra teaching in a junior high school in our country. At present, based on the Freudenthal's mathematics education ideas，the algebra teaching researches of junior high school in our country mostly focus on the stage of theoretical exploration, while the practical operation is relatively few and lacks of systematicness. So it is necessary to carry out more research on algebra teaching design in junior high school under the guidance of the Freudenthal's mathematics education ideas.

In this paper, based on Freudenthal's educational ideas, the algebra teaching in junior high school is studied through literature analysis, interview and questionnaire survey. The main research contents are as follows:(1) summarizing the Freudenthal's educational ideas and the algebra teaching methods in junior high school; (2) based on the Freudenthal's educational ideas, theoretically exploring the algebra teaching design in the junior high school, such as analyzing Freudenthal's educational ideas, analyzing the relationships between Freudenthal's educational ideas and algebra teaching in junior high school,and analyzing the educational values of the algebra teaching in junior high school; (3) based on

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重庆师范大学硕士学位论文 英文摘要

the Freudenthal's educational ideas, designing the algebra teaching in junior high school. Firstly, analyzing the contents of algebra teaching in junior high school，proposing the teaching design strategies, designing the teaching cases. Then, using interview and questionnaire survey to study the implementation of these cases. Finally, verifying and analyzing the teaching cases.

According to the study, the design strategies of algebra teaching in junior high school based on the Freudenthal's educational ideas mainly include: creating suitable realistic situations, and paying attention to the applicability of algebra and the difference of individual; synthetically using the reasonable reasoning and deductive reasoning to realize mathematization; emphasizing the subjectivity of students and paying attention to students' practical inquiry under the teachers’ guidance; improving the reflective ability in the process of algebra teaching. In the study of teaching design of \"inverse proportional functionhe teachers' interviews and the students' questionnaires all show that Freudenthal's educational ideas can effectively improve the learning efficiency，can make the students feel more fun in the process of mathematization and re-creation, can enhance the students' interest and motivation in mathematics learning, can cultivate the students' abstract thinking and logical reasoning ability of analogy and induction. Therefore, the validity of Freudenthal's educational ideas is verified.

Keywords:Freudenthal's educational ideas，Algebra of junior high school，Mathematics， Teaching design

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重庆师范大学硕士学位论文 目录

目 录

中文摘要 ............................................................................................................ I 英文摘要 ........................................................................................................... II 1绪论 ................................................................................................................. 1 1.1研究背景 ........................................................................................................ 1

1.2研究目的与意义 ............................................................................................... 2

1.2.1研究目的 ............................................................................................... 2 1.2.2研究意义 ............................................................................................... 2 1.3研究思路与方法 ............................................................................................... 3

1.3.1研究思路 ............................................................................................... 3 1.3.2研究方法 ............................................................................................... 3

2文献综述 ......................................................................................................... 5 2.1弗赖登塔尔教育思想的相关研究 ......................................................................... 5

2.1.1弗赖登塔尔教育思想的理论性研究 .............................................................. 5 2.1.2弗赖登塔尔教育思想的实践性研究 .............................................................. 6 2.2初中代数的教学研究......................................................................................... 7

3基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计的理论探析 .................. 10 3.1弗赖登塔尔教育思想及与初中代数教学的关系 ...................................................... 10

3.1.1现实数学教育思想及与初中代数教学的关系 ................................................. 10 3.1.2数学化教育思想及与初中代数教学的关系 .................................................... 11 3.1.3再创造教育思想及与初中代数教学的关系 .................................................... 12 3.1.4现实、数学化、再创造、反思的整合及与初中代数教学的关系......................... 13 3.2基于弗赖登塔尔教育思想进行初中代数教学的教育价值 .......................................... 15

3.2.1培养学生的应用意识和解决问题的能力 ....................................................... 15 3.2.2发展学生的抽象思维和逻辑推理的能力 ....................................................... 16 3.2.3开拓学生的创新意识和自我探究的能力 ....................................................... 16 3.2.4提高学生的猜想意识和科学判断的能力 ....................................................... 16

4基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计 ....................................... 18 4.1初中代数教学内容分析 .................................................................................... 18

4.1.1初中代数教学内容分布 ............................................................................ 18 4.1.2初中代数教学类型分布 ............................................................................ 19

IV

重庆师范大学硕士学位论文 目录

4.2教学设计策略 ................................................................................................. 20

4.2.1创设适宜的现实情境，关注代数应用性和个体现实差异性............................... 20 4.2.2综合运用合情推理与演绎推理实现数学化 .................................................... 21 4.2.3强调学生的主体性，注重教师指导下学生的实践探究 ..................................... 21 4.2.4提高代数教学过程中的反思能力 ................................................................ 22 4.3教学案例设计 ................................................................................................. 23

4.3.1“二元一次方程组”教学设计 ................................................................... 23 4.3.2“反比例函数”教学设计 ......................................................................... 33 4.4教学案例实施 ................................................................................................. 40

4.4.1调查对象 .............................................................................................. 40 4.4.2调查过程 .............................................................................................. 40 4.4.3调查结果 .............................................................................................. 41 4.5案例设计反思 ................................................................................................. 47

5研究总结 ........................................................................................................ 49 参考文献 ........................................................................................................... 50 附录A ................................................................................................................ 52 附录B ................................................................................................................ 53 致谢 ................................................................................................................... 55

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重庆师范大学硕士学位论文 1绪论

1绪论

1.1研究背景

20世纪，荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔提出了现实、数学化、再创造等数学教育思想。他认为数学知识来源于现实，在现实中存在，每个人的现实不同，并且数学知识应该运用到现实中；应该运用数学的方法来分析现实生活中遇到的问题和现象；学生应该主动去“做数学”[1]。瑞典课标中提出数学教育应该使得学生具备用数学知识解决生活现实问题的能力。美国、新加坡等也提出了教学要重视学生的应用能力以及与现实生活的联系，发展数学化思维，获得问题解决的能力[3]。

新课程改革下我国《义务教育数学课程标准（2011 年版）》提出了十个核心概念，其中对应用意识、符号意识、创新意识、推理能力、模型思想提出了明确的重视。新课标指出现实生活中存在着丰富的数学知识，教师应该从学生的认知经验和不同学生的实际出发，指导学生主动去探索，培养创新意识；从中抽象推理出数学知识或模型，培养符号意识、推理能力、模型思想；从现实生活中抽象数学问题，并将习得的数学知识运用到生活中解决问题，培养应用意识[4]。

2014年《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，在培养人的方式和对象方面进行了回答，提出了核心素养的概念，指出核心素养应该贯穿在各个学科中。数学学科应该让学生学习现实的数学、理论联系实际，形成能够适应学生终身发展及社会发展的数学思维和逻辑推理能力。

初中阶段的学生正处于从形象思维向抽象思维的转折期，教师需要通过适当的教学促成学生抽象思维能力的培养。初中代数处于中学数学四大领域的基础部分，其知识点丰富且比较抽象难懂，是从现实的实际问题中概括出来的数学模型，用来表示变量及变量间的关系，可以借助其找出现实事物之间的关系，进而解决生活问题。学好初中代数有利于初中生更好地发展抽象思维能力和形成良好的解决问题的能力。初中代数是对现实生活的抽象化描述，最终也应运用于现实中。

弗赖登塔尔形象地将数学的表现形式比作“冰冷的美丽”，而把探寻数学的历程称作“火热的思考”。因此数学教育应该结合现实并且应该注重学生主动的再创造过程，使其从中用数学化的思想抽象出相应的概念性质等数学知识，最终运用到现实中。但是实际教学过程中，由于评价机制的单一性，教师大多是对知识传统的灌输式讲解和机械式演练为主。对于概念、性质等与现实结合较少，即使对现实生活的结合也局限在导入阶段，并且有些现实情境的导入生硬且不符合学生的现实；获取新知识时，学生主动的发现探究机会较少，主要是对概念、性质的准确性的过多

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重庆师范大学硕士学位论文 1绪论

强调；在应用上联系生活现实较少，更多的是对知识点的巩固练习。最终不符合数学教育培养学生数学思维和利用数学知识解决现实问题的目标，不符合学生和社会的需要，不利于学生的全面发展和社会的发展。因此我们有必要将弗赖登塔尔数学教育思想贯穿在初中代数教学中，完善初中数学教学设计研究。

1.2研究目的与意义

1.2.1研究目的

本文在弗赖登塔尔数学教育思想的指导下，结合新课标的理念，以初中代数教学为研究对象，对初中代数教学进行设计，期待达到以下研究目的。

数学教育中培养师生的现实、数学化、再创造、反思的思想，锻炼学生的数学思维和教师的教学设计技能。学生在初中代数知识的学习上，密切结合自身的认知经验和社会现实背景，将现实问题转化成数学问题，用数学的思维方法解决客观现实问题；并将学得的知识、技能、思维等应用于现实，做到理论联系实际；充分发挥学生自身的主动性，去再创造知识；在整个教学过程中加强反思的应用。在初中代数的学习中突破抽象性这一学习难点，使学生掌握用数学的思维方法分析问题的能力；挖掘学生的自我探究能力、创新意识及应用意识。为初中数学教师提出弗赖登塔尔教育思想下初中代数教学设计的策略，并进行教学案例的设计。为初中代数教学在整个教学过程中启发引导学生的现实、数学化、再创造、反思的思维提供一些参考。改善当前初中代数教学中的问题，创新教师的初中代数教学方式。继而为我国的初中数学教学提供一种创新教学的思维角度，推动我国基础教学的课程改革。

1.2.2研究意义

初中代数作为基础教育的一部分，也有自身的系统。它涉及教师、学生两大主体，与初中数学其它领域内容、其它学科内容、中学课程改革等都有着错综复杂的关系。对其进行弗赖登塔尔数学教育思想的探索，有着深刻的现实意义和理论意义。

①现实意义

基于弗赖登塔尔教育思想进行思考，突破了以往传统教学方式的弊端，这种教学思想符合初中代数教学的要求。因此教师更容易从科学的角度去解读初中代数的教学内容，更新自身的教育理念，改善初中代数课堂的教学方式，增加了师生互动的有效性，提高课堂教学效率，更有效地达到树人目标。初中代数在现实、数学化、

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重庆师范大学硕士学位论文 1绪论

再创造、反思等数学教育思想下进行研究，使学生能够更好地理解初中代数知识点，发现方程、不等式、函数的内在联系，从整体上把握代数思维。现实情境的挖掘和再创造的过程更容易调动学生的积极性和探索欲，开发探索精神和创新精神；数学化的过程有助于学生发现抽象思维的魅力，开拓数学抽象思维；反思有利于提升学生对数学知识和思维的认知高度；弗赖登塔尔数学教育思想下的初中代数学习倡导最终运用到生活中，这有利于学生培养应用意识，使得学生都得到不同的发展。还有助于学生把握初中代数与空间图形、统计概率等的联系，以及与其他学科之间的关系。

②理论意义

弗赖登塔尔数学教育思想的理论研究比较多，但是与具体实践结合相对较少。对初中代数的教学的指导丰富了弗赖登塔尔数学教育思想的实证研究，加深了对该理论的解读。现实、数学化、再创造、反思是一个符合初中代数教学规律且具有创新意义的视角。通过对初中代数教学设计的实证研究，为初中数学其它领域内容的教学设计研究提供了一种思路，推动了初中数学教学设计的整体研究，丰富了弗赖登塔尔数学教育思想下初中数学教学设计的专题研究体系，最终促进我国基础教育的教学完善和课程改革。

1.3研究思路与方法

1.3.1研究思路

本文以弗赖登塔尔教育思想为指导，选取初中代数教学为研究对象。以弗赖登塔尔教育思想、初中代数教学为主题，搜集与本研究相关的电子和纸质版的期刊论文、学术论文、专著及调查研究报告等资料，对其归纳整理，主要从弗赖登塔尔教育思想和初中代数的教学两方面进行综述。从弗赖登塔尔教育思想及与初中代数教学的关系、基于弗赖登塔尔教育思想进行初中代数教学的教育价值这两方面进行理论探析。再对初中代数教学内容分析，提出初中代数的教学设计策略，设计了方程、函数类教学案例，对案例的实施效果进行了调查，最后对教学设计进行了反思。

1.3.2研究方法

①文献分析法

通过搜集与“弗赖登塔尔教育思想”、“初中代数教学”相关的书籍、期刊和学

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重庆师范大学硕士学位论文 1绪论

术论文、调查报告等电子和纸质版的文献资料。对其全面归纳梳理，从弗赖登塔尔教育思想和初中代数的教学两方面撰写研究综述。初步掌握了弗赖登塔尔的教育思想现状，以及目前初中代数教学设计的研究角度，为后续的研究工作做准备。

②访谈法

通过对重庆市实验外国语学校九年级的8位数学教师进行访谈。了解他们在初中代数教学中，对运用现实、数学化、再创造、反思的看法及具体的实施情况。以“反比例函数”这一教学设计为例，分析其在教学中的可行性，了解被访谈教师对于这份教学设计的看法及建议。试图完善弗赖登塔尔教育思想指导下的初中代数教学设计。

③问卷调查法

选取重庆市实验外国语学校数学水平相近的两个初三班级，开展对比教学实验。课后对这两个班级的102名学生进行问卷调查。主要从学生的基本信息、学生的课堂学习情况、课堂教学效果、使用弗赖登塔尔教育思想教学对学生的影响这四个维度进行调查。试图初步了解在弗赖登塔尔教育思想指导下设计的“反比例函数”这一教学设计的实施效果。

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重庆师范大学硕士学位论文 2文献综述

2文献综述

2.1弗赖登塔尔教育思想的相关研究

2.1.1弗赖登塔尔教育思想的理论性研究

弗赖登塔尔是20世纪著名的数学教育家和数学家，在数学教育方面提出了很多有影响力的观点。

他提出现实数学的观点，认为数学因实用而存在[6]。数学应该起源于现实，寓于现实，并最终应用于现实，不同的学生有不同的“数学现实”。这种现实既包括客观世界的现实状况、学生自己通过抽象思维习得的数学知识，也包括现实背景[1]。每个人的现实不同，其需要最终实现的层次也不同，但是有个基本的数学教育需要达到的标准。弗赖登塔尔的现实数学教育思想还指出，数学与社会各领域及数学自身有着错综复杂的关系。这种联系不仅指与外界的联系，还指与数学自身其它知识领域的联系，对于这种关系的研究，也有利于数学的发展[1]。

弗赖登塔尔提出数学化的观点。他认为人们运用数学的思维去认识现实世界和改造现实世界的过程就是数学化。数学化有两种类型，一种是针对现实事物而言，由具体实际问题到数学符号类的数学化；另一种是针对数学本身，由符号转化为数学概念的数学化。弗赖登塔尔还分别对两者的基本流程进行了阐述[1]。

弗赖登塔尔提出再创造的思想。他强调教师应该在充分发挥学生主动性的前提下，引导并帮助学生去发现和创造数学知识。主要是对数学知识形成过程的重新展现，即“做数学”[1]。再创造包含了内容的再创造，也包含了形式的再创造。再创造的范围要比发现教学法更广泛，发现教学法是一种低水平的并且带有限定条件的再创造[7]。再创造并不是完全依照历史上知识的形成过程去发现，而是建立在已经掌握的知识的基础上的创造[8]。弗赖登塔尔数学教育思想主要在其著作《作为教育任务的数学》、《除草与播种》、《数学教育再探》、《数学结构的教学现象》中有所体现。

美国弗赖登塔尔研究所1971年开发出了“发展的研究（Developmental Research）”，并形成了现实数学教育理论（RME）[9]。1980年8月，关于数学教育问题（Major Problems Of Mathematics Education）在美国加州大学的第四次国际数学会议上宣讲，并被翻译成多国语言发表[10]。

日本1998年在《中小学学习指导要领》中指出要将数学应用到生活中[2]。日本提出数学教育应该基于现实经验，理论应密切联系实际；强调通过视觉类外在的感

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重庆师范大学硕士学位论文 2文献综述

性体验，达到对现实的思考与理解，并提出针对学习者的个体差异应有针对地进行数学教育，应提高学生应用数学改造客观世界的能力[11]。

瑞典提出学习数学不仅仅要获得抽象的数学知识，更重要的是获得应用习得的数学知识解决实际问题的能力，并将对这种能力的要求载入课程标准中。此外澳大利亚、韩国、南非等国也在数学课程中强调弗赖登塔尔数学教育思想。

1987年，华东师范大学邀请82岁高龄的弗赖登塔尔教授来华演讲，然后赴京。在此之后，其教育思想的研究在我国逐步开展。史宏峰[3]从概念教学、数学思想方法的运用上，将传统的数学教育与弗赖登塔尔数学教育思想下的教育相比较；并从新课程标准、新教材体系中的体现，训练学习观，增强对教师变量和教学法的研究等方面探讨基础教育改革中的应用；通过数学建模、运用现代教育技术教学两方面进行实施研究。付云菲[12]对弗赖登塔尔数学教育思想与其他教育家的教育思想的关系进行了探究。付云菲[12]提出了通过创建数学模型、与学生沟通、选择最佳呈现方式等策略进行思想实验教学法的施行；通过设计现实情境、引导数学化、分层指导再创造、鼓励猜测等策略进行再创造的教学方法的施行，通过这些方面进行弗赖登塔尔数学教育思想的应用策略研究。

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2.1.2弗赖登塔尔教育思想的实践性研究

弗赖登塔尔教育思想指导下实证研究也是先基于对理论的分析研究，然后再对具体章节内容研究，各个国家都在积极地进行实践性研究。

荷兰自20世纪60年代开始在实践中应用弗赖登塔尔数学教育思想，到90年代初基本改革完成，目前荷兰几乎全部的中学数学教材和大约80%的小学教材都是以此思想进行改编的，并在实践中取得了丰硕的成果。

1991年起，美国国家科学基金会邀请弗赖登塔尔研究所与美国 Wisconsin-Madison大学合作，依据弗赖登塔尔教育思想为10到14岁的学生编写教材；全美数学教师协会（NCTM）发布了《中小学数学课程与评估标准》[3]，美国NCTM在数学课程标准中强调数学需与应用相联系[2]。

新加坡的中学课本中提倡现实情景的导入，常常将与学生体验有关的情景设置入教材，以此来进行课程的实施；其中尤其重视现实的三个方面：现实生活、现实科技及学生的兴趣，并且在几届的IEA国际数学教育调查中成果显著，准确率第一；注重数学教学过程和数学思维的训练，以问题解决为核心的教育理念[11]。

我国实践性研究也在逐渐增多，内容逐渐丰富，但是研究内容相对较零散，缺乏系统性。罗倩仪[13]选用几何变换，对弗赖登塔尔教育思想、新课程改革的契合，以及几何变换在基础教育中的特点和现状的分析；然后选用八年级轴对称、小学二

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重庆师范大学硕士学位论文 2文献综述

年级和四年级的图形运动进行教学案例的构想，并与优秀教学设计案例进行对比试验分析。毕越[14]以高中立体几何为研究对象，对高中立体几何的教学进行现状调查，然后对空间几何体的结构进行现实数学教学应用研究；对直线与平面垂直的判定进行数学化教学应用研究；对三垂线定理及其逆定理进行再创造教学应用研究。冯育花[7]从“情境-问题”的教学模式这一角度，探讨了弗赖登塔尔数学教育思想的教学应用分析，并以工程问题、平行四边形的性质、含绝对值的不等式解法为案例进行研究。丘烨[15]以三角函数为例，从三角函数的历史发展、“圆周角”的概念出发，对三角函数进行情境性教学研究，在弗赖登塔尔数学教育思想的指导下，对任意角和三角函数线进行教学设计研究。

弗赖登塔尔数学教育思想指导下代数的教学研究方面，小学代数的教学研究相对多于中学。例如赵卫民[16]认为弗赖登塔尔教育思想在我国的基础教育课程标准中有体现；提出了利用此思想进行数学教学的三个途径，它们分别是：在数学教学的理念、设计、过程中进行渗透；进行了小学数学8、9的加减法的教学设计并进行了适宜性调查。初中代数在弗赖登塔尔教育思想指导下的教学设计研究相对较少，出现的研究也大部分是对代数中某一内容的研究，对其整体性研究较少。例如宋淦[8]提出了利用弗赖登塔尔数学教育思想进行初中函数教学的应用策略，具体分析了数学现实、数学化、再创造在初中函数中的应用。

2.2初中代数的教学研究

不同的学者从不同的角度，对初中代数教学进行了研究。

戴蒙蒙[17]以APOS为理论支撑对初中代数教学设计研究，具体是针对初中的代数概念，从对该理论的概述、指导初中代数概念教学的意义出发；以反比例函数为例对教学过程进行了案例分析；对操作、过程、对象、概型四个阶段的教学设计策略进行了研究；选取从分数到分式、函数的概念两个内容进行教学设计。马萍萍[18]对有理数运算的重要性进行了分析，并论证了基于APOS 理论进行研究的可行性；选取了有理数的加减法、乘方进行了教学设计。周继云[19]在APOS 理论下，对函数概念的操作、过程、对象、图式阶段的初中生的理解状况进行了研究；对函数概念、正反比例函数的图象与性质进行了教学设计。邵东涵分析了实数概念的重要性、APOS 理论指导的可行性，提出了在操作、过程、对象、图式阶段的具体应用措施，以实数为例进行案例设计。

李江专[21]从几何直观的角度对初中代数进行了教学设计研究，研究了教学设计的课标要求、学生主体性、直观性、循序渐进和整体性等要求；提出了用基本图形来创设复杂图形、从数来推导图形、理清图形间的关系、加强实践操作等方法和途

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重庆师范大学硕士学位论文 2文献综述

径；对教学目标、重难点、过程、作业等各环节的设计进行研究；选用因式分解、配方法解一元二次方程、二次函数的应用三个案例进行设计、实施、改进研究。宋晓燕[22]也从学生数学技能的培养入手，研究了以几何直观能力培养为核心的初中代数教学研究，具体分析了几何直观的相关概念及培养几何直观的理论框架，然后提出了在数学概念的表征上利用图形、在绝对值和不等式的教学中善于利用数轴、在函数性质的讲解上结合函数图象、应用题的讲解上利用图形等教学措施，并进行教学实验研究。梁娴雅[23]指出在数学教学中几何直观是一种非常有效的数学方法，它可以生动形象地将抽象的数学知识、数学思想展示给学生，让学生获得提高，因此主张教学中使用几何直观进行教学设计。冯玉娴等［24］认为在解决问题的时候，可以使用几何直观；指出教学中应该加强几何直观的渗透，并以二次函数的复习课为例进行教学设计。

基于不同的数学思维，针对初中代数教学，学者们提出了不同的研究角度。额尔敦［25］在定义、公式法则、逆定理的教学中提出了进行逆向思维教学的建议。孙儒清等［26］提出了初中代数教学中类比法的应用有利于学生对于不同的概念、性质、法则的区别有清晰的认识，发展学生对于易混知识点的辨别能力，也有利于学生发现知识点之间的联系。

在变式教学方面，李静[27]从多元表征的角度，对初中代数的变式教学进行了研究，具体从多元表征与变式教学整合、在多元表征下的初中代数变式教学两方面的理论研究出发；对其教学特征、过程、模型进行构建；并从教学设计、操作两方面对概念、技能、问题解决变式提出教学策略；最后选取初一方程进行个案研究。祖惠泊[28]从变式的角度，对初中数学中的概念、例题、习题进行了理论研究，然后以负数的概念、分式的约分、一元二次方程的概念等为例进行实践研究。

此外还有一些其它的研究角度。例如，毕晓燕[29]基于数学文化，从体现科学、应用、人文、美学的价值上，对数学文化贯穿入初中代数教学进行研究；提出了使用现代技术、转变教学方式、提高教师数学素养、增加数学文化活动、应用数学文化到生活中等教学途径。张士充［30］提出更新教材观念可以有效地提高初中代数的教学效率。 徐建星[31]基于GX实验教学原则,在提高教师培训的“数学化”、理性实践、释放课堂等方面提出了在初中数学教学中的一些启示。曹美兰[32]从表现性评价入手，通过对目前初中数学的教学评价进行问卷调查，分析了初中数学教学过程中应用表现性评价的可行性；并提出了需对学生的发展规律进行研究、减少时长和人数过多的任务、组织教师培训、让学生了解表现性评价理论和流程、教师掌握表现性评价的过程和体系等应用策略，并在初中代数教学中进行应用研究。陈小娴[33]通过对初中代数课本中问题情境的数量、内容、类型、对比分析等进行文本分析；在对教师进行访谈和问卷的基础上，提出了改善问题编制、完善教师素养等教材问题情境的

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重庆师范大学硕士学位论文 2文献综述

改善建议。车芳芳[34]基于融合模型的角度，指出应该对关于认知的属性构建框架、诊断进行测验，并采取适宜的操作过程，七年级学生具有认知差异性，用融合模型去进行认知的诊断是一种较好的措施；并提出应该加强代数式概念的教学，培养学生符号感和解决问题的能力。

综上可知，弗赖登塔尔数学教育思想的研究相对比较多，各个国家也取得了丰硕的成果。但是理论性研究相对多于实践性研究。实践性研究上，小学阶段的研究相对较多；中学的研究较少，且基本是对某一知识点的实践，对整体初中代数领域的系统性研究较少。在初中代数的教学研究中，不同学者基于不同的角度，提出了自己的看法。我们可以借鉴不同的研究思路，利用弗赖登塔尔教育思想指导初中代数教学设计研究。

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重庆师范大学硕士学位论文 3基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计的理论探析

3基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计的理论探析

3.1弗赖登塔尔教育思想及与初中代数教学的关系

弗赖登塔尔教育思想的内涵广泛，概括起来主要包括现实、数学化、再创造等几个方面，各个方面相互交融、相互整合，形成了一个完整的数学教育理论视角。它们都与初中代数有着紧密的联系，能有效地指导初中代数教学。

3.1.1现实数学教育思想及与初中代数教学的关系

①现实数学教育思想

弗赖登塔尔的现实数学教育思想是指数学从现实中起源，存在并运用于其中，不同的个体有着不同的数学现实。现实并不仅仅是指客观现实情况，它还包括学生从现实中经过抽象逻辑思维形成的数学知识等现实[1]。英国考克罗夫特（W.H. Cockcroft）指出由于人类需求的差异性，人们对于数学的需求水平可以分为三个层次:最基础的是关于日常生活的需求，其次是拥有不同职业或技术的人们的需求，再次是为了更高水平的研究工作或深造而产生的需求。因此每个人对于数学现实的需求层次不同，难易程度也不同[35]。

对现实的准确把握，更符合教学规律，利于制定科学的教学策略。因此数学教育的任务和目的就是帮助学生构造符合教学内容和学生实际情况的现实，让大多数学生都可以实现最基本的要求，而对于需求层次更高的学生，我们应该采取适宜的课堂教学方式使其实现目标[1]。作为学习主体的学生属于社会，因此数学教育要紧密结合社会。

②现实教育思想与初中代数教学的关系

现实数学教育思想是从现实问题出发，对其进行研究。而初中代数也是基于现实出发，是对生活现实中问题的抽象化概括。因此在初中代数的教学过程中，如果能较好地使用现实数学教育思想，将有利于学生对初中代数知识和思维有更透彻的理解；对现实数学教育思想的研究，如果能以初中代数教学为载体，将会丰富现实数学教育思想理论体系以及实践性研究，利于更进一步地完善弗赖登塔尔教育思想。

例如，在对一元一次方程进行教学，使得学生学会列方程表明现实事物之间的关系时，可以通过选取与学生现实生活相关的实例教学。比如学生去购买橡皮和铅笔，然后对文具的单价和总数量、共花去的费用给予一定的规定，然后让学生表示

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各类文具数量与总费用的关系。学生通过列出相等的关系得出等式可以表明现实事物的关系，通过教师的引导使其知道这样只含有一个未知数且其次数为一次的等式就是一元一次方程。在学生习得等式的性质后，可以再次与现实生活相联系。比如去解决方程课开始的选购文具的问题，让学生体会到数学可以应用到实际生活中解决实际问题。

生活中还存在大量的不等关系，因此我们同样对橡皮和铅笔选购时，对文具的单价和总数量进行规定，对总费用不超过的额度进行规定。并结合之前对于一元一次方程的数学知识现实，让学生理解一元一次不等式的含义和作用。在最终学完不等式性质后，再去解决文具的选购问题。

在作业的布置上，由于二次函数的性质较多，难以理解。因此对于基础不同的学生分层布置作业，对于其中综合应用能力要求高的题目，让数学基础较好的学生去思考，在最近发展区强化其数学思维，灵活地去理解二次函数的一般式、顶点式、两根式及其性质的相互关系；但是对于基础一般的学生，则可以多布置对二次函数图象、性质等应用的基础题型，已达到对其图象、性质准确把握的目的。

3.1.2数学化教育思想及与初中代数教学的关系

①数学化教育思想

对于客观世界的认识和现实问题的解决，需要我们运用数学的思维和方法去对现实加以概括、抽象和总结，这样的过程就是数学化[1]。基于不同的现实，数学化有不同的层次。针对客观的实际问题，我们在分析问题时，对其运用数学方法将其抽象地转化为数学问题，最终形成了诸如数学定义、法则、定理以及数学模型等符号化数学，这一过程属于水平数学化；针对已经被符号化的数学知识这一数学现实，对其进一步深化，形成了不同层次的数学性质、定理等知识体系的过程属于垂直数学化。垂直数学化是在水平数学化的基础上进行的，是对水平数学化的深化。通常水平数学化与垂直数学化相互交融[7]。

数学化是一个学习认知的过程，它与传统的灌输式教学有着本质的区别。数学化的思想符合数学教学规律和学生的认知规律，可以帮助我们更好地认识和改造客观世界。因此教学中不应该是对具体知识的灌输式讲解。而应该结合学生现实，将学生头脑中不规范的理解通过数学化上升到数学层面。

②数学化教育思想与初中代数教学的关系

数学化教育是对具体问题的抽象化过程，初中代数是对具体问题抽象化之后的表达形式、存在的性质等的描述。因此初中代数的教学需要数学化这一探究过程，数学化的目标也是形成诸如初中代数中的方程、函数、不等式等的知识和其中贯穿

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的代数思维。通过数学化的方式对初中代数进行教学研究，也有利于数学化教育思想的完善。

例如在对一元一次不等式的概念和性质的讲解时，可以结合前面学过的方程。设立一个具体情境，比如在衬衫和裤子的销售类问题中，通过对每天衬衫和裤子的总共数量、衬衫裤子各自的售价和进价进行限定，但要求每天的总利润不低于一定金额，让学生求解每天衬衫需要达到的销售数量问题。在学生寻求问题解决的过程中，可以结合方程的思想，即对每天的利润也作具体数额规定。这样学生可以联系方程的方法去推导，使其对金额的固定变为“不低于”这种不定。学生就会联想到之前学过的“≥”，学生就会列出含有不等关系的式子了。再通过类似例子的列举，学生就会从中找出这些式子的共同要素。进而建立一元一次不等式的概念和表示方式等数学知识，以及对比归纳、知识迁移等数学思维和能力，实现水平数学化。在此基础上，对比一元一次方程的性质的探究过程，达到对一元一次不等式性质的认识。使得学生认知中对方程和不等式的把握系统化，最终达到垂直数学化的目的。

3.1.3再创造教育思想及与初中代数教学的关系

①再创造教育思想

弗赖登塔尔教育思想里的再创造是基于数学知识的发展规律提出的，他认为数学知识和数学思维学习的最好的方式是通过学生的实践，即让学生能够在做的过程中去学习。强调应该充分发挥学生的积极性和主动性，在教师的指导下让学生进行相对自由的探索和创造[12]。这区别于传统教学课堂以教师为主，并将数学知识以现成形式灌输给学生的教学模式，而是以学生的主动探索为主。

这种创造过程可以将历史上数学发展的情境引入，为教学提供丰富的素材。但是由于历史上的数学现实和学生已经掌握的数学现实有差异，所以再创造并不是也没必要机械式的将历史上数学知识和思维的形成过程照搬进课堂中，并不是将数学历史重现演示。而是学生基于已经掌握的客观现实和数学现实，在这些基础上进行的创造。这种创造并不是学生漫无目的的探索，而是在教师的指导下进行的探索。这种探索可以使得学生避开历史探索时遇到的弯路或者僵局。

发现教学模式和再创造有很多相似的地方，但是二者并不完全相同。因为发现教学模式中教师会对教学的过程提前设置一个个类似圈套式的问题，学生的主动性并未得到充分的发挥，而是处于被动的状态。这种创造中教师的性指导较多，可以看作是再创造的低级呈现方式，而再创造的外延相对更广，学生的自由发挥空间更广[7]。

12

[3]

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再创造的过程充分调动了学生的积极性，因此可以更好地激发学生探索的兴趣和动机；可以使学生对于数学的实践性有了更深的理解，可以更好地结合实践进行学习；再创造中习得的知识点更容易被理解和应用[3]。

②再创造教育思想与初中代数教学的关系

再创造是一种学生亲自去做，在做的过程中去探究事物的本质属性，进而形成一定数学知识的过程。初中代数作为初中重要的数学知识并且与实践有着紧密的联系，对其的教学也应该结合再创造思想。让学生在主动去做的过程中深切体会初中代数的教学内容和数学思想，达到真正理解的目的。通过再创造教育思想对初中代数教学进行研究，也有利于再创造教育思想的完善。

例如，在学生学习反比例函数的图象与性质时，我们可以建立在学生对于一次函数的图象与性质探究的基础上。通过类似的探究方式，让学生对反比例函数y=𝑥

2

𝑘

（k≠0，且k为常数）中的常数k取符号不同的两个数字，比如k=2或-3，然后依次画出图象。当k=2时y=𝑥，再利用函数图象的画法，对x取不同的值，y对应得到不同的数值列出表格、描点、连线。在学生对x取正数，画出一支时，教师可以对学生进行引导，提问学生自变量x只能取正数吗？使学生的数学思维更进一步的提升，并在做的过程中画出当x<0时图象的另一支。同样的道理，再引导学生画出当k取负数，例如k=−3 时y=

;3x

的图象。再通过k取不同的值，画出多个反比

例函数图象。学生通过对函数画法、一次函数图象性质探究过程的掌握的基础上，亲自主动地去动手画出不同的反比例函数图象。进而再创造出反比例函数中k取不同的符号时，各自经过的象限、增减性等性质。再创造的过程中培养了学生分类讨论、对比分析等代数思维。

3.1.4现实、数学化、再创造、反思的整合及与初中代数教学的关系

①现实、数学化、再创造、反思的整合

现实问题需要数学化这一有效的途径加以解决。将现实中难以解决的问题通过数学化的手段进行抽象概括，现实问题就可以得到合理的解决。数学化的深入也离不开现实。基于不同的现实，数学化有不同的层次。

学生再创造的过程离不开学生的现实。只有结合学生的现实客观情况创设情境才能更好地激发学生的兴趣和探索的动机；只有结合学生现有的数学知识，才能对学生的能力有所定位，找到最近发展区。现实问题的解决也需要学生通过做的过程中去创造，发现解决问题的办法。再创造的过程并不应该只停留在做的过程中，要想使现实问题得到解决就应该运用数学的思维去思考，实现水平数学化；对于难度

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较大的问题，我们更应该在再创造过程中实现垂直数学化。为了更好地实现数学化，不能仅仅依靠教师的单方面的传授，更应该注重学生的主动创造，应该让学生用自己的知识体系去实现数学化。

现实世界的改造和认识需要反思，因为反思可以更好地让人们从现实中抽象出现象背后的本质，实现数学化，进而有利于解决现实问题；现实是反思的基础和最终目标，数学的反思也需要依据现实开展，并且经过反思后形成的数学知识最终也应该运用于实际中。数学化的开展离不开反思，只有对自己活动或思维的理性思考才能形成更加有深度的数学理论；反之数学化也为进一步的反思活动提供了素材。

从弗赖登塔尔数学教育思想的结构图（见图3.1）中可以看到，由现实形成了概念的数学化，经过反思可以对数学概念进行抽象化和形式化，进而再用到现实世界中；接着又是对新的现实的数学化，再经过反思可以加深概念和发展数学化。可见现实、数学化、反思相互影响和促进。反思与再创造也有着密切的联系，深入的反思活动可以为更好地再创造提供思想基础，有利于更好地改善再创造的方式；反思活动也离不开再创造，再创造为反思活动提供了思考的角度。

因此现实、数学化、再创造、反思是相互交融、相互整合的数学教育思想。教学中应该依据现实问题和学生的现实情况开展，鼓励学生进行再创造，使用数学思维使之形成数学化，利用反思使数学知识或者思维深化，再用到现实中解决问题，使之提炼出新的现实；对之前的教学过程进行反思，对新的现实进行再创造、数学化、反思深化数学化、现实等这种螺旋式上升的数学教学过程。使数学教学变成一种能激发学生兴趣的、有意义的过程，完善学生的数学知识理论体系并提升数学思维，提高学生认识世界和改造世界的能力。

②现实、数学化、再创造、反思的整合与初中代数教学的关系

初中代数来源于现实问题，通过数学化使之形成概念、性质等数学知识，在发现代数知识的过程中实践可以更好地提高学生理解问题的能力，课后和教学过程中的反思有利于完善教学方式，因此初中代数教学需要现实、数学化、再创造、反思。对代数教学的研究也有利于丰富其思想体系的实践内容。

例如在对函数的教学中，可以通过不同情境的创设，比如学生们熟悉的滑梯，动手搭建正方形等现实情境，让学生从现实中出发。通过填表动手操作、观察等活动，发挥学生的主动性，让学生亲自去体验再创造的过程。在探究创造的过程中，深化认识，实现数学化。而数学化的过程中应该结合学生已经学习了变量之间的关系这一数学现实。形成函数概念之后，让学生进一步反思，函数的表达形式有哪些？通过学生的反思，认识到函数的表达形式有三种。在这种对函数概念深化认识的基础上，最终将函数应用到实际生活中，使学生能够了解函数知识的应用意义，为后面的一次函数、正比例函数、二次函数的研究奠定基础。

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图3.1 弗赖登塔尔数学教育思想结构图

[7]

3.2基于弗赖登塔尔教育思想进行初中代数教学的教育价值

3.2.1培养学生的应用意识和解决问题的能力

初中代数知识起源于现实生活，最终也应该运用到现实问题的解决中。现实数学教育思想，强调数学知识应该从现实中出发，引入与实际生活相关的情境问题，基于学生现有的数学智能，通过学生对实际问题的兴趣进而去探索解决问题的办法；在学生获得相应数学知识和思维的情况下，将所习得的知识运用到实际现实中去解释和解决问题。这些将培养学生在初中代数方面的应用意识和解决问题的能力。

例如对于一元一次方程的认知，可以通过生活中的购买问题引入，最终可以运用到类似于购置性的搭配问题的解决。一次函数的学习，可以从快递的重量与收费这一情境出发，数学化到一次函数的图象与性质之后，再用之解决相应重量的费用的问题。此外一次函数与一元一次不等式关系的学习，可以通过对营业厅不同套餐的选购问题引入，让学生根据自身的通话时间科学的选购套餐模式，最后再将其运用到类似的方案选取类问题。这些都能很好的培养学生的应用意识和解决问题的能力。

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3.2.2发展学生的抽象思维和逻辑推理的能力

初中代数知识属于抽象的数学知识，对其知识的形成应该让学生感受知识抽象化的过程，在认知基础上的进一步系统化应该借助学生的逻辑推理能力去完善。数学化思想中的水平数学化，一般是从现实问题中通过类比归纳等，让学生去形象地认知抽象的数学知识，这有利于培养学生在学习初中代数时的抽象思维和合情推理能力；在此基础上，对于数学知识体系的深化，有利于进一步发展学生的代数抽象思维和演绎推理能力。

例如通过方程可以表示事物之间的相等关系，通过不等式可以表示事物间的不等关系，通过一次函数可以表示事物的线性关系，这些代数知识的数学化过程有利于发展学生对现实事物的抽象化思维能力。在方程性质学习以后对一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的系统化研究；在函数知识习得后，进一步对一次函数、反比例函数、二次函数的知识的系统化探究；以及函数与方程、不等式关系的数学化研究过程，有利于培养学生的逻辑推理能力。

3.2.3开拓学生的创新意识和自我探究的能力

初中代数知识可以较好地解决社会的问题，与社会热点联系较多，需要学生具有创新意识；并且初中代数知识内部逻辑严密，需要学生具备自我探究意识。再创造的思想强调学生在教师的引导下，充分发挥自身的主动性，在动手实践的过程中发现数学知识，深刻理解知识的形成过程。这种思想的指导有利于学生在初中代数知识获取时，开拓其创新意识和自我探究能力。

例如当学生理解了一次函数的图象、性质的探索过程后，对于反比例函数、二次函数的图象、性质的学习也采取诸如此类的实践探索过程，学生的积极性增大、自我探究能力得到培养；在这些函数的探究过程中，由于不同函数图象、性质的差异性和学生个体的差异，学生会提出不同的角度，有利于开拓其创新意识。

3.2.4提高学生的猜想意识和科学判断的能力

初中代数知识并不是墨守陈规、停滞不前的，学生应该在对已有知识获知的基础上，进一步深化认识，反思思考。反思是对教学内容、教学过程、教学思维等进行理性客观的分析、思考，总结其中的成败及原因，探寻这些行为、认知、判断等背后隐含的内在本质。反思活动存在于教学的全部过程中，有利于数学化和再创造

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的实施。反思在初中代数教学中的应用，有利于更好地培养学生的数学猜想能力、发现科学的数学理论，进而做出科学的数学判断。

例如在对分式方程的增根进行讲解时，通过学生将其转化为整式方程求解之后，让学生对自己的解题过程、结果进行反思，并提醒学生每一个数学式子存在的前提是必须有意义，这样学生就自然会得出有些结果的存在与式子有意义相矛盾，认识到应该舍掉使分母为零的根，进而得到分式方程增根的定义。在对一次函数与正比例函数二者关系进行教学时，让学生对二者的图象和性质进行反思对比，比较常数k和b的意义，最终得出正比例函数属于一次函数，是一种特殊的一次函数的结论。这些都有利于提高学生的猜想意识和科学判断的能力。

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4.1初中代数教学内容分析

4.1.1初中代数教学内容分布

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将数学分为三个学段，小学数学为第一、二学段，初中数学属于第三学段。初中代数教学内容贯穿在七年级上下两册、八年级上下两册、九年级上下两册，共六本教材中。本文以北京师范大学出版的初中数学教材为例，从七年级到九年级初中数学共有三十八章，其中“数与代数”有十五章，约占初中数学的39%；代数共有十三章（初中代数教学内容分布见表4.1)，约占初中数学的34%，约占“数与代数”的87%。可见代数内容在初中数学中分布广泛、知识点多。代数知识与图形几何、统计概率、综合实践等交错布局，有利于学生多角度提高初中数学的知识技能与利用数学思维解决问题的能力。

表4.1 初中代数教学内容分布表

年级 七年级

册数 上册

教学内容 代数式 一元一次方程

下册

整式的运算 变量之间的关系

八年级

上册

位置与坐标 一次函数 二元一次方程组

下册

一元一次不等式与一元一次不等式组 分解因式 分式与分式方程

九年级

上册

一元二次方程 反比例函数

下册

二次函数

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初中代数在各年级的分布中，七年级约占31%，八年级约占46%，九年级约占23%(初中代数年级分布统计见表4.2)。七年级学生刚从小学阶段的形象思维开始向抽象思维过渡，因此应该是对简单代数的认识，为之后方程、函数等的学习奠定基础。八年级学生的抽象思维已经得到了一定的发展，因此代数教学内容较多，几乎占据了初中代数总量的一半，并且难度逐渐增大。九年级学生的逻辑思维能力已经发展到义务教育阶段的最高层次，因此主要是难度更大的一元二次方程、二次函数等教学内容。教学内容的编制与初中生的生理、心理发展规律和认知规律相适应，更有利于促进学生的代数思维的逐步提升。

表4.2 初中代数年级分布统计表 年级 百分比

七年级 31%

八年级 46%

九年级 23%

4.1.2初中代数教学类型分布

为了更科学地对初中代数教学内容进行分类，将北师大版八年级下册的“分式与分式方程”这一章节的内容拆分为“分式”、“分式方程”两部分。因此在初中代数类型统计时，共有十四个内容。结合新课标的划分，按照年级从低到高、章节从前到后的顺序，现将初中代数分为式、方程、不等式、函数四个主要类型（初中代数类型分布见表4.3）。在此基础上对初中代数四种类型分别占初中代数内容的百分比进行统计(初中代数类型统计见表4.4)，从表中可以清晰地看出函数占的比例最大，约达到了35.7%；式、方程次之，约占28.6%；不等式占的比例最低只有约7.1%。因此可以知道函数在初中代数中占有绝对重要的地位，利用它可以较好地解决现实生活中的问题。此外方程可以通过模型的思想发展学生的数学思维，也是初中代数教学的重点。

在各类型的教学次序上，前后逻辑严密、连贯性强、难度梯级增大。例如在式的教学上，代数式是最基础的知识点，然后依次上升到整式、分解因式，这些都为分式的学习奠定了基础。方程的类型上，也是遵循从一元到二元、一次到二次的顺序逐层推进。在函数上，在研究变量之间的关系、位置与坐标的基础上，依次设置了一次函数、反比例函数、二次函数，数学知识和数学思维前后环环相扣，螺旋式上升。这样的教学顺序，符合初中代数的发展规律，符合学生的认知规律，更有利于发展学生的逻辑推理能力。此外，对于易混淆的知识点，比如一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，二次函数与一元二次方程的关系，在综合应用环

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节加以强调，利于学生科学地构建自己的代数知识网络，实现垂直数学化。

表4.3 初中代数类型分布表

代数类型 式

教学内容 代数式 整式的运算 分解因式 分式

方程

一元一次方程 二元一次方程组 分式方程 一元二次方程

不等式 函数

一元一次不等式与一元一次不等式组 变量之间的关系 位置与坐标 一次函数 反比例函数 二次函数

表4.4 初中代数类型统计表

代数类型 百分比

式 28.6%

方程 28.6%

不等式 7.1%

函数 35.7%

年级 七年级 七年级 八年级 八年级 七年级 八年级 八年级 九年级 八年级 七年级 八年级 八年级 九年级 九年级

册数 上册 下册 下册 下册 上册 上册 下册 上册 下册 下册 上册 上册 上册 下册

4.2教学设计策略

4.2.1创设适宜的现实情境，关注代数应用性和个体现实差异性

教师应该在教学之前准确把握学生的现实，主要从客观现实和数学现实两方面来研究。通过访谈、问卷调查、实地考察等形式，对学生的兴趣爱好、家庭生活实际、学校班级实际、地方特色等学生的自身的实际状况进行了解；对学生比较关注的社会热点问题等能与代数知识相结合的社会实际进行了解；通过试卷、作业的分析及访谈的方式定量和定性地了解学生的代数现实状况。在此基础上，还可以从发

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掘对应代数知识的数学历史背景、趣味性或者动态性连续的故事场景等入手；或者借鉴学生已经掌握的其它学科的教学内容等多角度出发，来创设适宜的代数教学情境。在情境创设实现数学化的过程中或者数学化之后，应该注重学生对于代数知识的应用能力。例如课上设置相应的应用活动与习题练习，课后增加实践类作业要求。针对不同学生的代数基础和对代数的现实需求，可以通过小组合作、分层布置作业等方式实现对个体现实差异性的关注。所以初中代数教学中应该创设适宜的现实情境，关注代数应用性和学生个体的现实差异性。

4.2.2综合运用合情推理与演绎推理实现数学化

初中代数中的定义、法则、定理等数学知识，是对现实的形式化表达，因此教学中应该让学生结合现实情境获得，而不应该强制性灌输。从现实情境中获得代数知识，是将实际问题抽象成代数问题的过程。在这个过程中需要学生去对实际问题进行观察、类比、联想，这类逻辑推理即属于合情推理。在代数教学中进行合情推理时，重点应该做好归纳和类比。其中归纳主要是从各种不同的事物中，抓住其共有的本质属性[8]，建立相应的数学模型，抽象为一定的数学知识。归纳推理对于初中代数概念类知识的获得具有重要的作用。初中代数的知识或者思维是有迁移性的，因此教学中应该建立在前面代数现实的基础上，将其迁移到类似的新的代数知识和思维上，这就是类比推理。类比推理有助于学生建立不同代数知识间的联系，提升数学化的深度。通过合情推理，有助于将初中代数实现水平数学化。对于代数的进一步深化成代数性质、定理等知识体系的过程，是建立在已有代数基础上的进一步拓展，这就需要运用演绎推理。即在已经获得的定义、法则、定理等基础上，进行逻辑推理的证明、运算等[4]。演绎推理可以帮助我们对已有的代数进行数学深化，并建立不同的数学模型，利于从整体上构建初中代数知识网络，使之有序化、体系化，实现垂直数学化。所以初中代数教学中应该综合运用合情推理与演绎推理实现数学化。

4.2.3强调学生的主体性，注重教师指导下学生的实践探究

初中代数知识抽象难懂，传统的形式化教学方式已经不能适应社会和学生的需要。教学中应该充分发挥学生的主动性，给学生以极大的自由发挥空间，教师主要是引导和帮助学生再创造。教师应该从内部和外部两方面激发学生再创造的动机。例如通过有趣的故事等，激发学生探索的兴趣，让学生在一系列的代数再创造中建

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立自信，以此来激发学生再创造代数知识的内在动机；通过新出现的问题与旧有的知识间的矛盾，认识到代数在解决实际问题中的必要性，在学生的实践探索过程中教师的倾听、鼓励、赞同等来激发学生的外部探索动机。教师应当给予学生猜想、实践的机会，在教学过程中可以通过学生的小组合作、自身动手操作等方式，让学生参与代数的教学活动，经历观察、猜想、实验、证明等发现代数知识的过程。对发现的代数知识和代数思维还应进一步重组，构建属于自己的代数知识网络体系。这种再创造是建立在学生现有的知识基础之上的，并不是历史上代数发现时的数学背景。教师应该对不同的学生分层指导其实践探索过程，从整体上给予方向性指示，不仅让学生学会了再创造出来的代数知识，更重要的是教给学生在代数再创造方面的方法。这种再创造可以让学生真真切切感受到代数知识的形成过程，加深对现有知识的认识和理解，而不是形式化的肤浅的认识。因此应该强调学生的主体性，注重教师指导下学生的实践探究。

4.2.4提高代数教学过程中的反思能力

初中代数知识是在历史探索过程中逐渐深化认识而产生的，结合学生数学认知规律及代数教学规律，代数教学中需要师生共同提高反思意识。反思贯穿在教学的过程中，所以教师应该在代数教学的全过程中向学生渗透反思思想。对于现实情境要进行反思，反思其已知条件和所要解决的问题之间的关系，有没有类似的现实情境等。反思再创造的过程与结果，思考有没有其它的创造活动，具体应该怎样做；思考再创造的结果是否还有其它呈现方式，是否达到了预期的效果等。反思数学化的过程与结果，思考数学化的过程中逻辑是否严密，有没有遗漏的限定条件；数学化的结果是否还应继续深化，结果是否明确等。对于学生的课堂行为、表现、课堂练习情况进行反思，观察、分析学生的理解程度、应用情况。课后小结部分进行反思，反思新旧知识之间的关系及可以拓展的方向。学生反思能力欠缺，因此教师应该引导和帮助学生进行反思，教授一定的反思方法。例如可以让学生自己绘制代数知识的思维导图，梳理不同知识点之间的关系。此外课堂上应该营造一种宽松自由的教学氛围，让学生敢于发表自己的意见；课堂上给予学生足够的反思时间和机会；引导学生反思与相关学科之间的联系；教师课后反思自己的教学过程、教学时间的安排、教学情境的匹配性、教学语言的准确性等，为之后的教学设计提供经验。反思有利于使学生对于代数教学内容、教学思维有更深入的认识，因此应该在教学中提高代数的反思能力。

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4.3教学案例设计

初中代数的类型中，函数约占35.7%，属于其中比例最大的类型；方程次之，约占28.6%，二者在初中代数中占有重要地位，且函数、方程与图形几何等都有着密切的联系。完善初中方程、函数的教学设计，有利于锻炼学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，培养学生数形结合的意识，更好地解决社会问题，也有利于高中相应内容的学习。因此本文选取北京师范大学教材八年级上册“二元一次方程组”和九年级上册“反比例函数”进行教学设计（具体见表4.5和表4.6）。

4.3.1“二元一次方程组”教学设计

表4.5 “二元一次方程组”教学设计

教学内容 教学目标 1知识与技能 二元一次方程组 理解并掌握二元一次方程（组）的定义； 理解并掌握二元一次方程（组）的解的含义； 能判断一组数是否为二元一次方程（组） 的解； 能由实际问题列出二元一次方程（组）。 2过程与方法 通过对现实问题的解决，类比一元一次方程的定义及解的含义，让学生探寻不同解法，经历动手填表、列所有解等实践活动进行再创造，贯穿反思思想，逐步数学化二元一次方程（组）的定义及解的含义，培养类比、归纳的能力和应用能力。 3情感态度价值观 通过解决比赛、销售类现实问题，让学生认识到二元一次方程（组）的优势，增强学习兴趣和应用意识； 对二元一次方程（组）的定义及其解的含义的再创造过程中，培养学生勇于探索、创新和团队合作的精神。 教学重点 教学难点 理解并掌握二元一次方程（组）的定义和它们解的含义； 判断一组数是否为二元一次方程（组） 的解。 灵活应用二元一次方程（组）的定义和它们解的含义 23

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教学过程 设计意图 情境一：学校举行乒乓球比赛，规定：共有10场比情境一的设置从学生赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分熟悉的比赛问题引（即为0分）。比赛结束后，发现甲队负了4场，共入，基于学生的现实，得16分，你知道甲队胜、负各几场吗？ 论，师生共同总结方法。 胜场及平场共：10-4=6场。 方法一：算术法 充分调动学习积极性和探索欲。 学生思考并动手求解的基础上进行小组讨学生对于问题的解答提出多种解决方法，同的数学现实，教师应鼓励引导其发表各分析：因为共10场比赛，甲队负4场，故甲队这符合不同学生有不思路一：若全部为平场，则多出 16−6×1=10分，自的观点，为再创造 创 因为胜场比平场多2分，所以可知胜了 10÷2=5和数学化做铺垫。 设 场，故平了 6−5=1场。 情 综合列式为:胜了 (16−6×1)÷(3−1)=5 场，方法一的算术法是学习代数之前的数学现境 平了 6−5=1场。 ， 思路二：若全部为胜场，则类似地可以先求出平的实。优先讲解符合学导 场次，平了 (6×3−16)÷(3−1)=1场，胜了的场次则为 6−1=5场。 入 方法二：利用一元一次方程求解 新 思路一：设胜了x场，则平了(6−x)场，由题意可课 知 3x+(6−x)∙1+4×0=16，解得 x=5； 生认知规律，有利于方程方法的引入。 方法二是建立在学生已获知的一元一次方程数学现实基础上， 思路二：设平了m场，则胜了(6−m)场，由题意可有利于对比“算术知 3(6−m)+m∙1+4×0=16，解得 m=1。 法”，显示其解决问题提问：两种方法有什么特点呢？哪种方法更简的优越性，为二元一单呢？ 程使得思维更简单，更易于列式和求解。 次方程组的再创造和 总结：算术的方法思维和列式相对较难，而方数学化做准备。 情境二：学校英语社团为口语比赛获奖选手购置奖情境二从购置问题出品，第一次购买了3本笔记本和6支中性笔，共花发，符合学生客观现去48元；第二次购买了2本笔记本和5支中性笔，实和数学现实，利于共花去36元。请问每本笔记本和每支中性笔各多少培养学生的自我探究元? 24

和解决问题的能力。

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学生小组讨论，利用一元一次方程方法求解： 情境一的解决使学生“购买了3本笔记本和6支中性笔，共花去48认识到一元一次方程创 因为 ， 求解时的简便性，故设 元”情 法一：设每本笔记本x元，则每支中性笔为此处呈现一元一次方境 ， 导 入 新 [(48−3x)÷6]元，由题意可列 2x+5[(48−3x)÷6]=36，解得x=8； [(48−6m)÷3]元，由题意可列 2[(48−6m)÷3]+5m=36，解得m=4。 程法，逻辑上衔接紧密，为二元一次方程 由于学生的数学现实用不同解法，挖掘其潜在的再创造能力。 （一）探究二元一次方程的定义 针对两个情境复习旧知： 呢？ (2)什么样的题目适用一元一次方程求解呢？ (3)用一元一次方程解题的步骤有哪些呢？ 对二元一次方程定义的再创造，主要运用(1)-(3)对两情境解法归纳总结，复习一元一次方程法求解的法二：设每支中性笔m元，则每本笔记本为组的数学化做基础。 同理，也可由“购买了2本笔记本和5支中性不同，应鼓励学生使课 笔，共花去36元”设未知数，求解。 类 比 归纳 ， 再创造新(1)两个实际问题的求解中，我们都用到了什么方法归纳、类比推理思想。 归纳旧知：都使用了一元一次方程的解法；适适用性和解题步骤等用于求解一个未知量，并且具有等量关系的题型中；代数现实，利于使用解题步骤：设未知数，依据等量关系列方程，解方类比推理思维迁移知程，检验。 逐层引导，再创造新知，提问： (1)上述两个实际问题中，需求解几个未知量呢？ (2)还有没有另外的解题方法呢？ （若学生没有思路，可启发学生设两个未知数） 总结：需求解两个未知量， 识，构建不同知识间的联系，实现数学化。 从未知量个数出发，类比一元一次方程法的解题步骤，引导学生构建含两个未知数的数学模型。这种再创造前后相承，发挥了学生的主动性，利

知 情境一，设胜x场，平y场，依据等量关系： “胜场+平场=6， 胜场分数+平场分数=16”， 可列 ①x+y=6 ②3x+y=16 情境二，设每本笔记本x元，每支中性笔y元， 依据等量关系：“3本笔记本和6支中性笔，共花去于发展学生的抽象思48元；2本笔记本和5支中性笔，共花去36元”，维，开拓创新意识和可列 ①3x+6y=48 ②2x+5y=36 25

自我探究的能力。 重庆师范大学硕士学位论文 4基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计

类 让学生思考： (1)通过对新旧方法(1)两个情境中，设两个未知数的方法与使用一元一的反思比较，让学生次方程中设一个未知数的方法比较，你更喜欢哪一认识到求解两个未知种呢？原因是？ (2)一元一次方程有什么特点呢？ 这种方法又有什么特点呢？ (3)你能给设两个未知数这一方法取个名字吗？ (4)你觉得二元一次方程的定义应该是？ 一元一次方程更易于简化思维） 结合一元一次方程的定义，师生归纳总结 量时构建二元一次方程的优势，激发学生的求知欲，促进数学化。 (2)引导学生类比一次方程的特征，为数学化二元一次方程的取名和定义奠定基 引导学生应用所学知识，符合现实数学思想，利于深入理解定义。 由于在方程这一内容上，不同学生的数学此小组合作的方式，能提高学生分析问题 定义1：二元一次方程是指含有两个未知数，且础。 思考：这个定义中有什么需要注意的呢？ （大部分学生更喜欢设两个未知数的方法，因为比元一次方程与二元一比 含有未知数的项的次数都为1的整式方程。 归纳 师生总结：未知数是两个，含有未知数的项的 ， 次数为1，为整式方程。 提问：你可以举出几个二元一次方程的例子再吗？ 创 造（二）探究二元一次方程组的定义 新小组讨论： 知 情境一的二元一次方程

①x+y=6 ②3x+y=16中x和y分别代表的内容现实具有差异性，因相同吗？两个方程的关系是？ 情境二的二元一次方程 的内容相同吗？两个方程的关系是？ ①3x+6y=48 ②2x+5y=36中x和y分别代表的科学性。 师生总结：情境一中x代表胜场次数，y代表平对两个情境中未知数场次数，x和y代表的内容分别相同；两个方程必须代表的内容、两个方同时满足。情境二中x代表笔记本的单价，y代表中程的关系设问，引导性笔的单价，x和y代表的内容分别相同；两个方程学生反思实际问题中必须同时满足。 26

两方程的关系，加深对二元一次方程定义重庆师范大学硕士学位论文 4基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计

我们用大括号将两个同时满足的二元一次方程的数学化，形成二元一次方程组的定义，3x+6y=48x+y=6联立，{，{ ，这种形式的3x+y=162x+5y=36符合由易到难的逻辑方程可以取名什么呢？ 定义2：二元一次方程组即将两个二元一次方程联合在一起。（并强调指出一个二元一次方程组中，相同未知数所代表的内容相同） （三）探究二元一次方程（组）的解 思考：在情境一的乒乓球比赛中，用二元一次方程法求解时，我们设胜x场，平y场，列方程组推理规律。 解决情境问题的过程中，让学生意识到用二元一次方程法求解时，列方程组后还需知道方程组的解。引导学生由易到难再创造，先理解二元一次方程的解，再理解二元一次方程组的解。 (1)对二元一次方程的解通过学生动手填表再创造，有利于学生将抽象的代数知识直观化理解。 类 {x+y=6，那么问题得到解决了吗？我们还需要3x+y=16比 做什么呢？ 归探究二元一次方程的解 纳 (1)结合乒乓球比赛的实际，二元一次方程x+y=6， 中x和y分别可以取哪些值呢？请同学们动手填下再表： 创x 造y 新 知 (2)如果不考虑实际问题，当x和y在实数范围内取值 时，其取值又有哪些呢？有什么特征呢？ (1)-(2)符合从特殊

（表格中填写所有符合题意的七种情况，让学生认到一般的认识规识到实际问题中x和y的取值是有限个，而实数范围律,(3)类比一元一次内x和y的取值则是无数个） 方程的解的定义和表(3)一元一次方程的解的定义和表示方式是什么示方式，这些都有利呢？ 于对二元一次方程的(4)你认为二元一次方程的解的定义和表示方式应解的定义和表示方式该是？ 数学化。 定义3：二元一次方程的解是指使方程两边相等 x=a的两个未知数的值，记作{y=b 27

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类 小组讨论：一元一次方程的解与二元一次方程反思一元一次方程的的解的异同有哪些呢？ 学生积极讨论，老师给予指导。 解与二元一次方程的解的异同，有利于学师生共同归纳总结：同（都属于方程），异（一生构建自己的知识体元一次方程的解是单一的，为一个解；二元一次方系，加深数学化水平。 程的解是一组解，有无数多组解）。 探究二元一次方程组的解 一次方程组的含义这一数学现实，让学生提问：乒乓球比赛中，二元一次方程组结合具体情境及二元x+y=6{的解具有什么特征呢？ 3x+y=16同桌合作：结合乒乓球比赛的实际，二元一次意识到二元一次方程比 方程3x+y=16的解有哪些呢？请同学们列出组的解应满足两个二x+y=6与3x+y=16所有解，并找出共同的解。 元一次方程的解。 纳 同桌合作，是建立在， x+y=6的解 3x+y=16的解 对二元一次方程的解再 认知的现实基础上的 创再创造，利于学生数 造 学化二元一次方程组新的解这一含义，并会提问： 知 判断一组数是否为二x+y=6 (1)二元一次方程组{的解是什么呢？元一次方程组的解。 3x+y=16 (2)我们应该怎样定义二元一次方程组的解呢？ 定义4：二元一次方程组的解是两个二元一次方 归程的公共解。 小组讨论：二元一次方程的解与二元一次方程反思二元一次方程的组的解的异同有哪些呢？ 解与二元一次方程组师生归纳总结：同（都是由两个未知数组成的的解的异同，有利于解），异（实数范围内 二元一次方程的解有无数组，学生构建自己的二元二元一次方程组的解只有一组）。 28

方程之解的知识体系，加深数学化水平。 重庆师范大学硕士学位论文 4基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计

至此利用二元一次方程法使情境一的乒乓球比对情境二的应用，符赛胜、平场问题得到了解决，那同学们知道情境二，合现实数学教育思每本笔记本和每支中性笔多少元吗？ 例1 下列方程中，属于二元一次方程的有___ ③6x2+3=y ④7mn+5=3 2⑤5m−n<7 ⑥;2y<5 3想，有利于提高学生应用意识。 例题1-2是对二元一①6y−7x+3=0 ②2x+5y−7z=3 次方程定义的题目，难度逐渐上升，多角度巩固学生对定义的掌握，加深数学化水平。例1的设置包含对未知数个数、未知数的次数的理解，以及必须为整式方程的理解。例2引入参数m和n，并结合一元一次方程的解，考察学生综合应用能力。 x（答案：①、⑥） 例2 若方程5xm:4−3yn;1=6是关于x、y的二元一次方程，则m和n的值分别为？ (m=−3 ，n=2) 例3 下列方程组中，是二元一次方程组的是( ) 2x+5y=−3x+2y=5例 A {3y−z=6 B {x−y=5 2题 讲解 ， 5x−2y=−12x−y=7C { D {2 −3y=7y+3=2xx2（选B） (a+6)x|a|;1−yb:1=5巩例4 已知{x3:a+(3b−2)y=1是关于x、y的二例3-4由基础到综合，2考察学生对二元一次固元一次方程组，求a、b的值 方程组定义的理解。新(a=−2 b=0) 知 例5今年小娜的年龄是妈妈年龄的五分之二，6年题目涉及对未知数的个数、未知数的次数、 后，小娜的年龄为妈妈年龄的十一分之五，你知道需为整式方程、次数 小娜和妈妈今年的年龄吗？ 含有参数的考察。 （请列出二元一次方程组） 例5是通过与生活相解：设今年妈妈的年龄为x岁，小娜的年龄为 y岁， 关的年龄问题入手，

则{ 5y+6=11(x+6) y=5x2考察由实际问题列出二元一次方程组的能力，符合现实数学教育思想，有利于应用意识的增强。 29

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例 例6二元一次方程3x−y=8的解是（ ） x=1x=−2A { B { y=−2y=12x=3x=−5C { D { y=1y=−18（答案：C） 例6-7是对二元一次方程的解的考察，并设置了求特殊解的题目，有利于学生综合理解其含义。 例7二元一次方程2x+y=6的正整数解有___ x=1x=2 （通过列举，正整数解有 { { ） y=4y=2 −x+3y=−4题 例8二元一次方程组{的解是（ ） 5x−9y=2例8-10是对二元一次讲方程组的解的考察。x=2x=−5解 A {2y=−3 B {y=3 其中例9对学生开拓， 思维，例10 涉及参x=7x=−5巩C { D { y=1y=−3数，有利于学生加深固数学化水平。 （答案：D） 新 知 x=5例9写出一个以{为解的二元一次方程组 y=−2

（答案不唯一） （引导学生：二元一次方程组可灵活构建，但x的系数比、y的系数比、常数项的比 这三者不能相同） 例10若{x=2是二元一次方程组y=−1{2mx−7y+9=0的一个解，则m、n的值为___ nx+6my=−2（答案：m=−4，n=−13） 30

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回 顾 反 今天我们在知识和技能上有什么收获呢？ 数学思维上学会了什么呢？ 小结归纳主要从数学知识与技能、数学思维两方面进行，多角度培养学生的反思能力。 思 (1)知识与技能上 二元一次方程（组）及其解的定义； ， 判断一组数是否为二元一次方程（组） 的解； 归由实际问题列出二元一次方程（组）。 纳(2)数学思维 小类比分析、归纳概括、转化、建模等数学思维。 结 布置作业 1基础巩固 (1)下列方程中，属于二元一次方程的是___ c①3b=2+6d ②3x=5y+1 针对不同学生的现实基础和现实需求，分层设置课后作业,主要分为基础巩固和能力提升题，使不同的学生得到不同程度的发展，最终达到符合自身需求的现实水平。 基础巩固的(1)-(7)题，涉及对二元一次③7b(b−3c)=5 ④4x−3y2=6 ⑤x+y=1 ⑥ m<3+1 2n(2)下列方程组中，是二元一次方程组的是( ) 5a−b+7=02a−b=3A { B { 3ab+b=55a+2c=−12b−3a=6=8C {a=2b−1 D { 3a+5=2b32b:a33(3)小雅从家骑自行车匀速去学校需要经过一段上坡路和一段下坡路，上坡速度为100米/分，下坡速度为260米/分，从家到学校共用25分钟，已知家

到学校时上坡和下坡路段的距离共4100米，那么上方程（组）的定义、二元一次方程（组）坡和下坡的时间分别是多少分钟？ （请列出二元一次方程组） (4)二元一次方程 2x+3y=5的解是（ ） x=2x=32A {y= B {y=7 362x=−6x=−3C {y=−8 D { y=731的解的含义的理解，以及由实际问题列出二元一次方程（组）。有利于学生对知识点的巩固和应用。 31

(5)二元一次方程3x+y=12的正整数解有__ 重庆师范大学硕士学位论文 4基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计

布置作− 3x+5y=2(6)二元一次方程组{1 的解是（ ） 1 6x− 2y=3 x=3x=−24A { B {y=3 y=25x=24x=6C { D { y=2y=−4(7) 课本219页第4题 2能力提升 能力提升题 元一次方程和二元一1 (1)若方程 2x|b|;6+3(b+7)y5c;7=8 是关于x、(1)和(2) 是针对二y的二元一次方程，则b和c的值分别为？ 次方程组定义而设7x2m;3+(n−6)y|n|=0(2)已知{是关于x、y的置，引入参数，并结(2m−1)xn:2−5y|m|;1=1合绝对值、一元一次方程综合考察，有利业 二元一次方程组，求m、n的值 x=52(3)若{是二元一次方程− 5mx+3ny=−6于提升代数综合思维y=−2能力。 的一个解，则9−m−3n=__ mx+2ny=1(4)若二元一次方程组{3 与(3)和 (4) 是针对二 2x−y=7元一次方程的解和二y=5{有相同的解，则m2−10n2+mn=__ 元一次方程组的解含mx−6y=6义而设置，考察学生(5) 课本219页第5题 灵活应用知识的能 力，有利于开拓学生思维，深化现有的数学化水平。

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4.3.2“反比例函数”教学设计

表4.6 “反比例函数”教学设计

教学内容 教学目标 1知识与技能 反比例函数 理解并掌握反比例函数的概念； 能判断两变量间的关系是否为反比例函数； 掌握反比例函数的三种表达式。 2过程与方法 在现实情境和学生函数现实基础上，综合运用观察、类比、归纳等方法，开展学生自主探究、分组合作，贯穿再创造、数学化、反思的教育思想，对反比例函数概念及表达式进行抽象。 3情感态度价值观 通过现实情境的引入，激发学生学习兴趣并培养应用意识； 在反比例函数概念数学化的过程中，培养抽象思维、逻辑推理、探索创新能力，体验再创造数学的成就感和乐趣。 教学重点 教学难点 理解与掌握反比例函数的概念 领悟反比例函数的意义 教学过程 设计意图 问题一从班级购买奖品 创 问题一 老师准备花费60元购买笔记的现实情境出发，设 [师]新学期开始了，这是学情 本奖励班级表现优秀的同学，商店里有单价分别生比较熟悉的情境，容易境 为3元、4元、5元、6元、10元、12元的笔记激发学生的兴趣。 ， 本共六种。 引 如果买单价为3元的笔记本，可买几本呢？ 入 单价为4元、5元的又买几本呢？ 新 购买的本数m与单价n有什么关系呢？ 课

在学生对购买问题的数学现实掌握的情况下，研究问题一，更益于学生再创造新的数学知识。 33

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教学过程 创 设 情 境请同学们思考，并动手填写下表： 笔记本的单价n（元/本） 购买的本数m （本） [生1]购买的本数m与单价n的乘积等于60。 [生2]表格中依次填入：20，15，12，10，6，5 [师]你会用含笔记本的单价n的代数式来表示购买的本数m吗？ [生]m=60设计意图 通过学生动手填写的过程，发挥学生的动手操作技能，激发了学生的3 4 5 6 10 12 再创造能力。 在问题设置上，从具体数字到抽象代数式，体现了数学化的思想。 通过对数量与单价的进一步探究，引导学生对变量、函数知识的复习 𝑛[师] 购买的本数m与单价n是两个什么样的量呢？ 随着笔记本的单价n的变大，可以购买的本数m怎样变化呢?当n确定时，m确定吗？ [生] m与n是两个变化的量。随着n的变大，m在和进一步深化。 ， 逐渐变小；当n确定时，m也确定。 引 入 问题二 问题二是现实生活与几新 [师]学校准备在空地上修建一个面积为30平方米何图形的结合问题，建课 的长方形花圃，当长方形的一边长为a米，另一边立在学生对长方形面积 长为b米。 熟知的情况下。体现了

请用含b的代数式表示a，并填写下表： 一边长b （米） 另一边长a（米） [生1]a=𝑏 [生2] 表格中依次填入：15，10，6，5，3 [师] 一边长b与另一边长a是两个什么样的量呢？随着一边长b的变大，另一边长a怎样变化呢?当b确定时，a确定吗？ [生] b与a是两个变化的量。随着b的变大，a在逐渐变小；当b确定时，a也确定。 34 30实际问题与数学现实的10 结合。 研究方法也是从具体到抽象，符合认知规律。 从几何图形的求解引入，也有利于学生灵活掌握几何与函数的转化，为数学化做准备。 2 3 5 6 重庆师范大学硕士学位论文 4基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计

问题三 问题一和问题二都是两引 [师]若存在x和y，并且二者是两个变量，两者的数乘积为正数的现实事入 乘积为-12，你会用含x的代数式表示y吗?对于给例，问题三从抽象代数新 定的 x的值，相应的y值可以确定吗？ 出发，使两数乘积为负;12[生] y=x。 课 数。更有利于学生全面对于给定的x的值，相应的y值可以确定。 把握反比例函数概念。 类比 归纳[师]大家仔细观察这三个例子及表达式 m=𝑛、a=𝑏、y=6030;12x通过对三个代数式的列举，比较相同点，有利于培养学生类比、归纳的推理思维，促进对反比例函数概念的再创造和数学化。 复习旧知-函数、一次函数、正比例函数，是现实数学思想的应用，有利于学生类比分析。 ， 分组讨论一下，这三个例子有什么共同点呢？ 师生讨论的基础上，教师总结： 都是在一个变化过程中进行，都有两个变量； 随着一个变量的变化，另一个变量也在变化； 对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与之对应。这两个变量的乘积是一个非零常数。 [师]那这样的两个变量之间的关系是什么呢？ [生]函数关系 [师]我们之前学过什么函数呢？ 它们属于这些函数吗？ ， [生]我们学过一次函数和正比例函数，他们不属于 再这些函数。 从函数关系，一次函数、创造新[师]那与哪个函数比较相像呢？为什么这样说呢？ 正比例函数的类比、反[生]正比例函数，因为表达式中都是包含有两个变思，正比例函数的命名，量和一个常量。 梯级式引导学生再创造，为数学化反比例函数的命名奠定基础。 复习了正比例的由来以及反比例的概念，建立了新旧知识的关系，利于使学生对数学知识系知 [师]那正比例函数的表达式是？ 为什么命名为“正比例”呢？ [生]y=kx(k为常数，k≠0)。因为两个变量x和y之间为正比例关系。 [师]那现在大家可以为上述三个例子的函数取个名字吗？为什么这样取呢？ [生]反比例函数。因为两个变量之间是反比例关系，且为函数。 [师]同学们类比之前所学的一次函数与正比例函数统化、有序化，最终促的概念，能说出反比例函数的概念和一般形式吗？ 进实现垂直数学化。 35

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类师生讨论交流之后，得出反比例函数的概念： k学生通过一系列的数学 一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表探究活动，形成了反比示成y=x (k为常数，k≠0)的形式，那么就称y例函数的概念，体现了是x的反比例函数，其中k叫比例系数。 再创造的思想，并激发了学生的探究热情。 [师]那么自变量x和因变量y的取值有吗？理 由是？ 对自变量、因变量的取值范围进一步反思，将加深对反比例函数概念的数学化，完善数学概念。 让学生联系实际生活举例，体现了将反比例函数概念应用到实际生比 [生1]自变量x≠0。因为x是分母，当x=0时，函数没有意义。 归[生2]因变量y≠0。因为k≠0，所以y≠0。 纳 ， [师]很好，大家对反比例函数的概念已经有了准确再地理解。生活中存在大量的反比例函数，同学们能创举出几个例子吗？ 造[生1]从家里到学校的路程是确定的，速度v是时新间t的反比例函数。 是做作业效率的反比例函数。 知 [生2]当家庭作业的总量一定时，完成需要的时间活，培养学生的应用意识。 [师]非常好!同学们已经可以将生活中的现象与我此处为后面学习反比例们学的反比例函数联系起来了，后面的学习中我们函数图象、性质进行铺将会进一步学习反比例的图象与性质，用它们来解决生活中的实际问题。 垫，有利于学生建立反比例函数各部分内容的联系。 例题讲解 同学们对反比例函数的概念有了一定的理解，具体例1是判断反比例函数，掌握得怎么样呢？请看例题。 考察学生对反比例函数例1 下列函数哪些是反比例函数呢？如果是，请说概念的理解和掌握程出反比例函数表达式中k的值；如果不是，请说明度。例题的设置包含了理由。 ①y=−x ② y=2 ③y=⑤ xy=5 ⑥ y=7x⑧ y=;2𝑎𝑥;19x0.3x反比例函数的比例系数1 ④y=7−3x k取负整数、小数、正整数等的例子。并且包含了三种表达式。有利于 ⑦ y=𝑥:2 (𝑎为常数，𝑎≠0) 36

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例题讲解，解：①y=−x可化简为y=定义，其中k=-9； ③y=0.3x9;9x，符合反比例函数的学生总结归纳反比例函数的表达式，有利于学生对反比例函数的进一符合反比例函数的定义，其中k=0.3； 5⑤xy=5可化简为y=x，符合反比例函数的定义，步再创造，加深数学化。 其中k=5； 7 ⑥ y=7x;1可化简为y=x，符合反比例函数的定例题中还包含了一次函义，其中k=7。 ⑧y=;2𝑎𝑥数、正比例函数，培养(𝑎为常数，𝑎≠0), 符合反比例函数的学生对类似概念的辨别定义，其中k=-2a。所以①③⑤⑥⑧是反比例函数。 能力。 ②为正比例函数，④为一次函数, ⑦不符合反比例例题选取从具体数字到函数的概念，所以不是反比例函数。 含参数的代数式，拓宽学生思维，加深反思，[师]从中同学们发现了反比例函数的表达形式多巩固数学化的知识。 样，同学们分组讨论，然后请告诉老师大致有哪些深 表达式？ 化 老师对同学们的讨论结果总结归类出三种表达式，新 k;1y=x, y=kx ，xy=k。(其中k为常数，k≠0) 知 例2是对反比例函数的𝑎2;𝑎;13例2若y=(2𝑎+6)𝑥是反比例函数，则求𝑎进一步抽象，结合了一的值。 元一次、一元二次方程2解：y=(2𝑎+6)𝑥𝑎;𝑎;13是反比例函数，所以满足的求解，提升学生代数函数表达式y=kx;1(k为常数，k≠0)， 综合能力。 2𝑎+6≠0所以满足{2，解得𝑎=4 学生练习过程中，教师𝑎−𝑎−13=−1的指导与肯定，能有效（注意：此处教师查看学生个别练习，对解题步骤激发学生的探索热情。 给予启发，肯定正确步骤，调动学生探索的积极性） 分层练(1)钝角三角形的一边长为a，此边上的高为b，面练习题采取分层设置的积为8cm2,则b是a的反比例函数吗？原因是？如果方式，阶梯式提高学生是，那么反比例函数表达式里的k值是多少？ 1的应用能力。多方位巩习 分析：由于三角形的面积可表示为8=2ab,化简得固已获得的反比例函数16b=，符合反比例函数的定义，所以b是a的反概念。(1)题是几何与函 a

比例函数，其中k=16。 37

数的结合，拓宽学生代 重庆师范大学硕士学位论文 4基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计

分层练习， 理由 ①y=x ②y=;9 ③ xy=−7 ④ y=1;1x ⑤y36x1 (2)下列关系式中，y是x的反比例函数吗？并说明数思维，建立不同领域数学知识的联系，形成自己的知识网络，利于进一步数学化，也体现=;27x ⑥ y=−𝑥;3 5分析：①③④⑤中y是x的反比例函数，其中①③了应用思想。 11④符合反比例的三种表达式，k值分别为6、−7、。 3⑤将 y=化简得y=−7∙𝑥，符合反比例函数的定(2)题是针对比例系统k7x2义，其中k=−7。 为具体数字的题型，且②将y=;9化简得y=−9∙x,符合正比例函数的定自变量和因变量分别为义，y是x的正比例函数。 x和y。考察学生对反比⑥ y=−𝑥;3不符合反比例函数的概念，所以不是反例函数概念的基本掌握比例函数。 情况。 5x1;221(3)下列关系式中，哪些具有反比例函数关系？并说(3)题中对自变量和因明理由。 巩变量的字母进行变换，180①v=t ②xy=3e(e为常数，e≠0） 固对比例系数k值设置为3b1;1③ d=−2a ④m=−6𝑡∙n（t为常数） 新字母或者字母参数，并分析：① v是t的反比例函数； 知 出现三种表达形式。有② y可看作x的反比例函数； 利于加深对数学化后的③ 因为有三个变量，所以不是函数； 反比例函数概念和表达④ 因为常数t的值可能为0，所以不是反比 式的认知。 例函数。 (4)若y=(2+𝑎)𝑥𝑎值。 分析：因为y=(2+𝑎)𝑥𝑎2:5𝑎:52:5𝑎:5是反比例函数，则求𝑎的(4)题是对例2的变式练习，考察学生对反比例是反比例函数，故函数的表达式的掌握情满足反比例函数表达式y=kx;1(k为常数，k≠0)，况。 2+𝑎≠0所以满足{2，解得𝑎=−3 𝑎+5𝑎+5=−1 38

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回顾 反思，归纳小结 布置作[师]今天我们学习了什么数学内容呢？ 数学思维上有什么收获呢？ (1)知识点 反比例函数的概念及自变量的取值范围； 判断一个函数是否为反比例函数； 反比例函数的三种表达式。 (2)数学思维 类比、归纳的推理思想 1基础巩固 教材P145 习题5.1 第1、3、4题 补充练习： 在学生反思的基础上，对反比例函数概念和数学思维总结，全面提升学生的代数智能。 对反比例函数概念熟知的现实基础上，为反比例函数图象、性质等进一步数学化奠定基础。 针对学生不同的函数现实和不同的需求，以及(1)某旅游景点准备接待游客300万人次，那么日均在对反比例函数知识全接待游客数量y(人/天)是接待天数x（天）的反比面分析的基础上，设置例函数吗？原因是？如果是，那么反比例函数表达了基础题和能力提升式里的k值是多少？ (提示：注意单位的一致性) 题。让不同的学生在反(2)一个平行四边形的一边长为d cm,此边上的高为比例函数这一内容上都h cm,面积为38cm2，那么变量h是变量d的反比例获得相应的提升。 函数吗?为什么？ (3)结合生活实际，举出三个反比例函数的实例。 (4)下列关系式中，y是x的反比例函数吗？并说明 理由 37;11x8 能力提升题 2x业 ① xy=8 ② y=3x ③ y= 2能力提升 明理由。 ① m=4n ② z=−7𝑞∙x③v=− 39

0.5tta;1④ y=−5x;1 ⑤y=−2 ⑥ y=𝑥;1 (1)下列关系式中，哪些具有反比例函数关系？并说(1)主要从自变量、因变量的不同表示，及比例（𝑞为常数） 系数k的不同取值进行考察。 ④ y=2x(t为常数，t≠0） 重庆师范大学硕士学位论文 4基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计

布置作业 (2)若y=(a+7)x2b;5是反比例函数，则a、b的取(2)和(3)考察综合应用值是（ ） A a=−7,b=2 B a≠−7,b=2 C a≠−7,b=3 D a≠−7,b=4 (3)若y=(𝑎+4)𝑥𝑎2;17代数知识的能力，培养学生的代数综合思维。 (4)通过填表练习，让学生再创造反比例函数解析式的解法，拓宽思维，加深数学化。 是反比例函数，求𝑎的值。 (4)若m是n的反比例函数，据下表写出这个反比例函数的表达式，并填表 m n 3 -1 -9 -6 18 -2 2 4.4教学案例实施

本文选取“反比例函数”这一教学内容，在重庆市实验外国语学校选取数学水平相近的两个班级开展教学实验，通过对教师访谈、对学生问卷调查的形式，调查在弗赖登塔尔教育思想指导下设计的“反比例函数”这一教学设计的实施效果。

4.4.1调查对象

重庆市实验外国语学校九年级的数学教师和学生。 ①教师：重庆市实验外国语学校九年级的8位数学教师。

②学生：在该校九年级数学教研组对班级数学水平准确把握的基础上，教研组从中挑选出学生数学水平相近的两个初三班级，选取这两个班级的102名学生调查。

4.4.2调查过程

①对教师访谈

围绕“弗赖登塔尔教育思想指导下进行初中代数教学设计”这一主题，拟定教师访谈提纲（见附录A）。访谈之前向数学教师详细阐述了弗赖登塔尔教育思想的现实、数学化、再创造及反思的思想。具体访谈教师在初中代数教学中，对运用现实、数学化、再创造、反思的看法及实施情况。将“反比例函数”这一教学设计呈现给被访谈的8位教师，了解其对这份教学设计的看法和建议。试图进一步完善在弗赖登塔尔教育思想指导下的初中代数教学设计。

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②教学实验

以“反比例函数”这一教学内容为例，针对数学水平相近的九年级甲班和乙班，甲班采用常规教学方法，乙班采用弗赖登塔尔教育思想指导的教学方法。乙班的教学中，教师设置“班级购买奖品”和“修建长方形花圃”的现实情境，在学生对变量、函数等知识熟悉的现实基础上，引导学生再创造；并通过类比、归纳的方法对反比例函数的概念及表达式数学化；抽象出反比例函数概念后对自变量取值范围进行反思，对反比例函数的例题应用后反思，小结反思等。进行围绕现实、数学化、再创造、反思的综合教学实验。

③对学生问卷

为了更好地了解弗赖登塔尔教育思想指导下的“反比例函数”这一教学设计的课堂实施效果，学生问卷选取了四个维度进行调查（调查问卷见附录B）。第一个维度是分布在第1题，主要调查学生的基本信息；第二个维度分布在第2-5题，主要调查学生的课堂学习情况；第三个维度分布在第6-9题，主要调查课堂教学效果；第四个维度分布在第10-17题，主要调查使用弗赖登塔尔教育思想教学对学生的影响。

填写问卷之前，先向同学们介绍了本次问卷调查的目的，并阐述了弗赖登塔尔教育思想的现实、数学化、再创造及反思的思想，以便解除学生的填写顾虑和疑惑。对初三年级的甲班（共49名学生）和乙班（共53名学生）发放问卷102份，回收问卷102份，有效问卷97份(其中甲班46份，乙班51份)，有效回收率95.1%。

4.4.3调查结果

①访谈教师的结果

访谈者：初中代数教学中，让学生从现实中感受代数，并将代数运用于现实，您有什么看法？

教师：初中代数教学中，从现实中感受数学有利于激发学生的学习兴趣和探索欲，使得知识点不再那么刻板，更有助于学生理解抽象的代数知识。将代数运用于现实中，有助于学生联系现实实际，更好地培养其应用代数知识的能力。

访谈者：您尝试过在初中代数教学中让学生从现实中感受代数，并将代数运用于现实吗？

教师：尝试过，一般比较多的是在代数概念课的引入环节会联系现实，让学生认识到生活中存在着代数知识。但是有些现实情境并非贴近学生生活实际，有时候更侧重于对知识的应用实例，为了引入而引入，显得比较生硬。代数应用于现实相对较少，一般是练习题式的应用居多。

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访谈者：初中代数教学中，让学生经历数学化转化的过程，您有什么看法？ 教师：让学生对初中代数知识经历数学化的转化过程，使得学生加深对于知识形成的理解。代数知识数学化的过程，更有利于锻炼学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

访谈者：您尝试过在初中代数教学中让学生经历数学化转化的过程吗？ 教师：试过，一般主要对于逻辑性比较强的代数知识，特别是定理、性质的讲解过程中，会引导学生进行严密的逻辑推理，进而形成代数知识。

访谈者：初中代数教学中，让学生经历再创造数学的过程，您有什么看法？ 教师：再创造代数知识强调学生自己去发现代数知识，可以很好地培养学生的探索热情，激发创造激情。创造的过程中，学生注重动手操作，有利于增强学生对代数知识实践性的理解。

访谈者：您尝试过在初中代数教学中让学生经历再创造数学的过程吗？ 教师：有，一般是通过设置各种问题，让学生去依次探索进而发现数学知识，但是考虑到课时紧张，整体上使用较少。

访谈者：初中代数教学中，让学生反思性学习，您有什么看法？

教师：反思教学是对已经形成的代数知识、代数思维等的思考，有助于学生深化已经获得的代数知识，完善已经形成的数学模型。此外，反思强调充分发挥学生的想象力，利于培养学生的创新能力。

访谈者：您尝试过在初中代数教学中让学生反思性学习吗？

教师：反思性教学使用相对较少，一般在小结时会用到。教学过程中的使用比较随意，专业化的反思教学较少。

访谈者：针对“反比例函数”这份教学设计，您有什么看法？

教师：反比例函数的概念比较抽象，学生在认知上存在障碍。这份教学设计并不是像常规教学设计一样，适当引入后便生硬引出反比例函数的命名及具体的概念。而是让学生自己去经历逻辑推理的过程，逐步形成反比例函数的概念，这有助于锻炼学生的数学综合素养，整体上设计较好。

访谈者：请您分析“反比例函数”这份教学设计在教学中的可行性？ 教师：这份教学设计建立在学生对变量、函数等概念理解的基础上，让学生通过类比、归纳等方法去发现反比例函数的概念，在实际练习的过程中去总结归纳反比例函数的表达式。这些教学过程不仅符合初中代数的教学要求，也符合初中生的认识规律，能有效地激发学生的探索激情，值得去实践。

访谈者：对于“反比例函数”这份教学设计，您有什么建议？

教师：应该精选习题，使得习题代表性强、重难点突出。对于题量较大时，可以采用分组练习，每个组选取一定数目习题，并且可设置小组抢答环节提高作答效

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率和课堂互动性。练习题（4）的解答可让学生在黑板上求解，并讲解自己的思考过程，借此衡量学生的数学化水平。教学过程中可以穿插适合反比例函数的有趣的故事或者幽默性语言，使得课堂生动活泼。

上述观点是对被访谈教师的回答进行筛选、整理、分析得到的有效信息。教师认为感受并运用现实、经历数学化和再创造的过程、让学生反思性学习，这些有利于培养学生的代数应用意识、发展抽象思维能力和逻辑推理能力、培养探究创新精神、深化对代数知识的科学理解。但是现在教学中存在部分现实情境引入与学生实际不相符、引入生硬、代数应用较少等问题；由于课时紧张等原因使得再创造和反思的应用较少。因此有必要将现实、数学化、再创造、反思这四个思想应用到初中代数教学中。“反比例函数”这一教学设计整体脉络清晰，再创造概念环节设计较好，符合教学规律。但是应该在习题选取、课堂语言、课堂互动等方面进一步完善。此外访谈中发现部分教师对数学化认识较狭隘，认为仅仅局限于新课引入之后对具体情境的数学化；部分教师将再创造与发现教学法相混淆，认为二者是等同的，这些与本研究的教育思想存在不相符。

②问卷调查学生的结果

1)第2-5题主要调查学生的课堂学习情况

表4.7 甲班

2你对教学内容有很高的兴趣？ 3你主动参与知识创造的机会很多？ 4你对知识抽象化形成过程很理解？ 5教师引导学生反思性学习的时候很多？

完全符合

8 4 3 6

比较符合 16 12 10 8

一般 不符合 完全不符合 16 23 28 25

4 5 4 5

2 2 1 2

表4.8 乙班

2你对教学内容有很高的兴趣？ 3你主动参与知识创造的机会很多？ 4你对知识抽象化形成过程很理解？ 5教师引导学生反思性学习的时候很多？

完全符合 16 15 14 12

比较符合 28 24 23 21

一般 不符合 完全不符合 6 10 11 14

1 2 2 3

0 0 1 1

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结果表明，在“对教学内容的有很高的兴趣”这一问题的回答中，完全符合与比较符合的在甲班共占约52%，在乙班共占约86%。可见甲、乙两班学生都对教学内容有比较高的兴趣，教学情境的创设都调动了学生的积极性，但是采用现实教学思想的乙班明显高于甲班，说明现实教育思想对激发学生学习兴趣有明显的作用。在“主动参与知识创造的机会很多”这一问题中，完全符合与比较符合的在甲班共占约35%，在乙班共占约76%。可见乙班教学体现了明显的再创造思想，学生主动参与知识创造比较多。在“对知识的抽象化形成过程很理解” 这一问题中，完全符合与比较符合的在甲班共占约28%，在乙班共占约73%。可见乙班教学体现了明显的数学化教育思想，这一思想有利于学生发展抽象思维，更好地理解代数知识。在“教师引导学生反思性学习的时候很多” 这一问题中，完全符合与比较符合的在甲班共占约30%，在乙班共占约65%，可见乙班教学体现了明显的反思教育思想。

2)第6-9题主要调查课堂教学效果

表4.9 甲班

6课后你认为本节教学内容简单易懂?

7你对本节内容的教学思路有清晰的认识？

8你对本节教学内容掌握得很好？ 9课上练习题答对的很多？

3 7

表4.10 乙班

6课后你认为本节教学内容简单易懂?

7你对本节内容的教学思路有清晰的认识？

8你对本节教学内容掌握得很好？ 9课上练习题答对的很多？

11 20

29 19

8 9

2 2

1 1

12

28

9

1

1

完全符合 10

比较符合 一般 24

11

不符合 4

完全不符合

2

15 15

23 19

3 3

2 2

4

10

21

8

3

完全符合

5

比较符合 一般 15

18

不符合 5

完全不符合

3

结果表明，在“课后你认为本节教学内容简单易懂”这一问题中，完全符合与比较符合的在甲班共占约43%，在乙班共占约67%。可见弗赖登塔尔教育思想有助于让学生更好地理解抽象的代数知识，降低学习难度。在“你对本节内容的教学思路

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有清晰的认识”这一问题中，完全符合与比较符合的在甲班共占约30%，在乙班共占约78%。可见弗赖登塔尔教育思想有助于学生理清教学思路，梳理代数知识网络，进而建构自己的代数知识体系。在“你对本节教学内容掌握得很好”这一问题中，完全符合与比较符合的在甲班共占约39%，在乙班共占约78%。可见弗赖登塔尔教育思想的指导，对学生掌握知识发挥了很大的作用，利于学生深刻理解代数知识。在“课上练习题答对的很多”这一问题中，完全符合与比较符合的在甲班共占约48%，在乙班共占约76%。可见乙班的正确率远远高于甲班，弗赖登塔尔教育思想的指导使得学生对代数知识的准确性把握较好。

3) 第10-17题主要调查使用弗赖登塔尔教育思想教学对学生的影响

表4.11 甲班

帮助

有一定

一般

帮助不大 10

2

完全没帮助 1

很大 帮助

10你认为从现实中感受数学，对你的数学学习有帮助吗？

11你认为将实际问题转化为数学问题的数学化转化教学，对你的数学学习有帮助吗？ 12你认为教师引导你去创造数学的过程，对你理解数学有帮助吗？

13你认为反思性学习的方法对你的数学学习有帮助吗？

非常

比较希

一般

9

13

13

8

13

12

7

16

11

3

30

8 4

10 3

8 3

不希望 完全不

希望

希望 望

14课堂上，你希望老师让学生从现实中感受数学并应用数学吗？

15课堂上，你希望老师让学生经历将实际问题转化为数学问题过程吗？

16课堂上，你希望老师引导学生去创造数学吗？

17课堂上，你希望老师让学生进行反思性学习吗？

45

8 19 13 4 2

7 18 16 4 1

11 18 13 3 1

10 16 14 3 3

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表4.12 乙班

帮助

有一定

一般

帮助不大 3

0

完全没帮助 0

很大 帮助

10你认为从现实中感受数学，对你的数学学习有帮助吗？

11你认为将实际问题转化为数学问题的数学化转化教学，对你的数学学习有帮助吗？ 12你认为教师引导你去创造数学的过程，对你理解数学有帮助吗？

13你认为反思性学习的方法对你的数学学习有帮助吗？

非常

比较希

一般

16

23

10

24

18

7

25

16

9

35

13

1 0

1 1

2 0

不希望 完全不

希望

希望 望

14课堂上，你希望老师让学生从现实中感受数学并应用数学吗？

15课堂上，你希望老师让学生经历将实际问题转化为数学问题过程吗？

16课堂上，你希望老师引导学生去创造数学吗？

17课堂上，你希望老师让学生进行反思性学习吗？

17

21

9

3

19

23

8

1

18

20

9

4

22

18

6

5

0

0

0

1

结果表明，在“从现实中感受数学，对数学学习有帮助吗？”这一问题中，帮助很大与有一定帮助的在甲班共占约72%，在乙班共占约94%。可见两个班级大部分学生都认为现实数学教育思想对学生有帮助；乙班想法高度一致，可知现实教育成果显著。在“将实际问题转化为数学问题的数学化转化教学，对数学学习有帮助吗？”这一问题中，帮助很大与有一定帮助的在甲班共占50%，在乙班共占约80%。显然甲乙两班多数同学都觉得数学化有帮助，尤其是乙班，可见数学化思想对乙班教学起到了很好的促进作用。在“教师引导学生去创造数学的过程，对理解数学有帮助吗？”这一问题中，帮助很大与有一定帮助的在甲班共占约46%，在乙班共占约82%。可见再创造思想有利于乙班学生对数学的理解，有利于深化数学认识。在“反思性学习方法对数学学习有帮助吗？”这一问题中，帮助很大与有一定帮助的在甲班共占约48%，在乙班共占约76%。可知反思思想让乙班学生产生了深刻的印象，并且非常认

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同其在数学教学中的价值。

乙班在现实、数学化、再创造、反思这四个思想方面的价值认同较高，而甲班认同偏低，这与甲班教学过程中使用常规教学设计有关系。但是甲班在这四个思想方面的认同几乎占一半或一半以上，这表明大部分学生都认为这四种思想对数学学习有帮助。

在“希望老师让学生从现实中感受数学并应用数学、经历将实际问题转化为数学问题过程、去创造数学、进行反思性学习”这四个方面，非常希望与比较希望的总共比例甲班分别为59%、54%、63%、57%，乙班分别为78%、75%、82%、75%。可见乙班的希望比例高于甲班，但甲班比例也不低，全部超过了50%，因此通过调查可知甲、乙两班的学生都希望教学中使用弗赖登塔尔教育思想。

4.5案例设计反思

“二元一次方程组”的教学设计创设了乒乓球比赛、购置奖品的现实情境，这些实例来自于学生的生活实际，符合学生的现实认知，有利于激发学生的学习兴趣。针对乒乓球比赛这一现实情境，学生依据自身的数学现实进行再创造，提出了算术法和一元一次方程法。通过引导学生反思，使学生认识到一元一次方程解答的优越性，并为二元一次方程组的数学化做铺垫。在此基础上，情境二中主要用一元一次方程求解，学生可以依据不同的数学现实，采取不同的设法和解法，教师对其鼓励引导，有利于进一步挖掘学生的再创造能力。对于二元一次方程的定义，主要采用类比、归纳的逻辑推理方法，结合一元一次方程的适用性、解题步骤、定义，逐层引导学生构建二元一次方程并对其定义，实现水平数学化。其中通过反思，学生认识到在解含两个未知数的题型中，二元一次方程比一元一次方程更具优势，刺激学生的再创造热情。二元一次方程组的定义也是由现实情境出发，分析两方程的关系进而数学化其定义。二元一次方程（组）的解的数学化，也是建立在对乒乓球比赛这一实际问题的解决过程中，类比一元一次方程的解，让学生动手填表、列二元一次方程的解等再创造方式，采用由易到难的逻辑推理过程，逐步对二元一次方程的解、二元一次方程组的解的含义数学化。引导学生反思二元一次方程的解与一元一次方程的解、二元一次方程组的解的异同，有利于学生构建自己的知识体系，加深数学化水平。此外小组合作、同桌合作的方式有利于学生优势互补，丰富再创造方式。例题讲解由浅入深，符合学生逻辑思维发展规律。作业采取分层布置的形式，有利于拥有不同现实的学生都得到不同程度的发展。整个教学设计逻辑严密、环环相扣、思维清晰、结构安排合理，有利于较好地完成教学目标的要求。

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重庆师范大学硕士学位论文 4基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计

“反比例函数”的教学设计通过学生熟悉的购买问题和长方形的面积问题两个现实情境引入，通过学生动手填表进行再创造，由具体数值问题到代数式的列举，运用从具体到抽象的数学思维。除了现实情境外，为了让学生对反比例函数的比例系数可以取负数有准确的把握，设置了变量为x和y的代数问题，以这三个问题为素材，讨论变量及变量之间的关系。结合学生对函数、一次函数及正比例函数的现实代数的认知，引导学生运用类比归纳的方法，逐层引导学生进行再创造与数学化，进而得到了函数的概念。并利用反思思维，让学生对反比例函数的自变量与因变量的取值范围进行探究，实现了对数学化后的反比例函数概念的深化理解。学得概念之后，让学生将其联系生活实际，体会到其应用性。对反比例函数的表达式的教学，是建立在熟知反比例函数的概念基础上通过例题求解的过程，学生自主探究与小组合作相结合的方式下，再创造出其表达式。在例题和练习题的选取上，采取由具体数字到抽象参数，并与一元一次方程、一元二次方程、几何图形相结合，建立代数知识之间及代数与几何之间的数学关系，深化学生的数学化水平，认识到反比例函数与其他知识之间的现实联系。在课堂练习及作业布置上，考虑到学生不同的现实水平和需求，采用分层布置的方式。整个教学过程中现实、数学化、再创造、反思的思想融会贯通。相对于传统的教学方式，学生对于反比例函数的概念和表达式有了更深刻的理解；学生更能感受到数学化和再创造过程中的乐趣，增强数学学习的兴趣和动机；培养了学生类比归纳的逻辑思维、应用意识和探究能力。课堂中师生互动较好，学生课堂纪律良好，课堂表现较好。

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重庆师范大学硕士学位论文 5研究总结

5研究总结

本研究主要分为三个部分，第一部分是对弗赖登塔尔教育思想和初中代数的教学进行综述；第二部分是基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计的理论探析，主要对弗赖登塔尔教育思想及其与初中代数教学的关系、基于弗赖登塔尔教育思想进行初中代数教学的教育价值进行分析；第三部分基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计，主要分析了初中代数教学内容，提出了教学设计策略，设计了教学案例，并在此基础上利用访谈法和问卷调查法对案例实施进行研究，最后对案例设计进行反思。

第一部分，通过文献分析法，将弗赖登塔尔教育思想从理论性研究、实践性研究两方面进行综述，从不同的研究角度对初中代数的教学进行综述。

第二部分，弗赖登塔尔教育思想及与初中代数教学的关系，主要从现实数学教育思想及与初中代数教学的关系，数学化教育思想及与初中代数教学的关系，再创造教育思想及与初中代数教学的关系，现实、数学化、再创造、反思的整合及与初中代数教学的关系四个方面进行分析。基于弗赖登塔尔教育思想进行初中代数教学的教育价值包括：培养学生的应用意识和解决问题的能力，发展学生的抽象思维和逻辑推理的能力，开拓学生的创新意识和自我探究的能力，提高学生的猜想意识和科学判断的能力。

第三部分，基于弗赖登塔尔教育思想的初中代数教学设计分为五个研究角度。首先，初中代数教学内容分析包括初中代数教学内容、类型分布。其次，初中代数教学设计策略主要有：创设适宜的现实情境，关注代数应用性和个体现实差异性；综合运用合情推理与演绎推理实现数学化；强调学生的主体性，注重教师指导下学生的实践探究；提高代数教学过程中的反思能力。再次，案例上选取“二元一次方程组”、“反比例函数”进行教学设计。在此基础上，以“反比例函数”这一教学设计为典型代表，对教师进行访谈，对学生开展问卷调查，借此了解在弗赖登塔尔教育思想指导下设计的“反比例函数”这一教学设计的实施效果。调查均发现弗赖登塔尔教育思想能有效提高学习效率，学生更能感受到数学化和再创造过程中的乐趣，增强数学学习的兴趣和动机，培养学生抽象思维和类比归纳的逻辑推理能力，从而验证了弗赖登塔尔教育思想的有效性。最后对教学案例设计进行反思。

由于自己的研究水平有限，对于弗赖登塔尔教育思想指导的初中代数教学设计研究可能不是很全面，教学案例设计也存在不完善的地方，提出的教学设计策略及教学案例设计只能起到抛砖引玉的作用。

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重庆师范大学硕士学位论文 参考文献

参考文献

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重庆师范大学硕士学位论文 附录A 教师访谈提纲

附录A 教师访谈提纲

1、初中代数教学中，让学生从现实中感受代数并将代数运用于现实，您有什么看法？ 2、您尝试过在初中代数教学中让学生从现实中感受代数，并将代数运用于现实吗？ 3、初中代数教学中，让学生经历数学化转化的过程，您有什么看法？ 4、您尝试过在初中代数教学中让学生经历数学化转化的过程吗？ 5、初中代数教学中，让学生经历再创造数学的过程，您有什么看法？ 6、您尝试过在初中代数教学中让学生经历再创造数学的过程吗？ 7、初中代数教学中，让学生反思性学习，您有什么看法？ 8、您尝试过在初中代数教学中让学生反思性学习吗？ 9、针对“反比例函数”这份教学设计，您有什么看法？ 10、请您分析“反比例函数”这份教学设计在教学中的可行性？ 11、对于“反比例函数”这份教学设计，您有什么建议？

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重庆师范大学硕士学位论文 附录B 学生调查问卷

附录B 学生调查问卷

各位同学们：

你们好！非常感谢你参与本次问卷调查，本问卷主要想了解同学们对于“反比例函数”这节教学内容的学习情况，为改善初中代数教学提供帮助。本次作答不填写姓名，答案不分对错，与学习成绩无关。衷心感谢你的支持！

1、你的性别为？

男 女

2、你对教学内容有很高的兴趣？

A完全符合 B比较符合 C一般 D不符合 E完全不符合 3、你主动去参与知识创造的机会很多？

A完全符合 B比较符合 C一般 D不符合 E完全不符合 4、你对知识的抽象化形成过程很理解？

A完全符合 B比较符合 C一般 D不符合 E完全不符合 5、教师引导学生反思性学习的时候很多？

A完全符合 B比较符合 C一般 D不符合 E完全不符合 6、课后你认为本节教学内容简单易懂?

A完全符合 B比较符合 C一般 D不符合 E完全不符合 7、你对本节内容的教学思路有清晰的认识？

A完全符合 B比较符合 C一般 D不符合 E完全不符合 8、你对本节教学内容掌握得很好？

A完全符合 B比较符合 C一般 D不符合 E完全不符合 9、课上练习题答对的很多？

A完全符合 B比较符合 C一般 D不符合 E完全不符合 10、你认为从现实中感受数学，对你的数学学习有帮助吗？

A帮助很大 B有一定帮助 C一般 D帮助不大 E完全没帮助 11、你认为将实际问题转化为数学问题的数学化转化教学，对你的数学学习有帮助

吗？

A帮助很大 B有一定帮助 C一般 D帮助不大 E完全没帮助 12、你认为教师引导你去创造数学的过程，对你理解数学有帮助吗？

A帮助很大 B有一定帮助 C一般 D帮助不大 E完全没帮助

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重庆师范大学硕士学位论文 附录B 学生调查问卷

13、你认为反思性学习的方法对你的数学学习有帮助吗？

A帮助很大 B有一定帮助 C一般 D帮助不大 E完全没帮助 14、课堂上，你希望老师让学生从现实中感受数学并应用数学吗？

A非常希望 B比较希望 C一般 D不希望 E完全不希望 15、课堂上，你希望老师让学生经历将实际问题转化为数学问题过程吗？

A非常希望 B比较希望 C一般 D不希望 E完全不希望 16、课堂上，你希望老师引导学生去创造数学吗？

A非常希望 B比较希望 C一般 D不希望 E17、课堂上，你希望老师让学生进行反思性学习吗？

A非常希望 B比较希望 C一般 D不希望 E

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完全不希望 完全不希望 重庆师范大学硕士学位论文 致谢

致 谢

光阴似箭，在重庆师范大学的研究生学业已接近尾声，回首这两年的学习和生活，我得到了许多人的关怀与帮助。值此毕业论文完成之际，我谨向所有关心、支持和帮助过我的人们表示最诚挚的感谢与最美好的祝愿！

首先，衷心感谢我的导师沈嘉老师，沈老师为人谦和、平易近人，在论文的选题、框架的构建和论文的修改上都给予了我悉心的指导。沈老师严谨求实、精益求精的治学态度深深地感染了我，是我今后学习的楷模。

其次，感谢童莉教授在论文写作方面给予我莫大的帮助，童老师秀外慧中、学识渊博，在论文框架和内容的修改方面给予了我耐心地指导，遇到困难时给予了我极大的关怀与鼓励，童老师诲人不倦的教学态度是我学习的榜样。同时还要感谢数学科学学院的李明振教授、仲秀英教授、沈林老师、王雪颖老师等各位老师对我学习和生活上的帮助。

再次，深深感谢在背后默默关爱我的父母、妹妹、姥姥、姥爷等亲人，感谢父母对我的养育之恩与辛苦付出，感谢妹妹对我支持与帮助，感谢姥姥、姥爷对我从小到大的疼爱与呵护。正是由于他们的无私奉献与关爱，才使我顺利走完漫长的求学之路，完成研究生学业,这份亲情也是我继续前行的动力!

另外，感谢论文写作中帮助过我的朋友们和同学们，感谢他们对我一路的鼓励与支持，感谢他们的热情帮助。

最后，再次向所有关心、帮助过我的人们表示最诚挚的感谢与最美好的祝愿!祝福他们永远幸福、安康!祝福培养我的母校蒸蒸日上，永铸辉煌！

韩凤

2018年5月31日

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独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研宄成果除了文中特别加以标注和致谢的地方外论文中不包含他人己经发表或撰写过的研究成果学也不包含为获得重庆＿范大或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明学位论文作者签名签字日期％＾年６月又日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解位论文的规定磁盘重庆师范大学有关保留使用学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和允许论文被查阅和借阅本人授权重庆师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索印或扫描等复制手段保存可以采用影印缩汇编学位论文学位论文作者签名淋叫签字曰期％／ｇ年６月义日