导数在研究函数中应用(含简答)

1.3.1 单调性

一、学习要求

了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调性

二、学习重点与难点 已知单调性求参数的范围 三、学习过程

1.导数与函数的单调性

问题1 函数f(x)x24x3的单调增区间为

[2,) ,单调减区间为(,2) ；

f(x)2x4，由f(x)0得x(2,) ,

由f(x)0得x(,2)

问题2 导数的符号与函数的单调性有怎样的关系

在某个区间上，若导数大于0，则该区间为增区间；若导数小于0，则该区间为减区间

问题3 如果f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f(x)0吗？

不一定，也可能在一些孤立的点处导数等于0，如函数f(x)x3在(,)上为增函数，而

f(0)0

问题4 用导数判定函数的单调性或求函数的单调区间的步骤是什么？

（1）确定定义域，求导函数 （2）令导数大于0，解得增区间

令导数小于0，解得减区间

（3）得结论，注意单调区间之间不可用并

问题5 已知函数在某个区间上是单调的，那么它的导数符号怎样？

如果已知某函数在某区间上为增函数，则其导数肯定是大于或等于0；如果是减函数，则其导数肯定小于或等于0 2.例题改编

例2 求函数f(x)2x36x27的单调减区间

(,0),(2,)

例3 求函数f(x)sinx(x(0,2))的单调增区间

(0,2),(32,2)

3.拓展探究

(1)求函数f(x)xex单调减区间

(0,)

(2)求函数y2xlnx的单调增区间

(12,) (3)求函数f(x)2x1x的单调区间 增区间(1,) 减区间(0,1)

(4)求证：当x1时，有2x31x (略)

(5)判断函数f(x)xax的单调性 （略）

(6)若f(x)ax3x恰有三个单调区间，试确定

a的取值范围，并求其单调区间 a0,略

(7)函数yx2ax1在(0,)上单调递增，则

a的取值范围是_____________

(,0]

(8)若函数f(x)ax3x2x5在R上单调递增，求实数a的取值范围.

a13

四、巩固提升

1.求函数f(x)xlnx的递增区间

(1e,) 2.若函数yx22bx5在区间(2,3)上为减函数，求b的取值范围

(,3]

3.设a为实数，函数f(x)x3ax2(a21)x在(,0)和(1,)上都是增函数，求a的取值范围

(,62][1,) 4.函数y12x2ax4a54lnx是定义域上的增函数，求a的取值范围 [54,5] 1.3 导数在研究函数中的应用导学案

1.3.2 极大值与极小值

一、学习要求

了解函数的极大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值 二、学习重点与难点

理解极值与导数符号的关系；明确求极值的方法步骤；会画多项式函数的简图；已知极值求参数 三、学习过程 1.函数极值的定义

问题1 课本上是怎样对极值实行描述的？

问题2 请分别从图形和代数的角度描述你对极值的理解？

问题3 极大值一定比极小值大吗？

问题4 闭区间端点对应的函数值是极值吗？ 问题5 如果称取得极值的自变量的值为极值点，请，请说明极值与极值点含义？ 2.导数与函数的极值

问题1 判定函数的极值本质是就是在研究函数的什么性质？而该性质与导数又有怎样的关系？ 问题2 由例1归纳出求函数极值的方法步骤是什么？

问题3 函数在某处的导数为0是能在该处能取得极值的充要条件吗？

3.例题改编

例1 求f(x)x2x4的极值 （略）

例2 求f(x)133x4x13的极值（请尝试在同一坐标系中画出该函数及其导函数的简图并思

考之间的联系） （略） 4.拓展探究

（1）函数f(x)3x26x5在(,1)上是单

调递减的，在区间(1,)上是单调递增的，当x=1时，f(x)取得极小值，其极小值为2 （2）函数f(x)2x33x2a的极大值为6，则a=6

（3）已知f(x)的图像如下图，则f(x)的单调增区间为(4,0)、(5,)，极小值点为1 y －4 1 5 －1 O x

4）求函数yx2（1x的极值

x2时有极大值4，x0时有极小值0

（5）求函数f(x)x2sinx在区间(0,2)内的极值

x23时有极大值

233 x443时有极小值

33 （6）设f(x)ax3x恰有两个不同的极值点，试确定a的取值范围，并求其单调区间. a0，略

（7）已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处的极值10，求a,b的值

a4,b11

（8）试研究函数f(x)133ax12bx2cxd (a0)的单调性、极值、简图

（略）

四、巩固提升

1.如果函数f(x)x33x2c的极小值是3，求

c的值及f(x)极大值

7,7

2. 函数f(x)x3mx2x1在R上无极值点，求的取值范围

[3,3]

3. 三次多项式函数当x1时有极大值4，当x3时有极小值0，且函数过原点，求此函数的解析式

yx36x29x

4.已知函数f(x)x33ax22bx在x1点处有极小值1，试确定a,b的值，并求出的单调区间

a13,b12

增区间(1,),(,13) 减区间(13,1).

1.3 导数在研究函数中的应用导学案

1.3.3 最大值与最小值

一、学习要求

会求在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值

二、学习重点与难点

会求函数在闭区间（开区间）上的最值；会画函数的简图；含参数函数最值的求解

三、学习过程 1.最值的定义

问题1 你对最值的理解是什么？ 问题2 最值与极值有怎样的关系？

问题3 定义域为闭区间的连续函数一定有最值吗？

问题4 最大值一定比最小值大吗？

问题5 定义域为开区间的函数一定没有最值吗？ 2.导数与函数的最值

问题1 由例1归纳出利用导数求最值的方法步骤是什么？

问题2 利用导数求极值与求最值有怎样的关系？ 问题3 不管求极值还是求最值都是利用导数研究函数的什么性质？求解过程中列表本质上是什么？

3.例题改编

例1 求f(x)x24x3在区间[1,4]上最大值和最小值 （略） 例2 求f(x)12xcosx在区间[0,2]上的最大值与最小值并尝试作出该函数的简图 （略） 4.拓展探究 （1）求函数f(x)13x34x4在[0,3]上的最大值与最小值

x0时有最大值4，x2时有最小值43

（2）求函数yx1x2,x[0,2]的值域

（略）

（3）求yx48x22在x[1,3]上的最大值 11

（4）已知函数f(x)2x36x2m（m为常数）在[2,2]上有最大值3，求此函数在[2,2]上的最小值 37

（5）将正数a分成两部分（均为正数），使其立方和为最小，求此时这两个部分的值

aa, 22（6）P点是曲线yxlnx上任意一点，求点

2P到直线yx2的距离的最小值

2

（7）已知函数f(x)上的最小值

lnx，求它在[a,2a](a0)x0a2时，f(x)minf(a)a2时，f(x)minlna aln(2a) f(2a)2a32（8）已知函数f(x)2x3(a1)x6ax，当

x[1,3]时，f(x)的最最小值为4，求a的值

a2

四、巩固提高 1.求函数f(x)2x（略）

2.已知函数f(x)xe,x[1,3]，求函数

2x1在区间(0,2]上的最值 xf(x)的最大值与最小值 f(x)maxf(1)e f(x)minf(0)0

3.已知函数f(x)x3x9xa在区间

32[2,2]上的最大值是20，求f(x)在该区间上的

最小值 7

x22x5，当x[1,2]时，4.设f(x)x23f(x)m恒成立，求实数m的取值范围 (7,)