西华大学专升本培训高等数学题库

高 等 数 学 部 分

第一章 函数、极限和连续

必须掌握的考点

1、理解极限的概念，会求数列极限及函数在一点处的左极限、右极限和极限，了解数列极限存在性定理

以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2、了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极限）。 3、熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

4、了解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较。会运

用等价无穷小量代换求极限。

5、理解函数在一点连续与间断的概念，会判断分段函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型。 6、掌握闭区间上连续函数的性质，会运用零点定理证明方程根的存在性。

函数、极限、连续 过关题（1）

1、计算下列极限

x21x212x3limlim（1）lim （2） （3）

x02x2x1x12x2x1x1x25x41031x2x1n1（4）lim （5） （6） limsin(n!)limx13x2nn21x1x1sin2x2x1cosxn（7）lim （8）lim3tann（x0为常数） （9）lim

x0x0tan3xnxsin3x3sin5xxsinxsin2x（10）lim （11）lim （12）lim

x0sin3xxx0xsinxxx32x42x2n1n1（13）lim(1) （14）lim() （15）lim()

xxnx1x2n1x2x2a)38，试求常数a的值。 （16）lim(13x)sinx （17）设lim(xxax0x2125n3n2limn(n1n)lim() （18）limn1 （19） （20）2n1nx2n5x4x22ln(13x)2x13x1) （21）lim （22）lim(xxx) （23）lim(xxx02x3tan2xn(1sin3n2)ln(12x)（24）lim （25）lim 3xnx0n21e1xx21,g(x)2、分别找出函数f(x)的间断点，并确定其类型。 sinxx(x1)ln(13x),x0bx3、设f(x)2,x0，试确定常数a,b的值使f(x)在x0处连续。

sinax,x0x1

-

ax,(0x2)4、己知函数fx1,(x2)在x2处的极限limfx存在且等于其函数值，求常数a,b。

x2xb,(2x8)5、证明方程x3x10在区间(0,1)内至少有一个实根。

6、证明方程x2x5x10至少有一负实根。

7、设f(x)在[0 , 1]上连续，且当0x1时，恒有0f(x)1，试证明：至少存在一点(0,1)，使

65352f()。

第二章导数与微分

必须掌握的考点：

1、理解导数的概念，会用定义判断函数的可导性，会求分段函数的导数。了解函数可导性与

连续性之间的关系以及导数的几何意义，会求切线方程与法线方程。 2、熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

3、掌握隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会使用对数求导法。 4、了解高阶导数的概念，会求初等函数的高阶导数。

5、理解函数的微分概念及微分的几何意义，会求函数的微分。

导数与微分过关题（2）

一、有关导数定义的题目

1xcos,x0;1、研究函数f(x) 在点x0处的可导性. xx0.0,sinx,x0;f(x)2、己知函数 求fx。 x0.x,f2xf23x3、设fx在x2处可导，且f(2)5，求lim。

x0x24、设函数f(x)在[1,1]上有界，且F(x)sinxf(x)，求F(0)。 5、设f(x)x(x1)(x2)(x10)，求f(0)和f(1)。

2

-

ex,6、设函数fxsinaxb,x0;在x0处可导，求a,b的值。 x0.x2,x17、己知函数f(x)在(,)上可导，求

axb,x的

值.

二、计算下列函数的导数

x13x23xx（1）fx,求f0和f2 （2）y5x23elog25 （3）y

x15x5sinx2ylncosxsec2x ycos（4）y (5) （6）2x (7) 设yln(x1x2) （8）ylnsecxtanx

dyx（9）yarctan （10）设yf(sinx)，其中f可导，求。

dx23x2sinx（11）设yx，求y。 （12）y(tanx)，求y。

三、求隐函数和参数方程的导数

2dy。 dxy3y2（2）设exye0，求y(0)。 （3）设方程2ye2xyx1，求y。

（1）设方程yxarctany确定了隐函数yy(x)，求

xcos2txa(tsint)d2ydy（4）设，求。 （5）设设，求2。 2dxdxya(1cost)ysint四、求下列函数的二阶导数 （1）设yln1x22，求y。 （2）设y(arcsinx)2，求y。

（3）设fxxex,求f1。 （4）设fcosxcos2x，求fx.

五求下列函数的微分

x2a2x2axarcsin，求dy. （1）设y22a（2）设y3xln2x，求dy。 （3）设xelny5，求dy。

六、求切线、法线方程 3

y -

(1) 求曲线xsint在相应于t的点处的切线方程和法线方程。

4ycos2ty(2)求曲线y1xe在点(1,0)处的切线与法线方程。

第三章 中值定理及导数的应用

必须掌握的考点：

1、了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。

会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。 2、熟练掌握用洛必达法则求未定式的极限。

3、会求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式。

4、了解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大（小）值的方法，并且会解简单的应用问题。 5、会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

中值定理及导数的应用过关题（3）

1、求下列极限

tanxxxsinxlnsin2xlim (2) (3) limx0x2ln(1x)x0x0lnsinxx311112] (5) lim(xxlnx (4)lim[) (6) limx1xx0x0ln(1x)e1x

（1）lim(7)limtan2x (8) limx(x0xx2arctanx)

f()2、验证函数f(x)ex22x在[0,2]上满足罗尔定理的条件，并求出定理中的数值。

3、设f(x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(1)0，证明：存在(0,1)，使得f()成立。(提示：对函数F(x)xf(x)利用罗尔定理)

4、设f(x)在[0,1]上可导，且f(1)f(0)0。证明：在(0,1)内至少存在一点，使f()f()。(提示：对函数F(x)ef(x)利用罗尔定理)

5、利用单调性证明下列不等式

x4

-

x21ln(1x) (2)当x0时，x11x （1）当x0时，x22x（3）证明：当x0时，ecosx2x。

6、利用拉格朗日中值定理证明不等式 (1) sinxsinyxy

ex1ex1xxxlnx。e，(2) 用拉格朗日中值定理证明：当x0时，(提示：不等式可变为即e1xe，

xxxexe0xex，从而f(x)e在区间[0,x]上用拉格朗日中值定理得证)

7、求下列函数的极值与单调区间

x32xf(x)xe的极值。 (1)yx3x9x1； (2)y （3）求2(1x)328、求下列函数的凹凸区间和拐点

32(1) f(x)2x6x18x7 (2) f(x)x323x2 9、问a,b为何值时,点(1,3)是曲线f(x)axbx的拐点？ 10、求f(x)2x6x6x在[0,3]上的最大值与最小值。

3211、证明:当0x1,p1时,21pxp1x1.

p第四章 不定积分

必须掌握的考点：

1、理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理，熟练掌握基

本的积分公式。

2、熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。 3、掌握不定积分的分部积分法。

4、会求简单有理函数及简单无理函数的不定积分。

不定积分过关题（4）

1、已知f(x)dxx2sinxC，求f(x).

1C,求f(x)dx. x3、若ex是f(x)的一个原函数，求x3f(lnx)dx.

2、已知x3f(x)dxx4、

1f(x)dxF(x)c，则f(lnx1)dx=（ ）

xx2x5、设f(e1)e1,求f(x)的表达式。

6、设函数f(x)的二阶导数

f(x)连续，则xf(x)dx（ ）

7、计算下列不定积分

2(1)(2x3x)dx (2)(xx)(x21)dx (3)secx(secxtanx)dx

xtanx1x42dx (4) 3cotxdx (5) 2 (6) dx2x(1x)cosx5

-

sec2(x)(7) 52xdx (8) xedx (9) dx

xdx1(10) cos5xsinxdx (11) x (12)dxx35lnx eexarccotx14(13)  (14) (15)dxcotxcscxdx dx2231x1x(arccosx)32x3(16) 11x11 (17) (18) dxdxx24x6x11dx x26x7x29132dx dx (20) (xx)1xdx (21) (19)x(1x)2x1dxdx (24) xsin(2x1)dx (22)  (23)2x231e(1x)(25) ln(1x2)dx (26) arccosxdx (27) x2ln(x1)dx

ln(lnx)dx xxx2dx (31) sinxdx （32）2dx (33) (x1)(x2)x4x12(28)xarcsinxdx (29) (x21)exdx (30)第五章 定积分及其应用

必须掌握的考点：

1、理解定积分的概念与几何意义，掌握定积分的基本性质。

2、了解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。

3、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。并会证明一些简

单的积分恒等式。

4、理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。 5、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积会求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转

体体积。

定积分及其应用过关题（5）

1、求下列各导数： （1）

dxdsinxt22sin1tdtedt （2）dx1dxcosx(3)求积分上限函数g(x)(4)设xx0xasin(et1)dt的导数.

lnxx2arctantdt，则(x) 。

2、求下列极限： （1）lim(arctant)2dt1x2x （2）limx01t2dte1x2x0 （3）limx0x0sin3udux4 （4）limx0cosx1etdt22x

6

-

3、求由设方程4、求f(x)5、设

y1ln(1t)dtsintdt2x1，求

122x2dy。 dxx0tetdt的极值。

xat2f(t)dtx481(a0)，求a的值和f(x)。

6、计算下列定积分：

4203x3x122x21dx （3）cosxdx （1）dx （2）11x2(x21)0x214x221x,x1dx （6）x21x2dx （4）f(x)dx，其中f(x)2。 （5）0002x1x,x1311dx1dxdx （7）3 (8)  (9) 2211(1x2)2x1x41x13（10）

22cosxcosxdx （11）tand （12）[sinx.arcsin1x21x2]dx

334031212ln21x2011cos2x2xx9x]dx（13）xarctanxdx （14）[ （15） （16）xedxe201200dx 30sinx2ex,x07、设f(x)，求1f(1x)dx。 221x,x018、计算下列反常积分 （1）

0exdx （2）1211dx （3）dx 23x2x8x(1x)9、计算下列图形的面积或体积

（1）求曲线y2x1与xy1围成的平面图形的面积。 （2）求由曲线yx2x3与yx3围成的平面图形的面积。

（3）求由yx,x2,y0围成的平面图形分别绕x、绕y轴旋转一周所得旋转立体的体积。 （4）求由yx,xy所围图形分别绕x、绕y轴旋转一周所得旋转立体的体积。 （5）求y2x,yx围成的平面图形分别绕x轴、y轴转一周形成的立体的体积。

22322（6）求抛物线y体积。

12x在点(2,2)处的切线与该曲线及x轴所围图形的面积,并求该图形绕x轴旋转一周的2

第六章 微分方程

必须掌握的考点：

1、掌握可分离变量方程的解法。 2、掌握一阶线性微分方程的解法。 3、了解二阶线性微分方程解的结构。

4、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

5、了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限定为f(x)Pn(x)ex，其中Pn(x)为

x的n次多项式。为实常数）。

7

-

微分方程过关题（6）

一、求下列一阶微分方程的通解（特解）.

dy3xyxy2 3、xyylny dxdyydy4、(x2) y2(x2)3 5、yycotx5ecosx 6、2dx2xydxxydydxdy0,yx01 8、xyx2ex,y|x10 7、

1y1xdx1、(exyex)dx(exyey)dy0 2、

二、求二阶微分方程的通解（特解）

1、y5y6y0; 2、4y12y9y0 3、y3yx 4、y9ye

5、y4y0,y(0)0,y(0)1 6、yy4xe,y(0)0,y(0)1 三、求可导函数f(x)，使得方程

x3xx0tf(x)dtx2f(x)2。

x四、曲线yf(x)过原点，且在任一点处的切线斜率为2xy，求该曲线的方程。

五、已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个解为：1和e，(1) 写出该微分方程的通解； (2) 试写出该

微分方程。 六、微分方程y2y8y(x2)e的特定解应取的形式可设为 。

4x第七章多元函数微分法及其应用

必须掌握的考点：

1、理解偏导数概念，了解全微分概念及其全微分存在的必要条件与充分条件。

2、掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法。掌握抽象复合函数一阶偏导数的求法。会求二元函数的全

微分。

3、掌握由方程F(x,y,z)0所确定的隐函数zz(x,y)的一阶偏导数的计算方法。 4、会求空间曲线的切线和法平面方程，会求空间曲面的切平面和法线方程。

5、会求二元函数的无条件极值。会应用拉格朗日乘数法求解一些最大值最小值问题。

多元函数微分法及其应用过关题（7）

一、求下列偏导数

x1、zxln(xyx) 2、zlntan 3、zxyex

yzxyyxy)，求 4、zsinxe 5、zxln 6、设zln(xxyx2x222y(1,0),zy(1,1)

2z2z2z二、下列函数的二阶偏导数2,2,。

xyxy8

-

xy21、zarctan 2、zsin(x2y) 3、ze

yx2三、下列函数的全微分

yz1、设zsin(xy2x)，求dz。 2、设ux，求du。

222xyzz,四、f具有一阶连续偏导数，求下列函数的一阶偏导数。 xy2222y1、zf(x,) 2、zf(xy,xy) 3、zf(sinx,xy)

xzzz543,五、设由方程zxzyz1确定了隐函数zz(x,y)，求以及x0。 xyyy03、设zxyxy，求dz|(1,2)。 4、zf(xy,)，求dz。

2七、设方程x2y3zxyz90确定了隐函数zz(x,y)，求dz。

222八、设x3y3z3xyz6确定隐函数z=z(x,y)，试求

九、求函数f(x,y)2(xy)xy的极值。

22zx(1,2,1),zy(1,2,1)。

十、求函数f(x,y)xy3xy的极值。

十一、已知容积为V的开顶长方体盒子，问其尺寸怎样时，有最小表面积？

33第八章 空间解析几何

必须掌握的考点：

1、理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦。掌握向量的线性运算、向量的

数量积以及两向量的向量积的计算方法。

2、会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。

3、了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。 4、掌握空间曲线的切线、法平面方程的求法。掌握空间曲面的切平面与法线方程的求法。

空间解析几何过关题（8）

1、设a(3,2,1)，求|a|及方向余弦。

2、设a3ij2k,bi2jk，求： (1)ab,（3）(a2b)(a3b)。

3、设向量a,b的模分别为|a|5,|b|2,ab，则(3a23ab;(2) (2a)3b, a2b;

2b)(ab)（ ）

4、求曲线xat,ybt,zct在t1的对应点处的切线与法平面方程。

t在点(1,1,22)处的切线与法平面方程。 223336、求曲面xyzxyz6在点(1,2,1)处的切平面与法线方程。

5、求曲线xtsint,y1cost,z4sin9

-

2227、求曲面x2y3zxyz7在点(2,2,1)处的切平面与法线方程。

第九章二重积分

必须掌握的考点：

1、理解二重积分的概念及其性质。

2、掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。 3、会用二重积分空间封闭曲面所围成的有界区域的体积。

二重积分过关题（9）

一、化If(x,y)d为直角坐标下的二次积分,其中积分区域D是：

D221、由yx,xy1和x2所围成的； 2、由yx和y2x围成的。 二、画出下列累次积分所表示的二重积分的积分的积分区域，并交换其积分次序。

1、dx1elnx0f(x,y)dy 2、dy01y11y2f(x,y)dx 3、dxf(x,y)dy

001x2三、计算下列二重积分

1、xeydxdy，其中D由yx2,y1,x2所围成。

D2、xydxdy，其中D是由直线yx,y1,x2所围成。

D3、(x2y2x)d，其中D是由直线y2,yx,y2x所围的闭区域。

D4、eyd，D由yx,y1,x0所围成。

D25、6、7、8、 10

(xDD2y2)dxdy．D:x2y24y

2ln(1xDDy2)dxdy,其中D:x2y21在第一象限内的部分。

x2y2dxdy，其中D:x2y22x。

x2y2dxdy,其中D：2x2y242。

sin -

第十章 曲线积分

必须掌握的考点：

1、了解对坐标的曲线积分的概念及性质。

2、掌握对坐标的曲线积分的计算（转化为定积分）。

3、掌握格林公式，掌握曲线积分与路径无关的条件，并会应用于曲线积分的计算中。 4、会用曲线积分与路径无关条件，建立微分方程。

格林公式 定理：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导

QP)dxdy。 xyLD曲线积分与路径无关条件 定理：设开区域G是一个单连通域，函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连

QP续偏导数，则P(x,y)dxQ(x,y)dy在G内与路径无关的充要条件是在G内恒成立。 xyL数，L是D的正向边界曲线，则P(x,y)dxQ(x,y)dy(

曲线积分过关题（10）

1、化曲线积分为定积分

(2ay)dxdy，其中L为摆线xa(tsint),ya(1cost),(0t2)沿t增加的方向。 （2）(x2xy)dx(y2xy)dy，L为yx从(1,1)到(-1,1)。

（1）

L222L（3）计算

Lydxxdy222xya，其中为圆，逆时针方向 L22xy2、格林公式

（1）计算曲线积分e(1cosy)dxe(1siny)dy,其中L是区域0x,0ysinx的正向边

Lxx界。

x2y21沿顺时针方向。（2）计算曲线积分I(3xy2y)dx(x1)dy，其中L是椭圆曲线

L49222xx（3）计算曲线积分(esiny2y)dx(ecosy2)dy,其中L为上半圆周(xa)ya,y023L沿逆时针方向。

x2x（4）计算I(ye2y)dx(sinye)dy，其中L是在圆周xy1上由A(1,0)沿逆时针方向到

L22） B(1,0)的一段弧。3、曲线积分与路径无关 （1）证明积分

(2,3)(11)(xy)dx(xy)dy在xoy面内与路径无关，并计算其值。

L（2）计算曲线积分

一段弧。

(x2y)dx(xsin2y)dy，其中L是由点O(0,0)沿圆周y2xx2到A(1,1)的

x（3）设曲线积分[f(x)e]sinydxf(x)cosydy与路径无关，其中f(x)一阶连续可导且f(0)0，

L求f(x)；

11

-

第十一章 无穷级数

必须掌握的考点：

1、理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。 2、掌握正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法。

3、掌握几何级数、调和级数与p —级数的敛散性，会使用莱布尼茨判别法。。

4、理解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会判定任意项级数绝对收敛与条件收敛的方法。 5、了解幂级数的概念，掌握幂级数在其收敛区间内的逐项求导与逐项积分的性质与方法。掌

握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）的方法。

16、会运用ex，sinx,cosx,ln(1x)， 的麦克劳林展开式，将一些简单的初等函数展开幂

1x级数。 常考的幂级数

xn1x(1)nxn(1x1) e(x)n0n! 1xn0(1)nn11nln(1x)x,x(1,1] x(1x1)n11xn0n0

无穷级数过关题（11）

1、判别下列级数的敛散性

1nn23（1） （2）ln() （3）2

(n1)(n2)n1nn1n1n1n21nn2ntan（4）n （5） （6） nn355n!n1n1n1n23nn1) （8）（7）( 2n （9）2[ln(n1)]2n14n1n1n1n12n2(1)n1（10）nsin （11） （12） 2nnn33n1n1n1cosnn1（13）2 (14）sinn （15）3

2n1n1nn1n5n2(16)

(1)n1n1 (17) n2n(1)n (18) 8n1nsinn4 4nn112

-

[2(1)n]（19） 3nn4n12、已知级数

un12n和

vn12n收敛, 求证级数

uvn1nn和

(un1nvn)2收敛。（提示比较审敛法）

3、设级数

un收敛，其部分和为sn，求证级数n11发散.（提示：反证法） n1sn4、求下列级数的收敛半径与收敛区间

x2n1(1)n1xnxn（1） （2）n3 （3）n n4nn13n1n12n1nn(x4)n（4）  （5）[nn]x

3n2n12n115、将函数f(x)展开成在x2处的幂级数。

x31x6、将f(x)=e展开成x2的幂级数。 7、将f(x)2展开成x的幂级数。

x4x38、将f(x)21展成（x+1）的幂级数。

xx6

线 性 代 数 部 分

第一章 行列式与克拉默法则

必须掌握的考点：

1、了解行列式的概念，掌握行列式的性质。

2、会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。 3、掌握克拉默法则

行列式与克拉默法则过关题（12）

1、计算下列行列式：

13

-

2（1）10813x111 （5）

41 （2）212131x11 （3）

121x1502110340112423611 221111（4）

02221a1111a1111a21082122022 （6） 122022222022、设Aij表示行列式D317300152，①求D的值；②求A11A13A14

5910(1)x12x24x303、当取何值时，齐次方程组2x1(3)x2x30有非零解？

xx(1)x0312x14x22x304、问取何值时，齐次线性方程组x1(6)x2x30有非零解？

x5xx0231

第二章 矩阵

必须掌握的考点：

1、理解矩阵的概念。了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。 2、掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵乘积的行列式及它们的运算规律。

3、理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆

矩阵。

4、掌握矩阵的初等变换，了解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

矩阵过关题（13）

14

-

1201231、设A211,B012，(1) 求2AB； (2) 求ATB。

3114531111232、设矩阵A111,B124，求AB，BA。

11105112110T3、设A10，B，求与 (BA)AB1010321114，求An。 10，求2A5。 5、设A2266120112226、求解矩阵方程X

13017、设A,B都为n阶方阵，且A为对称矩阵，证明：BTAB是对称矩阵。

1134333541化为阶梯形矩阵，进而化为行简化阶梯形矩阵。 8、利用初等行变换将矩阵223203342114、设A1113211*1*19、设A315，求A，A及(2A)，(A)。

3231110的逆矩阵。 10、用初等行变换求矩阵A2111011、设方阵A满足A22A7I0，证明：A2I可逆，并求(A2I)1

101122022412、用初等行变换求矩阵A的秩。

3061103001141011A13、设APBP1，其中P，，求 。 B110214、设A为三阶矩阵，A1，A*是A的伴随矩阵， (1) 求A*与(2A*)1； (2) 求3A1A*的值。

15、设设A为三阶矩阵，A1，A*是A的伴随矩阵，求(1)(2A)15A*；(2)(A1)*. 2121116、设A32a1，R(A)2，求a与b的值。

563b15

-

x1117、求矩阵A1x1的秩。

11x

第三章 向量

必须掌握的考点：

1、了解n 维向量的概念，向量的线性组合与线性表示。

2、理解向量组线性相关与线性无关的定义，掌握判别向量组线性相关性的方法．

3、了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组和秩。 4、掌握克莱姆法则。

5、理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。了解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念．

6、了解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法．

向量过关题（14）

x1x2x302xkx4x0231、当为何值时，齐次线性方程组1有无穷多解？

x2x3x0231x13x25x30x12x2x3x403、求齐次线性方程组3x16x2x33x40的一个基础解系，并求其通解。

5x10xx5x02341x17x28x39x402x3x3x2x012344、齐次线性方程组向量形式的通解。

4x11x13x16x023417x12x2x33x40x1＋x2x315、为何值时，非齐次线性方程组x1x2x3（1）无解？（2）有唯一解？（3）有无穷多解？

xxx231216

-

2x1＋x2x326、当＝ 时，非齐次线性方程组x12x2x3有无穷多个解。

xx2x2312x3kx17、k为何值时，方程组4x1x2x3k2无解？有唯一解？有无穷多解？

6xx3x2k23122x1x2x3x418、求非齐次线性方程组4x12x22x3x42的向量形式通解。

2xxxx11234x1x23x3x419、求非齐次线性方程组3x1x23x34x44的通解。

x5x9x8x02341111110、设12,23,31,0，判别能否由1,2,3线性表示，若能写出具体表示式。

101412111、判别向量组13,21,34的线性相关性。

1012(1,1,6,6)，3(1,2,2,9)，4(1,1,2,7)，5(2,4,4,9)12、求向量组1(2,1,4,3)，

的秩和一个极大无关组，并用这个极大无关组表示其余向量。

13、求向量组1(2,1,3,1),2(3,1,2,0),3(1,3,4,2),4(4,3,1,1)，求向量组的秩和它的一个极

大无关组。

14、设向量组1,2,3线性无关，证明向量组1,122,1233也线性无关。

西华大学2015年专升本考试试题

（高等数学）

得分 一、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）

1、若级数|an|收敛，则级数(1)nan也收敛. ( )

n1n117

-

2、函数yx2ex是微分方程y2yy0的解. ( ) 3、无穷小量的倒数是无穷大量. ( ) z24、方程x1在空间中所表示的图形是椭圆柱面. ( )

95、n元非齐次线性方程组AXB有唯一解的充要条件是r(A)n. ( )

2

得分 二、填空题（把答案填在括号中。本大题共4个小题，每小题4分，总计16分）

23x1、已知f(x)是R上的连续函数，且f(3)2,则limxf3x2x12x25x61x（ ）

2、由方程xyzx2y2z22所确定的函数zz(x,y)在点(1,0,1)处的全微分dz（ 3、改变二次积分I20dy2yy2f(x,y)dx的次序，则I（ ）

4、f(sin2x)tan2x,(0x1)，则f(x)（ ） 三、求解下列各题（本大题共10小题，每小题6分，总计60分）

得分 2x 1、求极限limx2tantdtx01cosx.

得分  2、设f(x)xsin1,x0,求f(x).x 0,x0

得分 3、求不定积分cos5xsinxdx.

18

 ） -

得分 4、求曲线ysinx,z

x上点(,0,)处的切线和法平面方程.

22

得分 5、求微分方程dxxydyydxydy的通解.

2

得分 6、求由曲线yx,xy2及x轴所围成的区域绕x轴旋转所成立体的体积.

2

得分 x1x2x3x4x5a3x2xxx3x0123457、当a,b为何值时，线性方程组有解. 当其有解时，求出其全部

x2x2x6xb23455x14x23x33x4x52解.

得分 8、计算二重积分

22222D:xyR(R0),x0,y0. 其中ln(1xy)dxdy,D 19

-

得分 9、计算曲线积分I

Ly2xdyx2ydx,其中L是圆周x2y2a2,逆时针方向为正.

得分 10、判别级数的敛散性.

n!(1)n (2) n1nn11ncosn 4

四、证明题（本大题共2小题，每题7分，总计14分）

得分 1、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)0,证明在(a,b)内至少存在一点，使f()2015f()0.

得分 2、证明：对0x

2,xtanxx成立. 2cosx

西华大学2014年专升本考试试题

（高等数学）

得分 20

-

一、填空题（把答案填在括号中。本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）

1、设f(0)a,则limx0f(x)f(0)（ ）

x2、设f(x)的一个原函数是sinx，则xf(x)dx（ ） 3、微分方程y5y6y3xe的特解可设为（ ）

2x(x)n4、幂级数的和函数为（ ）

n!n0235、设A,则A1（ ） 58得分 二、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）

1、点(0,0)是曲线ysinx的拐点. ( )

2、直线

x1y3z与平面2xy5z80相互垂直. ( ) 2153、如果函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内偏导数

zz,都存在，则函数zf(x,y)在点xy(x0,y0) 处可微. ( )

4、

un1n是常数项级数，若limun0,则

nun1n收敛. ( )

5、设A,B是同型矩阵，则(AB)(AB)A2B2. ( ) 三、求解下列各题（本大题共4小题，每小题6分，总计240分）

得分 1、求极限limxx0sinx.

得分 2、求不定积分xsinxcosxdx.



得分 3、求定积分

ln20ex1dx.

21

-

得分 4、设zxyf(xy,xy),其中f是可微函数，求

22zz,. xy

四、解答题（本大题共6小题，每小题6分，总计36分）

得分 12xsin,x01、设f(x),在x0处可导，求a,b的值. xaxb,x0

得分 2求微分方程y2ye

x0的通解.

得分 22

3、判断下列正项级数的敛散性.

-

3(1)n(1) (2) n3n11ln(1) nn1

得分 4、计算二重积分

sinDx2y2dxdy，其中D(x,y)|2x2y242}.

得分 5、求I一段弧.

L22其中L是圆周xy2x从点A(2,0)到原点O(0,0)的(xey)dx(yxey)dy，

得分 ax12x23x34,6、当a,b取何值时，方程组2x2bx32,,有唯一解、无解、有无穷多解？

2ax2x3x6231

23

-

得分 五、证明题（本大题共3小题，每题5分，总计15分） 1、设f(x)在[a,b]上连续且f(x)0,又g(x)xaf(t)dtxb1dt，证明：g(x)0在f(t)(a,b)内有且仅有一个根.

2、求证：当x0时，有不等式

3、已知{an}是等差数列，an0，证明级数 24

xln(1x)x. 1xan11n发散.

-

25