丁晓玲论文

建筑结构的可靠性包括安全性、适用性和耐久性三项要求。结构可靠度是结构可靠性的概率度量，其定义是：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率，称为结构可靠度。其“规定的时间”是指设计基准期50年，这个基准期只是在计算可靠度时，考虑各项基本变量与时间关系所用的基准时间，并非指建筑结构的寿命；“规定的条件”是指正常设计、正常施工和正常的使用条件，不包括人为的过失影响；“预定的功能”则是能承受在正常施工和正常使用时可能出现的各种作用的能力（即安全性）；在正常使用时具有良好的工作性能（即适用性）；在正常维护下具有足够的耐久性能（耐久性）。在偶然事件发生时及发生后，仍能保持必需的整体稳定性。影响结构可靠度的因素主要有：荷载、荷载效应、材料强度、施工误差和抗力分析五种，这些因素一般都是随机的，因此，为了保证结构具有应有的可靠度，仅仅在设计上加以控制是远远不够的，必须同时加强管理，对材料和构件的生产质量进行控制和验收，保持正常的结构使用条件等都是结构可靠度的有机组成部分。为了照顾传统习惯和实用上的方便，结构设计时不直接按可靠指标β，而是根据两种极限状态的设计要求，采用以荷载代表值、材料设计强度（设计强度等于标准强度除以材料分项系数）、几何参数标准值以及各种分项系数表达的实用表达式进行设计。其中分项系数反映了以β为标志的结构可靠水平。

可靠度的研究早在20世纪30年代就开始，当时主要是围绕飞机失效进行研究。可靠度在结构设计中的应用大概从20世纪40年代开始。1946年，弗罗伊詹特（A.M.Freudenthal）发表题为《结构的安全度》的论文，开始较为集中地讨论这个问题。同期，苏联的尔然尼钦提出了一次二阶矩理论的基本概念和计算结构失效概率的方法及对应的可靠指标公式。美国柯涅尔（C.A.Cornell）在尔然尼钦工作的基础上，于1969年提出了与结构失效概率相联系的可靠指标β作为衡量结构安全度的一种统一数量指标，并建立了结构安全度的二阶矩模式。1971年加拿大的林德（N.C.Lind）对这种模式采用分离函数方式，将可靠指标β表达成设计人员习惯采用的分项系数形式。这些进程都加速了结构可靠度方法的实用化。美国伊利诺斯大学洪华生（A.H.S.Ang）对各种结构不定性作了分析，提出了广义可靠度概率法。他同邓汉忠（W.H.Tang）合写的《工程规划和设计中的概率概念》一书在世界上已广为应用。1976年，国际“结构安全度联合委员会”(JCSS)，采用拉克维茨（Rackwitz）和菲斯莱（Fiessler）等人提出的通过“当量正态”的方法以考虑随机变量实际分布的二阶矩模式。这对提高二阶矩模式的精度意义极大。至此，二阶矩模式的结构可靠度表达式与设计方法开始进入实用阶段。

我国的结构可靠度研究始于上世纪 50 年代， 1970 年代，我国工业与民用建筑、公路桥梁、水利水电工程以及港口工程等设计规范已经开始涉及所谓“可靠度”的概念， 1980 年代，在结构可靠度的基本理论和设计方法方面进行了大量的研究工作。 1984 年，我国颁布了《建筑结构统一标准》（ GBJ68-84 ） , 这标志着我国建筑设计理论与设计规范进入了一个新的阶段，即采用以概率理论为基础的极限状态设计方法的阶段。全国结构可

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靠度委员会自 1987 年起，每两年组织召开一次全国性的学术会议，实际上，在此后的若干年间，一直在酝酿着一部新规范的诞生。由建设部会同有关部门共同修订的《建筑结构可靠度设计统一标准（ GB50068 － 2002 ）》和《建筑结构荷载规范（ GB5009 － 2001 ）》终于经建设部批准并分别于 2002 年 3 月 1 日起实行，同时进行修订的《混凝土结构设计规范》 (GB 50010-2002) ，在结构可靠度、设计计算、配筋构造等方面均有一系列的重大更新和补充，经过专家审查、专题论证、试设计、两次征求全国有关单位意见，提高了规范的科学合理性与先进性，进一步适应了现代建筑混凝土结构设计的需要。因此，从上世纪 80 至 90 年代末，我国广大结构工程设计人员、有关技术人员以及大专院校师生就不断地面临着一个熟悉新规范、掌握新规范和贯彻实施新规范的任务。

二、结构可靠度基本概念

结构可靠性是用可靠度来度量的，结构可靠度定义为在规定时间内和规定条件下，结构完成预定功能的概率，表示为ps。相反，如果结构不能完成预定功能，称相应的概率为结构失效的概率，表示为pf。结构的可靠与失效为两个互不相容的事件，因此，结构的可靠概率ps与失效概率pf是互补的，即：

pspf1

（2.2）

在结构可靠度分析中，结构的极限状态一般由功能函数描述。当有n个随机变量影响结构的可靠度时，结构的功能函数为：

Zg(x1,x2xn)

（2.3）

式中：xi(i1,2,,n)是结构上的作用效应、结构构件的性能等基本变量。

当Z0时，结构处于可靠状态；Z0时，结构达到极限状态；Z0时，结构处于失效状态。其中方程

Zg(x1,x2xn)0

成为结构的极限状态方程。

（2.4）

构件功能函数出现小于零（Z<0）的概率称为该构件的失效概率（Pf）。Pf值原则上可通过积分式

PfZ0fX(x1,x2,,xn)dx1dx2dxn

（2.5）

计算求得。

设功能函数仅与荷载效应S（荷载引起结构构件的内力、位移等）和结构抗力R（结构抵抗破坏或变形的能力，如极限内力、极限强度、刚度以及抗滑力、抗倾力矩等）两个

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随机变量有关，若认为抗力R和荷载效应S是二个事件，则结构承载能力功能函数为：

Zg(R,S)RS

（2.6）

对于的极限状态方程表示为

ZRS0

（2.7）

显然，当Z>0时，结构处于可靠状态；Z<0时，结构失效。

若R,S均服从正态分布，其均值和标准差分别为mR,mS和R,S，则Z也服从正态随

22S机变量，并有均值为mZmRmS，均方差为ZR，Z的概率密度函数为：

f(Z)1ZmZ2Z（exp[()]，

22ZZ1） （2.8）

其分布如图2.1所示。

图2.1 正态函数概率密度图

Figure 2.1 The Probability density function of normal distribution

根据定义，结构的失效概率Pf就是图中阴影面积P(Z<0),而非阴影面积P(Z>0)即结构的可靠度Pr。用公式表示为

0PfP(Z0)1ZmZ2exp()dZ 2Z2Z11 （2.9）

PrP(Z0)01ZmZ2exp()dZ （2.10） 2Z2Z由概率论知：PfPr1，即失效概率和可靠度是互补关系。 2.1 结构可靠指标

考虑到直接应用数值积分方法计算结构失效概率的困难性，工程中多采用近似方法，为此引入了结构可靠指标的概念。

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现把Z的正态分布N(mZ,Z)转换为标准正态分布N(0,1)。令tmZZmZZ，则失效概率为：

Pf12Zmt2exp()dt(Z) （2.11）

2Z

图2.2失效概率与可靠指标

Figure 2.2 Failure probability and reliability index

引入符号β，并令mZZ，因此Pf()，式中β为一无因次的系数，称为可靠指标。

可靠指标与可靠度Pr的关系为：

Pr1Pf1()() （2.12）

β之所以被称为可靠指标，其原因是：1.β是失效概率的度量。β越大，失效概率Pf越小（即阴影面积越小），故可靠度Pr越大。2.在某种分布下，当Z等于常量时，β仅仅随着mZ变化。而当β增加时，会使概率密度曲线由于mZ增加而向右移动，Pf将由此减少，从而使可靠度Pr增大。

由于可靠指标β增加，结构可靠度Pr增大；β越小，结构的可靠度也随着减小，因此，β可以代表结构的可靠程度，工程上目前多采用β表示结构的可靠程度，称之为可靠指标。

由可靠指标的定义式，可靠指标是以功能函数Z服从正态分布为前提的，在实际工程问题中，结构的功能函数不一定服从正态分布，为计算可靠指标β，需将Z近似为服从正

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态分布的随机变量，这时失效概率Pf与可靠指标β已不再具有前面精确关系，只是一种近似关系。但当结构的失效概率Pf较大时，如Pf103，结构失效概率对功能函数Z的分布概型不再敏感。

对于只含有两个相互的正态分布随机变量的极限状态方程如（2.7）式所示，在OSR坐标系中，极限状态方程是一条直线，它的倾角为45º。在标准化过程中，将R，S分别除以标准差R，S，形成坐标系RR/R，SS/S。当R≠S时，OSR坐标系中极限状态直线的倾角不再是45º，而是arctg(S/R)。如果再将此坐标系平移，将原点O移到O(S/S,R/R)处，得到新坐标系OSR，（如图2.3所示）实现了对正态分布变量的标准正态化，原坐标系OSR与新坐标系OSR，之间的关系为：

SSSS （2.13） RRRR （2.14）

代入极限状态方程R-S=0，可得：

RRSSRS0 （2.15）

22S将上式两端同除以R，并与解析几何中的标准型法线式直线方程

ScosSRcosR0 （2.16）

相比较，可得：

cosSSR2R2S （2.17）

cosR2R2S （2.18）

RS2R2S （2.19）

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_R'=RσR_R___μR=σRRLimite state lineμ__θRβBθSσRRA_S___μS=σSS__P*( , )S*R*SS'=σ_S_μσSS 图2.3 标准正态化示意图 Figure 2.3 Standardized normal transformation 两个正态变量R,S具有极限状态方程Z=R-S=0，其结构可靠指标可表示为： ＝ZR2S2 （2.20） ZRS可靠指标的几何涵义为：设两个具有相同标准差值的正态变量R和S，均值分别为22S2，＝mZmZ，均值点到失效边界上的最短距离：。mR,mS，则ZRmmmZ2可见如果以为一单位量测，则均值点到失效边界上的最短距离就是β值。 考虑可靠指标与安全系数的关系时，用均值表达的单一平均安全系数K定义为： K＝平均结构抗力mR （2.21） 平均荷载效应mS其相应的设计表达式为： mRKmS （2.22） 传统的安全系数法没有定量地考虑抗力和荷载效应的随机性质，而靠经验或工程判断方法取值，因此不可避免带有人为因素；K只与R，S的均值的比值有关，不能反应结构的实际失效情况。通过式（2.20）和（2.21）可得到可靠指标与安全系数的关系式： ＝mRmS2R2S(mR1mSmR22)VRVS2mSK1KVV22R2S （2.23） 或 1VR2VS22VR2VS2K＝ （2.24） 12VR2从概率理论出发，安全系数应与结构中各变量的分布规律，变异系数以及相应的可靠 6 指标有关；或者，代表结构可靠度的可靠指标β，不仅与安全系数K有关，而且与分布规律和变异系数也有关。

2.2结构可靠指标与分项系数的关系

现行的设计规则，并不采用上述的单一安全系数设计表达式，而一般采用分项系数表达式。例如在恒载和活载组合下设计表达式为：

RmRGmGQmQ （2.25）

式中R为抗力分项系数，G为恒载分项系数，而Q为活载分项系数。分项系数是利用分离函数得到的。分离的作用是将其与可靠指标联系起来，把安全系数加以分离，使其表达为分项系数的形式。这样可以同现行设计准则相配合，从而使基于可靠度的设计实用化。

《港口工程结构可靠度设计统一标准》对分项系数的确定规定了以下原则： 1）同一作用（荷载）对各种构件取相同的作用分项系数，各个作用有各自的分项系数；

2）不同种类的构件有各自的抗力分项系数，同一种构件在任何可变作用作用下，其抗力分项系数不变；

3）对各种构件在不同的作用效应比值下，按所选定的G、Q、R进行结构设计，所得可靠指标β值与目标可靠指标O值最为接近。

基于以上原则，当有一永久作用和一可变作用时，对于一般的构件，有设计表达式：

1RRKGSGKQSQK （2.26）

式中R为结构抗力分项系数；G为永久作用分项系数；Q为可变作用分项系数；RK、SGK和SQK分别为按有关规范规定计算得出的结构的抗力标准值、永久作用效应标准值和可变作用效应标准值。

对于仅有一永久作用和一个可变作用的一般构件，极限状态方程为：

RSGSQ0 （2.27）

设计验算点必满足极限状态方程：

 （2.28） RSGSQ式（2.27）与式（2.28）等价，应满足以下条件：

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RRK/RGSG/SGK （2.29） SQ/SQKQ

二、结构可靠度分析方法

3.1一次二阶矩法

一次二阶距法是近似计算可靠度指标最简单的方法，只需考虑随机变量的前一阶距（均值）和二阶距（标准差）、功能函数泰勒级数展开式的常数项和一次项，并以随机变量相对为前提，在笛卡尔空间内建立求解可靠度指标的公式。其计算简便大多数情况下计算精度又能满足工程要求，故已被工程界广泛接受。基于一次二阶距的分析方法主要有六种。 3.11中心点法

其基本思想是首先将非线性功能函数在随机变量的平均值（中心点）处进行泰勒展开并保留至一次项，然后近似计算功能函数的平均值和标准差，进而求得可靠度指标。该法的最大优点是计算简便，不需进行过多的数值计算。

一次二阶矩法就是一种在随机变量的分布尚不清楚时，采用只有均值和标准差的数学模型去求解结构可靠度的方法。由于该法将功能函数Zg(X1,X2Xn)在某点用台劳级数展开，使之线性化，然后求解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩法。

设影响结构可靠度的n个随机变量为xi(i1,2,,n)，对于的功能函数为：

Zg(X1,X2Xn) （2.30）

极限状态方程为

Zg(X1,X2Xn)0 （2.31）

把功能函数在某点X0i(i1,2,,n)用台劳级数展开，得：

gZg(X01,X02,,X0n)(XiX0i)Xii1nX0(XiX0i)22g2Xi2i1n， （2.32）

X0为了获得线性方程，近似地只取到一次项，得

Zg(X01,X02,,X0n)(XiX0i)i1ngXi （2.33）

X0根据线性化点X0i选择不同，一次二阶矩法又分为中心点法和验算点法。早期结构可靠度分析中，假设线性化点就是均值点mXi，在这种条件下，极限状态方程为

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Zg(mX1,mX2,,mXn)(XimXi)i1ngXi0 （2.34）

mX式中mXi表示随机变量Xi(i1,2,,n)的对应均值，Z的均值mZ可从简化后的功能函数式中得到，其标准差Z，在随机变量Xi(i1,2,,n)间都是条件下，

ngZ(Xii12Xi)mX1/2 （2.35）

把mZ和Z代入前式，即可求得可靠指标。

均值一次二阶矩法由于在均值点附近对功能函数线性化，结果产生两个问题：1）对于非线性功能函数，因略去二阶及更高阶项的误差，故将随着线性化点X0i(i1,2,,n)到失效边界的距离的增加而增大，而均值法中选用的线性化点（均值点）一般在可靠区而不在失效边界上，结果往往带来相当大的误差；2）选择不同的极限状态方程，不能得到相同的可靠指标。针对上述问题，人们把线性化点选在失效边界上，而且选在结构最大可能失效概率对应的设计验算点P*上，依此得到的方法称为改进的一次二阶矩法。

当选择设计验算点Xi*(i1,2,,n)作为线性化点X0i(i1,2,,n)时，线性化的极限状态方程为：

Zg(X,X,,X)(XiXi*)*1*2*ni1ngXi0 （2.36）

X*Z的均值为：

mZg(X,X,,X)(mXiXi*)*1*2*ni1ngXi （2.37）

X****由于设计验算点就在失效边界上，即有g(X1,X2,,Xn)0，因此mZ变成

nmZ(mXiXi*)i1gXi （2.38）

X*在变量相互的假设下，可求解Z标准差Z

gZ(XiXii1n)X*21/2iXii1ngXi （2.39）

X*式中i为线性化系数，即

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XinigXiX*g(XiXii1)X*21/2 （2.40）

表示第i个随机变量对整个标准差的相对影响，因此称为灵敏系数（影响系数）。在已知变量方差下，i可以完全由X确定，i在±1之间，而且i21。

*ii1n根据可靠指标定义，有：

mZ(mXiXi*)i1ngXiX*X*ZiXi1nigXi （2.41）

重新排列得：

gi1Xin(mXiXi*iXi)0 （2.42）

X*即对于所有的i值，有mXiXi*iXi0，从中解出设计验算点为

Xi*mXiiXi （2.43）

上式代表n个方程，未知数有Xi*和β共n+1个，因此需采用迭代法求解，比如拉克维茨快速收敛法：

1.假定一个β值；

2.对全部i值，选取设计验算点的初值，一般取均值点。 3.计算

gXi值

X*4.计算i值 5.计算新的Xi*值

6.重复步骤3至步骤5，一直算到Xi*前后两次差值在容许范围为止。 7.将所得Xi*值代入原极限状态方程式计算g值；

8.检验g(Xi*)0的条件是否满足。如果不满足，则计算前后两次β和g的各自差值的

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比值g，并由n1ngng估计一个新的β值，然后重复步骤3到7的计算，直到g0为止。

9.最后由Pf()计算失效概率。

一次二阶矩法求出的结构可靠指标β，只是在统计的正态分布变量和具有线性极限状态方程下才是精确的。 3.12. 验算点法（ＪＣ法）

JC法主要有２个特点：①当功能函数Ｚ为非线性时，不以通过中心点的超切平面作为线性近似，而以通过Ｚ＝０上的某一点Ｘ（）的超切平面作为线性近似，以避免中心点法的误差；②当基本变量 具有分布类型的信息时，将 的分布在 处以与正态分布等价的条件变换为当量正态分布，这样可使所得的可靠度指标 与失效概率 之间有一个明确的对应关系，从而在 中合理的反映分布类型的影响。

JC法是拉克维茨(Rackwitz R.)和菲斯莱（Fiessler, B.）等人提出来的。它适用于随机变量为任何分布下结构可靠指标的求解，被国际安全度联合委员会（JCSS）所采用，故称JC法。

对于相互的正态随机变量情况下，极限状态方程可由多个相互的正态随机变量X1,X2,,Xn组成：

Zg(X1,X2,Xn)0 （2.44）

方程（2.44）可能是线性的，也可能是非线性的。它表示为坐标系OX1X2„Xn中的一个曲面，这个曲面把n维空间分成安全区和失效区两个区域。

首先，将随机变量转换为标准正态分布向量Xi(i1,2,,n)。对于正态分布随机变量作如下映射变换，

XiXiXiX (i1,2,n) （2.45）

i则Zi0，Zi1，将变换代入功能函数，得到结构极限状态方程为：

ZG(X1,X2,,Xn)0 （2.46）

可靠指标是标准正态坐标系OX1X2Xn中原点O到极限状态曲面的最短距离，也就是P*点沿其极限状态曲面的切平面的法线方向至原点O的长度。 极限状态曲面在P*点的法线OP对坐标向量的方向余弦为：

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cosXicosXigXiXP*ingXi1iXiP*21/2 （2.47）

由方向余弦的定义，可知

Xi*OP*cosXicosXi （2.48）

由式（2.45）得

X*iXi*XiX （2.49）

i因而

Xi*XiXcosXi （2.50）

i因此可得设计验算点P*在原坐标系OX1X2„Xn的坐标，即

Xi*XiXicosXi (i1,2,n) （2.51）

式中Xi，Xi为随机变量Xi的平均值和标准差。

因为P*是极限状态曲面上一点，自然满足极限状态方程，即

**g(X1*,X2,Xn)0 （2.52）

联立以上n+1个方程可求解及Xi* (i1,2,n)。

_X3x*3_Limite state surfaceP*_Ox*1_X1_θx3θx1θx2x*2__X2

图2.4 JC法示意图 Figure 2.4 JC method

对于极限状态方程中包括非正态分布的基本变量时，一般要把非正态随机变量当量化

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或变换为正态随机变量。其基本原理：首先把随机变量Xi原来的非正态分布函数要求在设计验算点Xi*处的累积概率分布函数（CDF）值和概率密度函数（PDF）值都和原来的分布函数的CDF值和PDF值相同。然后根据这两个条件求得等效正态分布的均值mXi和标准差

X，最后用一次二阶矩法求结构的可靠指标。

i利用Xi*处CDF值相等条件：原来分布的概率为P(XXi*)FXi(Xi*)，代替正态分布的概率为：

P(XXi*)FXi(Xi*)(*iXi*mXiX)，根据条件，要求以上概率相等，得

iFXi(X)(Xi*mXiX) （2.53）

i利用Xi*处PDF值相等条件：原来分布得概率密度值为fXi(Xi*)，代替正态分布得概率密度值为

i(Xi*)dFXdXiXi*mXid()XidXiXi*mXi1 （2.54） Xii(X)fX*i(X)i根据JC法条件，要求以上概率密度值相等，得

*Xm1iXi*fXi(Xi)() （2.55）

XiXi由上式解出

X代入式（2.55）得：

*imXiiX1[FXi(Xi*)]， （2.56）

fXi(Xi*)[1(FXi(Xi*))]/Xi （2.57）

从而得到：

1**[(F(X))]/f(XXXiXi) （2.58）

iii最后由式（2.56）得

*1*mX[F(XXiiXiXii)] （2.59）

以上各式中，FXi()和fXi()分别代表变量Xi的原来累积概率分布函数和概率密度函数，

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()和()分别代表标准正态分布下的累积概率分布函数和概率密度函数。

等效正态分布的均值mXi和标准差Xi确定之后，JC法求解结构可靠指标的过程与改进一次二阶矩法大致相同，下面就是用该法计算可靠指标β的步骤：

1.假定一个β值；

2.对全部i值，选取设计验算点的初值，一般取均值点。

3.用上式计算mXi和Xi值 4.计算

gXi值

X*5.计算灵敏系数i值

6.计算Xi*的新值，重复步骤3至步骤6，一直算到Xi*前后两次差值在容许范围为止。 7.利用式（2.43）计算满足g(xi*)0条件下的可靠指标将β值；

8.重复步骤3至步骤7，一直算到前后两次所得β的差值的绝对值很小为止。 JC法对于工程中的一般随机变量可靠度分析问题，可以得到精度较高的近似分析结果。如果随机变量为非正态变量，用JC法计算过程比较复杂。

3.13映射变换法

映射变换法从计算过程上与ＪＣ法比较，映射变换法少了ＪＣ法的当量正态化过程但多了映射变换的过程，因而二者计算量基本相当。ＪＣ法采用当量正态化的方法。概念上比较直观，而映射变换法在数学上更严密一些，因而结构可靠度的进一度发展就转化为采用映射变换法将非正态随机变量正态化。

对于结构可靠度分析中的非正态随机变量，JC法用当量正态化的方法将非正态随机变量“当量”为正态随机变量，从而应用正态随机变量可靠度的计算方法计算结构的可靠指标。文献[7]提出了随机变量得映射变换的方法。

设结构中的n个相互的随机变量为X1,X2,,Xn，其概率分布函数为概率密度函数为fi(Xi)(i1,2,,n)，由这n个随机变量表示的结构功Fi(Xi)(i1,2,,n)，能函数为

ZXg(X1,X2,,Xn) （2.60） 作映射变换

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Fi(Xi)(Yi)， (i1,2,,n) （2.61）

则

XiFi1[(Yi)] （2.62） 1Yi[Fi(Xi)]其中，Fi1()和1()分别为Fi()和()的反函数，Yi(i1,2,,n)为标准正态随机变量。 将变换式代入功能函数，可得由标准正态随机变量Yi(i1,2,,n)表示的结构功能函数ZY，即

ZYg{F11[(Y1)],F21[(Y2)],,Fn1[(Yn)]}G(Y1,Y2,,Yn) （2.63）

对（2.61）式两端微分可得

fi(Xi)dXi(Yi)dYi (i1,2,,n) （2.）

这样，结构的失效概率可以表示为：

pfP(ZX0)P(ZY0)ZX0f(X)f11122(X2)fn(Xn)dX1dX2dXn

n12nZY0(Y)(Y)(Y)dYdYdY （2.65）

在将非正态随机变量Xi映射为标准正态随机变量Yi后，可以按照本文第三章介绍的新方法计算结构可靠指标。由于Yi是一个标准正态随机变量（Yi0,Yi1），因而联立方程可以简化为：

cosYiGYi*PYnGi1Yi*PY21/2 （2.66）

Yi*cosYi （2.67） G(Y1*,Y2*,Yn*)0 （2.68）

其中，功能函数偏导数GYi可由下式计算：

GgXi (i1,2,,n) （2.69） YiXiYi式中，gXi**在验算点(X1*,X2,Xn)处计算，

Xi***在验算点(Y,Y,Y)处计算。 12nYi 15

对于结构可靠度分析中常用的几种概率分布，下面分别给出由Yi表示的Xi和具体公式：

（1）Xi服从正态分布

XiYi的

XiXiYiXi （2.70a） XiXi (2.70b) Yi（2）Xi服从对数正态分布

Xiexp(lnXiYilnXi) (2.71a) XiXilnXi (2.71b) Yi式中

lnXiXiln21Xi2，lnXln(1X) ii（3）Xi服从极值I型分布

Xiuln{ln[(Yi)]} (2.72a)

Xi(Yi) (2.72b) Yi(Yi)ln[(Yi)]式中uXi0.45Xi，（4）Xi服从指数分布

1i6X

XiXiln[(Yi)] (2.73a) XiXi(Yi) (2.73b) Yi(Yi)

3.14实用分析法

帕洛赫摩（Paloheimo）和汉拉斯（Hannus）1972年提出加权分位值法。该法引用灵敏系数、加权分位值等概念，用连锁规则法（Chain-Rule Method）计算极限状态方程

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Zg(,X1,X2,,Xn)0中X1,X2,,Xn的验算点值及设计参数值，计算比较繁冗。赵国藩

[7]

等（2000）取用该法的某些概念，引用当量正态化的方法，将非正态随机变量Xi先行“当

量正态化”，然后按照前述正态变量情况，提出一种为工程实际应用的一次二阶矩法，简称“实用分析法”。

在实用分析法中，当量正态化的方法是把原来的非正态变量Xi按对应于pf或1－pf有相同分位值（Xif）的条件，用当量正态变量Xi来代替，并要求当量正态变量的平均值

X与原来的非正态变量Xi的平均值X相等。

'ii

图2.5 实用分析法对非正态随机变量的当量正态化

Figure 2.5 Equivalent normalization of nonnormal random variable by practice analysis （1）当

gXi0（取P点在概率密度函数曲线的上升段）

PFXi(Xi)FXi(XiiXi)FXi(XiXi)pf （2.74） 式中，XifXiiXi是Xi相应于pf的分位值，i的意义见图2.5。此时的Xi相当于极限状态方程R-S=0中的R。

当

gXi0（取P点在概率密度函数曲线的下降段）

PFXi(Xi)FXi(XiiXi)FXi(XiXi)1pf （2.75） 式中，XifXiiXi是Xi相应于1—pf的分位值，i的意义见图2.5。此时的Xi相当于极限状态方程R-S=0中的S。

当转化为当量正态随机变量时，XifXiiXi或XifXiiXi，其中值即所求极限状态方程的可靠指标，

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1(pf)1(1pf) （2.76）

（2）给定XiXi，由上式可知

iXiX或X （2.77） Xiiii这是把非正态随机变量Xi的统计参数Xi及Xi变换为当量正态随机变量Xi的统计参数Xi及Xi的基本公式。

将式（2.77）代入适用于正态随机变量的式（2.47），得灵敏系数

gXiiXPiiXcosXiigi1XinPXi2 （2.78）

2自然X1，将上式代入验算点坐标计算式得 ii1nXiXiiXicosXiXiXiiXi （2.79） 当极限状态方程中的n个随机变量均为正态分布时，与前面的式子相同。 非正态随机变量通过当量正态化后，可得

1F(pf)XXi （2.80a）

XiiiXFX1(1pf) (2.80b)

Xiiii实用分析法求解可靠指标及相应的失效概率pf()的迭代步骤如下： （1）假定的初值，计算pf()，1pf1()()； （2）假定Xi的初值，如取均值。 （3）计算

gXi值；

P（4）当

gXi0时，计算i，

PgXi0，计算i

P 18

若Xi为正态分布

ii1(1pf)1(pf)

若Xi为对数正态分布

kk1exp(k)exp(k)122，2。式中，kln(1Xi) iiXiXi若Xi为极值I型分布

iln(lnpf)0.57721.2825i，iln[ln(1pf)]0.57721.2825

iX（5）计算X：X

i

i（6）计算cosXi或Xi：

cosXingXiXi2Pgi1XiXiP，XigXiiXPigi1XinPiXi2

（7）计算Xi

由（2.51）式得XiXicosXiXi，或 当

gXi0，XiXiiXiXi；当

gXi0，XiXiiXiXi

PP（8）由g(X1,X2,,Xn)0解出，如与初值相差很小，则停止迭代，否则新值

作为初值重新迭代直到满足精度要求为止。

除了以上四种方法外，还有设计点法和几何法也是一次二阶距的主要方法，在这里就不详细介绍。

3.2高次高阶距法

3.21蒙特卡罗（Monte Carlo）模拟法

蒙特卡罗模拟法也是结构可靠度分析的基本方法之一，具有模拟的收敛速度与基本随机向量的维数无关、极限状态函数的复杂程度与模拟过程无关、无需将状态

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函数线性化和随机变量当量正态化、能直接解决问题和精度较容易确定的特点。由于具有相对精确的特点，除用于一些复杂情况的可靠度分析外，也常用于各种近似分析方法计算结果校核。 蒙特卡罗法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不需考虑功能函数的非线性和极限状态曲面的复杂性，直观、精确、通用性强；缺点是计算量大，效率低。

由于以一次二阶矩理论为基础的可靠度计算方法对于非正态分布的随机变量和非线性表示的极限状态函数等问题的处理上还存在着相当的近似性，因此，基于蒙特卡罗法的结构可靠度数值模拟方法得到了重视。

工程结构的破坏概率可以表示为

pfP{G(X)0}Dff(x)dX （2.81）

其结构的可靠指标为

1(1pf) （2.82）

式中X(X1,X2,,Xn)T是具有n维随机变量的向量；f(X)f(X1,X2,,Xn)是基本随机变量X的联合概率密度函数，当X为一组相互的随机变量时，则有

f(X1,X2,,Xn)f(Xi) （2.83）

i1nG(X)是一组结构的极限状态函数，当G(X)<0时，就意味着结构发生破坏，反之，结构处于安全；Df是与G(X)相对应的失效区域；Φ（*）为标准正态分布的累积概率函数。于是，用蒙特卡罗法表示的失效概率可写为：

1Nˆ)] （2.84） ˆfI[G(XpiNi1ˆ)0时，I[G(Xˆ)]1，反之，I[G(Xˆ)]0；冠标“^”表式中N为抽样模拟总数；当G(Xiii示抽样值。所以3式的抽样方差为

1ˆ2pˆf(1pˆf) （2.85） N当选取95％的置信度来保证蒙特卡罗法的抽样误差时，有

ˆfpfz2ˆ2p或者以相对误差ε来表示，有

ˆf(1pˆf)pN （2.86）

ˆfpfppfˆf1p2 （2.87）

ˆfNp20

ˆf通常是一个小量，则上式可以近似地表示为： 考虑到p42及N （2.88） 2ˆpˆfNpf当给定ε＝0.2时，抽样数目N就必须满足

ˆf （2.） N100/pˆf成反比；当pˆf是一个小量，即pˆf＝10-3时，N=105才能获得这就意味着抽样数目N是与p对pf的足够可靠估计；而工程结构的破坏概率通常是较小的，这说明N必须要有足够大的数目才能给出正确的估计。

在结构可靠度数值模拟中，蒙特卡罗法的特点是明显的，该方法具有模拟的收敛速度与基本随机变量的维数无关，极限状态函数的复杂程度与模拟过程无关，更无须将状态函数线性化和随机变量“当量正态”化，具有直接解决问题的能力；同时，数值模拟的误差也可容易确定，从而确定模拟的次数和精度。但是，对于实际工程的结构破坏概率通常小于10-3以下量级的范畴时，蒙特卡罗法的模拟数目就会相当大，占据大量的计算时间，很明显，蒙特卡罗法是很难直接应用于实际的工程结构可靠分析之中去。

此外，高次高阶距法还包括：

（1）二次二阶距法 它的结果是在一次二阶距法结果的基础上乘一个考虑功能函数二次非线性影响的系数，所以可以看作是对一次二阶距法结果的修正。

（2）二次四阶距法 利用信息论中最大熵原理构造已知信息下的最佳概率分布，基本上避免了上述方法因采用经过人为加工处理过的基本资料而可能改变其对现实真正反映的问题，从这一点来看二次四阶距法是优秀的，但关于该法的研究还很少，仍处于发展阶段。 （3）响应面法 该方法的基本思想是假设一个包括一些未知参量的极限状态变量与基本变量之间的解析表达式，然后用插值方法来确定表达式中的未知参量，关键在于确定响应面函数的系数

（4）随机有限元法

随机有限元法的基本思路是通过对随机变量进行各种不同形式的展开，形成不同的随机有限元法，随机有限元与可靠度计算相结合是目前人们不断探讨的课题，对于解决复杂结构可靠性设计问题具有强大的生命力和广阔的发展前景。

总结 通过上述对目前结构可靠度计算方法的综合评述，有如下几点体会：（1）对于极限状态方程线性或非线性程度不高的简单结构，用一次二阶距法计算可靠度能满足工程实际需要，且简单易行。（2）对于大型复杂结构，其功能函数一般不能以显式表达，且大多具有高次非线性特征，应用响应面法、Monte carlo法具有一定优势。尤其是随着计算机应用

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技术的发展和进步，Monte carlo法和SFEM法具有更好的发展前景。（3）结构点可靠度计算程序简单、易于实现，但不能真正反应结构体系可靠性问题，与工程实际情况不甚相符。随着科技的进步，对结构体系可靠度的研究将是可靠度的发展。

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