２０１ ７年第７期 蒙特卡罗方法计算定积分 黄婧涵 北京十一学校。北京１０００３２ 摘 要数学领域中，定积分计算问题应用广泛，经典的定积分数学定义方法可直接用于求解定积分，但是，对 于函数解析式未知的情况下，传统的数学定义方法无法进行定积分计算，而蒙特卡罗方法对函数解析式不进行， 其以概率方法进行近似计算从而逐渐逼近定积分理论值。本文针对函数解析式已知与未知的两种情况，分别以定积 分数学定义方法和蒙特卡罗方法进行定积分计算，并从算法收敛速度以及计算结果精确度两方面对算法进行评测。 实验结果表明，定积分数学定义法收敛速度快，计算精度高，但是普适性低，对于函数解析式未知情况下无法进行 计算；而蒙特卡罗方法尽管收敛速度较慢，但是普适性极高，且函数解析式未知情况下，效果更优。 关键词微积分；定积分；蒙特卡罗方法；收敛速度 中图分类号０１ 文献标识码Ａ 文章编号２０９５—６３６ ３（２０１７）０７—０００３—０２ １概述 领域。对于定积分计算领域因函数厂（ ）解析式未知而无 微积分 是数学领域的一个基础学科，是高等数 法运用定义方法进行定积分计算的难题，蒙特卡罗方法 学中研究函数微分、积分以及有关概念与应用的数学分 以统计模拟方法进行定积分计算。 支，其研究范畴包含３个方面：微分、积分以及微分与 ２蒙特卡罗方法计算定积分 积分两者之间的关系。 定积分就是求解函数，（ ）在区间［ａ，ｂ］上图线下 微分是对函数局部变化率的一种线性描述，其近 方包围的面积，即在Ｏｘｙ坐标平面上，曲线ｆ（ｘ）与直线 似描述当函数自变量取值发生足够小的改变时，函数值 Ｘ＝ａ、 ：ｂ以及Ｘ轴围成的曲边梯形的面积值（确定的 的改变。微分即为求解函数导数，（ｘ）＝Ｆ （曲，Ｆ（ｘ）为原 实数值）。其数学定义为：若函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上 函数，ｆ（ｘ）为函数导数，函数导数的几何意义为函数图 连续，以平行于Ｙ轴的直线分割图象为无数个矩形，而 象于某一点的切线的斜率。 后累加区间［ａ，ｂ］上的矩形。具体方法如下： 积分是微分的逆过程，即由函数的导函数反求原 １）假设函数厂（ｘ）与直线Ｘ＝ａ、ｘ＝ｂ以及Ｘ轴 函数。积分有定积分与不定积分两个方向，定积分数学 Ｙ＝０围成区域Ｍ，以 表示其面积。 定义即为求解函数，（ ）在区间［ａ，ｂ］上图线下方包围 ２）以平行于Ｙ轴的直线Ｘ＝ｘｉ，ｉ＝ｌ…２．，ｎ沿着Ｘ轴 的面积；不定积分为ｆｆ（ｘ）ｄｘ，函数上下限未知，原函数 均匀分割区域Ｍ为无数个矩形（近似矩形），矩形宽为 Ｆ（ ）＋ｃ因常数Ｃ不确定而不定。定积分与不定积分看似 ＝ 一 。习惯上，以等差级数划分区域，即划分后的 毫不相关，但是数学领域的一个重要理论，即牛顿一莱 矩形宽度△ 相等（即使 不相等，积分值保持不变）。 布尼兹公式，揭示了两者的本质联系，如下： ３）于每个小区间 ， 】上任取一点 若，（ｘ）是［ａ，ｂ］上的连续函数，并且有Ｆ’（ ）＝，（ ）， Ｘ＝Ｘｊ，Ｊ＝１，２，．．，ｎ，ｆ一１ Ｊ ｉ，对矩形面积作和式，矩形 则』：ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ ）一Ｆ（ａ）。也就是说，一个定积分的值就 面积和Ｓ ，（ ） ｈｘＩ＋，（ ） ＋…＋，（ ） Ａｘ．，则区域面积 是原函数积分上限的值与原函数在积分下限的值的差 Ｓ。当 ＋∞时，Ｓ ，积分值无限接近区域面 值，即牛顿一莱布尼兹公式计算定积分。其表明对于图 形无限细分再累加成为可能，并可将其转化为对积分的 积 。 蒙特卡罗方法求解定积分 的具体方法如下： 计算，揭示了积分与微分本质的关系，因此牛顿一莱布 １）基于所求函数与坐标轴围成的不规则区域Ｍ的 尼兹公式又称微积分基本定理。 边界，框定一个与之相对应的规则区域Ｎ（确保区域Ｎ 然而计算定积分 的数学定义方法以及牛顿一莱 面积可准确计算），则有Ｍ∈Ｎ。 布尼兹公式方法都仅限于函数，（ｘ）解析式己知的情况， ２）在区域Ⅳ中随机产生若干随机点 ， ．．．．， ，统 对于厂（ ）未知解析式的情况下，无法进行定积分求解。 计随机点 落入区域 中的概率（记为Ｐ），以 表示 蒙特卡罗（Ｍｏｎｔｅ—Ｃａｒｌｏ） 方法是２０世纪４０年 区域Ⅳ的面积、 表示区域 的面积，则 尸 。 代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，被提 ３）当ｎ 佃时，计算结果 Ｐ无限趋于面积理论 出的一种以概率理论 为指导的一类极其重要的数值 值 。 计算方法，是以随机抽样为主要手段，使用随机数（或 对于定积分计算问题，若函数，（ ）解析式已知，则 伪随机数）解决数值计算问题的方法，又称统计模拟方 可以传统的数学定义方法可直接求解定积分，亦可以蒙 法。蒙特卡罗方法是一种重要的利用计算机模拟的近似 特卡罗方法以概率的近似计算方法求解定积分；但是对 计算方法，主要用于解决确定性的数学问题（如计算定 于函数，（ ）解析式未知的情况，传统的数学定义方法无 积分）和随机性问题（如扩散问题），广泛应用于各个 法进行定积分计算，而以概率论进行近似计算的蒙特卡 作者简介：黄婧涵，北京十一学校。 科学前沿论坛 罗方法对函数解析式无限定，依旧适用于定积分计算。 ３实验结果 针对函数，（ ）解析式已知与未知的两种情况，分别 以数学定义方法与蒙特卡罗方法进行定积分计算，实验 结果如下。 对于函数，（ ）解析式己知的情况下，用蒙特卡罗方 法求解函数Ｙ＝ 、Ｙ＝ｓｉｎｘ 、Ｙ：Ｐ 在（０，１）所围区 域面积的误差变化分别如图１（ａ）、图２（ａ）、图３（ａ） 所示（下午以蒙卡方法简称蒙特卡罗方法）；用数学定 义方法分别求解函数Ｙ＝ 、Ｙ＝ｓｉｎｘ 、Ｙ＝ｅ。在（（０，１） 所围区域面积的误差变化分别如图１（ｂ）、图２（ｂ）、 图３（ｂ）所示。其中，各图中横坐标代表实验次数， 纵坐标代表定积分误差。 爹毒专暑 燕奎 ５００Ｅ一嚣３ ４鸯０｝０３ ３ Ｃ．ＯＥ一。３ 涯§ ４ ２ ０ ０ ０：涎 雠 ， ｉ涯２ ００Ｅ－０３ 强鐾；髓 游 ∞ｉ ００｝０３ 巷００ Ｅ｛００ 燎 麓 ≮ 蒙卡方法求解定积分的误差变化 毫 专曩谬受ｉｔ ５ ００Ｅ一蕊 ５∞Ｅ 泓 ＃。。Ｅ４３５ Ｓ ＯＯＥ 。５ １００Ｅ－嚣 ｉ．ＯＯＥ∞Ｓ ０。。￡｝∞ 定义方法求解定积分的误差变化 熏毫 毫菘差支诧 ｌ５灏《ｌ ｊ ＯＯＥ－０３ ２ ５０Ｅ崦３ ２ＯＯＥ茁 ｉ ５ＯＥ－搿 １．００Ｅ－０３ ＯＯＥ一猫 ０潞￡砖０ 嗨 媾 图２（ａ）蒙卡方法求解定积分的误差变化图 麓 溅 ； 图２（ｂ）定义方法求解定积分的误差变化 零书专囊事曼譬 § 由 ￡噩｝ 廷 漫 豁 船瓣 图３（ａ）蒙卡方法求解定积分的误差变化 了 专蠢主鼍弩乏 ３ ５０Ｅ船５ ３ ０ 一 ２ ５０Ｅ・瑟 ２ ００Ｅ电Ｓ ｌ Ｓ艇ｔ０５ ｌ ００Ｅ・Ｃ＇５ Ｓ ０髓母Ｓ ０辩Ｅ ∞ 瓣麓瓣 图３（ｂ）定义方法求解定积分的误差变化 由上述３组图表曲线趋势可以得出，已知函数 厂（ ）解析式的情况下，数学定义方法直接求解定积分的 误差数据呈单调递减趋势，且实验次数达到７．６Ｅ＋０５时， 结果误差趋于０，达到平稳状态；蒙特卡罗方法求解定 积分的误差数据逐渐递减，但是一直处于波动状态。因 此就收敛效果来说，以数学定义方法求解定积分效果更 优，收敛速度快，计算结果精度高。 对于函数ｆ（ ）无法用解析式表达的情形，数学定 义方法无法进行定积分计算，蒙特卡罗方法求解定积分 的结果误差如图３（ｂ）所示，图中以Ｙ＝ 曲线夹杂随 机生成的间断点生成，（ｘ）数据。其中，横坐标代表实验 次数，纵坐标代表定积分值，已知定积分理论值为０．３３。 由图４可以看出，蒙特卡罗方法求解定积分的结果误差 波动逐渐趋于平稳，与己知函数，（ ）解析式的定积分计 算的收敛情况相比，其整体误差降低，误差波动减小。 （下转第３４页） 诬 科学理论探索 表１承载板测定结果 碎石层顶面当量 回弹模量／ＭＰａ ２８７．５ ３０６．９ 不粘黏车轮为准。选取钢轮压路机进行１到２遍碾压 计算回弹变形 ／０．Ｏｌｍｍ ８ １５ 承载板压力／ＭＰａ Ｏ．１ ０．２ 施工。 ４）表面整平。沥青面层加铺前，在路面碎石化表 ３４５．３ ２８７．８ ３０６．９ ０．３ ０．５ Ｏ．６ ２０ ４０ ４５ ３２２．３ ３Ｏ６．９ Ｏ．７ ０．８ ５０ ６０ 按照下式通过承载板测试结果将回弹模型计算 出来。 Ｅｏ ＝ ｒ～１ ，∑ ， Ｐｄ（／（４ｆ４∑ｆｌ 其中，第ｉ级承载板压力可由Ｐｉ表示；承载板直 径可由Ｄ表示；碎石层泊松比可由｜ｌ 表示；对应于Ｐｉ 的计算回弹变形值可由Ｉｉ表示。 以此可得出水泥碎石层顶面破碎后的当量回弹模 量为３０９．２ＭＰａ。 ４碎石化施工要点分析 １）路面破碎。破碎施工顺序为“外侧车道一路 肩一内侧车道”。两幅破碎操作面的施工搭接宽度为 ２０ｃｍ左右。施工过程中必须对机械行驶速度、频率等 进行适当调整，保证均匀破碎。由于无法水平移动锤头， 导致无法破碎路面两侧边缘５０ａｍ～７５ｃｍ，为此，破碎 时可适当调节共振机械和边缘之间角度，一般控制在 ３Ｏ。～５Ｏ。范围。 面凹陷位置必须选取沥青混合料进行找平，确保加铺沥 青面层具有良好平整度。 ５）沥青面层摊铺及碾压。碎石化环节如基层出现 下降、松散等问题，需立即更换贫混凝土材料进行换填。 同时，在沥青混凝土摊铺时，必须清理干净全部松散填 缝料、胀缝材料等。在摊铺之前，应先对运输至现场的 沥青混凝土进行检测，保证其温度能够满足施工的要求。 其次是对摊铺机运行速度的控制，确保其处于匀速运行 的状态，禁止出现紧急加速或减速的现象，确保摊铺的 平整程度。同时注意对摊铺温度的控制，一般情况下摊 铺时沥青混合料的温度应保持在１１０℃～１６５℃之间， 摊铺作业完成后应检测摊铺的质量，若存在摊铺不平整 的部分，则需要及时组织施工人员进行人工摊铺，提高 沥青混凝土摊铺的质量。碾压施工的主要目的就是向表 面裂纹位置压入表面细碎粒，最大限度提升破碎混凝土 模量，保证路基空隙内全部嵌满破碎混凝土材料，并保 证表面压实后，具有良好平整性。 ５结论 综上所述，随着社会经济的快速提升，公路建设 取得了突飞猛进的发展。为满足交通量及社会经济发展 需求，必须做好路面改造工程施工作业。共振机械碎石 化施工作为路面改造工程建设的重要施工方式，将其广 泛应用于公路建设当中，可大大提升工程施工质量，有 效解决路面病害问题。为此，施工单位必须重视碎石化 改造技术，全面提升施工技术水平，规范施工工艺，只 有这样才能促进公路工程事业持续、健康发展。 参考文献 ［１】黄琴龙，杨壮，余路．高速公路旧水泥混凝土路面共振碎 石化技术的应用与效果评价…．交通科技，２ ０１ ７（１）： ３１—３３． ２）破碎后压实。选取钢轮压路机对破碎后的路面 进行振动压实，碾压遍数需控制在３～５遍，每小时碾 压速度控制在５ｋｍ以下，保证表面平整度符合设计要求。 压实的主要目的就是充分破碎存有路面的扁平颗粒，保 证下层块料稳固，将一个平整的表面提供给新铺混凝土 面层。 ３）乳化沥青透层。为增强松散粒料结合力，需 选取慢裂乳化沥青用于透层，要求每平方米用量为 ２．５Ｌ～３．０Ｌ之间。随后将一层清洁干净的石屑（粒径 为３ｍｍ～５ｍｍ）铺撒到乳化沥青透层表面，石屑用量以 （上接第４页） 蘩莒曩臻求簿耄黪移 ［２】杨勇．碎石化施工技术在水泥混凝土路面大修工程中的应用 ［Ｊ］．科技经济市场，２０１６（１ ０）：４９—５０． ［３】钟蔚，廖刚锋．碎石化技术在公路路面工程施工中的应用分 析［Ｊ］．珠江水运，２Ｏ１５（２４）：９４—９５． 难以实现函数解析式未知的定积分求解问题；而蒙特卡 罗方法尽管收敛速度较慢，精度较低，实验结果误差并 非单调递减趋势，但是普适性强，对函数解析式未知的 定积分计算依然适用。 参考文献 ［１】同济大学数学编委组．微积分：上册［Ｍ．３版．北京：高等教 Ｍ］育出版社，２００９． 【２】马晓涛，马华．定积分计算中的几个常用方法［Ｊ】．高等数学 ， 研究，２００５，８（６）：３６． 图４蒙特卡罗方法求解定积分 【３］尹增谦等．蒙特卡罗方法及其应用［Ｊ】．物理与工程，２００２， １２（３）：４５－４９． ４结论 综上所述，两种方法在不同情况下收敛效果不同。 定积分数学定义方法适用于给定函数解析式的定积分求 解，其收敛速度快，计算结果精度高，然而普适性较低， ［４】马振华．现代应用数学手册：概率统计与随机过程卷［Ｍ】．北 京：清华大学出版社，２０００：１２３－１ ３０． 【５］宫野．计算多重积分的蒙特卡罗方法与数论网络法［Ｊ］．大连 理工大学学报，２００１，４（１１）：２０－２３．
