基于点云的二次曲面特征提取理论和技术研究

基于点云的二次曲面特征提取理论和技术研究

姓名：孙庆申请学位级别：硕士专业：机械制造及其自动化

指导教师：柯映林

20030101

浙江大学硕士学位论文摘要本文针对反求工程ＣＡＤ建模路线：从点云提取特征曲面，再进行曲面参数化ＣＡＤ造型过程中非常关键的步骤一一特征提取进行了深入研究，着重研究了二次曲面特征的提取，并对点云中的全局特征约束优化技术进行了有益的探索。在当前反求工程ＣＡＤ建模技术中，区域分割与特征识别是公认的薄弱环节，而出群件数字化得到的散乱点云中直接进行特征提取，并依据特征参数进行ＣＡＤ建模是～。条重要的建模路线，对提高反求工程建模效率，实现产品的快速反求；提高反求工程建模精度，实现产品的精确建模；提高反求模型的修改能力，实现产品的创新设计等都具有重要意义。本论文研究的正是这条建模路线中的一些关键问题。实物产品尤其是机械零件的表面通常是由一些可以称为特征的几何曲面组成，这些几何特征曲面主要包括二次曲面、自由曲面和过渡曲面等。而在点云的特征提取中，首先提取的是包括平面、自然二次曲面（包括球面、圆柱面、圆锥面）和圆环面的“简单”曲面，我们认为平面是一种退化了的二次曲面，因此研究二次曲面特征的提取是其中首要的课题。在提取几何曲面特征的过程中，数据点的分割与曲面的拟合几乎是同时进行的，而一般来说曲面拟合是两者之中的主动因素。本文着重研究了基于点云的二次曲面特征的提取技术，提出并实现了利用线性和非线性的最小二乘方法由测量数据点拟合平面以及球面、圆柱面、圆锥面等自然二次曲面的算法，并详细论述基于晟４，－－乘方法和区域生长的二次曲面特征提取技术。此外，还研究了自由曲面和过渡曲面特征提取的一些理论和方法。反求工程ＣＡＤ建模的一个重要目标不仅是要还原模型几何特征，还要还原特征之间的约束，孤立的曲面拟合不能与现代参数化设计及特征全相关的设计理念相符合。基于特征提取与约束优化的反求ＣＡＤ建模策略将最优化数学模型引入反求工程，使单张曲面拟合转换成几何模型的全局求解，这与设计者的意图和造型规律是相符合的。本文对于特征全局约束优化技术进行了有益的探索，提出了有效的研究路线。以上所有的研究内容都是从反求工程ＣＡＤ建模的实际工程背景出发，具有很强的工程应用价值。大量的应用实例表明，本文的研究理论和技术是成功的，结果也是令人满意的。关键词：反求工程，特征提取，二次曲面特征，点云，最４、－－－－乘拟合，特征约束最优化浙江大学硕士学位论文ＡｂｓｔｒａｃｔＷｉｔｈｒｅｇａｒｄｔｏＣＡＤｍｏｄｅｌｉｎｇｉｎｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（ＲＥ），ｓｏｍｅｋｅｙｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｆｒｏｍｐｏｉｎｔｃｌｏｕｄａｎｄｐａｒａｍｅｔｒｉｃｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ，ａｒｅｓｔｕｄｉｅｄ．Ｆｏｒａｎｅｗｓｏｌｕｔｉｏｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓａｉｍｓａｔｔｈｅｆｅａｔｕｒｅ—ｂａｓｅｄＣＡＤｍｏｄｅｌｉｎｇａｎｄｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｆｏｃｕｓｅｓｏｎｔｈｅｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅｅｘｔｒａｃｔｉｎｇａｎｄｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇｗｉｔｈｇｉｖｅｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｓ．Ｔｈｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅｏｆｓｅｇｍｅｎｔｉｎｇａｎｄｆｅａｔｕｒｅｉｄｅｎｔｉｆｙｉｎｇｉｓｔｈｅｂｏｔｔｌｅ—ｎｅｃｋｐｒｏｂｌｅｍｏｆＣＡＤｍｏｄｅｌｉｎｇｉｎＲＥ．ＦｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｎｇｆｒｏｍｐｏｉｎｔｃｌｏｕｄｄｉｒｅｃｔｌｙａｎｄｔｈｅｎＣＡＤｍｏｄｅｌｉｎｇｗｉｔｈｔｈｅｆｅａｔｕｒｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｓａｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｐｒｏｃｅｓｓ，ａｎｄｉｔｃａｎｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｅｍｃｉｅｎｃｙａｎｄｐｒｅｃｉｓｉｏｎ．Ｓｏｍｅｋｅｙｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｔｈｉｓｐｒｏｃｅｓｓａｒｅｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ．ＧｅｎｅｒａｌｌｙｔｈｅｓｕｒｆａｃｅｏｆｏｂｊｅｃｔｓＳＵｃｈａｓｍｅｃｈａｎｉｃａｌｐａｒｔｓｉＳｍａｉｎｌｙｃｏｍｐｏｓｅｄｏｆｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅ，ｆｒｅｅ．ｆｏｒｉｌｌｓｕｒｆａｃｅａｎｄｂｌｅｎｄｉｎｇｓｕｒｆａｃｅ，ｗｈｉｃｈａｒｅｄｅｆｉｎｅｄａｓｆｅａｔｕｒｅｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｉｎｒｅｌａｔｉｏｎｔｏｔｈｅｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｎｇ，ｔｈｅｆｉｒｓｔｓｔｅｐｉｓｔｏｅｘｔｒａｃｔｔｈｅ‘‘ｓｉｍｐｌｅ”ｓｕｒｆａｃｅｓｓｕｃｈａｓｐｌａｎｅｓ，ｎａｔｕｒａｌｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅｓ（ｓｐｈｅｒｅｓ，ｃｙｌｉｎｄｅｒｓａｎｄｃｏｎｅｓ）ａｎｄｔｏｒｉ．Ｐｌａｎｅｓｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄａｓｄｅｇｅｎｅｒａｔｅｄｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅｓ，ｔｈｅｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｎｇｓｈｏｕｌｄｂｅｍｏｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎＲＥ．Ｉｎｔｌｌｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｎｇ．ｓｅｇｍｅｎｔｉｎｇａｎｄｓｕｒｆａｃｅｆｉｔｔｉｎｇａｒｅｎｅａｒｌｙｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ，ｈｏｗｅｖｅｒｓｕｒｆａｃｅｆｉｔｔｉｎｇｉＳｒｅｇａｒｄｅｄｍｏｒｅ．ＩｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｈｏｗｔｏｅｘｔｒａｃｔｔｈｅｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅｆｅａｔｕｒｅｆｒｏｍｐｏｉｎｔｃｌｏｕｄｉＳａｄｄｒｅｓｓｅｄ．Ｓｏｍｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｐｌａｎｅｆｉｔｔｉｎｇ，ｓｐｈｅｒｅｆｉｔｔｉｎｇ，ｃｙｌｉｎｄｅｒｆｉｔｔｉｎｇａｎｄｃｏｎｅｆｉｔｔｉｎｇａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄａｎｄｐｒｏｇｒａｍｍｅｄｗｉｔｈｌｉｎｅａｒｏｒｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄｆＬＳＭ）．Ａｓａｌｌａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｏｌ，ｂａｓｅｄｏｎＬＳＭａｎｄｒｅｇｉｏｎｇｒｏｗｉｎｇ，ｓｏｍｅｎｅｗｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｏｆｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｎｇａｒｅｅｘｐｌｏｒｅｄａｌｓｏ．Ｆｉｎａｌｌｙｓｏｍｅｔｈｅｏｒｉｅｓａｎｄｍｅｔｈｏｄｓｏｎｆｒｅｅ—ｆｏｒｍｓｕｒｆａｃｅａｎｄｂｌｅｎｄｉｎｇｓｕｒｆａｃｅｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｎｇａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．ＴｈｅＣＡＤｍｏｄｅｌｉｎｇｉｎＲＥｃｏｖｅｒｓｎｏｔｏｎｌｙｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｆｅａｔｕｒｅｓｂｕｔａｌＳＯｔｈｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．ＬｏｃａｌｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｓｕｒｆａｃｅｆｉｔｔｉｎｇｉＳｎｏｔａｄａｐｔｉｖｅｔｏｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｐａｒａｍｅｔｒｉｃｄｅｓｉｇｎａｎｄｆｅａｔｕｒｅｄｅｓｉｇｎ．ＡｎｅｗｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｓｂｒｏｕｇｈｔｉｎｔｏＲＥｂｙｊｏｉｎｉｎｇｔｈｅｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｎｇａｎｄｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇｔｏｇｅｔｈｅｒ，ｗｈｉｃｈｓｅｅｋｓａｇｌｏｂａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｂｕｔｎｏｔａｓｉｎｇｌｅｓｕｒｆａｃｅｆｉｔｔｉｎｇ．Ｉｔｍａｋｅｓｔｈｅｒｅｖｅｒｓｅｄｅｓｉｇｎｍｅｅｔｔｈｅｕｓｅｒ’Ｓｐｕｒｐｏｓｅｂｅｔｔｅｒ．ＡＵｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈＷＯｒｋｍｅｎｔｉｏｎｅｄａｂｏｖｅｉｓｄｅｒｉｖｅｄｆｒｏｍｐｒａｃｔｉｃａｌｂａｃｋｇｒｏｕｎｄｏｆｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣＡＤｍｏｄｅｌｉｎｇａｎｄｉｔｏｗｎｓｓｔｒｏｎｇａｐｐｌｉｅｄｖａｌｕｅ．Ｉｎｐｒａｃｔｉｃａｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓａｒｅｐｒｏｖｅｄｔｏｂｅｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌ，ｒｏｂｕｓｔａｎｄｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ．ＫｅｙＷｏｒｄｓ：Ｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｎｇ，Ｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅｆｅａｔｕｒｅ，Ｐｏｉｎｔｃｌｏｕｄ，Ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｆｉｔｔｉｎｇ，Ｆｅａｔｕｒｅｓａｎｄｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ，Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ浙江大学硕士学位论文第一章绪论§１．１反求工程技术综述一、反求工程的含义和研究背景随着科学技术尤其是信息技术的不断进步，制造业的全球化、数字化为传统的制造业注入了新的动力，使其无论在理念上还是在技术手段上都正在经历着飞速变革。其中，以ＲＥ（反求工程，ＲｅｖｅｒｓｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）、ＲＰ（快速原型，ＲａｐｉｄＰｒｏｔｏｔｙｐｉｎｇ）技术为核心的产品（模具）快速制造技术以其快速、敏捷、高效的特点获得广泛关注【ｌ一３】。ＲＰ技术是在２０世纪８０年代后期产生的一种基于材料累加的先进制造技术，它综合了机械、ＣＡＤ、数控技术、激光及材料等多个学科，成型原理突破了传统的零件成型法（如锻、冲、拉伸、铸、注塑）和基于材料剔除的切削加工方法，在没有工装夹具或模具的条件下，可以自动、直接、快速、准确地将设计思想转变为具有一定功能的、任意复杂形状的三维实体模型或零件。反求工程技术作为ＲＰ技术的前端数据处理方法和二次创新设计的主要手段，为实物的快速原型制造提供了一个直观且容易修改的数字化ＣＡＤ模型。ＲＥ和ＲＰ技术如此紧密地结合，对于产品的创新设计，缩短产品的研制周期，减少开发费用，提高企业参与市场竞争的能力具有重要的促进作用。反求工程也称为逆向工程，是相对于传统的正向工程而言的，目前，这种以实物样件为基础的产品建模方法己发展为ＣＡＤ／ＣＡＭ中的一个相对的范畴。传统的产品开发过程遵从正向工程的思维进行，即从市场需求中抽象出产品的概念描述，据此建立产品的ＣＡＤ模型，然后对其进行数控编程和数控加工，最后得到产品的实物模型。概括地说，正向工程是由概念到ＣＡＤ模型，再到实物模型的开发过程。而反求工程则是由实物模型到ＣＡＤ模型的过程。反求工程可以定义为“针对消化吸收先进技术的一系列分析方法和应用技术的结合。它是以先进产品设备的实物、软件（包括图纸、程序、技术文件等）或影象（图象、照片等）作为研究对象，应用现代设计方法学原理、生产工程学、材料学和有关专业知识进行系统深入地分析和研究、探索掌握其关键技术，进而开发出同类的更为先进的产品”［４］。从上面的定义可以看出，反求工程不仅仅是简单地再现产品原型，而是要进一步改进、提高产品原型。广义的产品“反求工程”包括形状（几何）反求、工艺反求和材料反求等诸多方面，是～个复杂的系统工程。目前，国内外大多数有关“反求工程”问题的研究都集中在几何形状、即重建产品实物的ＣＡＤ模型方面【５－１２】。在这一意义下，“反求工程”可定义为：浙江大学硕士学位论文“反求工程”是与将实物转变为ＣＡＤ模型相关的数字化技术和几何模型重建技术的总称［１３．１４］。具体来说，反求工程ＣＡＤ建模的过程包括：对实物样件的表面数字化，然后对这些获得的数据信息进行预处理，得到曲面模型的一些重要特征，最后反算出产品的最终ＣＡＤ模型。图１．１说明了反求工程的实施原理及数据流。图１．１反求工程实施原理简图二、反求工程ｃＡＤ建模的基本步骤及其发展现状反求工程ＣＡＤ建模可以分为数据测量、数据预处理、数据分块与特征提取、ＣＡＤ模型构造等四个基本步骤【８】。１．数据测量技术数据测量是反求工程建模的第一步，它是用一定的测量设备对实物的表面数据（有时也包括内部数据）进行采集。随着计算机和测量技术的飞速发展，测量手段不断丰富［６，１５．１７】。在制造业中常用的测量手段主要有：（１）坐标测量机［１８，１９】坐标测量机可以配备触发式测量头和连续扫描式测量头，对被测件进行的单点测量和扫描测量。坐标测量机具有测量精度高的优点，但其测量速度和效率较低，而且不能对松软物体进行测量，还需要对测量数据进行测头半径补偿。然而由于坐标测量机能够同时对被测件的几何量进行精密测量，它在反求工程数据测量中有较广应用。目前，坐标测量机已经开始配备激光扫描测头，实现坐标测量机的非接触式测量。浙江大学硕士学位论文（２）激光扫描测量法［２０—２３］激光扫描测量法，又称光切法，是一种基于线结构光和三角测量原理的非接触式测量方法。该方法沿着扫描方向顺序采集测量数据，在测量时不与被测件发牛接触，因而可以对松软物体进行测量，而且测量速度快，测量数据无需进行测头半径补偿。这些优势使激光扫描测量法在反求工程数据测量中占据重要位置。（３）投影光栅法［２４】投影光栅法也是一种基于线结构光和三角测量原理的非接触式测量方法，与激光扫描测量法不同的是，投影光栅法通过图像处理的方法，一次得到整幅图像上像素的三维坐标。该方法测量速度快，无需运动平台，尤其具有采集数据量大的优点。（４）层切法［２５，２６】层切法采用铣削的方法将被测件一层一层地铣开，在每层上用ＣＣＤ摄像头摄取断层图像，并提取边界轮廓。该方法最大的优势是能够获得被测件内表面数据，不足之处在于被测件在测量过程中被破坏。（５）工业计算机断层扫描成像法［２７】工业计算机断层扫描成像法，又称工业ＣＴ法，利用ＣＴ扫描设备对被测件进行层析扫描，获取被测件在各个切片层上的内外轮廓数据。该方法同样能够获得被测件内表面数据，而且不破坏被测件，但目前测量精度还比较低。２．数据预处理技术随着测量技术不断发展，各种测量方法的速度和效率不断提高，如德国ＧＯＭ公司的基于投影光栅法原理的Ａｔｏｓ光学测量系统可以在一分钟内完成４３０，０００个数据点的测量。因而，测量结果产生的数据量非常大，并形象化地称之为“点云”数据。在实际工程应用中，由于测量数据中经常存在着多视测量、数据失真和数据冗余等问题，故在曲面重构前需要对测量数据进行预处理。（１１多视拼合在数据测量过程中，由于受到被测件形状、测量方法、测量时定位夹紧等多方面的，一次测量常常无法获得被测件表面的完整数据，需要改变方位进行多次测量。因此，首先需要对各测量数据块进行多视拼合处理，主要是坐标归一化处理和数据重叠处理。在坐标归一化处理中，一般采用绑定参考物（如标准球、标准块等）或多测头同时工作的方法［８】。在数据重叠处理中，需要检测重叠区域并融合重叠数据，目前主要应用于三角化处理后的测量数据中［Ｚ８．３０１。ｆ２）数据平滑由于测量设备的外部震动以及被测件表面粗糙或镜面反射因素，使得测量数据中包含噪声。为了降低或消除噪声对后续建模质量的影响，有必要对测量数据浙江大学硕士学位论文进行平滑处理。对于具有扫描线结构的测量数据，一般采用通过对点列拟合曲线的光顺处理［３１，３２］以及高斯滤波的方法［３３１去除噪声。对于离散的测量数据，首先进行三角化处理，然后应用网格光顺法去除噪声［３４１。（３）数据压缩对于大规模的点云数据，可能存在大量的冗余数据，为了提高后续曲面重构的计算效率，需要按一定要求减少测量点的数据量，即进行数据压缩。数据压缩方法可以分为均匀压缩和非均匀压缩，均匀压缩算法已经比较成熟［３５，３６】，非均匀压缩是目前压缩算法的主要发展方向［３７１。３．数据分块技术数据分块（Ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ）是将点云数据分割成属于不同曲面片的数据子集。在反求工程中，产品表面往往无法由一张曲面进行完整描述，而是由多张曲面片组成，因而必须将测量数据进行分块，然后对各数据块分别构造曲面模型。数据分块技术大体可以分为基于边（ｅｄｇｅ．ｂａｓｅｄ）和基于面（ｆａｃｅ－ｂａｓｅｄ）的两种方法。基于边的数据分块方法［３８，３９］首先在测量数据内部确定边界点，如法矢突变、曲率突变或更高阶微分特性发生突变的数据点，然后将边界点连接为边界曲线，最后利用边界曲线将整个测量数据分割为不同的区域。由于噪声数据对估算数据点的微分特性影响很大，基于边的方法对于噪声数据比较敏感，自动跟踪边界点容易出错，在实际工程应用中还必须辅之人工交互的操作才能完成数据分块。基于面的数据分块方法［４０’４１】则采用区域生长的方法，用不同类型的曲面拟合区域数据，并依据拟合误差大小确定曲面类型，直到拟合误差超出给定的阈值，然后继续选择种子点进行区域生长和曲面拟合。基于面的方法在区域生长的同时，动态调整拟合曲面的类型，因而算法效率较低，而且无法处理自由曲面区域的分割。针对噪声数据影响数据分块准确性的缺点，不少学者还提出了利用神经网络的方法［４２，４３］，对测量数据进行自学习，根据不同的噪声数据自动调整各种阈值参与数据分块，提高数据分块的准确性。另外，由于基于边的方法没有提供曲面信息，而基于面的方法缺少边界信息，对此又出现了混合应用基于边和基于面的数据分块技术［４４，４５】。ｇ．曲面重构技术曲面重构是反求工程的关键环节，其目的是要构造满足精度和光顺性要求，并与相邻曲面光滑拼接的曲面模型。根据曲面拓扑形式的不同，可以将曲面重构方法分为两大类：基于矩形域曲面的方法和基于三角域曲面的方法。４浙江大学硕士学位论文（１）基于矩形域曲面的方法在ＣＡＧＤ中，非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）为曲线曲面提供了统‘的数学描述方法，是ＳＴＥＰ标准中描述工业产品几何形状的唯一的方法，商品化的ＣＡＤ／ＣＡＭ软件都是以ＮＵＲＢＳ为基础的。因此，基于矩形域曲面的方法是反求工程曲面重构的主要方法，许多学者对此进行了大量的研究。由于权因子的存在，使得ＮＵＲＢＳ曲面重构算法比较复杂，在实际工程应用中，Ｂ样条曲面的使用较为广泛。Ｍａ和Ｋｒｕｔｈ［４６１以及Ｐａｒｋ和Ｋｉｍ［４７］都提出了插值于边界并对内部点进行拟合的Ｂ样条曲面构造方法。Ｍｉｌｒｏｙ［４８１提出调整边界曲线控制顶点的方法，解决了Ｂ样条曲面片之间的光滑拼接（Ｇ１连续）的问题。Ｐｉｅｇｌ［４９］通过对玑ｖ两个方向的Ｂ样条曲线拟合，实现了对扫描测量数据的曲面拟合。Ｌｉｎ［５０］提出了首先将测量数据按行进行Ｂ样条曲线拟合，然后蒙皮生成曲面的方法。Ｋｒｕｔｈ［５１］和Ｌａｉ［５２］也研究了在边界约束条件下的Ｂ样条曲面重建方法。对ＮＵＲＢＳ曲面的重构，一般首先将大规模的数据点进行压缩，再进行曲面重构。文献［５３】采用体积剖分（Ｓｐａｔｉａｌｂｉｎｎｉｎｇ）法压缩数据，并通过局部多重二次技术生成曲面的规则拓扑网格，再进行ＮＵＲＢＳ曲面拟合。来新民等【５４］提出了基于曲率测度的大规模散乱数据点自适应压缩方法压缩数据，再用ＮＵＲＢＳ曲面进行拟合。另外也有学者提出利用神经网络来处理反求工程中的曲面重构问题。Ｇｕ［５５】提出将人工神经网络ＢＰ算法用于曲面建模，逼近拟合方程。陈东帆［５６】对人工神经网络ＢＰ算法作了进一步改进。（２１基于三角域曲面的方法三角域曲面构造是以三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面为理论基础的［５７】，它具有构造灵活、边界适应性好等特点，一般用于具有任意拓扑结构的散乱数据曲面造型中。该方法通过三个步骤，即数据三角化、曲线网构造、三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面构造，可以在测量数据上构造一张整体Ｇ１连续复合三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面模型。在国外，这方面的研究工作华盛顿大学起步较早，Ｈｏｐｐｅ［５８－６１］在对大规模散乱测量数据的三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面重构问题进行了研究，并在许多刊物上发表其研究成果。在国内，浙江大学是研究散乱数据三角曲面插值理论并将该理论用于解决反求工程ＣＡＤ建模问题较早的单位之一。柯映林博士【６２】在其博士论文中系统研究了三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面造型，并提出了将三角曲面模型应用于反求工程的设想，其合作者进一步研究了基于三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面的反求工程ＣＡＤ建模关键技术［２９，６３，６４］，陈志杨［６５】则研究了三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面与ＮＵＲＢＳ曲面的转换技术，实现了三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面与通用ＣＡＤ／ＣＡＭ软件的数据交换功能。浙江大学硕士学位论文５．ＣＡＤ模型构造技术反求工程的最后一个步骤就是要构造完整一致的边界表示（Ｂ－ｒｅｐ）ＣＡＤ模型，即用完整的面、边、点信息来表示模型的位置和形状［６６】。由于重构的曲面片之间可能存在着裂缝，或者缺少曲面边界信息等原因，使得表示产品模型的几何信息和拓扑信息不完整。因此，必须使用其它手段，如延伸、求交、裁剪、过渡、缝合等曲面的高级计算功能，建立模型完整的面、边、点信息。对于ＮＵＲＢＳ曲面和三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面，这些曲面的高级计算功能都已很成熟，尤其是ＮＵＲＢＳ曲面的高级计算功能在一般的商业ＣＡＤ／ＣＡＭ软件中都已具备。三、反求工程商业软件随着反求工程建模理论研究的不断深入，已涌现出一批商业反求工程ＣＡＤ软件，比较常用的有ＥＤＳ公司的Ｉｍａｇｅｗａｒｅ、ＰａｒａＦｏｒｍ公司的ＰａｒａＦｏｒｍ、ＤＥＬＣＡＭ公司的ＣｏｐｙＣＡＤ、ＣＩＳＩＧＲＡＰＨ公司的ＳＴＲＩＭｌ００、ＩＣＥＭ公司的ＩＣＥＭＳｕｒｆ以及国内浙江大学的ＲＥ．ＳＯＦＴ等。ＥＤＳ公司的Ｉｍａｇｅｗａｒｅ软件（原为Ｓｕｒｆａｃｅｒ）ｆ６７］主要有四个方面的功能：①测量点的分析处理功能，可以接受各种不同来源的数据，如ＣＭＭ、Ｌａｓｅｒｓｅｎｓｏｒｓ、Ｍｏｉｒｅｓｅｎｓｏｒｓ、Ｕｌｔｒａｓｏｕｎｄ等。②曲面模型构造功能，能够快速而准确地根据测量数据构造ＮＵＲＢＳ曲面模型。③曲面模型精度、品质分析功能。④曲面修改功能，曲线和曲面可以实时交互形状修改。ＰａｒａＦｏｒｍ公司的ＰａｒａＦｏｒｍ软件［６８１使用较为广泛，其主要功能有①接受ＡＳＣＩＩ和ＩＧＥＳ格式的测量数据，并实现快速三角划分。②基于曲率的特征分析，提取特征曲线用于数据分块。③在给定精度和跨界连续性约束下的ＮＵＲＢＳ曲面拟合。④通过曲线网编辑和全局联动功能，实现曲面变形。ＤＥＬＣＡＭ公司的ＣｏｐｙＣＡＤ软件【６９】主要有如下功能①各种测量数据输入和转换处理，以及根据给定允差构造三角面片模型。②根据三角面片模型，交互或自动提取特征曲线。⑧利用特征曲线构成的网格构造ＮＵＲＢＳ曲面片，并根据连续性要求实现曲面片之间的光滑拼接。④曲面模型精度和品质分析。ＣＩＳＩＧＲＡＰＨ公司的ＳＴＲＩＭ１００软件［７０】是在国内有较大影响的反求工程软件，其曲面重构主要有以下几个过程：①读取测量点，提出噪声数据。②交互定义模型的特征曲线，建立线框模型。⑧定义曲面片之间的连续性约束，在线框模型上构造ＮＵＲＢＳ曲面片。④进行曲面模型的最后校核。ＩＣＥＭ公司的ＩＣＥＭＳｕｒｆ软件［７１］通过ＰＴＣ公司的ＡＴＢ协议实现与ＰｒｏＥ的集成，实现自由曲面设计与ＰｒｏＥ参数化的完全联动。其反求工程的软件包包括浙江大学硕士学位论文ＩＣＥＭＳｕｒｆＰｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌ、ＩＣＥＭＳｕｒｆＳｃａｎ、ＩＣＥＭＳｕｒｆＣｌａｙ模块，其功能是处理点云数据及实现不同级别（Ａ、Ｂ）曲面的建模。ＩＣＥＭＳｕｒｆ反求工程软件包能够从点云创建曲面，并将曲面质量提升到很高的水平。软件包为设计工程师提供强大的工具来分析和修改点云数据，在点云上创建曲线和曲面，并在接到曲面诊断动态反馈时实时修改模型。浙江大学根据多年的理论研究成果，在国内率先推出了专用的反求工程ＣＡＤ建模软件ＲＥ—ＳＯＦＴ系统［７２，７３］。该软件系统根据矩形域曲面和三角域曲面在曲面重构中优势，提出根据不同的测量数据分别采用两种思路进行反求曲面重构。一种是直接在点云上交互定义特征曲线，建立线框模型，并在指定跨界连续性要求下拟合ＮＵＲＢＳ曲面片。另一种是以三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面模型为数字样品，通过对三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面模型进行合理的划分，分区构造多张ＮＵＲＢＳ曲面，最终将三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面转换整体Ｇ１连续ＮＵＲＢＳ曲面模型。四、反求工程的应用领域反求工程在实际应用中有十分广泛的需求。概括起来，反求工程可以在以下诸多方面发挥重要作用：（１）通过反求工程将实物模型转化为三维ＣＡＤ模型。目前，许多外形设计还难以直接用计算机进行某些物体（如复杂的艺术造型、人体和其他动植物外形等）的三维几何设计，而更倾向于用黏土、木材或泡沫塑料进行初始外形设计，再进行模型设计。（２）反求工程在改型设计方面可以发挥不可替代的作用。由于工艺、美观、使用等方面的原因，人们经常要对已有的构件做局部修改。在原始设计没有三维ＣＡＤ模型的情况下，若能将实物构件通过数据测量与处理产生与实际相符的ＣＡＤ模型，对ＣＡＤ模型进行修改以后再进行加工，将显著提高生产效率。（３）以现有产品为基础进行设计升级已经成为当今产品设计的基本理念之一。目前，我国在设计制造方面距发达国家还有一定的差距，利用反求工程技术可以充分吸收国外先进的设计成果，使我国的新产品设计立于更高的起点，同时加速某些产品的国产化速度。（４）某些大型设备，如航空发动机、汽轮机组等，常会因为某一零部件的损坏而停止运行，通过反求工程手段，可以快速生产这些零部件的替代件，从而提高设备的利用率和使用寿命。（５）借助于工业ｃＴ技术，反求工程不仅可以产生物体的外形，而且可以快速发现、度量、定位物体的内部缺陷，从而成为工业产品无损探伤的重要手段。（６１利用反求工程手段，可以方便地产生基于模型的计算机视觉。浙江大学硕士学位论文（７）通过实物模型产生相应的三维ＣＡＤ模型，可以使产品设计充分利用ＣＡＤ技术的优势，并适应智能化、集成化的产品设计制造过程中的信息交换。可见，反求工程技术具有广阔的应用领域，尤其当快速原型（ＲＰ）技术在制造业中出现后，作为ＲＰ技术的前端数据处理方法，ＲＥ／ＲＰ的结合成为产品创新设计与制造的重要技术途径之－－［７４—８０］，尤其是对于提高我国航空、航天、汽车、摩托车、模具工业产品的快速ＣＡＤ设计与制造水平，加快产品开发速度，提高产品市场竞争能力，具有重要的意义和经济价值。§１．２反求工程ＣＡＤ中的特征建模理论和方法一、特征造型技术［８１—８５】随着ｃＡＤ／ｃＡＭ／ｃＡＰＰ一体化技术的发展，要求几何模型能够表示包含体现产品设计意图和功能的高层次的工程信息，因而出现了同时面向设计过程和制造过程，包含产品工程信息的几何造型方法，即特征造型（ＦｅａｔｕｒｅＭｏｄｅｌｉｎｇ）。在特征造型中，特征作为参数化的几何体，是几何造型的基本元素，具有一定的工程语义。特征可以分为以下五大类：●形状特征，即描述零件几何形状、尺寸相关的信息集合；●精度特征，即描述零件几何形状、尺寸的许可变动量的信息集合；●材料热处理特征，即与零件材料和热处理有关的信息集合；●装配特征，即零件的相关方向、相互作用面和配合关系；・技术特征，即描述零件的性能和技术要求的信息集合；其中形状特征是描述产品的最基本特征，在ＳＴＥＰ标准中，将形状特征分为通道（ｐａｓｓａｇｅｓ）、凹陷（ｄｅｐｒｅｓｓｉｏｎｓ）、凸起（ｐｒｏｔｒｕｓｉｏｎｓ）、过渡（ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎｓ）、域（ａｒｅａｆｅａｔｕｒｅｓ）和变形（ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ）等六种特征。形状特征是特征技术的研究热点，通过改变形状特征的参数，可以方便地实现产品的变形设计。特征技术的应用，一方面为设计人员提供了高层次的符合设计人员设计思维的人一机交互语言，摆脱了传统的基于几何拓扑的低层次交互设计方法，从而使设计人员将更多的精力用在创造性构思上；另一方面，由于特征是一个高层次的设计概念，内部包含了大量产品设计意图，这些设计意图对于设计的维护以及后续的分析、综合等过程有着重要的意义，对于提高ＣＡＤ系统的自动化程度以及解决ＣＡＤ与ＣＡＰＰ、ＣＡＭ在数据交换过程中存在的不连续性有很大的帮助。所以，特征技术从２０世纪８０年代出现以来一直受到国内外的高度重视，并得到快速发展。特征技术也已经为许多著名的ＣＡＤ软件系统所采用。浙江大学硕士学位论文二、反求工程中的特征１．特征定义特征的定义一直不是很明确，仍处于不断的发展和完善中，而且在不同领域、不同视角、不同对象，特征的定义也有所不同。在基于实物的反求工程领域，特征是指从实物的测量数据中获得的基本几何信息，并作为反求工程建模的基本元素，用于构造实物的特征模型。因此，我们将反求工程中的特征定义为：从测量数据中提取的，包含了产品设计意图信息，并可被参数化后作为反求工程建模基本元素的曲面单元，以及具有特殊曲率特性的点和曲线。２．特征曲面分类反求工程中的特征按照基本几何元素分为三种类型，即特征点、特征曲线和特征曲面。特征点和特征曲线能够用来对测量数据进行分块，即用于基于边的数据分块中，而特征曲面的提取不仅能实现基于面的数据分块，而且在数据分块的同时完成了局部曲面模型的构造。特征曲面的提取能够在数据分块的同时完成局部曲面模型的构造，因此特征曲面分类，不仅影响了数据分块的准确性，更重要的是决定了零件模型描述的准确性。在反求工程应用领域，很多学者对曲面模型分类的进行了大量研究。Ｖｅｍｕｒｉ［８６］根据曲面高斯曲率和平均曲率的取值，将曲面分为抛物面（ｐａｒａｂｏｌｉｃ）、脐面（ｕｍｂｉｌｉｃ）、双曲面（ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ）、平面（ｐｌａｎａｒ）和椭圆面（ｅｌｌｉｐｔｉｃ）等五种类型。特征曲面应当包含高层次的、表示产品设计意图的工程信息，如曲面的类型以及曲面的设计参数等。因此，特征曲面的分类策略应从产品设计的角度出发，按照曲面的设计手段进行分类。ＴｏｍａｓＶａｒａｄｙ［８］根据当前大多数ＣＡＤ／ＣＡＭ系统中所提供的曲面设计手段，对反求工程重构曲面进行分类，如图１．２所示。在这种重构曲面分类方法的基础上，我们将特征曲面分为三大类，分别为二次曲面特征、过渡曲面特征和自由曲面特征，并对各大类曲面特征进行进一步的细分，＋曲面／／＼＼～顶积≥是八移动扫略曲面／＼＼规则扫略曲面旋转扫略曲面佥一高图ｌ一２按照曲面设计手段进行的曲面分类浙江大学硕士学位论文如图１－３所示。／特征曲面＜次征夕｛／平球圆圆醋醋！量颁征征特特征征Ｉ＼过渡曲面特征＝＼变半径过渡曲面特征＼．Ⅲ面曲面／嗽帕蛐醋征≮戮蒜／扫掠曲面特征＼非设计自由曲面特征图１－３特征曲面分类・二次曲面特征二次曲面可以进一步细分为一般二次曲面（Ｃ，ＱＳ，ｇｅｎｅｒａｌｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅ）和自然二次曲面（ＮＱＳ，ｎａｔｕｒａｌｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅ），一般二次曲面是指满足方程Ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）＝。Ｉｚ２＋。２Ｙ２＋。３２２＋ｃ４ｘｙ＋ｃ５Ｙ＇Ｚ＋ｃ６Ｚ．Ｘ－Ｆｃ７Ｘ＋Ｃ８ｙ＋ｃ９Ｚ＋Ｃｌｏ＝Ｏ的所有二次曲面，包括球面、圆柱面、圆锥面、抛物面、双曲面、椭圆面等，而将其中的球面、圆柱面和圆锥面称为自然二次曲面。在实际工程应用中，尤其在机械工程中，产品表面通常是由平面和自然二次曲面构成，而很少出现一般二次曲面。并且，一般二次曲面必须用上面方程中的１０个系数描述，而自然二次曲面能够用具有直接几何意义的系数描述，如球面的球心和半径，圆柱面的轴线和半径，圆锥面的轴线、顶点和半锥项角等。因此，我们将自然二次曲面定义为二次曲面特征。同时，由于平面可以被视为退化的二次曲面形式，我们将平面也定义为二次曲面特征。这样，二次曲面特征中包括了平面特征、球面特征、圆柱面特征和圆锥面特征。●过渡曲面特征在曲面造型中，为了满足功能或美观的要求，往往需要在两张曲面间构造一张过渡曲面，即由一个滚球沿着两张曲面滚动而形成的裁剪包迹，以取代曲面相交形成的尖锐连接。过渡曲面特征可以用脊曲线和过渡半径作为参数来描述其位置和形状。过渡曲面特征包括等半径过渡曲面特征和变半径过渡曲面特征。・自由曲面特征当前大多数ＣＡＤ／ＣＡＭ系统中都提供了各种自由曲面的设计手段，常用的有拉伸、旋转、扫掠、直纹、蒙皮等。根据这些设计手段，并结合特征参数在表达上的一致性，我们将其中的扫掠曲面、旋转曲面和蒙皮曲面定义为自由曲面特征。浙江大学硕士学位论文扫掠曲面特征可以由截面曲线和导向曲线作为参数来描述，旋转曲面特征可以用截面曲线和旋转轴描述，蒙皮曲面特征可以用各蒙皮曲线来描述。以上三种自由曲面特征是以设计手段分类的，因此亦称为可设计自由曲面特征。同时，为了保证特征曲面描述的完整性，我们将剩余的未能以上述二次曲面特征、过渡曲面特征以及可设计自由曲面特征描述的曲面类型统称为非设计自由曲面特征。这些非设计自由曲面指未能从测量数据中识别出设计手段和设计参数等高层次工程信息的曲面，它们只能以低层次的几何信息，如控制顶点、节点矢量、权值等参数实现其ＮＵＲＢＳ曲面表达。虽然这种曲面类型的重构方式与传统的反求工程曲面重构相同，没有利用特征技术带来的优越性。但为了使特征曲面分类结构完整，我们将这种以ＮＵＲＢＳ曲面表达的非设计自由曲面也称为“特征”。３．特征曲面表达特征表达是特征技术的重要研究内容之一，在基于特征的正向设计中，特征表达的信息内容有几何信息和非几何信息，特征表达的模式可以分为集成表达模式和分离表达模式，特征表达技术的研究重点是几何信息和非几何信息的表达方式，以及如何有效地将两者关联起来。在反求工程中，产品的ＣＡＤ模型是由各种方法提取的特征曲面约束缝合而成的，特征曲面的信息可以分别在两个层次上进行表达，分别称为高级的特征层和低级的几何层。在特征层，特征曲面由关于曲面设计过程的信息表示，即用特征曲面的类型和参数进行描述，各种特征曲面的参数可以参见表１－１。在各几何表卜１特征曲面参数特征曲面类型特征曲面参数层，各特征曲面都可以由统一的ＮＵＲＢＳ曲面描述，ＮＵＲＢＳ曲面的控制顶点、节点矢量、权值等参数详细描述特征曲面的几何信息。如二次曲面可以直接转化浙江大学硕士学位论文为ｂｌＵＲＢＳ曲面表达，过渡曲面特征和可设计自由曲面特征都可以根据其特征参数，采用相应的曲面设计手段生成ＮＵＲＢＳ曲面。三、反求工程特征建模路线在反求工程ＣＡＤ建模中，尤其是具有复杂曲面外形的产品反求工程中，组成产品表面的各曲面片都隐含着特征信息，即表达产品特定功能的工程信息，如微分性质、力学特性等。如果在反求模型中掩盖了特征信息，那么即使能够达到满意的精度和外观质量，也会对模型的变形设计、力学分析等后续的ＣＡＤ／ＣＡＥ／ＣＡＭ处理带来很大困难。因而，反求工程的目的不只是对已有实物的简单拷贝，而是要反求实物的设计意图，建立包含设计意图的特征模型。在当前的一些比较实用的反求工程ＣＡＤ建模软件中，仍以构造满足一定精度和光顺性要求的ＣＡＤ模型为最终目标，而缺乏对特征的识别和运算，因而都存在着反求建模过程复杂，建模效率低，交互操作多，反求模型的质量较多地依赖于建模人员的素质，难以实现高精度产品的精确建模，以及反求模型缺乏变形能力等不足之处。因此，如何在反求工程中应用特征技术，实现产品的反求特征建模，是目前反求工程的热门研究问题和应用核心技术之一。Ｍｏｔａｖａｌｌｉ在把反求工程ＣＡＤ建模过程划分为三阶段，即：零件数字化、特征提取、ＣＡＤ建模［８７］。前面提到，数据分块是反求工程中的重要步骤，其目的是将测量数据分割为属于不同曲面片的数据子集。这些曲面片的不同之处就在于其隐含了不同的曲面类型和设计参数，即代表着曲面片的设计意图及数学特性。所以，特征技术的应用，使得在反求工程ＣＡＤ建模中，包含低层次几何信息（如ＮＬｒＲＢＳ的控制顶点、节点矢量、权值等）曲面片，提升为具有高层次的设计参数的特征曲面。反求工程中的特征提取就是要将测量数据按照特征曲面进行分块，同时从各数据块中提取特征曲面的参数。从样件数字化得到的散乱点云中直接进行特征提取，并依据特征参数进行ＣＡＤ建模是一条重要的建模路线，并且对反求工程的发展具有重要的意义，主要体现在以下三个方面。（１）可以提高反求工程建模效率，实现产品的快速反求。传统的反求工程建模方法没有提供一个明确的建模策略，很大程度上要靠建模人员的经验，不同的建模人员在重建同一个模型时可能采取截然不同的反求策略，如不同的数据分块和曲面重构方法，因而其效率也会大为不同。利用特征技术，则可对测量数据按不同特征区域进行分块，从各分块数据中提取特征参数，构造特征曲面模型，并通过特征曲面之间的运算实现产品的特征造型。在这样一个求解策略的指导下，可以对反求建模的整个过程有一个清晰的思路，不再同以浙江大学硕士学位论文前那样没有比较明确思路的进行求解和建模，反求建模的效率自然大为提高，同时也能减少对反求建模人员素质的依赖。（２）可以提高反求工程建模精度，实现产品的精确建模。由于测量数据中包含一定的噪声误差，或者曲面逼近过程中的计算误差等因素，使得传统的反求工程建模方法很难得到实物的精确ＣＡＤ模型。在一些对精度有较高要求的场合，模型的某一个参数的不准确导致模型的性态如应力分布、动力学性能等发生很大的改变，这在工程中是不允许发生的。如本该为圆柱面的数据块，由于噪声误差的原因而按照自由曲面来构造，即使最后得到的自由曲面可以很好的逼近圆柱面，但曲面的性态已经完全不同。利用特征技术，则可以改变这一状况。特征技术可以在曲面重构时，对不满意的特征参数进行修改，甚至改变特征曲面的类型，以得到更为精确的ＣＡＤ模型。（３）可以提高反求模型的修改能力，实现产品的创新设计。以已有产品为基准点，对反求模型进行修改设计得到新的模型是实现新产品开发的一条重要途径。然而传统的反求工程ＣＡＤ模型只包含了低层次的几何拓扑信息，使得模型的修改设计很不方便。利用特征技术构造的特征模型包含了高层次的、表示产品设计意图的工程信息，通过对特征参数的修改和优化，可以得到不同的产品模型，实现产品的创新设计，加快新产品的开发速度。目前，已有学者开始研究如何将特征技术应用于反求工程中［８８．９４】，并针对一些特殊的反求对象，实现了基于特征的反求建模。如＾ｕ［８９．９０］提出了将特征技术应用于人体模特的反求建模中，以实现服装的个性化设计；Ｇｒｅｇｏｒｙ［９１］提出了将特征技术应用于由人体脸部的断层测量数据构造脸部轮廓曲线的过程中。对于广泛意义上的反求工程，鲜有人对特征技术的应用进行研究。在特征造型的研究中，学者们主要关注在ＣＩＭＳ环境下，面向ＣＡＤ／ＣＡＰＰ／ＣＡＭ集成的特征造型技术［９５．９８］，其中的特征局限于具有规则几何形状的基本体素，如凸台、槽、孔、键等特征。然而，在反求工程中，尤其是具有复杂曲面外形的产品反求工程中，需要处理的是各种类型的曲面片，如平面、二次曲面（球面、圆柱面、圆锥面等）、过渡曲面（等半径过渡曲面、变半径过渡曲面）、自由曲面（扫掠曲面、旋转曲面、蒙皮曲面等）。同时，在特征造型中，特征是通过基于特征的设计、交互定义特征和自动识别特征三种途径获取的，其中后两种方式处理的对象是已有的ＣＡＤ模型。而在反求工程中，特征的由交互或自动的方式从产品的测量数据中提取的，并重构产品的特征模型。因而特征技术在反求工程中的应用，不能直接利用正向设计中的特征造型技术。对此，必须研究如何将特征技术引入反求工程中，建立适合反求工程的特征模型。浙江大学硕士学位论文§１．３本论文的选题背景和研究内容一、课题研究背景反求二亡程可以分为数据测量、数据预处理、数据分块与曲面重构、ＣＡＤ模型构造等四个基本步骤。我们研究的特征技术在反求工程中的应用，主要体现在数据分块与曲面重构步骤中。１．数据分块数据分块是将测量数据分割为属于不同特征曲面的数据子集。数据分块的方法可以分为基于边（ｅｄｇｅ－ｂａｓｅｄ）和基于面（ｆａｃｅ—ｂａｓｅｄ）两种。在基于边的方法中，首先从测量数据中提取特征点，并连接特征点为特征曲线，然后将提取的特征曲线构造各个封闭的轮廓对测量数据进行分割。在基于面的方法中，特征曲面直接从测量数据中提取，不仅完成测量数据的分块，而且还实现了特征曲面的构造。这两种数据分块方法各有优缺点，基于边的方法由于需要通过计算数据点的微分特性提取特征点，因而对测量数据中的误差比较敏感，易产生错误的特征点，很难将特征点自动连接为特征曲线，尤其是相互光滑连接的特征曲线，一般需要有人机交互的参与。而基于面的方法的缺点主要体现在无法实现对属于自由曲面特征数据的分割，然而该方法采用了特征曲面拟合的手段，对测量误差的敏感性比基于边的方法小，而且能够同时实现特征曲面重构。ＴａｍａｓＶａｒａｄｙ［８］在对这两种数据分块的方法进行比较之后，认为基于面的方法得到的结果比较可靠，应优先采用基于面的数据分块方法。我们在反求工程特征建模中，采用一种综合的数据分块方法，对于不同的数据分别应用不同数据分块方法，发挥基于边和基于面的数据分块方法各自的优点，并避免相应的缺点。首先应用基于面的数据分块方法将二次曲面特征和过渡曲面特征的数据从测量数据中分割出来，而对于剩下的属于自由曲面特征的数据，从中提取特征点与特征曲线，应用基于边的方法进行分割。具体步骤如下：（１）二次曲面特征数据分割二次曲面特征可以采用基于面的数据分块方法将其从测量数据中提取出来。首先在测量数据中选取种子点，然后采用区域生长的方法，并根据最小二乘拟合原理计算得到平面、球面、圆柱面和圆锥面等二次曲面的参数。在区域生长的过程中，为了提高计算效率和拟合结果的可靠性，拟合曲面的类型由交互指定，同时设定拟合误差的阚值，当拟合误差超过该阈值时，区域生长过程停止，经过生长运算的数据点即可从测量数据中分割出来。同时也得到了该区域的二次曲面类型及其特征参数。二次曲面特征的提取算法将在本文第三章中详细论述。浙江大学硕士学位论文（２）过渡曲面特征数据分割过渡曲面特征是产品外表晟为常见的特征曲面，在曲面造型中，由于功能或美观的需要，一般都会利用过渡曲面来代替曲面片之间的尖锐连接。因此我们首先将过渡曲面特征进行提取。在提取过程中，首先计算测量数据的曲率特性，包括主曲率及其主方向，然后通过曲率比较的方法将过渡区域数据从测量数据中分割出来。（３）自由曲面特征数据分割测量数据在经过过渡曲面特征提取和二次曲面特征提取后，剩下的数据应属于自由曲面特征的区域。由于基于面的数据分块方法不能应用于自由曲面数据，因此可以采用基于边的数据分块方法对剩下的测量数据进行分割。首先通过曲率分析的方法从中提取出特征点，然后在人工交互的参与下，应用插值或拟合的方法将特征点构造为光滑的特征曲线，并利用提取的特征曲线实现自由曲面特征数据的分割。过渡曲面特征和自由曲面特征的提取算法将在本文第四章中论述。２．曲面重构经过以上三个数据分块步骤，测量数据被分割为各个子块，每个数据子块对应着单一的特征曲面，接着就可对各个数据子块进行曲面重构。在曲面重构之前，首先必须从各数据子块中提取特征曲面的参数，然后用得到的参数重新设计曲面模型。二次曲面特征参数在数据分块中，可以由曲面拟合结果直接得到。对于过渡曲面参数提取，可以通过对分割后的过渡区域数据进行圆柱面拟合和区域跟踪的算法计算得到。对于自由曲面特征参数，可以采用点云切片和离散数据直接拟合的算法并辅之于交互手段进行提取。在提取了所有特征曲面之后，我们采用曲面设计手段，根据相应的特征曲面参数重新设计曲面模型。首先重构二次曲面和自由曲面，然后用提取的过渡曲面特征代替各曲面片之间的尖锐连接。最后得到由二次曲面特征、自由曲面特征和过渡曲面特征等三大类特征曲面表达的产品特征模型。在产品的正向设计，特别是在参数化设计过程中，特征之间经常满足一定的约束关系。因此，产品模型重建过程中的一个重要目标就是还原模型几何特征以及它们之间的约束。孤立的曲面拟合不能与现代参数化设计及特征全相关的设计理念相符合，基于测量数据进行特征提取并还原几何特征之间的约束关系，是正确再现产品参数化模型的关键。浙江大学硕士学位论文二、本论文研究内容本文以反求工程中引入特征技术，建立产品的反求特征模型为目的，重点深入地研究基于点云的二次曲面特征的拟合技术，同时研究和介绍过渡曲面和自由曲面等曲面特征的提取技术。在此基础上，对特征的全局约束优化技术进行一些有益的探索。全文共分六章。具体安排如下：第一章综述反求工程的基本概念、基本步骤和应用领域，详细论述反求工程关键技术的发展现状；同时阐述在反求工程领域，特征的定义、分类、表达等特征技术的一些基本理论，并对反求工程特征建模技术路线进行详细论述第二章介绍在本课题研究当中涉及到的一些数学理论和方法，包括最小二乘法、最优化技术和曲面曲率计算的若干原理与具体算法。第三章研究二次曲面特征的提取算法，包括：（１）法方程法、奇异值分解法、特征向量估计法等线性最小二乘方法以及非线性最小二乘方法；（２）分别利用线性和非线性的最小二乘方法由测量数据点拟合平面以及球面、圆柱面、圆锥面等自然二次曲面的算法；（３）采用区域生长的方法，并根据最小二乘拟合原理提取二次曲面特征的技术。第四章研究、介绍过渡曲面特征和自由曲面特征的提取算法，包括从原始测量数据中将过渡区域的数据点自动分离、圆柱面拟合和过渡区域跟踪算法得出过渡曲面参数的提取技术；点云切片算法以及扫掠曲面特征、旋转曲面特征、蒙皮曲面特征等可设计自由曲面特征和非设计自由曲面特征的提取技术。第五章探讨基于约束的特征全局优化的意义与可行性，并提出相应有效的方法和技术。第六章在总结全文的研究工作的基础上，提出后续工作展望。浙江大学硕士学位论文第二章特征提取的数学理论与方法§２．１概述计算机辅助反求工程设计的首要任务是创建１个满足用户设计和创新需求的三维ＣＡＤ模型。针对不同复杂程度的实物原型和各种各样的测量数据，选择适当的数学方法和曲面模型是保证重建曲面品质和精度的关键，同时，合理的建模思路和方法，对于提高复杂曲面产品建模效率具有重要的影响。最ｄ，Ｚ乘方法（ＬｅａｓｔＳｑｕａｒｅｓ）是最传统和最成熟的曲线和曲面逼近理论，它是工程领域最常用的数值逼近方法之一。最小二乘拟合以其计算简单和实用性广的特点在反求工程ＣＡＤ建模的曲线曲面逼近中扮演着重要的角色。根据研究目标对象的不同，最小二乘方法可以分为线性最ｄ＇－－－乘法和非线性最小二乘法，本章将主要介绍和讨论这两类方法的应用。最优化方法是对极值问题进行数值分析的手段。近年来，由于计算机技术的飞速发展，最优化方法的应用越来越广泛，几乎在设计、操作、工业过程、生产装置分析乃至生产计划之类的有关问题中，最后都归结为确定某个目标函数取最优值问题（极大值或极小值），而最优化方法是寻找目标问题取得最好效果的条件的方法，所以具有十分重要的现实意义。本章介绍一些最优化方法的基本理论及算法。在基于点云的反求工程ＣＡＤ建模中，曲率分析是非常重要的研究工具，为此本章还要介绍曲面曲率计算的基本原理。§２．２线性与非线性最ｄｘ－－乘方法一、最小二乘法【９９，１００］数据拟合是最典型的最小二乘问题之一。例如，假定给出ｍ个点‘，ｆ２，…，‘和这ｍ个点上的实验或观测数据乃，Ｙ２，…，靠，并假定给出在☆上取值的ｎ个已知函数ｙ。（ｆ），ｙ：（ｆ），…％（ｆ）。考虑％（ｆ）的线性组合／似，）＝■∥ｌ（，）＋屯∥２（，）＋…＋‘％（ｆ）（２一】）我们希望在ｆｌ，ｆ２，…，ｔｍｆｌ氯．ＪＬｆ（ｘ；ｔ）能最佳的逼近这些数据ｙ。，Ｙ２，…，％，为此，定义残差浙江大学硕士学位论文‘（ｚ）＝Ｙ，－Ｚｘ：ｃｊ（ｔ，），ｊ＝ｌｉ＝１，２，…，ｍ（２－２）则问题成为：估计参数Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ，使残差‘，ｒ２，…，‘尽可能的小。式（２－２）ｎ７～Ａ㈠爿ｂ＝ｍＬｙ．Ｊ其中＝Ｉｉ；ｌ，＝ｌ；ｌ，ｌｙ－（ｆ。）…％（ｏ）Ｊｘ＝（ｘｌ，ｘ２，・一，ｘ。）７，，（ｘ）＝（＿（ｘ），・・・‰（ｘ））７卜血１１２＝№）｜｜２＝ｍ—ｉｎｌｌｒ（Ｙ）ｌｌ：５ｒａ，剖ｉｎ母一ｂｌｌ：（２－４）该问题称为最小二乘问题，简记为ＬＳ（ＬｅａｓｔＳｑｕａｒｅｓ）问题，其中，∽称为二、线性最小二乘法线性最ｄ，－－乘问题的解Ｘ又可称作线性方程组舭＝６，的最小二乘解。Ａ∈Ｒ…（２－５）根据ｍ与ｎ以及矩阵彳的秩的不同，最ｄ，－乘问题可分为不同的情形，这里我们只研究ｒａｎｋ（Ａ）＝ｎ＜ｍ的情形。一般线性最ｄ，－乘方法有三种变化形式，分别是法方程法ＭＮＥ（ＭｅｔｈｏｄｏｆＮｏｒｍａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ）、奇异值分解法ＳＶＤ（ＳｉｎｇｕｌａｒＶａｌｕｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）矛ＩＩ特征向量估计法ＥＶＥ（ＥｉｇｅｎＶｅｃｔｏｒＥｓｔｉｍａｔｉｏｎ）。［１０１】在法方程（２－５）中，［１］当ｂ≠Ｏ且Ａ为非奇异矩阵，即（ＡＬ４）’１存在时，系数矩阵Ｘ可以通过方程浙江大学硕士学位论文爿７Ａｘ：爿７６（２—６）求解得到，方程（２—６）称为法方程，此时ｘ＝“７刎。爿７ｂ。这种方法称为法方程法。［２］当ｂ≠Ｏ且４为奇异矩阵时，为了避免计算口■）～，将矩阵一分解为Ａ＝ＵＷＶ。（２—７１其中∥为元素为非负值的对角矩阵，ｕ和ｙ都是正交矩阵（列向量正交），印Ｗ＝［ｄｉａｇ（ｗｊ）］，Ｕ７Ｕ＝Ｖ７矿＝Ｉ从而系数矩阵ｘ可以通过方程ｘ＝Ｖ［ｄｉａｇ（１／ｗｊ）］Ｕ７ｂ（２－８）求解得到，这种方法称为奇异值分解法。［３］当ｂ＝０时，方程（２—５）变为Ａｘ＝０（２—９）假设矩阵∽■）的特征值为丑（ｆ＝１，…，９），如果存在其中一个特征值乃＝ｏ，则口７ａ）ｘ＝旯，ｘ＝０（２－１０）所以对应特征值乃的特征向量ｘ即为方程（２—９）的解，这种方法称为特征向量估计法。在实际应用中，由于特征值丑不会恰好为零，因此我们将对应其中绝对值最小的特征值的特征向量作为ｘ的最ｄ，－乘解。以上三种方法都适用于数据点分布广泛的情况，其中法方程法ＭＮＥ速度最快，而奇异值分解法ＳＶＤ由于要对矩阵进行奇异值分解，因而速度也最慢，但当矩阵爿的奇异情况未知时，采用此方法较为稳妥。三、非线性最小二乘法［１０２，１０３］非线性最ｄ，ｚ乘方法对应的方程，（功为非线性方程组，令占（ｘ）＝Ｊ｜ｒ（ｘ）虻＝，（ｘ）７，（ｘ）假定ｒ（ｘ）：Ｒ”斗Ｒ“在开凸集ＤｃＲ”＿Ｒ”上Ｆｒ６ｃｈｅｔ可微，则ＶＳ（ｘ）＝２ｒ’（ｘ）７ｒ（ｘ）（２—１１）ｒ２—１２）１９浙江大学硕士学位论文于是文ｘ）（或ＩＩｒ（ｘ）ＩＩ）的局部极小点ｐ必须满足方程Ｆ（ｘ）＝ｒ’（ｘ）１ｒ（曲＝０（２一１３）这个方程称为非线性最小二乘问题的法方程。＋一般地说，它是一个非线性方程组。我们采用牛顿法的基本思想来求解非线性最小二乘问题，常用的是两种迭代方法：Ｇａｕｓｓ—Ｎｅｗｔｏｎ方法和Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄｔ方法。Ｇａｕｓｓ．Ｎｅｗｔｏｎ方法算法如下：算法１设给定试验数据表Ｄ＠ｙ），以及模型Ｙ＝№圳，粕为法方程解矿的一个初始近似，，为变量个数，Ｈ为参数个数，而ｍ为试验数据的组数。记Ａ女＝，７伍耻’），Ｅ＝爿ｊ，ｏ似’）＝（Ｚ，…Ｚ）’，ｋ为迭代序号按下列步骤迭代求解：①计算∥’，口箩１及￡¨（ｋｌ，…，ｍ；Ｊ＝ｌ，…，ｎ）：∥ｂ（地，弘警－∥＝善警味√１②计算占＠似’）＝帆ｘ似’）１１ｉ⑧若精度满足要求，则转⑦④求解线性方程组Ａｔ血仆’≈－ｒ（ｘ‘‘’）（或４４缸忙’＝一最）⑤计算０“）＝ｘ耻’＋△∥’⑥置ｋ＝ｋ＋１，转①⑦置矿＝ｘ‘“’’并结束迭代算法ｌ中迭代收敛判嬲准则可采用以下算法。算法２由主程序输出迭代点‰¨，修正量△及残差平方和＆，巩＋１＇此外￡１，…，￡６为预先给定的正常数。按下列步骤判别迭代收敛与否：①置ｉ＝ｌ②若陌“”ｌ≤ｓ，，则转⑤③若Ｍ“”一譬ｌ，岛ＫＩ，则转ｏ④转⑥⑤若弗“”一ｘ：｛＞龟，则转。浙江大学硕士学位论文⑥若ｉ＜ｎ，置ｉ＝ｉ＋ｌ并转＠⑦若其＋，≤＆，则转⑩⑧若阪＋．一瓯ｌ＞毛瓯，则转＠⑨转⑩⑩若１瓯＋，一坑Ｉ＞岛，则转＠⑩置矿＝Ｘｋ＋．，并转主程序结束迭代＠转主程序继续迭代以上算法的作用是：如果迭代收敛，则ｄ和ｘ的ｋ次迭代结果和ｎ１次迭代结果在绝对误差或相对误差的意义下十分接近。通常取毛＝１０一，岛＝１０－５，６３＝１０＿４，６４＝１０－５，毛＝１０。ｏ，氏＝１０～。Ｇａｕｓｓ－Ｎｅｗｔｏｎ法对初始近似要求比较苛刻，初值选取不好，迭代可能不收敛。Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄｔ法对Ｇａｕｓｓ－Ｎｅｗｔｏｎ法作了改进，引入了阻尼因子作为收敛因子，扩大收敛区域，使迭代过程能够稳定进行，因而Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ・Ｍａｒｑｕａｒｄｔ法有时也称为阻尼最小二乘法。在实际应用中，一般都采用Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ．Ｍａｒｑｕａｒｄｔ法来求解非线性最小二乘问题。Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ．Ｍａｒｑｕａｒｄｔ方法算法如下：算法３设给定试验数据表Ｄ（ｔ力，以及模型＿），＝ｙ陋圳，ｘＯ为法方程解矿的一个初始近似Ｘｏ，初始阻尼因子Ⅳｏ，缩放常数ｖ以及允许误差８。按下列步骤迭代求解：①计算一∞＝‘（‰）（ｉ＝ｌ，…，ｍ）以及占（‰）②置ｋ＝１③置从＝ｙ。以＋ｌ④计算孝’及乃”（ｉ＝１，…，ｍ；Ｊ＝１，…，＂）：弘等，∥＝善等吲∥’，⑤求解线性方程组（名＿Ｉ＋∥ｔｉ）Ａｘ仙’＝一Ｅ⑥计算Ｘ＝ｘ‘‘’＋△ｘ‘¨，‘（工）（ｉ＝ｌ，…，ｍ）以及６（ｘ）浙江大学硕士学位论文⑦若８（ｘ）＜８（ｘ‘‘’），则转⑨⑧置Ⅳｋ＝ｖ／ｚｋ，转⑤⑨置√抖１）＝ｘ⑩转算法２，若收敛准则不满足，则置ｋ＝ｋ＋ｌ，转③⑩置矿＝ｘ（“１’并结束迭代选取阻尼因子“ｋ的原则：阻尼因子在保证６∽下降的前提下，宜选取较小的值，因为当Ⅳ的值较小时，下降方向值较大，因此加快收敛。但当∥值较小而又不能保证对应的６∽下降，则应选取较大的阻尼因子。不严格的说，阻尼因子选取的原则应是：尽可能是搜索方向靠近Ｇａｕｓｓ－Ｎｅｗｔｏｎ方向，否则就只能转向６（功的负梯度方向。常用值为，Ｕｏ＝１０。２，ｖ＝５或１０。事实上，在Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ—Ｍａｒｑｕａｒｄｔ方法中，阻尼因子恒取零，那么对于非线性方程组，它就等价于牛顿法。§２．３最优化方法［１０４一１０８３最优化问题通常可以简单表述为：求变量ｘ＝０ｌ，Ｘ２，…，ｘｎ）Ｔ，使得某函数＿，∽的值到达极大或极小，删称为目标函数或评价函数。问题的数学表达为：熙，（ｘ）（２－１４）其中，ｆ：ＤｃＲ”一Ｒ１为实值函数，称为目标函数，Ｄ为删的定义域，也可以写成更一般的形式：ｍⅢｉｎ，（却ｓ．ｔ．ｐ（工）＝０ｙ（ｘ）≤０（２－１５）其中妒（ｘ）＝［识（ｘ），…，ｐ。（ｘ）】７；ｙ（ｘ）＝［少。（ｘ），…，矿。（ｘ）】７在问题ｆ２—１４）ｄ？，自变量工可以遍取定义域内的值而不受，故称为无约束最优化问题。而在问题（２．１５）＂ｅ变量ｘ必须受到一定的约束ｔ即９Ｊ（ｘ）＝０，ｙ，（ｘ）≤０，ｉ＝ｌ，・一，＂ｆ２—１５ａ）（２—１５ｂ）Ｊ＝１，…，ｍ故称问题（２．１５）为约束最优化问题，（２—１５ａ）、（２一１５ｂ）都称为约束条件，其中（２—１５ａ）浙江大学硕士学位论文是等式约束，（２一１５ｂ）是不等式约束。上述问题又统称为数学规划。按照目标函数以及约束条件－＿ｐ约束函数的类型和自变量取值状态，还可以区分为不同形式的数学规划。当心、妒ｆ（功、】】ｆ，ｆ（功均为线性函数时，称为线性规划；当其中任一个为非线性函数时，称为非线性规划；当，《ｘ）为二次函数，ｐ，（柚、】；ｃ，＜曲均为线性函数时，称为二次规划：当ｘ的各个分量全部和部分只取离散值时称为整数规划；此外还有几何规划、动态规划等。这里我们主要介绍和研究无约束最优化和约束最优化方法。一、无约束最优化方法无约束最优化应用比较广泛，理论也比较成熟，另一方面，通常可以把一些约束问题转化为无约束问题来处理，所以它是最优化方法中的基本方法。我们将要介绍的无约束最优化方法是牛顿法和变尺度法１．牛顿法牛顿法是求解无约束优化问题最古老的算法之一，但到目前为止它的改进形式仍不失为最有效的算法之一。设已知ｍ）的极小点矿的一个近似√肺，在ｘ∞附近将删作台劳展开，有ｆ（ｘ‘‘’＋ｄ）≈ｇｔ（ｄ）＝，‘‘’＋擘‘‘’’占＋量ｄ７６ｌ占其中ｄ＝ｘ—ｘ‘“，，‘‘）＝ｆ（ｘｏｋ）），ｇ‘‘’＝Ｖｆ（ｘ‘‘’），Ｇ‘‘’＝Ｖ２ｆ（ｘ‘‘’）（２—１６）若６ｍ正定，则认ｄ）有极小点存在，设为ｄ啪，令ｘ（‘＋１）＝ｘ（‘’＋ｄ（‘’（２－１７）便得到ｙ（ｘ）ｆ｝句Ｓｔｄ、点的一个新的近似扩”，由于ｇ“ｄ）为二次凸函数，它的极小点很容易求，事实上，令Ｖｇｔ（ｄ）＝Ｇ‘‘’ｄ＋ｇ‘‘’＝０便有占‘‘’＝一Ｇ‘‘’～ｇ‘‘’（２－１８）当用迭代式（２—１７），且其中∥由（２．１８）定义时，这种迭代称为牛顿迭代，而算法称为牛顿法，于是牛顿法的迭代步骤为：①取初始点∥”，令七＝１②计算∥的，若∥＝０，停止；否则转３③计算Ｇ（七），并解方程Ｇ‘‘’占＝一ｇ‘‘’（２一１９）浙江大学硕士学位论文用Ｊ∞表示其解，令√ｎ１）ｉ０～Ｊ㈣，置ｋ＝抖１，转②。在实际计算中，自然以眵。’Ｉｌ＜￡代替ｇ‘‘）－ｏ作为终止计算的判据。容易看出，牛顿法的主要工作量在计算Ｇ【耐与求解线性方程组（２．１９）ｄ２，由于Ｇ【∞正定，可将Ｇ（‘’进行Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解：Ｇ（‘）：ＬＤｆｆ于是（２．１９）的求解可以通过依次解以下三个方程来进行：缈＝－ｇ‘“，Ｄｚ＝Ｙ，ｒｄ＝ｚ（２－２０）这样比直接求逆（２—１８）或高斯消去法等要省事，并且计算过程是稳定的，所以通常用此法求解但一１９）。由导出过程可知，对于二次凸函数，用牛顿法只用一步就达到极小，对一般函数也有较快的收敛速度，事实上，牛顿法是局部二阶收敛的，当初始点√１’充分接近妒时才能保证收敛，为了保证沪｝的下降性和Ⅳ∞）的全局收敛性，引进阻尼因子即步长拓也就是说，以方程Ｇ‘‘’ｐ＝一ｇ‘‘’（２－２１）的解Ｐ‘‘’＝一Ｇ｛ｋ）－Ｉｇ‘‘’（２—２２）作为搜索方向（当Ｇ（耐＞Ｏ时，，∞是下降方向）进行搜索，求得步长，则牛顿迭代公式变为：ｘ‘‘＋１’＝Ｘ‘“一ＡｋＧ｛ｋ）－Ｉｇ㈣（２－２３）这样得到的算法称为阻尼牛顿法，它具有全局收敛性。２．变尺度法从牛顿法的思想出发，得出一类所谓的拟牛顿法，变尺度法就是其中的一个特例，它被认为是无约束最优化中最有效的算法之一。由迭代公式（２．２３），牛顿法搜索方向为‘Ｆ一６伪。一，它的优点是收敛很快，但要计算６∞～，计算量和存储量都很大，因此考虑能否用另一矩阵可妁代替Ｇ（州而不用计算Ｇ（的～，并保持一定的收敛速度，即能否取搜索方向为Ｚ（‘）＝一日（”ｇ（‘）它在迭代过程中逐次产生，而且能较好地逼近一Ｇ（母。１一妁，即∥—Ｇ（姊一。（一）算法的大致步骤①取初始点Ｘｍ∈Ｒ，初始对称正定矩阵Ｈ‘”，ｋ＝１浙江大学硕士学位论文②令搜索方向为ｚ‘‘’＝一日‘‘’暑‘舯③２ｋ：嘧厂（ｚ‘‘’＋Ａｚ‘‘’）＝ｆ（ｘ‘‘’＋旯ｔｚ‘‘’），令ｘ‘“１’＝ｘ‘‘’＋丑Ｉｚ‘‘’为各种不同的变尺度算法），Ｊｊ｝＝ｋ＋ｌ，转②④令日‘“’＝日‘‘’＋△日壮’（／ｕｖ－．ｘｔ（‘’称为修正矩阵，由△日‘‘’的选法不同，分（二）构造Ｈ似’的原则变尺度法的关键在于如何构造上ｐ（≈＝１，２，３，…），为了使算法由较快的收敛速度，通常构造∥使它具有拟牛顿性质，二次收敛性和稳定性（１）拟牛顿性质由中值定理有‘培‘‘’＝ｇ‘‘＋１’一ｇ‘‘’＝ｇ（ｘ‘‘’４－丑ｔ：‘‘’）一ｇ（ｘ‘旬）＝Ｇ（ｘ‘¨４－０★ｚ‘‘’）△ｘ‘‘’其中０＜０ｔ＜旯女，所以有：Ｇ（ｋ＋１）－Ｉ△ｇ‘‘’≈Ａｘ‘‘’我们构造的可¨），使之满足与上式类似的等式，即：日㈣船‘‘’＝船‘”顿法。（２—２４）此方程称为拟牛顿方程（或ＤＦＰ条件），满足拟牛顿方程的变尺度法也称为拟牛（２）二次收敛性即把算法用于凸二次函数时，至多Ｈ步要达到最优点。这就要求ｚ（“，：（“，…，≯”’构成Ｇ共扼向量组且可”１）＝Ｇ１。（３）稳定性若不计计算过程的舍入误差，在迭代的每一步要能选择步长驴使㈣单调下降，则称此算法使稳定的。在点√肺，㈣沿：∞＝一删母的方向导数为岛ｍ乱。＝Ｖｆ（ｘ㈣儿㈣叫矿Ｈ㈣∥’若Ｈ‘‘’＞０，ｋ＝１，２，３，…，（２－２５）则上面的方向导数为负，因而每～步总可以找到一个充分小的正数“使（２—２４）成立，即算法是稳定的。所以（２—２５）是算法稳定的一个充分条件。（三）具体构造日‘‘’构造可∞的方法是多种多样的，因而形成了各种各样的变尺度算法（至少有浙江大学硕士学位论文几十种），下面举一１＋个代表性的例子加以说明。要求一曲＝∥”十ｄ可砷满足拟牛顿方程式（２—２４），得到ＡＨ‘“．姆‘‘’＝Ａｘ‘“一Ｈ‘‘’姆‘‘’ｒ２—２６）若能选取向量ｇ∞，ｔＯ（ｋ）满足规范化条件：ｇ（。）。△ｇ（‘）＝∞（‘）。△芎（‘）＝１ｒ２—２７）则４可的可以简单地取成如下矩阵的形式（此时彳可的满足式ｆ２．２６））：△Ⅳ‘。’＝Ａｘ‘‘’ｔＯ‘‘ｒ—Ｈ‘‘’姆‘¨ｔｇ‘川所以Ｈ‘‘＋１’＝Ｈ‘‘’＋Ａｘ‘”∞‘‘ｒ—Ｈ‘‘’窜‘ｎ・孽‘”１ｆ２－２８）取怎样的口‘砷与∞∞能满足（２—２７）呢？比如取。（＾）ｒ＝舄，ｎ－‘Ｉ）ｒ＝ｊ；：；；；；｛｝≥显然它们满足（２—２７），因此代入（２—２８）得到迭代校正公式日（㈣：日（。）＋缸（‘’缸（‘）７ＨＣ‘’姆‘“．姆‘‘）７日（‘缸（‘）７姆‘。’船一日（‘’姆‘‘ｒ２－２９）这就是ＤＦＰ变尺度算法的迭代公式，它是最早提出的一个变尺度算法，是一个较成功的算法。（四）ＤＦＰ算法的主要步骤①取初始点ｘ‘１’∈Ｒ”，允许误差￡＞０②计算ｇ椰＝Ｖｆ（ｘｍ），若Ｉ｜ｇｍ＜４１，则停，得妒＝ｘ㈣；否则转③③令ｋ＝１，可１）＝厶④令ｚ‘‘’＝一Ｈ‘‘’ｇ‘‘’⑤求＾“ｍ＾≥ｉ。ｎｆ（ｘ‘”＋２ｚ‘‘’）＝ｆ（ｘ‘‘’＋五ｔｚ‘”），令ｘ‘“”＝ｘ‘‘’＋五女ｚ‘‘’⑥计算ｇ‘“１１＝Ｖｆ（ｘｍｌ’），若恬‘“１’＜ｅＩＩ，则停，得矿＝一“１’；否则转⑦⑦若≈＝”，则令Ｘ‘１’＝Ｘ‘“’，ｇ‘１’＝ｇ‘“’，转③；否则令Ａｘ‘‘’＝ｘ㈣’一ｘ恤’，Ａｘ‘”＝ｘ‘“”一ｘ‘¨，，‘‘’＝Ｈ‘‘’△ｇ‘ｎ，计算∥枷：∥，＋垡挲芝一！竺！Ａｘ‘‘’１姆‘‘’姆‘‘’。日‘‘’姆‘‘’浙江大学硕士学位论文⑨令ｋ＝ｋ＋ｌ，转④二、约束最优化方法约束最优化问题求解的主要思想是将一个约束问题转化为一系列的无约束问题，使得每一次无约束问题的最优解逐步逼近约束问题的最优解。这里我们介绍和研究罚函数法和乘子法。１．罚函数法罚函数法（ＰｅｎａｌｔｙＦｕｎｃｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄ）基本思想是：通过改变目标函数来达到消去约束的目的。我们可以将目标函数附加上由约束函数构成的“惩罚项”或“障碍项”，构造出新的函数，从而使得约束问题的求解转化为一系列无约束问题的求解。这类方法又称为序列无约束极小化方法（ＳｅｑｕｅｎｔｉａｌＵｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄＭｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎＴｅｃｈｎｉｑｕｅ），简称ＳＵＭＴ法，我们将介绍两种基本方法：其一是罚函数法，又称ＳＵＭＴ外点法，这种方法目标函数的惩罚项是对任一个违背约束进行惩罚而加上去的。该法生成的一系列非容许点，其极限是原问题的一个最优解；其二是障碍函数法，又称ＳＵＭＴ内点法，这种方法目标函数附加的“障碍项”是为了阻止所求得的点离开容许集。该方法生成的一系列容许点，其极限是原问题的一个最优解。外点法：对于等式约束问题（２．１５）（２－１５ａ），考虑求解新的函数Ｆ（ｘ，Ｍ）＝，（ｘ）＋坳（ｘ）＝，（ｘ）＋Ｍ∑◇；（ｘ））２ｉ＝ｌ（２—３０）的无约束极小问题。其中Ｆ（ｘ，胸称为罚函数，Ｍｐ（ｘ）为罚项，Ｍ为罚因子，是一个充分大的正数，我们希望ｍ，均的最优解《＾０，当Ｍ充分大时能逼近约束问题（２—１５）（２—１５ａ）的最优解。为此，罚项Ｍｐ（ｘ）应具有这样的性质：当ｘ∈矗，即满足约束条件（２—１５ａ）时，罚项为０；反之罚项给以很大的惩罚。也就是说，罚函数Ｆ（ｘ，Ｍ对容许点不实行惩罚，而对非容许点进行很大的惩罚。同样，这种方法对不等式约束问题也适用。外点法迭代步骤：①选取初始罚因子Ｍ＞０（可取脑＝１），允许误差８＞０，置ｋ＝１，ｃ＝１０②求无约束极值问题ｍ抑Ｆ（ｘ，必）的最优解，设为工件’＝颤＾靠）其中Ｆ（ｘ，ＭＤ＝，（ｘ）＋蝇∑◇；（埘浙江大学硕士学位论文③若存在Ｊ（１≤≯≤”），使～讯一曲）＞８，置蝇＋：＝Ｃ・Ｍｋ，ｋ＝ｋ＋ｌ，转②；否则停止迭代，得到ｚ（‘）ａｘ女内点法：此方法仅限于不等式约束。对于不等式约束问题（２．１５）（２—１５ｂ），考虑求解新的函数Ｆ（ｘ，ｒ）＝，（ｘ）＋培（ｘ）＝厂（ｘ）一ｒ∑１ｎ◇．（ｘ））ｌ＝ｌ（２—３１）或№ｒ）＝，（ｘ）＋培（ｘ）＝ｍ）。ｙｉｌ－丽（２—３２）其中ｒ＞０，易见当ｒ很小时，这些新函数具有这样的性质：对约束ｆ２—１５ｂ），当点ｘ从容许集内部趋近容许区域边界时，至少有某个缈舡）趋于０。这样，约束极值问题就可以转化为一系列无约束极值问题。舷嘲衣为障碍函数，ｒＢ（ｘ）为障碍项，ｒ为罚因子。内点法迭代步骤：①取ｒｌ＞０（可取ｒｌ＝ｌＯ），声＞０（ｒｋ的缩小率，一般可取ｐ＝Ｏ．１），给定允许误差８＞０②求出约束集合置的一个内点ｘ‘ｏ’∈Ｒ，置．ｊ｝＝１⑨以扩１’∈且。为初始点，求无约束极值问题婴粤Ｆ（ｘ，Ｍｔ）的最优解，设为√耐＝颤哟∈胄ｏ④若唯Ｂ（工‘‘’）＜占则停止迭代，得到Ｘ‘‘’≈ｘ十；否则取唯＋１＝∥．‘，ｋ＝ｋ＋１，转③２．乘子法罚函数法比较简单，使用灵活，但也有它不足之处，如要反复进行无约束极小化过程，工作量大；当罚因子无限增大，容易引起目标函数的病态性质等等。为了克服这些困难，提出了一种Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子法。对等式约束问题（２一１５）（２—１５ａ），用外点法得到目标函数（２．３０），在这个基础上改造为Ｌａｇｒａｎｇｅ乘式ＦＧ，五，Ｍ）＝厂Ｇ）＋芝五，妒，Ｇ）＋＿ｍ∑ｎ缈；Ｇ）ｊ＝ｌ二（２．３３）ｆ＝１其中＾ｆ（ｉ＝１，…，功是约束极小点工・处的Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子。这样就将约束问题转化为无约束极值问题，并且，有可能取适当大的肘（而不是趋于无穷大），通过一无约束极小化（面不是无穷次），就可以锝到约束极小点。浙江大学硕士学位论文在实际计算中，我仍然不知道Ｍ究竟要多大，更不知道妒处的Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子九，所以还是采取逐步迭代的方式，即求解第ｋ次无约束极小问题ｍｉｎＦＧ，ｚｃ¨，Ｍ。）：厂Ｇ）＋芝ｚ，ｃ女，妒，Ｇ）＋罢ｒ上芝妒？Ｇ）ｉ＝１二ｉ＝１（２—３４）逐步增大％并调整２㈣。这里不需要螈趋于无穷大，它的调整仍然采用Ｍｋ＋，＝ＣＭｋ的方式，现在考虑如何调整Ａ旧。假设（２—３４）问题的最优解为ｘ∞・，则ＶＦｂ‘‰，∥’，螈）＝ｏ，即Ｖ厂Ｇ女半、ｌ，＋。∑Ⅲ，Ｌ兄女＋Ｍ女ＰＧ女枣、力ＶＰＧ女水、Ｉ，＝０于是，旯‘…’取丑ｉ‘“’＝五ｊ‘‘’＋＾靠仍仁‘‘）｝）（ｆ－ｌ，…叻终止准则为∑霄Ｇ）＜ｓ。ｉ＝ｌ（２－３５）Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ乘子法迭代步骤：①选取初始点ｘ（ｏ），蚴＞０（可取脑＝１），２（１）＝（Ｏ，…，ｏ），ｃ＝１０允许误差８＞０，置ｋ＝１②以≯。１’为初始点，求解无约束问题（２．３４）得≯’③若满足终止准则（２．３５），则终止，妒＝ｘ‘‘’；否则Ｍｋ＋，＝ＣＭｋ，Ａｊ‘“”＝Ａｊ件’＋＾以仍ｂ‘‘’），置ｔ＝ｋ＋ｌ，转②§２．４曲面曲率计算一、基本原理［１０９］计算曲面的曲率，包括曲面的主曲率及其主方向，首先要计算曲面的第一基本量和第二基本量。曲面的第一、第二基本量决定了曲面的内在性质。设有正则参数曲面Ｓ＝Ｓ（ｕ，ｖ），则称１＝Ｅｄｕ２＋２Ｆｄｕｄｖ＋Ｇｄｖ２ｆ２—３６）为曲面Ｊ的第一基本形式，其中Ｅ＝Ｓ：Ｆ＝Ｓ。・Ｓ。Ｇ＝Ｓ：浙江大学硕士学位论文为曲面Ｓ的第一基本量。称Ⅱ＝Ｌｄｕ２＋２Ｍｄｕｄｖ＋Ｎｄｖ２为曲面ｓ的第二基本形式，其中Ｌ＝１１１－Ｓ。。（２—３７）Ｍ＝ｎ・Ｓ。Ｎ＝ｎ’Ｓ。为曲面Ｓ的第二基本量，其中—一Ｓ。×Ｓ，¨声萄为曲面ｓ的单位法矢。曲面ｓ的法曲率凰为Ｋ：旦：—Ｌｄｕ２＋２Ｍｄ—ｕｄｖ＋Ｎｄｖ２—２了３—Ｅｄｕ２＋２Ｆｄ—ｕｄｖ＋Ｇｄｖ２１ｆ２—３８１ｕ。刨曲面在其上一点处沿不同的方向具有不同的法曲率。将法曲率对表示方向的比值孚或譬求导，令其为零，就可导出曲面ｓ的主曲率，即法曲率的最大值和最小ａｕａｔ，佰。日口由于出，咖不同时为零，解得两个主曲率一＝Ｏ０ｄｖ董ＯＫ．：２（Ｍ－Ｋ．Ｆ）ｄｕ；＋２（Ｎ－Ｋ．Ｇ）ｄｖ：ｏ』（三一Ｋ—Ｅ）ｄｕ＋∽一Ｋ．Ｆ）ｄｒ２０Ｉ（Ｍ—ＥＦ）ｄｕ＋（Ⅳ一ＥＧ）ａｖ＝０—ＯＫ—．：—２（Ｌ－Ｋ．Ｅ）ｄｕ＋—２（Ｍ－Ｋ．Ｆ）ｄｖ：Ｏ墨＝Ｈ一４Ｈ２一Ｋ墨＝日＋４Ｈ２一Ｋ（２。３９）Ｐ～’（２－４０）。。（２－４１）（２－４２）其中Ｋ＝世２＝坐２（等ＥＧ日：墨％＝丽ＬＮ－Ｍ２（２－４３）１。ＥＧ—Ｆｚ一Ｆ‘、（２－４４）分别表示曲面ｓ的高斯曲率和平均曲率。将置ｌ和恐代入（２—３９），即可得到对应浙江大学硕士学位论文得两个主方向。二、测量数据的曲面曲率计算方法ＢｅｓｌａｎｄＪａｉｎ［１１０］对曲面曲率及其计算技术进行了详细的综述性研究。空问Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ）Ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ）数据点曲面曲率计算方法一般有五种，分别是ＣＴ（Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ法、ＯＷ（ＯｒｔｈｏｇｏｎａｌＷａｌｋｉｎｇ）法、ＣＰ（ＣｒｏｓｓＰａｔｃｈ）法、ＳＴ（Ｓｕｒｆａｃｅ法和Ｔｗ（ＴｕｒｔｌｅＷａｌｋｉｎｇ）法。Ｓｔｏｋｅｌｙ和Ｗｕ［１１１１对这５种曲率计算方法进行了实验比较。在这五种方法中，ＳＴ法和Ｔｗ法只能计算得到数据点的高斯曲率值，而无法得到主曲率及其主方向。而在其余三种方法中，ＣＴ法对于测量误差和噪声数据的敏感程度比ＯＷ法和ＣＰ法小，而且计算步骤亦比较简单。因此许多学者都采用ＣＴ法计算空间数据点曲率特性［３９，１１２，１１３］。ＣＴ法的基本思路是对数据点的邻域数据进行局部抛物面Ｓ（“，ｖ）＝口矿十ｂｕｖ＋ｃ，拟合，通过计算抛物面Ｓ的主曲率及其主方向作为该数据点的曲率特性，具体算法步骤如图２－１所示。首先，计算出数据点ｐ的邻域数据。我们称一个点及其邻域为一个单元格或一个包围盒，而这个点处于这个“格”或“盒”的位置。对于单元格数据量的确定，Ｓｕｎ［１１２］进行了大量试验，并证明邻域数据量在２４．３２个点时，就可保证拟合抛物面的精度，过多的邻域数据量会加大曲率估算的计算量。然后，对得到的单元格数据进行平面拟合，用拟合平面ｆ的法矢押作为点ｐ法矢的近似值，弗在点Ｐ处建立局部坐标系（Ｕ，ｖ，＾），如图２－２所示。其中局部坐标系（“，ｖ，＾）的坐标原点设在点ｐ，坐标轴ｈ设为法矢一，坐标轴Ｕ和ｖ可以在平面ｆ中任意设置。接着将单元格数据由原始坐标系（ｘ，Ｙ，ｚ）向局部坐标系（“，ｖ，＾）转换，并对转换后的数据进行抛物面ｓ∽ｖ）＝ａｄ＋ｂｍ，＋ｃ伊拟合。最后计算抛物面Ｓ在点ｐ处的主曲率及其主方向。对于抛物面：Ｓ（ｕ，ｖ）＝（“，ｖ，ａｎ２＋ｂｕｖ＋ｃｖ２）图２－２局部抛物面拟合图２－１数据点ｐ的曲率特性计算流程图算数据点ｐ的邻域数据Ｉ邻域数据进行拟合平面ｌＩ建立局部坐标系ｌ邻域数据坐标系转换ｌ绕臻黔然紫ｌ●计算抛物面占在点，的曲率特性在局部坐标原点的主曲率及其主方向计算如下：浙江大学硕士学位论文Ｓｕｋ。）＝（１，０，２ａ“＋６ｖ）ｋ。）＝（１，０，ｏ）ｓ。ｋ。）＝（ｏ，０，２ａ）Ｊ，ｆ（０，ｏ）＝（ｏ，１，ｂ“＋２ｃ叫（。．ｏ）＝（ｏ，１，ｏ）ｓ。ｋ。）＝（ｏ，０，２ｃ）ｓ。，｜（ｏ，０）＝（ｏ，０，６）ｎｌ（ｏ，旷赫｜（ｏ，０，－（０’ｏ，１）抛物面Ｓ的第一基本量：Ｅ＝Ｓ。Ｓ。＝１Ｆ＝Ｓ。Ｓ。＝０Ｇ＝Ｓ，Ｓ，＝１抛物面ｓ的第二基本量：Ｌ＝Ｓ。ｎ＝２ａＭ＝Ｓ。ｎ＝ｂＮ＝Ｓ。ｎ＝２ｃ抛物面ｓ的主曲率及其主方向为：Ｈ：—Ｅ—Ｎ—－——２Ｆ——Ｍ—＿：＋一ＧＬ：口＋ｃ２（ＥＧ—Ｆ２）ｆ２—４５）Ｋ：—ＬＮ—－．Ｍ２：４ａｃ—ｂ２Ｋｔ＝Ｈ一√Ｚ两＝ａ＋ｃ一√ｉｉ二丽ｍ。＝（ｃ－ａ＋４（ａ－ｃ）２＋ｂ２，－ｂ）。ａ≥＜。ｃＫ：：日＋√百再：ａ＋ｃ＋瓜丽ｒ２—４７）ｆ２—４８）ｆ２—４９）卟｛等攫翟…ａ＜ｃ。转换回原始坐标系（ｘ，Ｙ，ｚ）。方法，将在本文第三章中进行详细论述。ｆ２－５０）其中足ｌ和ｍ１分别表示最小曲率及其方向，恐和／１１２分别表示最大曲率及其方向。因此数据点Ｐ的高斯曲率、平均曲率、主曲率及其主方向可以分别由公式（２－４５）一（２－５０）计算得到，最后将主曲率方向ｍｌ和”２方向从局部坐标系（“，ｖ，＾）在对单元格数据进行平面和抛物面拟合计算中，我们采用了常用的最小二乘浙江大学硕士学位论文以上我们可以由一点的单元格或包围盒的处理得到这一点的曲率特性。一般来说，对于点云中的每一点，我们想要得到它的曲率特性，都要采取上述的处理，这是由于这种曲率计算方法采用的是拟合局部抛物面，只能保证这一点的曲率特性的准确性。显然，这种方法所有的单元格有很多的重叠部分，存在很多的冗余计算，特别是当点云数据点数量很大时，算法效率很低。目前，我们正在研究一种改进的计算点云数据点曲率特性的方法，即不对每点都寻找单元格，而是将点云整体划分为一个个没有重叠或有很少重叠部分的区域，对于每个区域，先拟合局部抛物面，得到点的曲率特性；基于点计算Ｓｈｅｐａｒｄ曲面，插值得到其他点曲率，这样就大大简化了计算的复杂性。§２．５本章小结本章详细介绍了反求工程中用于特征提取的一些基本数学理论和方法，包括最小二乘法、最优化技术和曲面曲率计算方法。浙江大学硕士学位论文第三章二次曲面特征的提取§３．１二次曲面基本描述机械零件的表面通常是由一些可以称为特征的几何曲面组成，这些几何特征曲面主要包括二次曲面、扫掠曲面和过渡曲面。大多数机械零件的表面是由平面、球面、圆柱面、圆锥面以及圆环面等这样的二次曲面构成，因此，在复杂产品反求工程设计中研究二次曲面特征的提取具有非常重要的意义。在三维空间中，满足方程Ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）＝Ｃ１Ｘ２＋ｃ２Ｙ２＋Ｃ３Ｚ２＋Ｃ４ｘｙ＋Ｃ５ｙｚ＋Ｃ６弘＋Ｃ７Ｘ＋ｃｓＹ＋Ｃ９Ｚ＋Ｃ１０＝０（３一１）的曲面称为一般二次曲面（ＧＱＳ，ｇｅｎｅｒａｌｑｕａｄｒｉｅｓｕｒｆａｃｅ），包括球面、圆柱面、圆锥面、圆环面、抛物面、双曲面、椭圆面等，其中球面、圆柱面和圆锥面称为自然二次曲面（ＮＱＳ，ｎａｔｕｒａｌｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅ）【８】。在实际工程应用中，尤其在机械工程中，产品表面通常是由平面和自然二次曲面构成，而很少出现一般二次曲面。因此，我们将平面和自然二次曲面（简称二次曲面）确定为特征曲面。一般的空间平面方程为ａｘ＋ｂｙ＋ＣＺ＋ｄ＝０（３—２）其中，ａ，ｂ，Ｃ，ｄ为平面参数，ｎ＝（口，ｂ，ｃ）表示平面法向量。尽管平面方程属于一次方程，但由于其能够利用方程（３－１）表示，即Ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）＝Ｃ７工＋ｃｓＹ＋Ｃ９Ｚ＋Ｃｌｏ＝０（３—３）两种表达方法的系数对应关系为：＝口６＝ＣｌＩ（３一』，）ｄ＝新靠。印因此，我们将平面视为二次曲面的退化形式，将它们一并讨论。常见的球面方程为（工一石ｏ）２＋（ｙ～ｙｏ）２＋（ｚ—ｚｏ）２＝Ｒ２（３－５）其中，勋，Ｙ０，Ｚｏ，Ｒ为球面参数，口＝（ｘｏ，Ｙｏ，ｚｏ）表示球面中心，Ｒ表示球面半径。球面方程的一般形式为Ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）＝工２＋Ｙ２＋ｚ２＋ＣＴＸ＋ｃｓＹ＋ＣｇＺ＋Ｃ１０＝０（３－６）浙江大学硕士学位论文两种表达方法的系数对应关系为：。ｏ２一ｊ（３－７）Ｃ，ｙ。＝～皂矿～詈圆柱面方程为尺：巫互互五２【（ｘ—ｘｏ）删一（ｙ—ｙｏ）明２＋【（ｙ—ｙｏ）舸一（ｚ—ｚｏ）埘］２＋［（ｚ—Ｚ０），一（工一ｘｏ）ｎ］２＝Ｒ２（３罐）其中，ＸＯ，Ｙｏ，ＺＯ，ｍ，”，‘Ｒ为圆柱面参数，０＝‰，夕ｏ，劫表示圆柱面轴线上任意一点，ａ＝（Ⅲ，＂，，）表示圆柱面轴线方向的单位向量，Ｒ表示圆柱面半径。圆锥面方程为！苌）柚ｍ－：（咿ｙ－ｙｏ）０）２／］２＋心［（ｙＹ＝［（ｘ—ｘｏ）２＋（一ｏ）２＋（ｚ一Ｙ二Ｚｙ嵩＜掣州２＋Ｋ”‰ｙ一”‰扣ｒ（３－９）０）２］ＣＯＳ２０其中，ＸＯ，Ｙｏ，２；０，ｍ，月，‘０为圆锥面参数，Ｐ＝（ｘｏ，ｙｏ，ｚｏ）表示圆锥面顶点，４＝（ｍ，ｎ，，）表示圆锥面轴线方向的单位向量，口表示圆锥面的半锥顶角。值得注意的是，与平面和球面的表达不同，圆柱面和圆锥面都无法给出一般形式和特殊形式的参数对应关系，而他们的一般二次表达形式只能是式（３－１）。§３．２二次曲面最小二乘拟合技术平面、球面、圆柱面和圆锥面的基于点云的直接拟合可以分别由第二章所述的线性或非线性最小二乘法来解决。一、平面拟合由平面方程（３．３）可知，其参数口，ｂ，Ｃ，ｄ为线性表示，因此平面拟合采用线性最小二乘方法，平面方程的系数Ｃ７，Ｃ８，Ｃ９，ＣＩＯ（即口，６，Ｃ，ｄ）非，由数据点｛∞，ｙｒ，ｚｉ），ｉ＝１，…，ｒ／）来确定。因此我们采用特征向量估计法（ＥＶＥ）来求解。平面拟合的目标函数为方程：出＝０其中（３－】ｏ）浙江大学硕士学位论文ｘ＝（ｃ７，ｃ８，ｃ９，ｃｌｏ）１ｘｌｘ２ＹＩＹ２Ｚｌｚ２１１４＝ｚ。Ｙ。ｚ。１我们采用第二章提到的特征向量估计法（ＥＶＥ），可以求得矩阵似１月）的特征值ｋ和特征向量Ｘｉ（ｆ＝１，…，４），对应绝对值最小的特征值ｋ的特征向量而即是待求平面参数（口，ｂ，Ｃ，ｃＯ的最小二乘解。当求得平面参数（口，ｂ，ｃ，力后，由数据点｛∞，雎，ｚｉ），ｉ＝１，…，ｎ）确定的最小二乘平面就已确定。由于（ｄ，ｂ，Ｃ，叻不是相对的参数，它们的值不是绝对的，因此在得到最小二乘解之后，我们先进行参数的单位化，即将它们同除以一个特定值。这里我们令前三个参数的平方和为１，即使平面的法向量为单位向量。单位化后的各参数为：口，：—：：：：竺：：：一√口２＋６２＋ｃ２６，＝一ｃ’＝—．＝＝＝＝＝＝；＝＝＝＝４ａ２＋ｂ２＋ｃ２ｄ，＝一！如２。。ｂ２＋ｃ２（３－１１）１４ａ２＋ｂ２＋ｃ２此时可得拟合误差为：平均误差：‰＝型——————一仃∑ｂ＋砂。＋口，＋ｄｌｒ３—１２）其中ｎ为数据点的个数。最大误差：Ｅ一＝ｍ。ａｘｌａｘｒ＋砂ｒ＋ｃｚｆ＋ｄＩ这里的（口，ｂ，Ｃ，∞都是已经单位化之后的参数值。ｆ３－１３）二、球面拟合由球面方程（３．５）可知，其参数Ｘ０，ｙｏ，Ｚ０，Ｒ为二次式表达，因此球面拟合应该采用非线性最小二乘方法。但通过参数变换后得到球面方程（３—６），其参数Ｃ７，ｃ８，ｃ９，ｃｌｏ为线性表达，故球面拟合又可以采用线性最小二乘方法实现。下面我们分别采用这两种方法来求解球面方程的参数。浙江大学硕士学位论文１．线性最ｄ＂－－乘方法的球面拟合由于方程（３—５）中包含常数项＃＋霄＋矛，且四个系数第二章所述的奇异值分解法（ｓｖＤ）求解球面拟合。故可以采用球面拟合的目标函数为方程Ａｘ＝６ｆ３—１４）其中ｘ＝（ｃ７，ｃ８，ｃ９，ｃｌｏ）７，■ＹＩＡ＝Ｘ２ｏＩ２２１１Ｙ２ｘ。Ｙ。Ｚ。ｌＸ２ｌ２＋＋ｙ矗＝Ｘ２石２”＋ｙ．．．，由奇异值分解法求得最小二乘解ｘ后，通过坐标转换公式（３—７）就可得到球面的参数：球心坐标Ｏ＝（ｘｏ，ｙｏ，旬和半径Ｒ。确定了最小二乘解的球面方程后，就可以求得拟合误差为：∑Ｉ√（ｘ—ｘ。）２＋（ｙ—ｙ。）２＋（：一：。）２一ＲＩ平均误差：Ｅ。＝舅二———————————————二其中ｎ为数据点的个数。（３－１５）最大误差：Ｅ。。＝晦｝、／ｉｉ＝五巧乏ｉ了万‘乏哥一ＲＪ（３－１６）２．非线性最小二乘方法的球面拟合对空间数据点Ｐｒ到球面（球心为Ｏ，半径为只）的距离为ａ（ｐ，）＝Ｊ，，－ｏ］－Ｒ＝√（ｐ，－ｏ）・（ｐ，－ｏ）－Ｒ最小二乘方法就是通过求解残差平方和（３—１７）∑ａ（ｐ∥（３—１８）的最小值来确定球面参数。由于以上函数中含有根式求和的形式，为了简化求导计算，需要对距离函数（３—１７）进行重新考虑。浙江大学硕士学位论文ＶａｕｇｈａｎＰｒａｔｔ［１１４］提出了一种“准最小二乘”（ｑｕａｓｉ．１ｅａｓｔ—ｓｑｕａｒｅｓ）的方法，并被广泛应用于圆柱面和圆锥面等二次曲面的非线性最小二乘拟合［１１５］。该方法首先对二次曲面重新进行参数化，如对球面的重新参数化如图３－１所示，其中ｐｎ为球面上离原／，，Ｋ＼点００距离最近的点（对于球面来说，是原点、球／ｆ＼＼心连线与球面的一个交点）；席为单位向量，方向Ｅ二二五芝亡二爿背向原点，指向球心；Ｐ表示”方向上从原点到球面上最近点的代数距离；ｋ表示点ｐｎ处的最大曲率值，则此时１腑可以表示球面半径。将月用球坐标表示，即ｎ＝（ｃｏｓｐｓｉｎ口，ｓｉｎ妒ｓｉｎ占，ｃｏｓＯ）（３—１９）／、＞∑２／‘。∑一，１弦＼』／００图３－１球面参数化则球面就可参数化为ｓ＝ｐ，妒，只句，数据点ｐｆ到球面的距离函数为ｄ（ｓｐ，）＝ｌ，，一（ｐ＋妻）一Ｉ一妻＝Ｊ（ｐ，一（ｐ＋妻）栉）・（ｐ，一（ｐ＋去）一）一妻这样就得到了形为（ｓ．ｚ。）ａ（ｓ，Ｐｊ）＝，／ｇ—ｈ（３－２１）的距离函数。但是由于这类函数中含有根号项的和式，在计算（３．１８）的最小值，确定满足最小值的解Ｓ时非常复杂和困难，因此需要对距离函数ｄ佤彬进行近似修改。在［１１５］中，ＧａｂｏｒＬｕｋａｃｓ等提出了这样一种形式的近似函数：孑＝譬卜引２＾Ｉ２而Ｊｐｚｚ，、７以避免对根式的求解，从而简化计算。采用这样的近似函数对结果的求解不会有较大影响，因为函数满足下列两个条件：①当ｇ＝ｈ２时，函数ｄ和孑都等于０，即它们具有相同的零点；②在零点处具有相同的偏导数。当采用了近似距离函数之后，所要求解最小值的目标函数为：（３－ｚｓ）∑张％）’∑虹掣对于球面，距离函数（３．２０）就可用浙江大学硕士学位论文孑（ｓｐ，）＝等（ｆｐ，１２—２，０Ｐ；．ｎ＋ｐ２）＋，ｏ－Ｐ，．Ｈ二（３—２４）来近似表示。为了求得使函数（３－２３）达到最小值的解Ｓ，我们采用第二章中叙述的Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ—Ｍａｒｑｕａｒｄｔ迭代法。任何一种迭代方法都需要比较好的初值，然后才能得到精确解。在球面拟合中，参数０，妒，只妁的初值是通过计算数据点的局部曲率特性确定的。我们首先在待拟合的数据点中选取一点，通过计算此数据点的主曲率Ｋ．、尬及其主方向删－、ｍ：，将最大曲率岛设为参数ｋ的初值，（ｍ。×ｉｎ２）／Ｉｒａｌ×ｍ２Ｉ作为ｎ（即参数妒和日）的初值，参数ｐ的初值设为零。对于空间数据点曲率计算，第二章也已经有详细叙述。在使用迭代法得到优化解ｓ后，需要进行参数问的转化，即将参数Ｓ＝（ｐ，钆以Ｄ转化为有通常几何意义的球心０＝（ｘｏ，Ｙｏ，动和半径Ｒ：Ｒ＝１／ｋ“＝（，ｐ＋．１／ｋ）、ｃｏｓｑ’ｓｉｎ：（３－２５）Ｙｏ＝（ｐ＋１／ｋ）ｓｉｎ缈ｓｉｎ口ｚｏ＝（ｐ＋１／ｋ）ＣＯＳ０窆ｌ厄ｉ万瓦可而一ＲＩ平均误差：ｋ＝型二—————————————一ｌ司样司以得到球面拟合的拟台误差：”ｒ３—２６）其中ｎ为数据点的个数。最大误差：Ｅ一＝舞ｌ舨ｉｊｊＦｉ歹ｊｊＦｉ习一Ｒｆ三、圆柱面拟合由前面的分析我们可以知道，圆柱面的描述只能是如方程（３．８）或（３—１）的表示，而它们都是非线性的参数表ｒ３—２７）示，因此，我们采用非线性的最小二乘方法来拟合圆柱面。与非线性最小二乘球面拟合一样，我们首先对圆柱面重新进行参数化，如图３－２所示，其中舢为圆柱面上离原点Ｄ０距离最近的点（对于圆柱面来说，是原点到旋转轴的投影线与圆柱面的一个交点）；口表示圆柱面的轴、弋／／００图３－２圆柱面参数化浙江大学硕士学位论文线方向；口和一均为单位向量，显然席为圆柱面的一个法向量，则口・ｎ＝Ｏ；ｋ为点ｐｎ处的最大曲率值，这里ｌ肚可以表示圆柱面半径；同样Ｈ可用（３－２１）式表示为球坐标，ｎ对妒，０的偏导数为栉９＝（一ｓｉｎ口ｏｓｉｎ０，ＣＯＳｓｉｎ０，０）（３—２８）（３—２９）Ｈ９＝（ＣＯＳ妒ｃｏｓ口，ｓｉｎｑ，ｃｏｓ０，－ｓｉｎ０）将∥标准化为万９＝（－ｓｉｎ”。ｓ鲫）＝羔（３－３０）Ｓｌｎａ＝一８∥Ｎｎ８，万一和Ｈ构成一个正交基，向量４就可以参数化为ＣＯＳａ＋万９ｓｉｎａ（３—３１）这样，圆柱面就可参数化为ｓ＝（ｐ，妒，０，屯ａ）。可见，经过重新参数化后，圆柱面的参数由方程（３－８）中相互关联的７个参数‰，ｙｏ，Ｚｏ，ｍ，ｎ，，，Ｒ）转变为相互的５个参数Ｄ，妒，以屯ｄ）。然后得到数据点ｐ，到圆柱面的距离函数：ｄ（墨ｎ）：Ｉ（ｐ，Ｉ再巧再雨｛ｃｐ＋枷斗：ｆ３・３２）同样的道理，我们用近似距离函数孑（墨ｐ』）＝要（Ｉｐ，１２—２ｐ（ｐ。・打）～（ｐ，・口）＋ｐ２）＋ｐ－ｐｊ・冉Ｚ（３—３３）来表示真实距离。圆柱面的求解过程与上述的球面的求解相似，仍然采用Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ・Ｍａｒｑｕａｒｄｔ迭代法。迭代初值ｓ＝（ｐ，妒，只屯∞通过计算数据点的局部曲率特性来确定。同样，我们首先在待拟合的数据点中选取一点，然后计算出该数据点的主曲率Ｋ・、岛及其主方向ｍ，、ｍ２，将最大曲率恐设为参数ｋ的初值，（ｍ。×ｍ２）／Ｉｒａｌ×ｍ：ｌ作为Ｈ（即参数ｐ和口）的初值，最小曲率方向肼。作为ａ，可以确定参数ａ的初值，参数Ｐ的初值设为零。在使用迭代法得到圆柱面的优化解ｓ后，需要进行参数间的转化，即将参数Ｓ＝（ｐ，伊，０，岛ａ）转化为有通常几何意义的旋转轴口（包括位置和方向）和圆柱面浙江大学硕士学位论文半径Ｒ。对于一个理论圆柱面来说，它的轴向长度应该为无穷大，但作为实际应用中的圆柱面，它只可能是有长度的，或者只是理论圆柱面的一部分。在这里，我们采用的圆柱面描述方法是：实际局部圆柱面的两端面圆心Ｃｌ、Ｃ２（如图３－２所示）和圆柱面半径Ｒ，这些参数的转化如下：Ｒ＝１／ｋｆ３—３４）为了得到两端面的圆心Ｃｌ、ｃ２，我们将所有的数据点投影到圆柱面的旋转轴上，然后由投影参数ｔ可以确定两端点，也就是Ｃ１、Ｃ２。旋转轴的方向为ａ，可以由式（３．３１）得到；为了确定旋转轴的位置，需要一个固定点，我们将原点投影到旋转轴上，（实际上是沿着方向ｎ投影）即点Ｏ’＝（ｘＯｒ，Ｙｏ７，ｚＯｒ）：ＩＸｏ＝（ｐ＋１／Ｊｊ｝）ｃｏｓ妒ｓｉｎ目｛ｙ：＝（ｐ４－１／ｋ）ｓｉｎ妒ｓｉｎ占（３－３５）【ｚ：＝（ｐ＋１／女）ＣＯＳ０各数据点到旋转轴上的投影参数为：ｔｊ＝口・（ｐｊ—ｏ’）＝口・Ｐｊ（３—３６）然后将得到的参数ｔｉ（ｉ＝１，．．．ｎ）排序，最大的与最小的分别为两端点，即圆柱面两端面圆圆心Ｃｌ、ｃ２对应的投影参数，还原可得Ｃｌ、ｃ２两点：｛Ｃ：【２＝１＝Ｏ＇‰＋ａ＇～ｔｍａｘＣ同样，圆柱面拟合的拟合误差为：０’＋口・ｍｉｎｔ。（３．。，）、。这样就得到了有着常见的几何参数的圆柱面。平均误差：Ｅ。＝扎×禹Ｈｒ３—３８）其中ｎ为数据点的个数。最大聪。斗×剐一只ｌ四、圆锥面拟合ｆ３—３９）圆锥面的拟合很显然也只能是非线性拟合，它的重新参数化与圆柱面相类似，如图３—３所示，ｐ以为圆锥面上离原点距离最近的点（对于圆锥面来说，是原点垂直于最近一条母线的投影线与圆锥面的一个交点）；ｋ表示在点ｐ一处圆锥浙江大学硕士学位论文面的最大曲率值，口表示圆柱面的旋转轴线方向，ａ和ｎ均为单位向量，ｎ仍然用（３－２１）式表示为球坐标，与圆柱面不同，在圆锥面一｛ｌａ和ｎ并不垂直，因此将口也用球坐标表示为ａ＝（ｃｏｓ仃ｓｉｎｆ，ｓｉｎ仃ｓｉｎｆ，ＣＯＳｆ）（３—４０）这样，圆锥面就可参数化为Ｓ＝（ｐ，伊，见ｔ以订。可见，经过重新参数化后，圆锥面的参数由方程（３—９）ｑ１相互关联的７个参数（砌，ｙｏ，ＺＯ，ｍ，／７，ｌ，Ｄ转变为相互的６个参数ｐ，仍目ｋ，以曲。图３－３圆锥面参数化然后得到数据点Ｐ，到圆柱面的距离函数：ｄ（Ｓ，ｐ，）＝Ｉｎ×ａ｜Ｉ（ｐ；一ｃ）×ｎｌ—Ｉｎ・ｎ｜｜（，，－ｃ）・ａＩ其中，ｃ表示圆锥面的顶点：Ｉｎ。口ｌ√ｉｉ＿＝：ｊｉ＿＝ｊｉ；ｉ而一ｌ一．。｜｜（ｐ，一。）．口Ｉ‘３－４１’ｃ＝（ｐ＋丢）ｎ一丽ａｆ３－４２）同样，距离函数也可近似表示为瓢¨＝幽嘉笔黔竽与前面的球面和圆柱面的求解过程相似，我们仍然采用Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ—Ｍａｒｑｕａｒｄｔ迭代法来求解圆锥面。在求解过程中，Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ．Ｍａｒｑｕａｒｄｔ迭代法的初值Ｓ＝０，尹，日，屯以Ｄ的确定与圆柱面相类似，不同的只是圆锥面旋转轴线的位置和方向需要ｆ３—４３）计算出两个数据点的局部曲率特性来确定，如图（３－４）所示，在数据点集的中间部分取两个点Ｐｌ、Ｐ２，分别计算它们的主曲率及其主方向ｍ－、地，得到各自的最大曲率值ｋｌ、如后，将它们沿各自的法向ｄ，即（ｍｌ×Ｉｎ２）／Ｉｒａｌ图３－４圆锥面旋转轴参数初始值估计ｘｍ２ｌ，移动ｌ臆ｌ和ｌ他的距离，这样就可以得到两点Ｄｌ、Ｄ２，我们把这两点的连线作为待求圆锥面的旋转轴，则ａ初值（即矾ｆ）可以得到；再在上述两数据点Ｐｌ、Ｐ２中任取一点作为参考点，按照前面圆柱面拟合的初值处理方法，可以得到剩下的几个参数（ｐ，浙江大学硕士学位论文∞，０，Ｊ｜｝）的初值。在使用迭代法得到圆柱面的优化解ｓ后，同样需要进行参数问的转化。与圆柱面的描述相似，我们采用端面圆圆心和半径的描述方法。如图（３—３）所示，我们将参数Ｓ＝０，妒，０，ｔ正力转化为两个端面圆的圆心Ｃｌ、Ｃ２和它们的半径风、月ｚ。为了得到两端面的圆心Ｃｌ、Ｃ２，我们将所有的数据点投影到圆锥面的旋转轴上，然后由投影参数ｔ可以确定Ｃ１、Ｃ２。旋转轴的方向为ａ，可以由式（３－４０）得到；为了确定旋转轴的位置，需要一个固定点，我们将原点沿着方向一投影到旋转轴上，即点Ｏ’＝（ｘｏ７，Ｙ０’，ｚ０’）：【Ｘｏ＝（ｐ＋ｌ／ｋ）ｃｏｓｔｐｓｉｎＯ｛Ｙ；＝（ｐ＋ｌ／ｋ）ｓｉｎｑ，ｓｉｎＯ【ｚ：＝（ｐ＋１／七）ＣＯＳ口各数据点到旋转轴上的投影参数为：ｔ，＝ａ・（Ｐｊ—Ｏ’）（３－４４）（３—４５）然后将得到的参数＾（ｉ＝１，．．ｎ）排序，最大的与最小的分别为两端点，即圆锥面两端面圆圆心Ｃｌ、ｃ２对应的投影参数，还原可得ｃｌ、ｃ２两点：｛Ｃ１：＝：ＯＣ—ｔ‰．ａ＋‰ｒ【２＝Ｏ’＋口・ｍｍｔ（３－。ａ）、’为了得到两个端面圆的半径，我们先求圆心点到平面彳的距离，（如图３－５），平面为向量Ｈ和最近点ｐ一确定的平面，距离１和半径Ｒ之间的几何关系由图可以明显看出来，它们的比值与４和Ｈ的夹角ｙ相关，这样我们可以求出两个端面圆的半径来：Ｒ：—Ｉ（Ｃ－ｐ—ｎ）＇一ｌｓｉｎｙ（３．４７）图３－５圆锥面两端面圆半径的求取以上就可以得到我们需要的圆锥面的几何参数。圆锥面拟合的误差分析如下：平均聪小笙喜１１：囹ｃ，－ｃ２吲１计算方法与（３－４７）相似：ＳｉｌｌｙＩＢ。。，其中，ｎ为数据点的个数，Ｒｉ为点朋所在的与两端面圆平行的圆的半径，其Ｒｉ：坦±坐二竺型（３－４９）浙江大学硕士学位论文最大髓‰＝酶Ｉ卜禹ｉ—ＲＪ＿¨ｌｆ—ｆＩＩｆ３－５０）五、非线性最小二乘拟合的补充说明在非线性最小二乘拟合中，我们采用了Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ—Ｍａｒｑｕａｒｄｔ迭代法，虽然该方法扩大了收敛区域，但仍需选择恰当的初值，否则会影响迭代求解速度和精度，甚至会导致迭代发散，得不到正确的解。对此，我们提出了通过计算数据点的局部曲率特性确定迭代初值的方法。然而，如果测量数据中数据点分布极不规则，或者存在大量的噪声数据，就会影响数据点局部曲率特性的计算，进而使迭代初值与真实解相去甚远，使得最终的迭代结果误差比较大。这也是由于在具体计算中，初值影响了迭代收敛速度，使得在经过规定的最大迭代次数后，迭代结果仍与真实解存在较大误差。而线性最小二乘拟合则不存在以上的缺点。我们对图３－６中的数据进行表３－１球面拟合结果（单位：ｍ）拟合方法线性最小二乘方法非线性最小二乘方法图３－６球面拟合球面中心∞乃力（１２０．０１８，－１００．００６，－６０．０１３）球面半径９９．９８３９０．８７４平均误差０．０３４０．１７３最大误差１．８９８５．２３２（１２２．０８３，－９８．７５４，－７１．９８２）测试，分别用线性和非线性两种方法拟合球面。从表３－１中的拟合结果可以看出，线性最小二乘方法的精度明显比非线性方法高。所以，我们在球面拟合中选择线性方法，遗憾的是在圆柱面和圆锥面拟合中，只能采用非线性方法。尽管如此，经过大量对实际测量数据的测试证实，通过计算数据点的局部曲率特性确定迭代初值的方法能够使Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄｔ代法稳定可靠地收敛。另外，一些特殊的扫描和数字化技术得到的测量数据中可以提供超过三维坐标的更详细的信息，例如点的法向量等，这样能够更好地支持非线性最小二乘方法。§３．３基于区域生长的二次曲面特征提取技术由于二次曲面是产品表面的重要组成部分，因此二次曲面特征的提取技术也是当前反求工程ＣＡＤ建模的研究热点。以上叙述的二次曲面特征拟合技术均是浙江大学硕士学位论文针对单个特征，并且特征类型己知的点云数据，因此，要对具有混合特征，包括非二次曲面特征的点云数据，我们首先需要对其进行基于特征的区域分割或分块。目前，基于测量点云数据的区域分割方法主要有：基于边的方法（Ｅｄｇｅ．ｂａｓｅｄ）和基于面的方法（ｓｕｒｆａｃｅ－ｂａｓｅｄ）［８］。基于边的方法是从纯数学的理论出发，认为测量点的法矢或曲率的突变是一个区域与另一个区域的边界，并将封闭边界的区域作为最终的分割结果。该方法对于边界的确定只用到边界的局部数据，受测量噪声影响较大，并且对型面缓变或圆角半径较大的曲面往往存在边界找不准的局限。基于区域生长的分割方法目前较为常用，其指导思想是将具有相似几何特征的空间点划分为同一区域。李江雄［２９］提出了根据测量数据的主曲率提取平面特征、球面特征和圆柱面特征的方法，即首先对测量数据进行标记，标记方法如下ｆ１１若测量点的两个主曲率值都等于零，则标记为平面上的点；ｆ２１若测量点的两个主曲率值都等于一常量，但不等于零，则标记为球面上的点：（３）测量点的两个主曲率中有一个等于一常量，另一个等于零，则标记为圆柱面上的点。根据标记结果对测量数据进行三角化，并由三角拓扑关系进行特征曲面区域的合并。该方法由于需要对测量数据进行三角化，这对大规模的点云数据来说比较困难，同时由于测量数据中的误差的存在使得标记的特征曲面数据点比较零乱，最后的提取结果不可靠。Ｃｈｅｎ和Ｌｉｕ［１１６］提出了一种基于遗传算法（ＧＡ，ｇｅｎｅｔｉｃａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ）的一般二次曲面提取算法，即首先应用最小二乘方法对测量数据进行一般二次曲面拟合，然后根据遗传算法提取二次曲面特征参数。该算法的优点是能够提取所有类型的二次曲面特征。但由于遗传算法复杂，计算量非常大。同时由于提取的二次曲面类型过多（总共有１９种情况），即使很小的误差也会引起提取二次曲面类型的改变。因而在实际工程应用中，该算法提取的结果也不可靠。在基于面的数据分块方法中，一般采用区域生长的方法，即选择种子点并设定拟合误差阈值后，边生长边曲面拟合，在曲面拟合的同时实现数据分块。可以在区域生长的过程中动态改变二次曲面的类型［８】，也可以根据经验判断指定二次曲面类型［１１７］。前者虽然能够相对提高自动化程度，但由于每次区域生长后需要对二次曲面族各种曲面类型进行拟合，计算量比后者成倍的增加。本文采用的是一种基于最小二乘方法和区域生长的二次曲面特征提取技术。我们首先对测量数据进行分析，根据实践经验或者结合反求实物，判断出测量数浙江大学硕士学位论文据中包含的二次曲面特征类型，并人工交互拾取相应的种子点进行区域生长和最小二乘拟合。在区域生长的过程中，始终对指定的二次曲面类型进行拟合，直至拟合误差超出要求。具体的算法步骤如下：［１］首先建立空间单元格模型，为测量数据建立空间相邻关系；［２】选取一单元格作为区域生长的种子点，并设定需要提取的二次曲面类型和最小二乘拟合误差阈值；［３】根据单元格模型的空间相邻关系，将当前的有效数据区域向外生长一层；［４］对生长层中的各个单元格数据进行测试，即依次将生长层中的各个单元格数据与当前的有效数据合并，利用最小二乘方法进行相应类型的二次曲面拟合，若拟合误差小于设定的误差阈值，则将该单元格数据加入到当前的有效数据中；［５】当生长层中所有单元格数据经测试后都不属于当前的二次曲面区域，则结束提取计算；否则回到步骤［３】继续。经过以上计算步骤，就可得Ｎ－－次曲面特征的参数，同时将属于该二次曲面的数据从原始测量数据中分离出来，实现测量数据分块。此外，在基于点云数据分块的区域生长方法方面，我们进一步研究的内容是基于曲率相似性与点的连通性进行点云数据的初步划分，形成多个连通域：初步选择区域的中间点作为种子点，进而自动判断、识别种子点的类型，再基于连通性进行初步分区，应用概率统计优选种子点。在自动获得种子点后，采用误差阈值控制下的区域生长方法，对生长区域进行特征曲面的匹配性拟合，实现曲面的自适应类型生长从而达到分块同时获取特征的目的。§３．４应用算例本节给出二次曲面特征提取计算的实例，由此证明算法的有效性。假设点云数据已经通过人工完成了分割，我们只对类型指定的单一曲面进行拟合测试。图３．７至图３—１０分别为平面特征、球面特征、圆柱面特征和圆锥面特征的提取效果图，提取的二次曲面特征参数列于表３—２中。堑＇江查主罂圭耋竺芝圭征提取图３－８球面特征提取３－９圆柱面特征提取图３．１０圆锥面特征提取表３－２二次曲面特征参数（单位＃ｍ）二次曲面特征参数提取的数平均误差最大误特征类型据点数差平面特征平面参数（口，ｂ，Ｃ，ｄ）：８２９０．０４６２２０．１９７２（０．００６１５１，０．００１４９１，１．０００’．３４．２５８）球面特征球面中心：２１５３１０．００６０１００．０１７３２（０．００２３１０，０．００００８９００，０．００００１８００）球面半径：４９．９８８３４７浙江大学硕士学位论文二次曲面特征参数提取的数据点数平均误差最大误差特征类型圆柱面特征底部圆心：（一３７．５３７５．０．０６１７６．一０．００３３３０）７９７４０．００９４４０．０５２９８圆柱面轴线方向：（一１．０００，０．００１２７４，０．０００１８２０）圆柱面半径：３６．４０３２圆锥面特征圆锥面顶点：（一Ｏ．３３７０，－０．０６５８０，０．０８９１４）３４１５０．０１５３６０．０５９２５圆锥面轴线方向：（一１．０００，０．０００９５３０，－ｏ．００１２３５）圆锥面半顶角：２６．４２４０。§３．５本章小结本章详细论述了二次曲面特征的提取技术。首先叙述了一些特殊的二次曲面的定义，然后详细阐述利用线性和非线性的最小二乘方法由测量数据点拟合平面、球面、圆柱面、圆锥面等自然二次曲面的算法，最后论述了基于最－＇．ｂ－乘方法和区域生长的二次曲面特征提取算法，并给出应用实例证明该算法的有效性。浙江大学硕士学位论文第四章其他曲面特征提取技术曲面特征提取除了二次曲面外，还包括过渡曲面和自由曲面，以下对这两种曲面的提取技术进行简要的论述。§４．１过渡曲面特征提取技术一、基本概念［１１８，１１９］过渡曲面作为光滑连接两张相交曲面的中间曲面，是产品外表最为常见的特征。在曲面造型中，为了满足功能或美观的要求，往往需要在两张曲面间构造一张过渡曲面，以取代曲面相交形成的尖锐连接。过渡曲面所光顺连接的曲面称为基曲面，过渡曲面和基曲面之间的交线称为接触曲线，如图４－１所示。过渡曲面可以看成是由一个滚球沿着两张相交的基曲面滚动而形成的裁剪包迹，滚球的中心轨迹称为脊曲线。滚球在滚动时半径固定不变，则生成等半径过渡曲面。滚球半径在滚动时发生变化，则生成变半径过渡曲面。在实际工程应用中，等半径过渡曲面和线性变半径过渡曲面较为常见。截面图４－１过渡曲面特征基本概念过渡曲过渡曲面的参数主要是脊曲线和过渡半径。脊曲线作为过渡曲面的位置参数，可以是直线，也可以是任意的空间曲线。过渡半径作为过渡曲面的形状参数，可以是常量（等半径过渡曲面），也可以是变量（变半径过渡曲面）。最一般的情况就是脊曲线为空间曲线，而且过渡半径为脊曲线弧长的函数。过渡曲面的截面轮廓曲线是过渡曲面在脊曲线上一点处垂直脊曲线的平面上的截面线，是中心在该点的一段圆弧，圆弧半径即为该点处的过渡半径，即代表过渡曲面在此位置的参数值。因而，过渡曲面的参数值可以用一系列截面轮廓曲线来离散表示。由曲面论［１２０，１２１］可知，曲面在其上一点处沿不同的方向有不同的法曲率凰，其中法曲率凰的最小值和最大值称为主曲率，分别标记为最小曲率蜀和最大曲率娲，主曲率所在的方向称为主方向，分别标记为最小曲率方向／Ｎ１和最大曲率方向ｍ２，并且两个主方向互相垂直。曲面上一条曲线，若其切线方向总是浙江大学硕士学位论文在‘个主方向，则称此曲线为曲面的曲率线。对应两个主曲率，曲面上有两族成正交的曲率线。如图４．２所示，在过渡曲面上‘点处，对应最大曲率的曲率线为该点处的截面轮廓曲线，并且此曲率线上各点的最大曲率相等，即为当前位置过渡半径的倒数，而且大于基曲面上的最大曲率，最大曲率在接触曲线处，即过渡曲面与基曲面的边界处发生突变。图４．２过渡曲面曲率特性接触曲线二、过渡区域数据分块我们利用过渡曲面的曲率特性，通过对测量数据进行数据精简、曲率计算和曲率比较等步骤，将过渡区域的数据点从原始测量数据中分离出来。１．数据精简为了提高计算效率，在对测量数据进行曲率计算之前，需要进行数据精简处理。数据精简方法可以分为非均匀和均匀两种。非均匀的数据精简方法根据被测曲面的曲率分布动态改变数据精简的比例（指精简前后数据量的比值），即在大曲率处数据精简比例小，而在小曲率处数据精简比例大。该方法目前只适用于扫描线测量数据［１２２】以及具有三角网格拓扑关系的测量数据【３６］。而对于散乱的测量数据，目前只能将其三角化后进行精简，而大规模的测量数据，即点云数据的三角化，同样需要大量的计算。对此我们采用均匀的数据精简方法，即对测量数据按照统一的比例进行精简。由于数据精简的策略是以数据分块精度来换取计算效率，同时保证数据精简过程中不会引起重要几何特征的丢失。因此，在测量数据精简中，如果能够针对具体对象，选择适当的单元格宽度值，对于提高特征计算效率，把握一些重要特征十分有效。２．数据点曲率计算空间数据点的局部曲率特性计算，采用第二章介绍过的ＣＴ法，即通过对该数据点的邻域数据进行抛物面Ｓ心ｖ）：倒２＋ｂｕｙ＋ｃ伊拟合，并计算抛物面ｓ在该点的曲率特性，包括主曲率足ｌ、恐及其主方向Ｈ１１、ｒａ２。浙江大学硕士学位论文３．曲率比较由第一节中分析的过渡曲面的曲率特性可知，在过渡曲面的最大曲率方向上，过渡曲面的最大曲率大于基曲面的最大曲率，并且在接触曲线处发生突变。根据这一曲率特性，我们提出了通过比较最大曲率值，将过渡区域数据与基曲面数据自动分离的数据分块方法。３．１噪声数据隔离由于测量设备的外部震动、被测件的镜面反射等原因，测量数据中往往会包含一些噪声数据。噪声数据会影响自身以及周围数据点的曲率计算，尤其对噪声点自身的曲率计算影响非常大，会使曲率产生突变。因此，首先必须隔离噪声数据，消除其对数据分块的干扰。根据计算的数据点曲率分布，对曲率发生异常增大的数据点进行标记，使其不参与曲率比较计算，并在曲率比较计算结束后，通过空间邻域关系，判别其属于过渡区域还是基曲面。在具体算法中，通过设定曲率变化幅度的阈值来判别这些噪声数据。３．２曲率比较将噪声数据隔离后，开始进行曲率比较计算，具体算法步骤如下：【ｌ】首先将单元格按照其中心点的主曲率恐从大到小进行排序，并记录最大的主曲率恐一；［２］取出序列中第一个单元格，其中心点的最大曲率记为９２ｆ，并在其中心点处创建垂直其最小曲率方向埘ｌ的平面；［３］判断各单元格是否与此平面相交，并将相交的单元格从序列中提取出来；『４］比较提取的单元格中心点的主曲率眨，判断各单元格是否属于过渡区域。若单元格满足条件Ｋ２＞Ｋ２，×Ａ，（Ｏ．０＜；１１＜１．Ｏ）（４－１）则单元格内的数据点被标记为位于过渡区域，否则标记为位于基曲面，其中＾为给定常量，代表曲率估算产生的误差；［５】比较序列中剩余单元格中第一个单元格的主曲率恐，判断曲率比较过程是否结束。若满足条件：砭＜Ｋ一×如，（Ｏ．０＜五＜１．０）（４－２）则结束曲率比较过程，否则回到步骤［２】继续，其中如为另一给定常量，代表浙江大学硕士学位论文变半径过渡中最小过渡半径和最大过渡半径之比值。经过以上的曲率比较处理，位于过渡区域的数据点就能成功地从原始测量数据中分离出来。３．３噪声数据判别最后需要对被隔离的噪声数据进行判别，采用类似于区域生长法的方法，通过空间邻域关系，判别其属于过渡区域还是基曲面。以噪声数据的单元格为种子，逐步扩大搜索范围，即每次搜索（２＂＋１）Ｌ（２ｎ．１）３（其中ｎ表示搜索范围）的相邻单元格，直至有相邻单元格位于过渡区域或基曲面，则此噪声数据也被标记为位于过渡区域或基曲面。图４－３为经过噪声数据隔离、曲率比较和噪声数据判别计算后的结果，其中黑色数据点表示位于过渡区域，灰色数据点位于基曲面。图４－３测量数据分块结果三、过渡曲面参数提取算法我们假定需要计算的过渡曲面是由变半径的滚球沿着两张相交的基曲面滚动而形成的裁剪包迹，即过渡曲面的脊曲线为空间曲线，过渡半径为脊曲线弧长的函数。根据微积分理论，在某一微小范围内，滚球运动可以近似为沿着直线，并且半径固定不变的滚动。对应生成的过渡曲面，在垂直脊曲线的某一微小薄片范围内，脊曲线可以近似为直线段，过渡半径可以近似为等半径。从而，过渡曲面可以近似为一薄片圆柱面。基于这一推论，我们提出了通过圆柱面拟合和过渡区域跟踪算法，从过渡区域数据点中计算出一系列截面轮廓曲线，从而得到过渡曲面的参数。１．圆柱面拟合由上面分析的过渡曲面的曲率特性可知，过渡曲面的最小曲率方向近似于脊曲线的切线方向。因此，在垂直最小曲率方ｊ句上，截取薄片数据，并近似为圆柱面。在测量数据分块算法中，各个单元格中心点的主曲率及其方向都已计算得到。我们在分割后的过渡区域中，任取一个单元格，以其中心点作为起始位置，构造如图４－４所示的一个带状区域，其中带状区域的两平行平面垂直于中心点的浙江大学硕士学位论文最小曲率方向朋。，并对带状区域数据点进行圆柱面拟合。考虑到过渡曲面有可能出现如图４．５所示的“环状”和“带状”两种形状，在圆柱面拟合前，还需对带状区域数据点进行判别，若数据点之间的最大距离超过给定阈值，则认为过渡曲面为“环状”，并在最大距离的两点之间将其分割成两块，取其中一块进行圆柱面拟合。根据拟合得到的圆柱轴线和半径，可以构造圆弧曲线，表示过渡曲面当前位置的截面轮廓曲线。在圆柱面拟合中，我们采用了上一章描述的算法。图４－４带状区域（ａ）环状图４－５过渡曲面的两种形状∞带状２．过渡区域跟踪通过以上的截取带状数据和圆柱面拟合过程，计算得到了过渡曲面在某一位置的截面轮廓曲线。因此，由起始位置出发，对整个过渡区域进行跟踪，就可得到过渡曲面在各个位置的截面轮廓曲线。首先在当前位置，将带状区域向拟合得到的圆柱面轴线方向平移指定距离，取得另一带状区域数据，同样进行过渡曲面形状判别和圆柱面拟合就可得到下一位置的截面轮廓曲线。这样，沿着起始位置拟合得到的圆柱面轴线方向的正向和负向分别进行跟踪，在计算得到过渡曲面在各个位置的截面轮廓曲线。在跟踪过程中，将每次计算过的带状区域数据点设置一标志，同时，检查每次取到的带状区域数据点的标志，如果带状区域所有的数据点都参与过计算，则浙江大学硕士学位论文跟踪过程结束，此条件适用于“环状”过渡曲面。对于“带状”过渡曲面，如果平移后的带状区域没有数据点，则终止跟踪过程。在过渡特征的参数提取之后，针对在实际工程应用中常见的等半径过渡曲面和线性变半径过渡曲面，我们还需要应用概率与数理统计的数据分析与处理方法［１２３】，对提取的过渡曲面参数进行分析处理，采用现行回归的方法，找出其变化规律，同时剔除其中误差较大的参数值。这里就不进行详细叙述。四、算例下面给出过渡曲面特征提取的实例，以说明本章提出的算法的有效性，同时，给出提取的过渡曲面参数的误差。图４－６为对两个点云数据过渡曲面特征提取结果，图中黑色数据点表示从原始数据（灰色数据点）中分离出来的过渡区域数据，各圆弧表示提取的过渡曲面在各个位置的参数。经过统计分析处理后，得到ｂｌｅｎｄ１为线性变半径过渡曲面，Ｃｏ）ｂｌｅｎｄ＿２图４－６点云数据的过渡曲面特征提取其回归方程为ｒ：１０．１１２＋４．９８５×１０。２ｓ过渡半径在１０．１１２ｍｍ；ｂｌｅｎｄｍｍ～１９．９０４衄范围内线性变化，均方差盯＝１．７９３ｘ１０４２为等半径过渡曲面，过渡半径数学期望卢＝４．９９８蚴，均方差ｏ：１．４０３×１０一ｍｍ。浙江大学硕士学位论文§４．２自由曲面特征提取技术自由曲面特征可以分为可设计自由曲面特征和非设计自由曲面特征，其中可设计自由曲面特征，即扫掠曲面特征、旋转曲面特征和蒙皮曲面特征是工业产品，尤其在飞机、汽车、摩托车等行业产品外形的重要特征。在反求工程应用领域，可设计自由曲面特征的提取得到了广泛的研究［１２４，１２５１。本节将对可设计自由曲面特征和非设计自由曲面特征的提取技术进行简要的介绍。一、点云切片算法研究可设计自由曲面特征的参数，如扫掠曲面特征的截面曲线、旋转曲面特征的截面曲面以及蒙皮曲面特征的蒙皮曲线都是从测量数据中产生的。对于扫描线测量数据，可以通过插值或拟合的方法由扫描线数据直接构造位于扫描平面内的曲线。而对于点云数据，则必须通过点云切片手段提取曲线。点云切片的实质是用某平面和点云进行求交得到切片曲线。理想状态下的切片曲线应当是平面与描述该点云数据的曲面相交得到的曲线，虽然平面与ＮＵＲＢＳ曲面或复合三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面的相交算法已经非常成熟，但是由点云数据直接构造ＮＵＲＢＳ曲面或复合三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面的计算量非常大，用这种方法计算切片曲线显然效率低下而且不稳定。本文提出的点云切片算法，可以直接对点云数据进行求交，快速求得切片曲线。１．算法原理点云切片问题可描述为：给定一个平面Ｅ，一块点云ＰＣ，求出ＰＣ位于Ｅ上的截面曲线。要严格求出ＰＣ位于Ｅ上的截面曲线几乎是不可能的，这是因为点云的密度总是有限的，不可能使点云在Ｅ上的点构造一条完整的截面曲线。我们采用的办法是给定一个合适的带宽，将Ｅ沿法矢方向左右各等距带宽的一半生成平面Ｅｆ和Ｂ，用位于西和日之间的带状数据｜Ｐｃｆ来计算切片数据，并由切片数据构造截面曲线。我们将这一带宽称为切片厚度艿，如图４．７所示。图４．７点云切片示意图１．１平面与点云求交在由带状数据计算切片数据过程中，一般采用两种计算方法，即投影法和浙江大学硕士学位论文求交法。投影法就是将带状数据ＰＣ，中的各点向切片平面Ｅ投影，从而得到位于Ｅ上的切片数据。而求交法，首先将带状数据分为两个部分ＰＣｆ中．ｐｃ０，分别位于切片平面Ｅ的左侧和右侧。然后遍历其中一侧的数据点，如ＰＧ，中的数据点，对每个点ｎ在Ｐｃ０中找到与其距离最小的点一，计算连接点只，和只，的线段与切片平面Ｅ的交点，该交点即为所求的切片数据点。虽然求交法在计算上要比投影法复杂，但前者在切片精度上要比后者高，尤其当切片平面与点云数据描述的曲面法矢交角比较大时，投影法得到的切片数据具有较大的误差，如图４－８所示，图中Ｐ、ｑ分别表示线段采用求交法和投影法得到的切片数据点。图４－８平面与点云求交示意１．２切片厚度的确定点云切片中的切片厚度６是一个比较难以确定的参数。如果取得太大，尤其在曲面曲率比较大时，将使求出的截面曲线与曲面的真实情况存在很大的差别，而失去了意义；如果取得太小，会使得到的切片数据太少而不能反映曲面的真实情况。因此切片厚度应当根据点云的密度确定。我们采用的方法是首先估算出点云的密度，并将这一估算值作为初始切片厚度占ｏ，将其乘以一定的系数ｋ，作为实际切片厚度Ｊ＝≈６∞在点云ＰＣ中随机取出Ⅳ个点Ｐｆ（ｉ＝１，２，…，．￣），对每一个点只计算其与其它点的虽近距离矗，将所有最近距离的平均值作为点云的估算密度：Ⅳ∑ｄ，Ｊ。２气ｒ实践证明，ｋ取１～４可以得到理想的效果。１．３切片曲线的构造在构造切片曲线之前，应对切片数据进行排序，将无序的数据点排列为多义线形式。我们采用了搜索最近点的方法，即在切片数据中任取一点作为多义线的起点Ｐｓ，在剩余数据中搜索距离该点最近的点作为多义线的终点Ｐｅ。然后开始将此多义线沿两端进行生长：在多义线一端，如只端，搜索剩余数据中的最近点Ｐ，并将此最近距离赢与点Ｐ到只的距离以进行比较，若面＜以，则将Ｐ插入到只之前并作为多义线新的起点只；否则往只端生长，即从只端重新搜索最浙江大学硕士学位论文近点Ｐ，并同样将最近距离玩与点Ｐ到只的距离反进行比较，若ｄｅ＜反，则将Ｐ插入到只之后并作为多义线新的终点只，否则再往Ｂ端生长，如图４－９所示。最终可以将无序的切片数据排列为一条多义线。对于排序后的切片数据，可以采用插值或拟合的方法构造切片曲线。然而由于切片数据是由原始测量数据重新生成的，包含了切片过程产生的误差。所以在实际工程应用中，常采用拟合的方法构造切片曲线。我们采用了三次Ｂ样条曲线的拟合方法，将切片数据构造切片曲线。图４－９切片数据排序７ｔ甚ｐ，、４吐．７，１Ｌ／只Ｌ．一一，２．算法应用应用点云切片算法可以生成各种不同的平面组对点云进行切片，如平行平面组、两平面间平面组、垂直脊线平面组，也可以使用柱面对点云进行切片。（１）平行平面组切片按照指定的平面法矢方向和平面间距生成一组平行平面组对点云进行切片，如图４一１０（ａ）所示。（２）两平面间平面组切片按照指定的两平面和平面组数目，采用线性插值的方法在两平面间均匀地生成一组平面对点云进行切片，如图４－ｌＯ（ｂ）所示。（３）垂直脊线平面组切片按照指定的曲线和平面组数目，根据弧长在曲线上各个位置生成垂直于该处曲线切矢方向地平面，并对点云进行切片，如图４－１０（ｃ）所示。（４）柱面切片按照指定的曲线和方向（一般可以设为垂直屏幕的方向）生成柱面，并用该柱面对点云进行切片，如图４．１０（ｄ）所示。在具体计算中，将柱面离散为许多有界的小平面对点云进行切片。浙江大学硕士学位论文瓣群瓣（ａ）平行平面组切片（ｂ）两平面间平面组切片≮ｉｊ誊曩ｉ≯爹溱黪警＿≯ｊ（ｃ）垂直脊线平面组切片＼气（ｄ）柱面切片图４－１０点云切片算法应用二、可设计自由曲面特征提取对于可设计自由曲面特征的提取，我们主要采用点云切片技术，并辅之于交互的手段提取特征参数。１．扫掠曲面特征提取对于扫掠曲面特征的提取，Ｗｅｎ－ＤｃｒＵｅｎｇ和Ｊｉｉｎｇ－ＹｉｈＬａｉ［１２４，１２５］提出了由测量数据重构扫掠曲面的算法。该算法采用非线性最小二乘方法，对按照脚×月规划测量的数据进行扫掠曲面拟合，提取其中的导向曲线和截面曲线。然而在实际工程应用中，扫掠曲面只是作为一张曲面片存在于反求实物的表面，而且在数据测量时，无法对未知的单张曲面片进行有规划的测量。目前未有文献论述针对点云数据的扫掠曲面特征提取技术。针对导向线为直线和曲线两种情况，分别采用线性最小二乘方法和交互提取的方法计算扫掠曲面特征的导向线。当导向线为直线时，扫掠曲面上各处的法矢都垂直于扫掠方向，如图４—１１浙江大学硕士学位论文所示。所以，根据各数据点的法矢计算扫掠方向。首先采用本文第二章中介绍过的ＣＴ法计算各点的法矢，即通过对点Ｐ；的邻域数据进行抛物面ｓ（弘ｖ）＝ａｉｄ２＋ｂｕｙ＋ＣＶ２拟合的方法计算其法矢％。法矢ｎｆ与扫掠方向ｄ的夹角为ａ，，通过最小化∽／２一ｑ）计算扫掠方向。在实际计算中，夹角一般用向量点积表示，因此实际上是通过最小化夹角ａ，的余图４—１ｌ扫掠曲面特征扫掠方向计算示意图弦值计算扫掠方向，即通过计算Ｆ（＾．ｄ）２的最小值解得扫掠方向反这是一个线性最小二乘问题，可以采用特征向量估计法进行求解。针对当导向线为曲线的扫掠瞌面，我们结合实际的反求经验，依靠交互的方法，采用平面点云切片或柱面点云切片的方法提取其导向曲线。对于扫掠曲面的截面曲线，我们采用平面或平面组点云切片的方法提取。一般对于导向线为直线的扫掠曲面，可以通过构造垂直于扫掠方向的平面对点云进行切片，而对于导向线为曲线的扫掠曲面，可以通过平行平面组或垂直以导向曲线为脊线的平面组对点云进行切片。２．旋转曲面特征提取对于旋转曲面特征的提取，关键在于旋转轴的提取。在实际工程应用中，有时旋转轴可以通过间接的方式，作为整个模型的基准轴，由其它已经提取的二次曲面特征的参数计算得到，如将在下一章中介绍的某型号电话机振膜模型中，旋转曲面特征的旋转轴可以由提取的球面特征和平面特征的参数计算得到。但在许多情况下，旋转轴必须从点云数据中提取。对此我们采用了手工交互以及圆弧和直线拟合的方法提取旋转轴。如图４—１２所示，首先应用交互手段，在垂直旋转轴方向上构造一平行平面组对点云进行切片处理，然后对各切片数据进行圆弧拟合，最后将得到的各圆弧中心进行直线拟合，将得到图４－１２旋转曲面特征旋转轴提取示意图浙江大学硕士学位论文的直线作为该旋转曲面特征的旋转轴。其中圆弧和直线拟合都属于线性最小二乘问题，我们采用了奇异值分解法进行求解。对于旋转曲面的截面曲线，可以构造单个平面对于点云进行切片提取。由于旋转曲面特征一般以裁剪曲面片的形式存在于反求实物表面，因此一般通过选择点云数据中的一点和旋转轴构成的平面切片得到截面曲线。３．蒙皮曲面特征提取对于蒙皮曲面特征，还是采用交互手段和平面组点云切片技术进行提取。在实际工程应用中，一般由交互方式确定一切片平面，然后按照一定的间隔生成平行平面组，最后利用该平行平面组对点云进行切片，并将得到的切片曲线作为该蒙皮曲面特征的蒙皮曲线。三、非设计自由曲面特征提取我们将无法进行特征曲面提取的数据块直接用Ｂ样条曲面进行拟合，并将拟合得到的Ｂ样条曲面称为非设计自由曲面特征。显然非设计自由曲面特征不包含设计手段和设计参数等高层次工程信息的曲面，但为了将反求模型能够以完整的特征曲面进行表达，我们亦将其称为“特征”。非设计自由曲面特征的提取，一般是在其它曲面特征已经提取完成后，对最后无法采用其它类型的特征曲面进行提取的数据块进行的处理，因而常具有边界位置和跨边界切矢等边界约束要求。对此，我们提出了一种基于边界曲线和跨边界切矢曲线约束的三次Ｂ样条曲面拟合方法。将边界曲线和跨界切矢曲线进行部分和全部组合，可以将边界约束类型分为８种情况，如图４．１３（ａ）．（ｈ）所示。为不失一般性，本节只对最为复杂的一种情况，即在四条边界曲线和四条跨界切矢曲线约束下的Ｂ样条曲面拟合进行论述。具体的拟合步骤如下：（１）边界条件预处理首先对各边界曲线和跨界切矢曲线进行重采用拟合，其目的是为了统一同一参数方向上的节点矢量，并将此节点矢量作为后序曲面重建的节点矢量。因为如果采用同一参数方向上的两条相对曲线的节点互插，势必会导致节点矢量个数的剧增，从而使目标曲面的控制顶点剧增。然后检查边界曲线和跨界切矢曲线是否满足角点位置相容性和扭矢相容性条件，若不满足则进行相应的调整。（２）内部数据点参数化对于内部数据点的参数化，我们采用了Ｍａ和Ｋｒｕｔｈ［４６］提出了基面投影法，即首先创建一张插值于边界条件的双三次孔斯曲面，并表达为Ｂ样条曲面形式ａ浙江大学硕士学位论文然后将内部数据点投影到该基面上，将得到的投影点在基面上的参数值作为对应的数据点的初始参数值。．簇ｆａ）４边界４切矢』竺ｆ——≮。；簇（ｍ４边界２对切矢（曲２边界２对切矢（ｂ）４边界３切矢化）４边界２邻切矢。爨ｊ（ｈ）无约束图禾１３边界约束类型（３）Ｂ样条曲面拟合由于曲面的边界和跨边界切矢可以由曲面的边界和次边界控制顶点完全确定，因此首先由边界曲线和跨界切矢曲线确定目标曲面的边界和次边界控制顶点。然后在给定拟合权和光顺权的调整下对内部数据点进行拟合，求解出其余的内部控制顶点。具体的拟合算法可以参阅文献［１２６－１２８】§４．３本章小结本章对过渡曲面特征和自由曲面特征的提取技术进行了研究。通过数据精简、曲率计算和曲率比较等步骤，将过渡区域的数据点从原始测量数据中自动分离；再由圆柱面拟合和过渡区域跟踪算法，计算出一系列过渡曲面的截面线作为过渡曲面参数的离散值，从而得到过渡曲面特征。对于可设计自由曲面特征，主要采用了点云切片技术和交互的手段进行提取。而对于非设计自由曲面特征，采用了基于边界曲线和跨边界切矢曲线约束的三次Ｂ样条益面拟合方法进行提取。浙江大学硕士学位论文第五章基于全局约束优化的特征技术§５．１引言反求工程是将产品实物模型转化为工程设计模型，以便于利用成熟的ＣＡＤ／ＣＡＥ／ＣＡＭ技术对产品进行改型设计和工程分析，其中ＣＡＤ模型重建是反求工程中的关键技术，它通过插值或拟合一系列散乱点，利用原型的几何拓扑信息，构建一个近似模型来逼近原型。如何准确地重建产品模型是反求工程研究的一个重要课题。［９４１尽管工业产品，特别使机械零件产品的几何外形千变万化，但其表面都由一些规则特征面组成，同时特征面之间满足确定的几何约束关系。理论上讲，任何ＣＡＤ模型都可以看成是一些简单特征的组合，而特征面是特征的再分解，是特征的最小构成单元。目前，我们研究的几何特征面包括：（１）有界平面、二次曲面（球面、圆柱面、圆锥面、圆环面、抛物面、双曲面等）等解析曲面；（２）拉伸面、扫掠面、旋转面、过渡面等简单自由曲面；（３）没有明显的构造特征的复杂自由曲面。对于一般的参数化ＣＡＤ系统，特征之间的约束分为几何约束和工程约束【１２９】。几何约束是指几何约束系统中几何元素之间固有的约束关系，它直接反映了几何体的形状和位置关系，一般以几何设计参数为变元的约束方程式的形式提供。几何约束包含两种类型：结构约束和尺寸约束。结构约束是指几何元素之间的拓扑结构关系（如平行、垂直、相切等），描述了几何元素的空间相对位置和连接方式。尺寸约束是几何元素间的距离、角度等约束。而工程约束的引入使得设计者可以直接关注设计的功能要求。目前技术状态下，反求工程ＣＡＤ建模过程中很难识别工程约束。因此，我们只讨论几何约束情况下的ＣＡＤ模型重建。在产品的正向设计，特别是在参数化设计过程中，特征之间经常满足一定的约束关系。因此，产品模型重建过程中的一个重要目标就是还原模型几何特征以及它们之间的约束。孤立地拟合测量点形成曲面片的原型重建方法存在两个不足：一是没有准确还原几何特征，而是拟合过程没有考虑特征之间的约束关系和模型的整体信息。由于不能表达零件对象更高层次的结构特征信息，对只要求提供零件的位置信息的下游应用，如零件数控仿形、直接生成模具等，其数据模型描述是基本合适的，但涉及到产品改型、创新设计、ＣＡＰＰ／ＣＡＭ集成等就存在编辑、修改和表达的困难［１３０］。基于特征及约束的反求工程ＣＡＤ建模具有以下优点［１３１，１３２］：能捕捉和还原原设计意图，使重建模型更接近原型，减少数据冗余；能准确表述零件的几何关系，易于实现测量数据和零件的定位和装配；重建模型实现参数化表达，方便浙江大学硕士学位论文设计的编辑、修改，达到改进及创新设计；模型检测简化且准确，蔡于特征进行探头路径规划和采样点选择；ＣＡＤ模型包含的几何特征信息有利于后续的ｃＡＰＰ／ｃＡＭ过程的特征识别。基于特征和约束的反求工程ＣＡＤ模型重建可转化为约束最优化数学模型的求解，目标是还原这些特征以及它们之间的约束关系，使之符合原型的设计意图，达到反求的最终目的。积极探索任意特征面的参数提取及区域分割方法对提高反求ＣＡＤ建模效率与重建模型精度具有重要意义。孤立的曲面拟合不能与现代参数化设计及特征全相关的设计理念相符合，因此将最优化数学模型引入反求工程，并建立基于特征与几何约束的整体求解模型是我们正在开展的工作。基于测量数据进行特征提取并还原几何特征之间的约束关系，是反求工程中正确再现产品参数化模型的关键。其实质就是几何特征在满足约束的情况下逼近测量数据点，需要解决的问题是①如何从离散的数据点识别和抽取原有的形状几何特征信息。②在特征恢复时考虑特征件的约束关系，即在对测量点拟合的同时则增加一个或几个几何约束。前面几章对第一个问题有了较好的解决，本章将对第二个问题进行一些探索。基于特征曲面全局约束优化设计的反求建模过程是：首先要从测量数据中，分割出属于不同曲面片的测量数据块，对单一特征曲面片进行拟合重建，具体包含扫描数据和平面切片数据的特征、二次曲面特征、简单自由曲面（拉伸面、旋转面、扫掠面、过渡面等）的特征等，然后辨别出各片测量数据对应的曲面类型和曲面片之间的约束关系，最后针对这些约束关系进行全局数据点云的优化设计。§５．２全局约束优化技术的一个二维应用实例相对于三维点云数据来说，二维数据较为简单，对其进行的分割、匹配，以及对二维几何特征的描述和品质分析都相对容易，但无论对于二维数据还是三维数据，特征的全局约束优化原理都是相似的，它们的内涵相同，只是有细节和元素定义上的不同外延，因此，我们在反求工程ＣＡＤ中的特征全局优化技术的探索性研究中使用二维离散数据作为研究和试验对象。一、二维特征描述一般的二维特征（或称为二维元素）包括点、直线（射线、线段）、二次曲线、高次曲线等。常见的二次曲线有圆、椭圆、双曲线、抛物线等，跟第三章我们描述二次曲面一样，它们即可以由如表５－１中的常见形式表示，也可以用一般浙江大学硕士学位论文表５－１常见的二次曲线方程曲线类型曲线方程直线ａｘ｛ｂｙ＋Ｃ＝０圆（Ｘ—Ｘｏ）２＋（Ｙ—Ｙｏ）２＝Ｒ２椭圆学学双曲线！兰二叠！三一！兰二丛∑：＋１ｄ２ｂ２一抛物线ｖ：ｏｒ．２＋ｂｘ＋Ｃ的多项式形式来描述：Ｆ（ｘ，Ｙ）＝ＣｌＸ２＋ｃ２Ｙ２＋ｃ３ｘｙ十Ｃ４Ｘ－Ｉ－ｃｓＹ＋Ｃ６＝０（５－１）这里我们只研究直线和圆弧之间的全局约束优化问题，所以仅讨论直线和圆弧的表达方法。直线方程系数用Ｓ＝（，，，如，１３）表示：如＋１２ｙ＋１３＝０（５－２）我们都知道，其中三个系数并非相互，因此即使是同一条直线，它们也不是唯一确定的。为了得到唯一的系数解，需要将它们归一化，同除以√砰＋碍，这样，归一化后满足√砰＋譬＝ｌ（５—３）圆的方程系数用Ｓ＝（ＣＯ，Ｃｌ，Ｃ２，Ｃ３）表示：Ｃｏ（Ｘ２＋Ｙ２）＋Ｆｉｘ＋ｃ２ｙ＋Ｃ３＝０（５－４）同样，这四个系数也不是相互，需要归一化，我们采用的是同除以√ｃ？＋蠢一４ｃ３・Ｃｏ，同样，归一化后满足屑磊Ｆ百磊＝１（５－５）将这些系数转化成圆的几何参数如下浙江大学硕士学位论文％２一瓦ＣＩＣ．％一葛Ｒ＝ｆ５—６１』苴±蔓＝！鱼：鱼Ｖ４《１２蚓二、二维约束描述我们研究的二维特征的约束关系主要有尺寸约束和结构约束，前者指特征本身的几何要素特性，包括点坐标值、线段长、圆心坐标值、圆半径长等；后者指特征之间的相互拓扑结构关系，包括点在线上、点在圆上、线与线平行、线与线垂直、线与圆相切、线过圆心、圆与圆同心、圆与圆相切等（这里仅针对包括直线与圆的二维特征的约束问题）［１３３】。为了便于进行约束优化及求解，我们将每一种约束都用一个或一组方程ｃ来表达，具体的表达方法如表５－２（这里，直线和圆的系数满足归一化条件（５—３）和（５．５））：表５－２二维特征约束表达约束名称约束方程表达两点Ｐ、Ｐ’之间距离为ｄ（儿－ｐＤ２＋（岛一ｐ；）２一ｄ２＝０‘ｐ；＋，２Ｐ，＋，３±ｄ＝０ｌｉＰ；＋１２ｐ，＋１３＝０点Ｐ到直线ｌ的距离为ｄ点Ｐ在直线，上两直线，、，’平行，。・Ｅ一，：・，卜０‘・片＋，２・Ｅ＝０‘・玎＋，２・呓±ＣＯＳａ＝０厶一《±ｄ＝０两直线１、，７垂直两直线ｌ、Ｉ’之间夹角为“两平行直线１、，’之间距离为ｄ浙江大学硕士学位论文三条直线／、ｌ’、ｌ”共点Ｉｉ（呓巧一掣；）＋１２（呓玎一印；）＋Ｌ（掣；－１；６３＝０点Ｐ在圆Ｃ上ｃｏ（ｐ，２＋ｐｙ２）＋ＣｌＰ：＋ｃ２Ｐ，＋ｃ３＝Ｏｆ２ｃｏｐ，＋ｃｌ＝０点Ｐ是圆ｃ圆心１２Ｃｏｐ，＋ｃ２＝ｏ圆Ｃ半径为ｒ２Ｃｏｒ±１＝０直线１过圆ｃ圆心，Ｉ・Ｃ１＋，２・Ｃ２—２１３・Ｃｏ＝０直线，与圆Ｃ相切，１・Ｃｌ＋，２・Ｃ２—２１３・Ｃｏ±１＝０两圆Ｃ与Ｃ，相切（ＣｏＣｌ—ＣＯｃ：）２＋（ｃ：ｃ２一ｃｏｃ：）２一（ｃｏ±ｃ：）２＝０两圆Ｃ与Ｃ７同心ｆ印Ｃ：一Ｃ：．ｃ０＝０１ｃ：．ｃ：一ｃ：．ｃｏ＝ｏ类似的，我们可以推出其他二次曲线甚至高次曲线之间的约束方程三、二维特征约束优化算法我们通过一个例子来具体说明二维特征约束优化问题。，ｏｌＩ．～８ｌ●，、，．Ｉ，３，．，．。２、Ａ、，Ｊ．、．，，．一’、卜－＿－～～、＼１。６图５．１某零件表面扫描数据截厦线如图５．１是某零件表面经过数字化后，在一个重要位置切片后所得到的截面线数据，我们的目标是将这些散乱数据点拟合为一条完整的满足形状特征以及约束的草图曲线。浙江大学硕士学位论文１．特征与约束的识别和表述目前，我们对二维曲线特征和约束的识别还采用人工交互的方法，即依靠操作者的经验以及对零件设计思想的理解来进行特征与约束的识别。对于图中的这条截面线数据，很显然我们可以的将其分解为图５一ｌ中的十个部分，则可以得到十个单独曲线特征和十个几何约束，如图５．２和表５—３所示：略，葡、棚，④了ｏ图５．２对截面线的特征及约束的识别表５’３截面线特征和约束识别特特征ｌ特征２特征３特征４特征５征直线圆约束特征ｌ与特征２相切特征２与特征３特征３与特征４相切相切相切相切相切相切相切相切平行直线圆特征４与特征５特征５与特征６直线圆直线圆特征６特征７特征８特征９特征６与特征７特征７与特征８特征８与特征９直线圆特征９与特征１０特征３与特征７特征ｌＯ２．特征约束求解对二维特征的全局约束优化问题从本质上来说是最优化问题，由第二章中浙江大学硕士学位论文ｊｍｉｎ／＠）＝ｍｉｎ善萎Ｄ（ｐ＊，ｓ）２ｈｃ，＠）＝ｏ８１℃－１，…，１０）（５－７）其中函数Ｄ为各特征函数，依照特征元素的不同，即直线或圆，形如方程（５—２）或（５．４），Ｐ为各数据点，ｓ为各特征系数的组合；ｃｉ为各约束方程。非线性约束最优化问题的求解有罚函数法和乘子法，这里我们采用罚函数法中的外点法将约束最优化的求解问题转换为无约束问题：卫ｍｉｎＦ（Ｓ，Ｍ）＝Ｅ（Ｓ）＋∑Ｍｔｃ：（ｓ）ｔ。ｌ（５－８）其中尬为罚函数的罚因子，它依赖于数值计算的经验，有待进一步研究。这个无约束优化问题可以由Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄ方法迭代求解［１３１］，它是一种改进的牛顿法，加入了阻尼因子Ⅱ。求解流程图如图５—３。迭代初值由初始人工交互识别特征时所设定的曲线组决定，且初值的误差较大。经由上述的特征约束求解过程，我们可以得到一定阀值内满足约束方程的特征优化曲线草图，结果如图５＿４：图５—５是特征９直线和特征１０圆弧处的优化结果放大效果图，图中上部的曲线是优化前的初值曲线，下部的曲线是优化后的结果曲线，很明显，优化后的曲图５－４约束优化结果图５．５约束优化结果局部放大图浙江大学硕士学位论文线更靠近数据点。图５－３Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄ方法流程图§５．３基于点云的三维全局约束优化技术的探讨由上述方法得到优化后的二维草图，经过拉伸、扫掠、旋转等方法可以得到三维模型，当然，这只是很基本的应用，以下我们将对更有应用价值的基于点云的三维全局约束优化技术进行讨论。一、特征定义与识别三维特征与二维特征相比内容更为丰富，常见的有平面、自然二次曲面（球面、圆柱面、圆锥面）、圆环面、高次曲面，以及自由曲面中的拉伸、扫掠、旋浙江大学硕士学位论文转等曲面和过渡曲面等等。在第三章和第四掌中，我们对这些特征曲面的基于点云的单一拟合都进行了不同程度的研究，取得了相当的效果。在对全局模型的特征曲面组合进行约束优化时，我们可以利用这些研究成果，但同时也可能需要对某些特征曲面重新进行参数化定义，以满足优化算法的需要。全局优化算法首先需要我们对数字化模型中的单个特征曲面迸行识别和分离，基于点云的针对多特征曲面的自动识别、匹配，以及对点云的基于特征的自动分割技术的研究是我们现在正在研究的内容，要想脱离人工交互识别而实现完全自动的特征识别以及在此基础上的点云自动分割，我们需要对目前采用的曲率特性分析方法进一步的研究，甚至寻求新的点云分析方法。为了对特征曲面进行准确的识别，我们有必要建立相对应的特征库，以便在识别特征时进行查找匹配。特征库中的特征应该为广义特征，不仅仅包括前面提到的二维特征中的点、二次曲线、高次曲线和自由曲线，以及三维特征中的平面，二次曲面，高次曲面和自由曲面，而且还应包含体特征如台、槽、孔等等，甚至还需要有用户自定义特征（ＵｓｅｒＤｅｆｍｅｄＦｅａｔｕｒｅ）。二、约束定义与识别三维特征间的约束定义与描述和二维特征阅的约束基本相似，耳前，我们研究的三维特征约束包括有垂直、平行、共面、共线、共点、相切、定面积、定体积等等，相应的约束方程形如前面的二维约束方程。反求工程中的约束是隐含于各特征之间的，约束的识别必须在特征识别与区域分割之后，建立起一定的约束识别规则，从而达到单个约束的识别。因此，特征的识别与点云的区域分割的效果很大程度上影响着约束的识别。目前，完全自动的约束识别还不能成功实现，可能带来约束错误，因此，约束检查与约束交互指定是目前技术状态下实用的方法。同样，无论是否采用自动识别约束的方法，建立约束库亦是不可缺少的约束识别辅助手段。三、约束优化求解特征全局优化的实质就是几何特征在满足约束情况下逼近测量数据点，因此可转化为一个最优化数学模型的求解［１３１，１３３］。假定：１）物体表面由＂个曲面片Ｓ包围而成，点ｍ属于曲面片Ｓ上的第ｋ个测量点（女＝ｌ，…聊），点ｐｉｋ到曲面Ｓ的距离为Ｄ（ｐｉｋ。ｓ０；２）表达物体的Ｓ维向量用ｘ＝｛ｘｌ，ｘ２，…如）表示，它是所有曲面片参数的３）曲面片之间满足约束集ｈｓ伍）＝０，Ｊ＝１，…，，。ｌｍｉｎ他垮疵∑ｉ＝１吾Ｄ慨＾？２（，＝１，…，，）Ｉ“ｈ，伍）＝０法和乘子法来得到它的求解，都可以及将其转化为无约束问题：罚函数法：（５＿。）这类问题属于非线性约束优化问题，由第二章的介绍，我们可以使用罚函数ｒａｉｎＦ（Ｓ，Ｍ）＝Ｅ（ｓ）＋＾￡纾’（ｓ）Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子法：ｍｉｎ（５－ｌＯ）Ｆｏ，Ａ・，Ｍ・）：ｍｉｎＩ厂伍）＋主Ａｊ＾，＠）＋等壹向；＠）ＩＬ，２１‘Ｊ２１Ｊ（５—１１）它们的解法可以参照第二章中的内容，这两种解法都需要根据特征类型和约束类型的不同对因子或乘子进行不同的取值，有待于进一步的深入研究和数值试验。需要说明的是，在特征识别的过程中我们进行了单个特征曲面的拟合，结果是得到了相对于点云数据的误差最小的曲面，而此时它们往往并不满足约束条件；而在进行了特征全局约束优化之后，各特征随面在设定范围内能够满足各约束条件，但此时单个的特征曲面相对于点云数据的误差往往却增大了。所以全局优化过程是一个协调过程。此外，当约束的为欠约束、完备约束或过约束时，求解的过程又有不同，这些都是我们下一步将要研究的课题。§５．４本章小结本章以一个有二维特征和约束的曲线草图的全局优化为试验对象，研究了基于特征和约束的反求工程ＣＡＤ优化技术，并探讨了其应用于更有实际意义和价值的三维点云特征约束的模型反求方法和技术。浙江大学硕士学位论文第六章结论与展望§６．１本文研究结论本文研究了反求工程中的特征建模技术的一些重要理论与关键算法，具体的研究和实践工作有：１．研究和阐述了反求工程的背景，对反求工程ＣＡＤ建模理论和技术进行了分析，并着重论述了基于点云的特征建模技术路线。２．研究和介绍了最小二乘法、最优化技术和曲面曲率计算方法等应用于基于点云的特征建模技术的数学理论和方法。３．研究和实现了基于最ｄ＂－乘法和区域生长的二次曲面特征提取算法。４．研究了基于点云的过渡曲面特征和自由曲面特征的提取技术。５．研究并探讨了基于点云的特征全局约束优化技术。§６．２课题展望根据已经完成的研究成果，体会到在反求工程ＣＡＤ领域下一步需要进一步开展的研究工作主要包括：１．研究有效的噪声点剔除的点云预处理。２．研究点云特征的自动识别，自适应区域生长技术。３．研究反求工程ＣＡＤ特征建模的特征库、约束库建立技术。４．研究基于特征参数的曲面变形技术、基于特征的参数化反求工程ＣＡＤ建模技术。浙江大学硕士学位论文参考文献【１］我国先进制造技术发展战略学术研讨会论文集．１９９８．１０上海［２Ｊ卢秉恒等．ＲＰ技术与快速模具制造．陕西科学技术出版社．１９９８【３］卢秉恒等．２１世纪新产品快速开发技术．陕西科学技术出版社．２０００［４】刘之生．反求工程技术．北京：机械工业出版社，１９９６【５】ＲＢＡｒｏｎｓｏｎ．Ｆｏｒｗａｒｄｔｈｉｎｋｅｒｓｔａｋｅｔｏｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．ＭａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．１９９６，１１：３４－４４［６】ＡｌａｉｎＢｅｒｎａｒｄ．Ｒｅｖｅｒｓｅ１９９９，３８３５：５０—６３ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｆｏｒｒａｐｉｄｐｒｏｄｕｃｔｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ：ａｓｔａｔｅｏｆｔｈｅａｒｔ．ＳＨＥ，［７】Ｔａｍａｓ［８】８Ｖｅｒａｄｙ，ＲａｌｐｈＲＭａｒｔｉｎ，ＪｏｒｄａｎＣｏｘ．ＳｐｅｃｉａｌＩｓｓｕｅ：ＲｅｖｅｒｓｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｏｆｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｏｄｅＩｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９７，２９（４）：２５３－２５４ＴａｍａｓＶａｒａｄｙ，ＲａｌｐｈＲＭａｒｔｉｎ，ＪｏｒｄａｎＣｏｘ．Ｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｏｆｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｏｄｅｌｓ－－ａｎｍ廿ｏｄｕｃｆｉｏｎ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９７，２９（４）：２５５－２６８【９］ＰａｌＢｅｎｋｏ，ＲａｌｐｈＲＭａｒｔｉｎ，ＴａｍａｓＶａｒａｄｙ．Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｂｏｕｎｄａｒｙｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｍｏｄｅｌｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，２００１，３３：８３９－８５１［１０】ＳａｅｉｄＭｏｔａｖａｌｌｉ．ＲｅｖｉｅｗｏｆＲｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＡｐｐｒｏａｃｈｅｓ．ＣｏｍｐｕｔｅｒｓａｎｄＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９８，３５（１－２）：２５－２８［１１】ＰｕｎｔａｍｂｅｋａｒＮｖ’ＪａｂｌｏｋｏｗＡＧＳｏｍｍｅｒＨＪ．ＵｎｉｆｉｅｄＲｅｖｉｅｗｏｆ３ＤＭｏｄｅｌＧｅｎｅｒａｔｉｏｎｆｏｒＲｅｖｅｒｓｅＥｎｇｉｎｅｅｎｎｇ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＩｎｔｅｇｒａｔｅｄＭａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇＳｙｓｔｅｍｓ，１９９４，７（４）：２５９－２６８［１２】陶嵘，聂如春，王军祥．几何造型反求工程技术综述．机械设计，２００１，５：３－５［１３】张曙．先进制造技术讲座（第一讲）一走向２ｌ世纪的制造工业（上）．机电一体化，１９９６＿３ｐｐ２５－２９［１４］田晓东等．复杂曲面实物的逆向工程及其关键技术．机械设计与制造．２０００，２９（４）：１－３．［１５】刘利．三维测量技术新动态．机电一体化，１９９７，１：２０．２３［１６】Ｗｏｈｌｅｒ■３Ｄｄｉｇｉｔｉｚｉｎｇｆｏｒ［１７】ＪｕｒｖｉｓＲＡ．Ａｏｎｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＧｒａｐｈｉｃｓＷｏｒｌｄ，１９９５，１８（２）：Ｓ１．ｓ２ｏｎｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｒａｎｇｅｆｉｎｄｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｆｏｒｃｏｍｐｕｔｅｒｖｉｓｉｏｎ．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓＰａＲｅｍＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＭａｃｈｉｎｅＩｎｔｅＨｉｇｅｎｃｅ，１９８３，５（２）：１２２—１３９ｏｎ【１８】ＢｕｆｆｅｒＣ．ＩｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎｉｎｔｏｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｐｒｏｂｅｓＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＭｅ舡＇ｏｌｏｇｙ，１９９１，２（１）：５９－７０ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｍｅａｓｕｒｉｎｇｍａｃｈｉｎｅｓ．【１９】Ｄｉｇｉｔｒｅｋｕｓｅｒｍａｎｕａｌ－－ｖｅｒｓｉｏｎ３．１．ＩｔａｌｙＣｏｏｒｄ３Ｃｏｍｐａｎｙ，１９９９【２０】ＪａｃｑｕｅｓＬｅｗａｎｄｏｗｓｋｉ，ＢｒｕｎｏＭｅｎａｒｄ，ＤａｎｉｅｌＨａｎｎｅｑｄｉｎ．ＬｉｇｈｔＳｅｃｔｉｏｎｉｎｇｗｉｔｈＬａｒｇｅＤｅｐｔｈｏｆＦｏｃｕｓｂｙＭｅａｎｓｏｆＦｒｅｓｎｅｌＤｉｆｆｒａｃｔｉｏｎｏｆａｌｌＥｄｇｅ．ＯｐｔｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９３，３２（９）：２１８１－２１８４【２１】王晓林，陈伟明，黄尚廉．光切法三维轮廓测量的原理及其应用．光学技术，１９９２，２：３９－４３［２２】ＫＫｏｂａｙａｓｈｉ，ＫＡｋｉｙａｍａ，ｅｔａ１．Ｌａｓｅｒ－ｓｃａｎｒｌｉｎｇｉｍａｇｉｎｇｓｙｓｔｅｍｏｆ３Ｄｆｏｒｒｅａｌ－ｔｉｍｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｏｂｊｅｃｔｐｒｏｂｌｅｍ．ＯｐｔｉｃｓＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，１９８９，７４（４）：１６５－１７０［２３】张舜德．面向快速原型制造的反求工程若干关键技术研究［博士学位论文】．西安：西安交通大学．２００１浙江大学硕士学位论文［２４］ＨａｌｉｏｕａＭ，ＬｉｕＨＣ．ＯｐｔｉｃａｌＴｈｒｅｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＳｅｎｓｉｎｇｂｙＰｈａｓｅＭｅａｓｕｒｉｎｇＰｒｏｆｉｌｅｍｅｔｒｙ．ＯｐｔｉｃｓａｎｄＬａｓｅｒｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９８９，１１（３）：１８５－２１５ｆ２５Ｊ周剑，杨玉孝，赵明涛，谭玉山．层析三维数字化测量原理及层析图象边缘精度分析与标定．西安交通大学学报，１９９９，３３（７）：８４－８８［２６］唐朝伟，粱锡昌．三维曲面激光精密测量技术．计量学报，１９９５，１５（２）：９９—１０３【２７】王广，张树生，倪培君．数据采集与处理．２００１，１６（ｚ１）：２３５—２３８【２８】ＨｅｎｇｂｉｎＺｈａ，ｅｔａ１．ＳｕｒｆａｃｅＲｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｉｎＯｖｅｒｌａｐｐｉｎｇＲａｎｇｅＩｍａｇｅｓｆｏｒＧｅｎｅｒａｔｉｎｇＣｌｏｓｅ－Ｓｕｒｆａｃｅ３－ＤＯｂｉｅｃｔｍｏｄｅｌｓ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ１９９８ＩＥＥＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＳｙｓｔｅｍｓ，ＭａｎａｎｄＣｙｂｅｍｅｔｉｅｓ，４５３０－４５３５．【２９】李江雄．复杂曲面反求工程ＣＡＤ建模系统和技术研究［博士学位论文】．杭州：浙江大学，１９９８ｆ３０１贾彦君．反求工程ＣＡＤ建模系统ＲＥ．ＳＯＦＴ中高级几何处理与多视拼合技术研究【硕士学位论文１．杭州：浙江大学，２００１【３１】ＸｕｎｎｉａｎＹａｎｇ，ＧｕｏｚｈａｏＷａｎｇ．Ｐｌａｎａｒｐｏｉｎｔｓｅｔｆａｉｒｉｎｇａｎｄｆｉｒｉｎｇｂｙａｒｃｓｐｌｉｎｅｓ．Ｃｏｍｐｕ雠ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ。２００１，３３：３５－４３【３２】ＧＨＬｉｕ，ＹＳＷｏｎｇ，ＹＦＺｈｅｎｇ，ＨＴＬｏｈ．Ａｄａｐｔｉｖｅｆａｉｒｉｎｇｏｆｄｉｇｉｔｉｚｅｄｐｏｉｎｔｄａｔａｗｉｔｈｄｉｓｃｒｅｔｅｃｕｒｖａｔｕｒｅ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，２００２，３４：３０９—３２０【３３］ＳＫａｒｂａｅｈｅｒ，ＧＨａｎｓｌｅｚＡｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｆｏｒｍｏｄｅｌｉｎｇａｎｄｓｍｏｏｔｈｉｎｇｏｆｓｃａｔｔｅｒｅｄ３Ｄｄａｔａ．ＳＰＩＥ，１９９８，３３１３：１６８－１７７【３４】ＳＫａｒｂａｅｈｅｒ，ＸＬａｂｏｕｒｅｕｘ，ＮＳｃｈｏｎ，ＧＨａｌｌｓｋＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＲａｎｇｅＤａｔａｆｏｒＲｅｖｅｒｓｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＶ＇ｎｍａｌＲｅａｌｉｔｙ．Ｉｎ：ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆＴｈｉｒｄＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎ３ＤＤｉｇｉｔｅｌＩｍａｇｉｎｇａｎｄＭｏｄｅｌｉｎｇ，２００１，３１４－３２１［３５】ＲｕｄｉｇｅｒＤｉｌｌｍａｎｎ，Ｓｔｅｆａｎｖｏｇｔ，Ａｎ＆ｅａｓＡｕｔｏｍｏｔｉｖｅＦｕｓｉｏｎＺｉｌｋｅｒ．ＤａｔａｏｆＩＥＥＥＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．ＰｒｏｅｅｅｄｉｎｇＲｅｄｕｃｔｉｏｎｆｏｒＯｐｔｉｃａｌ３Ｄ—ＩｎｓｐｅｃｔｉｏｎｉｎＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＭｕｌｔｉｓｅｎｓｏｒａｎｄＩｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｆｏｒＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＳｙｓｔｅｍｓ，Ｔａｌｐｅｉ，Ｔａｌｗａｎ，Ａｕｇｕｓｔ１９９９Ｒｅｖｅｒｓｅ【３６】ＫＨＬｅｅ，ＨＷｏｏ，ＴＳｕｋ．ＤａｔａＲｅｄｕｃｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄｓｆｏｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｄｖａｎｃｅｄＭａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇＴｃｃｂｎｏｌｏ鳜２００１，１７：７３５－７４３Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ［３７】ＫＨＬｅｅ，ＨＷｏｏ，ＴＳｕｋ．ＰｏｉｎｔＤａｔａＲｅｄｕｃｔｉｏｎＵｓｉｎｇ３ＤＧｒｉｄｓ．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＡｄｖａｎｃｅｄＭａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００１，１８：２０１—２１０［３８］ＭＹａｎｇ，ＥＬｅｅ．Ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｍｅａｓｕｒｅｄｐｏｉｎｔｄａｔａｕｓｉｎｇａｐａｒａｍｅｔｒｉｃｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９９，３１：４４９－４５７［３９】ＭＪＭｉｌｒｏｙ，ＣＢｒａｄｌｅｙ，ＧＷＶｉｃｋｅｒｓ．Ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆａｗｒａｐ—ａｒｏｕｎｄｍｏｄｅｌｕｓｉｎｇａｎａｃｔｉｖｅｃｏｎｔｏｕｒ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９７，２９（４）：２９９．３２０【４０】ＰａｕｌＪＢｅｓｌ，ＲａｍｅｓｈＣＪａｉｎ．ＳｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎＴｈｒｏｕｇｈＶａｒｉａｂｌｅ－ＯｒｄｅｒＳｕｒｆａｃｅＦｉｔｔｉｎｇ，ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＰａｔｔｅｒｎＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＭａｃｈｉｎｅＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ，１９８８，１０（２）：１６７－１９２ＢＦｉｓｈｅｒ．Ｈｉｇｈ－ｌｅｖｅｌ【４１】ＡｎｄｒｅｗＷＦｉｔｚｇｉｂｂｏｎ，ＤａｖｉｄＷＥｇｇｎｒｔ，ＲｏｂｅｒｔｆｒｏｍｒａｎｇｅＣＡＤｍｏｄｅｌａｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎｉｍａｇｅｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９７，２９（４）：３２１—３３０Ｎ，ＰａｌＳ．ＩｍａｇｅＳｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｕｓＩｎｇＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋｓ．ＢｉｏｌｏｇｉｃａｌＣｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ，ＳａｔｉｓｆａｃｔｉｏｎＮｅｕｒａｌ［４２】ＧｏｓｈＡ，Ｐａｌ１９９１，６６：１５１—１５８【４３】ＣｈｅｌａｗＭｅｄｉｃａｌＩｍａｇｅＳｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｂｙａＣｏｎｓｔｒａｉｎｔＮｅｔｗｏｒｋｓ．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＮｕｃｌｅａｒＳｃｉｅｎｃｅ，１９９１，３８：６７８—６８６Ｃ，ＴｓａｏＥ，Ｌｉｎ７４浙江大学硕士学位论文［４４】ＹｏｋｏｙａＮ，ＬｅｖｉｎｅＭ．ＲａｎｇｅＩｍａｇｅＳｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎＢａｓｅｄａｐｐｒｏａｃｈ．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ６４３—６９４ｏｎｏｎＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＧｅｏｍｅｔｒｙ：ｈｙｂｒｉｄＰａｔｔｅｍＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＭａｃｈｉｎｅＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ，１９８９，１１：［４５】ＡｂｄａｌｌａＡｌｒａｓｈｄａｎ，ＳａｅｉｄＭｏｔａｖａｎｉ，ＢｅｈｒｏｏｚＦａｌｌａｈｉ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｄａｔａｆｏｒｒｅｖｅｒｓｅｏｆｄｉｇｉｔｉｚｅｄｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．１ｉＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，２０００，３２０：５９－６９【４６】ＷｅｉｙｉｎＭａ，ＪｏｆＢ－ｓｐｌｉｎｅＰＫｍｔｈ．Ｐａｒａｍｅｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｒａｎｄｏｍｌｙｍｅａｓｕｒｅｄｐｏｉｎｔｓｆｏｒｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｆｉｔｔｉｎｇｃｕｒｖｅｓａｎｄｓｕｒｆａｃｅｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９５，２７（９）：６６３—６７５ｔｏＳｃａｔｔｅｒｅｄ３Ｄ【４７】ＰａｒｋＨ，ＫｉｍＫ．ＡｎＡｄａｐｔｉｖｅＭｅｔｈｏｄｆｏｒＳｍｏｏｔｈＳｕｒｆａｃｅＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎＰｏｉｎｔｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９５，２７（１２）：９２９—９３９［４８】ＭＪＭｉｌｒｏｙ，ＣＢｒａｄｌｅｙ，ＧＷＶｉｃｋｅｒｓ，ＤＪＷｅｉｒ．Ｇ１ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｏｆＢ—ｓｐｌｉｎｅｓｕｒｆａｃｅｐａｔｃｈｅｓｉｎｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９５，２７（６）：４７１－４７８［４９】ＰｉｅｇｌＬＡ，ＴｉｌｌｅｒｗＳｕｒｆａｃｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｔｏｓｃａｎｎｅｄｄａｔａ．ＴｈｅＶｉｓｕａｌＣｏｍｐｕｔｅｒ，２０００，１６：３８６－３９５【５０】ＬｉｎＣＹ’ＬｉｏｕＣＳ，ＬａｉＪＹＡｓｕｒｆａｃｅ－ｌｏｆｔｉｎｇａｐｐｒｏａｃｈｆｏｒｓｍｏｏｔｈ－ｓｕｒｆａｃｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｆｒｏｍ３Ｄｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｄａｔａ．ＣｏｍｐｕｔｅｒｓＩｎＩｎｄｕｓｔｒｙ，１９９７，３４（１）：７３—８５【５１ＪＫｒｕｔｈＪ只ＫｅｎｔｅｎｓＡ．Ｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｍｏｄｅｌｉｎｇｏｆｆｒｅｅ－ｆｏｒｍｓｕｒｆａｃｅｓｆｒｏｍｐｏｉｎｔｃｌｏｕｄｓｓｕｂｊｅｃｔ１２０．１２７ｔｏｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｅｒｉａｌｓＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，１９９８．７６：【５２】ＬａｉＪＹ＇ＵｅｎｇＷＤ．Ｇ２ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｆｏｒｍｕｌｔｉｐｌｅｓｕｒｆａｃｅｓｆｉｔｔｉｎｇ．ＴｈｅＡｄｖａｎｃｅｄＭａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００１。１７：５７５－５８５（５３】ＷｅｉｒＤＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＪ，ＭｉｌｒｏｙＭＪ，ＢｒａｄｌｅｙＣ，ｅｔ口『．ＲｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｐｈｙｓｉｃａｌｍｏｄｅｌｓｅｍｐｌｏｙｉｎｇＢ—ｓｐｌｉｎｅｇｎｒｆａｃｅｓａｎｄｑｎａｄｒｉｅｓ．ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＩｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎＭｅｃｈａｎｉｃａｌｗｒａｐ－ａｒｏｕｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｌｎｇＭａｎｕｆａｃｔｕｒｅ，ＰａｎＢ，１９９６，２１０：１４７－１５７【５４】来新民，黄田，曾子平，等．基于ＮＵＲＢＳ的散乱数据点自由曲面重构．计算机辅助设计与图形学学报，１９９９，１１（５）：４３３－４３６ｆ５５１Ｇｕ只ＹａｎＸ．Ｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋａｐｐｒｏａｃｈｔｏｔｈｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆｆｒｅｅｆｏｒｍｓｕｒｆａｃｅｆｏｒｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９５，２７（１）：５９－６４【５６】陈东帆．基于人工神经网络逆向工程系统的研究与开发【博士学位论文】．上海：上海大学，１９９８［５７】ＣｈｏｉＢＫ．ＳｕｒｆａｃｅＭｏｄｅｌｉｎｇｆｏｒ㈨ＣＡＭ．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＥｌｓｅｖｉｅｒＳｃｉｅｎｃｅＰｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，１９９１［５８］ＨｏｐｐｅＨ，ＤｅＲｏｓｅＴ，ＤｕｅｈａｍｐＴ’ｅｔａ１．ＭｅｓｈＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．ＳＩＧＲＡＰＨ－－－ＣｏｍｐｕｔｅｒＧｒａｐｈｉｃｓＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇ，ＡｎｎｕａｌｃｏｕｆｅｒｅｎｃｅＳｅｒｉｅｓ，１９９３：１９－２６［５９】ＨｏｐｐｅＨ．Ｇｅｎｅｒａｔｅｏｆ３Ｄｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｏｄｅｌｓｆｒｏｍｕｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ３Ｄｐｏｉｎｔｓ．ＳＰＩＥ，１９９５，２４１０：４２４－４３１［６０】ＨｏｐｐｅＨ，ＤｅＲｏｓｅＴ，ＣｕｃｈａｍｐＴ，ｅｔａ１．ＳｕｒｆａｃｅＲｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｆｒｏｍＣｏｍｐｕｔｅｒＵｎｏｒｇａｎｉｚｅｄｐｏｉｎｔｓ．Ｇｒａｐｈｉｃｓ，１９９２，２６（２）：７１－７８Ｍｅｓｈｅｓ．ＣｏｍｐｕｔａｒＧｒａｐｈｉｃｓＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ，ＡｎｎｕａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅＳｅｒｉｅｓ，【６１】ＨｏｐｐｅＨ．Ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ１９９６：９９—１０８［６２】柯映林．离散数据几何造型技术及其应用研究［博士学位论文】。南京：南京航空航天大学，１９９２【６３］许澍虹．离散数据三角曲面造型技术及其与通用ＣＡＤ／ＣＡＭ系统数据交换的研究［博士７５浙江大学硕士学位论文学位论文】．杭州：浙江大学，１９９７【６４】李际军．反求工程ＣＡＤ建模关键技术研究【博士学位论文］．杭９，ｔｌ：浙江大学，１９９９［６５】陈志杨．基于三角曲面原型的Ｂ样条曲面重构理论以及在反求工程中的应用研究［博士学位论文１．杭州：浙江大学．１９９９［６６】孙家广等．计算机图形学（第三版），北京：清华大学出版社，１９９８［６７】Ｉｍａｇｅｗａｒｅ软件介绍．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｐｌｍｓｏｌｕｔｉｏｎｓ—ｅｄｓ．ｃｏｉｎ［６８】Ｐａｒａｆｏｒｍ软件介绍．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｐａｒａｆｏｒｍ．ｔｏｍ［６９］ＣｏｐｙＣＡＤ软件介绍．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｄｅｌｃａｍ．ｃｏｍ．ｃｕ［７０］Ｓｔｒｉｍ软件曲面重建技术与逆向工程．计算机辅助设计与制造，１９９６，７：３０ｆ７１］ＩＣＥＭＳｕｒｆ软件介绍．ｈｔｔｐ：ｔ／ｗｗｗ．ｉｃｅｍ．ｃｏｍ［７２］ＲＥ－ＳＯＦＴ软件介绍．ｈｔｌｐ：／／ｗｗｗ．ｓｕｐｅｒ．ｒｅ．ｃｏｒｎ［７３】反求工程软件Ｒ】｝ＳＯＦＴ５，０用户手册．浙江大学，２００２，４【７４】ＹａｈＸ，ＧｕＰ．ＡＲｅｖｉｅｗｏｆＲａｐｉｄＰｒｏｔｏｔｙｐｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓａｎｄＳｙｓｔｅｍｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９６，２８（４）：３０７－３１８（７５】王运赣．快速成形技术．武汉：华中理工出版社，１９９９［７６１ＬｅｅＫＨ，ＷｏｏＨ．ＤｉｒｅｃｔＩｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｏｆＲｅｖｅｒｓｅＥｎｇｉｎｅｃｆｉｎｇａｎｄＲａｐｉｄＰｒｏｔｏｔｙｐｉｎｇ．ＣｏｍｐｕｔｅｒｓａｎｄＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０００，３８：２１—３８【７７】ＬｅｅＫＨ，Ｗｏｏ２３ｒｄＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＨ．ＵｓｅｏｆＲｅｖｅｒｓｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｏｎＭｅｔｈｏｄｆｏｒＲａｐｉｄＰｒｏｄｕｃｔＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ．Ｉｎ：ＩｎｔｅｒｎａｆｉｏａｎｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅＣｏｍｐｕｔｅｒｓａｎｄＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣｏｍｐｕｔｅｒｓａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９８，３５（１．２）：２１－２４［７８】冯涛，吴晓林，王亚，陈先．反求工程与快速成型．机械工艺师，１９９８，１０：４－６［７９】石晓祥，周雄辉，卫原平，阮雪榆．产品反向工程和快速原型制造的集成技术．上海交通大学学报，２０００，３４（１０）：１３７８．１３８１［８０】肖尧先．基于ＲＥ／ＲＰ系统集成的复杂外形产品快速开发技术研究【博士学位论文】．杭州：浙江大学，２００２［８ｌ】ＪＪＳｈａｈ．Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｏｆｆｅａｔｕｒｅｓｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９１，２３（５）：３３卜３４３【８２】０ＷＳａｌｏｍｏｍ，ＦＪＡＭＶａｎＨｏｕｔｅｎ，ＨＪＪＫａｌｓ，ＲｅｖｉｅｗｏｆＲｅｓｅａｒｃｈｉｎＦｅａｔｕｒｅ－ＢａｓｅｄＤｅｓｉｇｎ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇＳｙｓｔｅｍｓ，１９９４，１２（２）：１１３—１３２［８３】Ｔｚｏｎｇ－ＳｈｙａｎＫａｎｇ，ＢａｒｔｈｏｌｏｍｅｗＯＮｎａｊｉ．ＦｅａｔｕｒｅＲｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎａｎｄＣｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｆｏｒＡｕｔｏｍａｔｉｃＰｒｏｃｅｓｓＰｌａｎｎｉｎｇＳｙｓｔｅｍｓ．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ１３３．１４５Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇｓｙｓｔｅｍｓ，１９９４，１２（２）：【８４］祝国旺，孙健，周济，余俊．特征技术研究综述．中国机械工程，１９９５，６（２）：７－１０［８５】周受钦，谢友柏．特征及其应用．工程设计，２０００，１：Ｉ一５【８６】ＶｅｍｕｒｉＢＣ，ＭｉｔｉｔｅｈｅＡ，ＡｇｇａｒｗａｌＪｋＣｕｒｖａｔｕｒｅ－ｂａｓｅｄＲｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｏｆＯｂｊｅｃｔｓｆｒｏｍＲａｎｇｅＤａｔａ．ＩｍａｇｅａｎｄＶｉｓｉｏｎＣｏｍｐｕｔｉｎｇ，１９８６，４（２）：１０％１１４ＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣｏｍｐｕｔｅｒｓＩｎｄ．Ｅｎｇｎｇ．，１９９８，３５【８７】ＭｏｔａｖａＵｉＳａｅｉｄ．ＲｅｖｉｅｗｏｆＲｅｖｅｒｓｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＡｐｐｒｏａｃｈｅｓ．Ｉｎ：２３ｒｄＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＣｏｍｐｕｔｅｒｓａｎｄ（１－２）：２５－２８．［８８】ＫｅＹｉｎｇｌｉｎ，ｅ／ａ／．ＲｅｖｅｒｓｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＢａｓｅｄｏｕＰａｒａｍｅｔｒｉｃＤｅｓｉｇｎ．ＴｅｃｈｎｉｃａｌＲｅｐｏｒｔｏｆＧｅｎｅｒａｌＥｌｅｃｔｒｉｃＣｈｉｎａＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｅｎｔｅｒ，２００２７６浙江大擘硕士学位论文【８９】ＣＫＡｕ，ＭＭＦＹｕｅｎ．Ｆｅａｔｕｒｅ－ｂａｓｅｄｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｏｆｍａｎｎｅｑｕｉｎｆｏｒｇａｒｍｅｎｔｄｅｓｉｇｎ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９９，３１：７５１—７５９［９０】ＣＫＡｕ，ＭＭＦＹｕｅｎ．Ａｓｅｍａｎｔｉｃｆｅａｔｕｒｅｌａｎｇｕａｇｅｆｏｒｓｃｕｌｐｔｕｒｅｄｏｂｊｅ优ｍｏｄｅｌｉｎｇ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，２０００，３２：６３．７４【９１】ＧｒｅｇｏｒｙＴＤｏｂｓｏｎ，ＷａｒｒｅｎＮＷａｇｇｅｎｓｐａｃｋＪｒ，ＨｅｎｒｙＪＬａｍｏｕｓｉｎ．Ｆｅａｔｕｒｅｂａｓｅｄｍｏｄｅｌｓｆｏｒａｎａｔｏｍｉｃａｌｄａｔａｆｉｔｔｉｎｇ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９５，２７（２）：１３９—１４６【９２）李江雄，柯映林，基于特征的复杂曲面反求建模技术研究．机械工程学报，２０００，３６（５）：１８－２２［９３】栗全庆，李明．反求工程中的特征建模技术分析．机床与液压，２００１，２：６９－７１［９４】金涛，单岩，童水光．产品反求工程中基于几何特征及约束的模型重建．计算机辅助设计与图形学学报，２００ｌ，１３（３）：２０２，２０７【９５】袁丽清，自连科，孟明辰，李振宏．ＪＷ－ＣＡＤ特征造型系统．机械设计，２００１，ｌ：１９．２１［９６】杨宁．注射模ＣＡＤ参数化特征造型技术研究．模具工业，２００１，３：８－１０［９７】ＪａｅＹｅｏｌＬｅｅ，ＫｗａｎｇｓｏｏＫｉｍ．Ａｆｅａｔｕｒｅ－ｂａｓｅｄａｐｐｒｏａｃｈｔｏｅｘｔｒａｃｔｉｎｇｍａｃｈｉｎｉｎｇｆｅａｔｕｒｅｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９８，３０（１３）：１０１９－１０３５［９８】ＨａｎＪｕｎｇＨｙＩｌｎ，ＰｒａｔｔＭｉｋｅ，ＲｅｇｌｉＣＷｉｌｌｉａｍ．Ｍａｎｕｆａｃａｕｉｎｇｆｅａｔｕｒｅｒｅｏｏｇｎｉｔｉｏｎｆｒｏｍｓｏｌｉｄｍｏｄｅｌｓ：Ａｓｔａｔｕｓｒｅｐｏｒｔ．ＩＥＥＥＴｒａｍ，ｏｎＲｏｂｏｔｉｃｓａｎｄＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ，２０００，１６（６）：７８２・７９６ｆ９９】徐树方，高立，张平文．数值线性代数．北京大学出版社，２０００【１００１林成森．数值计算方法．科学出版社．１９９８［１０１】ＸｉｎｇｐｉｎｇＣａｏ，ＮｅｅｌｉｍａＳｌｋ，＇ｉｋｈａｕｄｅ，ＧｏｎｇｚｈｕＨｕ．ＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｆｉｒｉｎｇｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅｓｔｏｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｄｉｓｔａｎｃｅＬｅｔｔｅｒｓ，ｒａｎｇｅｄａｔａ．ＰａｔｔｅｒｎＲｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ１９９４．１５：７８１－７９６［１０２】谢如彪，姜培庆．非线性数值分析，上海：上海交通大学出版社，１９８４【１０３】ＳｔｅｖｅｎＣＣｈａｐｒａ，ＲａｙｍｏｎｄＰＣａｎａｌｅ．工程中的数值方法（第三版）．科学出版社，ＭｃＧｒａｏ－ＨｉｌｌＣｏｍｐａｎｉｅｓ，ｌｎｃ．２０００［１０４】粟塔山，彭维杰，周作益，最优化计算原理与算法程序设计．国防科技大学出版社．２００１【１０５］张光澄，黄世莹，候泽华编．最优化计算方法．成都科技大学出版社．１９８９［１０６】陈开周编著．最优化计算方法．西北电讯工程学院出版社．１９８５【１０７】韦鹤平编著．最优化技术应用．同济大学出版社．１９８６［１０８】席少霖编．非线性最优化方法．高等教育出版社．１９９２【１０９１王申怀，刘继志．微分几何．北京：北京师范大学出版社，１９９０【ｌ１０］ＰａｕｌＪＢｅｓｌ，ＲａｒａｅｓｈＣＪａｉｎ．ＩｎｖａｒｉａａｔＳｕｒｆａｃｅＣｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｆｏｒ３ＤＯｂｊｅｃｔＲａｎｇｅＩｍａｇｅｓ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＲｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎｉｎＶｔｓｉｏｎ，Ｇｍｐｈｉｃｓ，ａｎｄＩｍａｇｅＰｒｏｃ∞ｓｉｎｇ，１９８６，３３：３３—８０ＰａｔｔｅｒｎＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄ［１１ｌ】ＥｒｎｅｓｔＭＳｔｅｋｅｌｙ，ＳｈａｎｇＹｏｕＷｕ．ＳｕｒｆａｃｅＰａｒａｒｎｅｔｅｒｉｚａｔｉｏｎａｎｄＣｕｒｖａｔｕｒｅＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｏｆＡｒｂｉｔｒａｒｙ３－ＤＯｂｊｅｃｔ：ＦｉｖｅＰｒａｃｔｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓ．ｍＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＭａｃｈｉｎｅＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ，１９９２，１４（８）：８３３—８４０［１１２】ＷＳｕｎ，ＣＢｍｄｌｙ，ＹＦＺｌａａｎｇ，ＨＴＬｏｈ．Ｃｌｏｕｄｄａｔａｍｏｄｅｌｉｎｇｅｍｐｌｏｙｉｎｇｎｏｎ－ｒｅｄｕｎｄａｎｔｔｒｉａｎｇｕｌａｒｍｅｓｈ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，２００１，３３：１８３－１９３ａｕｎｉｆｉｅｄ，【１１３】ＦｒａｎｋＰＦｅｒｒｉｃ，ＪｅａｎＬａｇｍｄｅ，ＰｅｔｅｒＷｈａｉｔｅ．ＤａｒｂｏｕｘＦｒａｍｅｓ，Ｓｎａｋｅｓ，ａｎｄＳｕｐｅｒ－Ｑｔｍｄｒｉｅｓ：ＧｅｏｍｅｔｒｙｆｒｏｍｔｈｅＢｏｔｔｏｍｕｐ．ＩＥＥＥＴＰＡＭＩ，１９９３，１５（８）：７７ｌ矗ｓ４浙江大学硕士学位论文［１１４］ＶａｕｇｈａｎＰｒａｔｔ．Ｄｉｒｅｃｔｌｅａｓｔ－ｓｑｕａｒｅｓｆｉｔｔｉｎｇｏｆａｌｇｅｂｒａｉｃｓｕｒｆａｃｅｓ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＧｒａｐｈｉｃ，１９８７，２１（４）：１４５—１５２［１１５】ＤａｖｉｄＭａｒｓｈａｌｌ，ＧａｂｏｒＬｕｋａｃｓ，ａｎｄＲａｌｐｈＭａｒｔｉｎ．ＲｏｂｕｓｔＳｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆＰｒｉｍｉｔｉｖｅｓｆｒｏｍＲａｎｇｅＤａｔａｉｎｔｈｅＰｒｅｓｅｎｃｅｏｆＧｅｏｍｅｔｒｉｃＤｅｇｅｎｅｍｃｙ．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓＡｎａｌｙｓｉｓｏｎＰａｔｔｅｍａｎｄＭａｃｈｉｎｅＩｍｅｌｌｉｇｅｎｅｅ，２００１，２３（５）：３０４—３１４Ｌｉｕ．Ｑｕａｄｒｉｃｓｕｒｆａｃｅｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｕｓｉｎｇｇｅｎｅｔｉｃａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－Ａｉｄｅｄ［１１６］ＹＨＣｈｅｎ，ＣＹＤｅｓｉｇｎ，１９９９，３１：１０１—１１０［１１７】ＳｕｎＱｉｎｇ，ＫｅＹ＇ｍｇｌｉｎ，ＬｕＺｈｅｎ．ＬＳＭ－ＢａｓｅｄＦｅａｔｕｒｅＦｉｔｔｉｎｇａｎｄＥｘｔｒａｃｔｉｏｎｉｎＲｅｖｅｒｓｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｆｔｏｂｅｐｕｂｌｉｓｈｅ∞【１１８】ＧｅｚａＫｏｓ，ＲａｌｐｈＲＭａｒｔｉｎ，Ｔａｍａｓｖａ∞ｄｙＭｅｔｈｏｄｓｔｏｒｅｃｏｖｅｒｃｏｎｓｔａｎｔｒａｄｉｕｓｒｏｌｌｉｎｇｂａｌｌｂｌｅｎｄｓｉｎｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＡｉｄｅｄＧｅｏｍｅｔｒｉｃＤｅｓｉｇｎ，２０００，１７：１２７－１６０［１１９】Ｊａｎｏｓｖｉｄａ，ＲａｌｐｈＲＭａｒｔｉｎａｎｄＴａｍａｓＶａｒａｄｙ．Ａｓｕｒｖｅｙｏｆｂｌｅｎｄｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｔｈａｔｐａｒａｍｅｔｒｉｃｕｓｅｓｕｒｆａｃｅｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９４，２６（４）：３４１－３６５［１２０】施法中．计算机辅助几何设计与非均匀有理Ｂ样条．北京航空航天大学出版社，１９９４［１２１】朱心雄等．自由曲线曲面造型技术．北京：科学技术出版社，２０００［１２２］ＸｕａｎｉａｎＹａｎｇ，ＧｕｏｚｈａｏＷａｎｇ．Ｐｌａｎａｒｐｏｉｎｔｓｅｔｆａｉｒｉｎｇａｎｄｆｉｔｔｉｎｇｂｙａｒｃｓｐｌｉｎｅｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，２００１，３３：３５－４３［１２３】范大茵，陈永华．概率论与数理统计．杭州：浙江大学出版社，１９９６［１２４］Ｗｅｎ－ＤｅｒＵｅｎｇ，Ｊｉｉｎｇ－Ｙ＇ｔｈＬａｉ．Ａｓｗｅｅｐ－ｓｕｒｆａｃｅｆｉｔｔｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒＣｏｍｐｕｔｅｒｓｉｎＩｎｄｕｓｔｒｙ，１９９８，３５：２６１－２７３ｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．［１２５］Ｗｅｎ－ＤｅｒＵｅｎｇ，Ｊｉｉｎｇ－ＹｉｈＬａｉ．Ｓｗｅｅｐ－ｓｕｒｆａｃｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｆｒｏｍｔｈｒｅｅ－ｄｉｒａｅｎｓｉｏｎａｌｍｅａｓｕｒｅｄｄａｔａ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９８，３０（１０）：７９１－８０５［１２６】王国瑾等．计算机辅助几何设计．北京：高等教育出版社，施普林格出版社，２００１［１２７］李永青．基于散乱点的Ｂ样条曲面重构理论与技术研究【硕士学位论文］．杭州：浙江大学．２００２［１２８】刘鼎元，等．Ｂｅｚｉｅｒ曲线和Ｂ样条曲线光顺拟合法．计算数学，１９８４，６（４）：３６０．３６５［１２９］孙家广．计算机辅助设计技术基础．北京：清华大学出版社，２０００．［１３０］金涛，陈建良，童水光．逆向工程技术研究进展．中国机械工程，２００２，１３（１６）：１４３０—１４３６［１３１】ＮＷｅｒｇｈｉ，ＲＦｉｓｈｅｒ，ＣＲｏｂｅｔｔｓｏｎ，ＡＡｓｈｂｒｏｏｋ．Ｏｂｊｅｅｔｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｂｙｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｎｇｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓｉｎｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ＡｉｄｅｄＤｅｓｉｇｎ，１９９９，３１：３６３－３９９【１３２］ＴｈｏｍｐｓｏｎＷＢ，ＯｗｅｎＪＣ，ＳｔＧｅｒｍａｉｎＩ－ＩＪＤ．Ｆｅａｔｒｕｅ－ｂａｓｅｄＲｅｖｅｒｓｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＰａｒｔｓ．１ＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｍｏｎＲｏｂｏｔｉｃｓａｎｄＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ．１９９９，１５（１）：５６－５７【１３３】Ｐ６ｌＢｅｎｋ５，Ｇ６ｚａＫ６ｓ，ＴｄｍａｓＶｄｒａｄｙ，Ｌｄｓｚｌ６ＡｎｄｏｒａｎｄＲａｌｐｈＭａｒｔｉｎ．“Ｃｏｎｓｔｍｉｎｔｅｄｆｉｔｔｉｎｇｉｎｒｅｖｅｒｓｅｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ＇’．ＣｏｍｐｕｔｅｒＡｉｄｅｄＧｅｏｍｅｔｒｉｃＤｅｓｉｇｎ，２００２，ｖ０１．１９：１７３～２０５．浙江大学硕士学位论文攻读硕士学位期间完成的学术论文和参与的科研项目一、学术论文夺孙庆，柯映林，吕震．ＬＳＭ—ＢａｓｅｄＦｅａｔｕｒｅＦｉｔｔｉｎｇａｎｄＥｘｔｒａｃｔｉｏｎｉｎＲｅｖｅｒｓｅ夺夺二、＞＞Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．扔捌立谨臣謦投（英文版）（录用待发表）吕震，柯映林，孙庆．反求工程中过渡曲面特征提取算法研究．劳靠祝集／皖巍健锈ｉ纺一ｃ，Ｍ墨（录用待发表）吕震，柯映林，孙庆．ＭｅｔｈｏｄｔｏＥｘｔｒａｃｔＢｌｅｎｄＳｕｒｆａｃｅｉｎＲｅｖｅｒｓｅＥｎｇ—ｉｎｅｅｒｉｎｇ．扔蒯立穗器｝攒（英文版）（录用待发表）科研项目“型号工程反求工程软件ＲＥ．ＳＯＦＴ二次开发与应用研究”，成都飞机工业集团公司，２００１—２００３“点云数据过渡曲面特征自动提取技术研究”，通用电气中国研究开发中心，２００１—２００２浙江大学硕士孝位论文致谢在论文完成之际，首先要向我的导师柯映林教授致以诚挚的谢意！本论文是在柯老师的直接关心指导下完成的，在撰写硕士论文的过程中，我始终感受到导师认真负责、踏实严谨、精益求精的科学态度以及理论联系实际的工作作风，这些都为我今后的学习和工作道路树立了良好的楷模和典范。柯老师扎实全面的专业知识以及对专业发展方向前瞻性敏锐的洞察力和卓有成效的把握，都给我留下了深刻的印象。感谢柯老师几年来在学习上、工作上和生活中给予我的关怀和教导。在导师门下这两年多的求学日孑令我受益匪浅，将会是我极为重要的一笔人生财富。衷心感谢李江雄老师给予的诸多思想与方法上的指导和无私帮助。感谢同实验室的王立涛博士、吕震博士、贾明博士、王秋成博士、张峻博士、单东日博士、黄志刚博士、孙杰博士、陈曦博士、吴福忠博士、刘云峰博士、刘剐博士、苏财茂博士、董辉跃博士、李岸博士、朱伟东博士、范树迁博士、毕运波博士、李奇敏博士、吴恩启博士、金成柱博士、郭彤博士、邵健博士、袁平博士、王青博士、杨洁硕士、吴央芳硕士、巫星海硕士，以及曾经一起学习和工作过的康小明博士后、陈志杨博士、李维诗博士、肖尧先博士、贾彦君硕士、李永青硕士等对本文研究提供的帮助。感谢我的家人长久以来给予我的理解、关心和支持！他们的支持和期待是我不断前进的动力。感谢参加论文答辩和评审、评阅的各位专家！感谢所有给予过我关怀和帮助的人们！刹・庆２００３．１