【因式分解】专项练习
一．选择题
1．多项式12ab3+8a3b的各项公因式是（ ） A．ab
B．2ab
C．4ab
D．4ab2
2．下列各式，从左到右变形是因式分解的是（ ） A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2 C．x2+5x+4＝（x+2）2+x
B．m2﹣6＝（m+3）（m﹣3） D．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a）
3．下列多项式：①x2+y2；②﹣x2﹣4y2；③﹣1+a2；④0.081a2﹣b2，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．若x2+6x+p＝（x﹣q）2，则p，q的值分别为（ ） A．6，6
B．9，﹣3
C．3，﹣3
D．9，3
5．若x2+（m﹣1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（ ） A．﹣3
B．1
C．﹣3，1
D．﹣1，3
6．因式（m+2n）（m﹣2n）是下列哪个多项式分解因式的结果（ ） A．m2+4n2
B．﹣m2+4n2
C．m2﹣4n2
D．﹣m2﹣4n2
7．对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），则F（468）的值为（ ） A．12
B．14
C．16
D．18
8．已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（ ） A．9
B．6
C．4
D．无法确定
9．把x2﹣4x+C分解因式得（x﹣1）（x﹣3），则C的值为（ ） A．4
B．3
C．﹣3
D．﹣4
10．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ） A．﹣22 二．填空题
11．把2（a﹣3）+a（3﹣a）提取公因式（a﹣3）后，另一个因式为 ． 12．多项式y2+2y+m因式分解后有一个因式（y﹣1），则m＝ ．
13．若二次三项式kx2﹣4x+3在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是 ．
14．甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为 ． 15．若二次三项式x2+ax﹣12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是 ． 三．解答题 16．因式分解 （1）2ab2﹣4a2b； （2）x2﹣5x+6； （3）﹣3ma2+6ma﹣3m； （4）（2a+b）2﹣（a+2b）2．
B．﹣1
C．7
D．11
17．阅读下列材料：
已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值． 解：∵a2＝3﹣a
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12＝﹣（3﹣a）﹣a+12＝9 ∴a2（a+4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）若a2﹣a﹣10＝0，则2（a+4）（a﹣5）的值为 ． （2）若x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
18．请阅读下列材料，并解决相应的问题：
一个四位数t的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．则t＝1000a+100b+10c+d．若a+d＝n（b+c），b＝c+2（n为正整数a≥d），则称这个四位数为“倍多分数”．
（1）请直接判断2200、3031是不是“倍多分数“；
（2）对一个四位数t，记F（t）＝，求F （t）为整数的“倍多分数”t的个数．
19．对于一个三位自然数，如果首尾两项和等于中间项的2倍，则称其为等差数．如：123，1+3＝2×2，则123为等差数；125，1+5≠2×2，则125不是等差数． （1）试判断246，777是否为等差数；
（2）求能被15整除的所有三位等差数的个数，并说明理由．
20．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形（a＞b），图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）观察图1、图2，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，可以获得一个因式分解公式，则这个公式是 ；
（2）如果大正方形的边长a比小正方形的边长b多3，它们的面积相差57，试利用（1）中的公式，求a、b的值．
参
一．选择题
1．解：12ab3c+8a3b＝4ab（3b2c+2a2），则4ab是公因式， 故选：C．
2．解：A．从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．m2﹣6＝（m+符合题意；
C．从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D．
3．解：③﹣1+a2；④0.081a2﹣b2，符合公式特点； ①x2+y2；②﹣x2﹣4y2，不符合公式特点． 故选：B．
4．解：x2+6x+p＝（x﹣q）2＝（x+3）2． 则p＝9，q＝﹣3， 故选：B．
5．解：∵x2+（m﹣1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解， ∴m﹣1＝±2，
解得：m＝﹣1或m＝3． 故选：D．
6．解：A．m2+4n2是平方和，不能进行因式分解，此选项不符合题意；
）（m﹣
），两边不相等，即从左到右变形不属于因式分解，故本选项不
B．原式＝﹣[m2﹣（2n）2]＝﹣（m+2n）（m﹣2n），此选项不符合题意； C．原式＝m2﹣（2n）2＝（m+2n）（m﹣2n），此选项符合题意； D．不能进行因式分解，此选项不符合题意； 故选：C．
7．解：n＝468，对调百位与十位上的数字得到8，对调百位与个位上的数字得到8，对调十位与个位上的数字得到486，
这三个新三位数的和为8+8+486＝1998， 1998÷111＝18， 所以F（468）＝18． 故选：D．
8．解：∵m2＝3n+a，n2＝3m+a， ∴m2﹣n2＝3n﹣3m，
∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0， ∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0， ∵m≠n，
∴（m+n）+3＝0， ∴m+n＝﹣3，
∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣3）2故选：A．
9．解：根据题意得：x2﹣4x+C＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3， 则C＝3．
＝9．
故选：B．
10．解：∵a﹣b＝b﹣c＝2， ∴a﹣c＝4，
2+bc2+ca∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）（﹣）（﹣）2]
＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝﹣1， 故选：B． 二．填空题
11．解：2（a﹣3）+a（3﹣a） ＝2（a﹣3）﹣a（a﹣3） ＝（a﹣3）（2﹣a），
2（a﹣3）+a（3﹣a）提取公因式（a﹣3）后，另一个因式为：（故答案为：（2﹣a）．
12．解：∵多项式y2+2y+m因式分解后有一个因式为（y﹣1）， ∵当y＝1时多项式的值为0， 即1+2+m＝0， 解得m＝﹣3． 故答案为：﹣3．
13．解：根据题意得k≠0且△＝（﹣4）2﹣4k×3≥0， 解得k≤且k≠0．
2﹣a）． 故答案为k≤且k≠0． 14．解：因式分解x2+ax+b时，
∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2）， ∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，
又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4）， ∴a＝﹣8+4＝﹣4，
∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12， 因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）， 故答案为：（x﹣6）（x+2）．
15．解：∵﹣12＝1×（﹣12）＝（﹣1）×12＝2×（﹣6）＝（﹣2）×6＝3×（﹣4）＝（﹣3）×4，
∴a＝±11或a＝±4或a＝±1， 共有6种， 故答案为：6． 三．解答题
16．解：（1）原式＝2ab（b﹣2a）； （2）原式＝（x﹣3）（x﹣2）； （3）原式＝﹣3m（a2﹣2a+1） ＝﹣3m（a﹣1）2；
（4）原式＝（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b） ＝3（a+b）（a﹣b）．
17．解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0， ∴a2＝a+10， ∴2（a+4）（a﹣5） ＝2（a2﹣a﹣20） ＝2（a+10﹣a﹣20） ＝2×（﹣10） ＝﹣20， 故答案为：﹣20． （2）∵x2+4x﹣1＝0， ∴x2＝1﹣4x， ∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1 ＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1 ＝2x2（1﹣4x+4x﹣2）﹣8x+1 ＝2x2×（﹣1）﹣8x+1 ＝﹣2（1﹣4x）﹣8x+1 ＝﹣2+8x﹣8x+1 ＝﹣1．
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1． 18．解：（1）2200是“倍多分数”，
∵a＝2，b＝2，c＝0，d＝0，且a+d＝2，b+c＝2， ∴此时，n＝1，b＝c+2，
∴2200是“倍多分数”； 3031不是“倍多分数”，
∵a＝3，b＝0，c＝3，d＝1，且a+d＝4，b+c＝3， ∴不存在整数n，使得a+d＝n（b+c）， 故3031不是“倍多分数”；
（2）设四位数t为1000a+100b+10c+d，
由F（t）＝知F（t）为9的倍数，且为“倍多分数”，
∴b＝c+2，
∴t＝1000a+100b+10c+d＝999a+（110+2n）c+200+2n，
∴F（t）＝110a+，
∴（110+2n）c+200+2n为9的倍数， ∵a+d＝n（b+c）＝n（2c+2）＝2n（c+1），
∴，
∴，
当c＝0时，n可为1，2，3，4，5，6，7，8，9，
∴（110+2n）c+200+2n＝200+2n，一一代入得，当n＝8时，符合题意； 当c＝1时，n可为1，2，3，4，
∴（110+2n）c+200+2n＝310+4n，一一代入得，无n的值符合题意； 以此类推，可知当c＝0时，n＝8；c＝2时，n＝2符合题意：
若c＝0，n＝8，则b＝2，a＝9，d＝7或b＝2，a＝8，d＝8；
若c＝2，n＝2，则b＝4，a＝6，d＝6或b＝4，a＝7，d＝5或b＝4，a＝8，d＝4或b＝4，a＝9，d＝3，
∴综上所述，共有6个． 19．解：（1）∵2+6＝2×4， ∴246是等差数； ∵7+7＝2×7， ∴777是等差数；
（2）设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，等差数为则a+c＝2b，
∴a+b+c＝3b为3的倍数，要使则
能被5整除，即c＝0或5，
＝210，420，630，840；
能被15整除，
，
当c＝0时，a＝2b，则当c＝5时，a+5＝2b，
，，，，，
∴综上所述，能被15整除的等差数有9个：210，420，630，840，135，345，555，765，975．20．解：（1）由图1可得阴影部分的面积＝a2﹣b2，由图2可得阴影部分的面积＝（a﹣b）（a+b）， ∴可得公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）由题意可得：a﹣b＝3， ∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝57，
∴a+b＝19，
∴，
解得：，
∴a，b的值分别是11，8．
