2021高考数学突破三角函数与解三角形问题中的套路专题04解三角形学案理

解三角形学案理

知识必备 一、正弦定理 1．正弦定理

在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc==.正弦定理对任意三角形都成立． sinAsinBsinC2．常见变形 （1）

sinAasinCcsinBb,,,asinBbsinA,asinCcsinA,bsinCcsinB; sinBbsinAasinCcabcabacbcabc; sinAsinBsinCsinAsinBsinAsinCsinBsinCsinAsinBsinC（2）

（3）a:b:csinA:sinB:sinC; （4）正弦定理的推广：3．解决的问题

（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情形

abc===2R，其中R为△ABC的外接圆的半径. sinAsinBsinC

二、余弦定理

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1．余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即

a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.

2．余弦定理的推论

从余弦定理，能够得到它的推论：

b2c2a2c2a2b2a2b2c2. cosA,cosB,cosC2bc2ca2ab3．解决的问题

（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定明白得三角形的步骤

三、三角形的面积 1．三角形的面积公式

设△ABC的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.

1ah (h为BC边上的高)； 2111（2）SbcsinAacsinBabsinC；

2221（3）Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)．

2（1）S2．三角形的高的公式

hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA．

核心考点

考点一 直截了当利用正、余弦定明白得三角形

【例1】（正弦定理）设△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若A60,B75,c8,则aA．47

B．46 2 / 13



C．45 【答案】B 【解析】故选B．

D．42 A60,B75,C45,由正弦定理

ac8a,a46. 得

sinAsinCsin45sin601B, 2【例2】（余弦定理）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，且a1,b则c A．2

B．1 D．

3,ACC．3 【答案】B

1 2

【例3】（正、余弦定理的综合）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若3sinA2sinB，

4b3c，则cosB

A．

15 4 B．

3 4D．

C．315 16

11 16【答案】D

【解析】因为3sinA2sinB，因此由正弦定理得3a2b，又因为4b3c，因此6a4b3c，令

4m216m29m211a2m,b3m,c4m，因此由余弦定理得cosB，选D．

22m4m16

备考指南

1．利用正、余弦定理求边和角的方法：

（1）依照题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．

（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一样地，假如式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特点都不

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明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 2．常见结论：

（1）三角形的内角和定理：在△ABC中，ABCπ ，其变式有：ABπC，（2）三角形中的三角函数关系：sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；

ABπC等． 222sinABCABCcos；cossin. 2222考点二 三角形解的个数或形状的判定

【例4】（三角形个数的判定）在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，若a=2，b=6，A=45°，则满足条件的三角形有 A．1个 C．0个 【答案】B 【解析】∵bsinA

B．2个 D．无法确定

623，∴bsinAab，∴满足条件的三角形有2个，故选B． 2备考指南

判定三角形解的个数的两种方法

1．代数法：依照大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判定． 2．几何图形法：依照条件画出图形，通过图形直观判定解的个数.

【例5】（三角形形状的判定）在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，若

bcosCccosBasinA，则△ABC的形状为

A．等腰三角形 C．钝角三角形 【答案】B

B．直角三角形 D．锐角三角形

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备考指南

利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：

1．“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判定三角形的形状.

2．“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判定出三角形的形状，现在要注意应用ABCπ那个结论． 提醒：在两种解法的等式变形中，一样两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.

考点三 三角形的面积与周长问题

【例6】（直截了当求面积）在△ABC中，A60,AB2,AC3,则△ABC的面积等于

A．23 333 2 B．43 3C． D．3

【答案】C

【解析】在△ABC中，A60,AB2,AC3,因此△ABC的面积等于

11ABACsinA2 223sin6033，故选C． 2【例7】（三角形周长问题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b5，tanB1，

c22．

（1）求cosC的值；

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（2）求△ABC的周长．

【解析】（1）因为在△ABC中，tanB1，因此B又b5，c22， 因此由正弦定理可得得sinC因此cosC1()2因为cb， 因此cosC， 4csinB2， b52521， 521． 5（2）由余弦定理知b2a2c22accosB， 因此52a2(22)242a2，即a24a170，解得a221或a221（舍去）， 2因此△ABC的周长为22152272122．

备考指南

1．求三角形面积的方法

①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹那个角的两边或该两边之积，套公式求解．

②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

2．三角形中，已知面积求边、角的方法

三角形面积公式中含有两边及其夹角，故依照题目的特点，若求角，就寻求夹那个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

考点四 三角形中的范畴或最值问题

【例8】（范畴问题）已知a,b,c是△ABC的内角A,B,C所对的边，2asinAasin2C2csinCcosA，则角A的取值范畴是 .

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【答案】（0，

π] 3【例9】（最值问题）△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，(acosCb)sinB(cbacosB)

sinC．

（1）求A的大小； （2）若△ABC的面积为

3，求a的最小值． 2【解析】（1）∵(acosCb)sinB(cbacosB)sinC，

∴a(sinBcosCcosBsinC)bsinBcsinCbsinC，即asin(BC)bsinBcsinCbsinC， ∴asinAbsinBcsinCbsinC， 由正弦定理得，a2b2c2bc，

b2c2a2bc1由余弦定理得，cosA，

2bc2bc2∵0Aπ， ∴Aπ. 31π3bcsin=， 232（2）由（1）知，S△ABC=∴bc=2，

∴abc2bccos=b2c2bc≥2bcbc=bc=2，当且仅当bc时取等号， ∴a2（舍）或a∴amin=2.

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222π32，

备考指南

求最值或范畴时,注意公式的选择.

1．求取值范畴时,用正弦定理转化为解三角函数值域.

2．求最大或最小值时,用余弦定理和均值不等式.注意均值不等式只能求一端的最值,有时由两边之和大于第三边求另一个.

能力突破

1．已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若

sinBsinA3ac，则角B的大小为 sinCabπ 62πC．

3A．【答案】D

B．

π 3D．5π 65πba3aca2c2b23【解析】由正弦定理得，化简得. cosB，故B6cab2ac2【名师点睛】本题要紧考查正弦定理的应用，考查利用正弦定理进行边角互化的方法.由于题目所给已知条件一边是角的形式，另一边是边的形式，由此我们考虑将两边同时化为边或者同时转化为角的形式，考虑到正弦定理，故将角转化为边，然后利用余弦定理将式子转化为余弦值，由此求得B的大小. 2．已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若abc2222ab，则sinC 3A．7 3 B．

2 3C．

2 3 D．22 3【答案】D

2a2b2c21【解析】由已知可得，abcab，由余弦定理可得cosC.

32ab3222因此sinC1cos2C22. 38 / 13

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C60，a4b，c13，则△ABC的面积为 A．3

B．

13 2C．23 【答案】A

D．13

4．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若cosBcosCsinBsinC（1）求角A的大小；

（2）若△ABC的面积为S23，且a23，求bc的值. 【解析】（1）由题意知cosBcosCsinBsinCcos(BC)因为ABCπ，因此BCπA， 因此cos(BC)cos(πA)cosA则cosA1. 21， 21， 21. 2π. 3因为0Aπ，因此A（2）因为S13bcsinAbc23，因此bc8. 24由余弦定理得a2b2c22bccosA，则12b2c2bc， 因此(bc)bcbc3bc122436，解得bc6. 5．如图所示，在四边形ABCD中，D2B，且AD2，CD6，cosB（1）求△ACD的面积；

（2）若BC43，求AB的长．

2223． 39 / 13

【解析】（1）因为cosB3，0B， 3因此sinB6， 3又D2B，

因此sinDsin2B2sinBcosB因此S△ACD22， 31ADCDsinD42． 2（2）由余弦定理可得AC因为BC43，

AD2CD22ADCDcosD43，

AB2BC2AC2AB2(43)2(43)23因此cosB，解得AB8． 2ABBC32AB43高考通关

1．（2021山东理）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满足

sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，则下列等式成立的是

A．a2b C．A2B 【答案】A

【解析】由题意知sin(AC)2sinBcosC2sinAcosCcosAsinC， 因此2sinBcosCsinAcosC2sinBsinA2ba，选A.

【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 第一用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到a2b.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.

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B．b2a D．B2A

2．（2020新课标Ⅱ理）在△ABC中，cosA．42 C．29 【答案】A 【解析】因为

C5，BC1，AC5，则AB 25B．30 D．25 因此

，选A.

【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要依照正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

222abcC的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为3．（2020新课标Ⅲ理）△ABC的内角A，B，，

4则C πA．

2πC．

4πB．

3πD．

6【答案】C

【解析】由题可知，因此，由余弦定理

，得，因为，因此，故选C.

a24．（2021新课标Ⅰ理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.

3sinA（1）求sin Bsin C;

（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长.

1a1a2【解析】（1）由题设得acsinB，即csinB.

23sinA23sinA1sinAsinCsinB. 23sinA2故sinBsinC.

3由正弦定理得

（2）由题设及（1）得cosBcosCsinBsinC因此BC11，即cos(BC). 222π， 311 / 13

故Aπ. 31a2由题设得bcsinA，即bc8.

23sinA由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)3bc9，得bc33. 故△ABC的周长为333. 【名师点睛】在处明白得三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，能够使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范畴”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如yAsin(x)b，从而求出范畴，或利用余弦定理以及差不多不等式求范畴；求具体的值直截了当利用余弦定理和给定条件即可.

5．（2021新课标Ⅱ理）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinAC8sin（1）求cosB；

（2）若ac6，△ABC的面积为2，求b．

22B． 2B，故sinB41cosB． 215上式两边平方，整理得17cos2B32cosB150，解得cosB1(舍去)，cosB．

17【解析】（1）由题设及ABC，可得sinB8sin2

【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，要紧利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意ac,ac,ac三者之间的关系，如此的题目小而活，备受命题者

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22的青睐． 你都把握了吗？

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