学园ｌ ＡＣＡＤＥＭＹ ２０ｔ０年第３期 对中学数学解题通法的实践研究 刘宏俊江苏省海安县立发中学 ：一通法是指具有某种规律性和普遍意义的常规解题模式和常 用的数学解题方法。在中学数学中常用的数学解题通法有换元 法、配方法、待定系数法、参数法、消元法、特殊值法。透过这 些方法体会数学思想，包括：转化思想、方程思想、数形结合思 ÷，且Ｃ为锐角，求ｓｉｎＡ。 ４ 这道题的第一问是将ｃｏｓ（２ ＋ ）展开，ｓｉｎ２Ｘ降次，再重新 ３ 组合成Ｙ：Ａｓｉｎ（ ＋ ）的模式即可求出最大值及最小正周期。 想、分类讨论思想等。近几年高考数学试题坚持新题不难、难题 不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”。有一 定难度的题，一般用的都是最常规的性质、方法。下面分别就数 列、 角函数、导数等计算题中必考问题的常见题型的通法做以 下研究。 一求数列通项公式的通法举例 数列在高考数学试卷中占有重要的地位，它的命题也开始与 甬数、方程、不等式等知识联系，不管命题形式如何变化，解决 数列问题的前提多是确定通项公式，即便是在新课程背景下也是 万变不离其宗，这就使得数列通项公式的求解方法显得特别重 要。下面仅从近两年高考有关求数列通项公式问题列举，淡淡求 数列通项公式ｉ种重要的通法的应用。 数列通项公式的求解方法有很多，如观察法、累加法、累乘 法、待定系数法、递推公式法、归纳猜想法、南ｓ 确定 的等 式法等，这些都可纳入以下 种通法的范畴：（１）归纳猜想法； （２）构造新数列法；（３）迭代法。 如２００９年全国卷ＩＩ中的第ｌ９题，设数列｛ａｎ｝的前 项和 为ｓ ，已知ａｌ＝ｌ，Ｓ ＝４ａ ＋２。（１）设ｂ ＝Ｃｔ川一２ ，证明数 列｛ ｝是等比数列；（２）求数列｛ＣＩｎ｝的通项公式。这道题第 （１）问思路明确，只需利用已知条件寻找ｂ 与ｂ 一ｌ的关系即可。 第（２）问中由（１）易得ａｎ＋１—２ａ．＝３・２ ，这个递推式明显 是一个构造新数列的模型：ａｎ＋ｌ＝ｐａｎ＋ｑ （Ｐ，ｑ为常数），主要 的处理手段是两边除以ｑ 。．・．等一鲁＝ ３．・．数列｛鲁｝是首项 为＝１，公差为｛的等差数列。４ 二求弦类函数的值域的通法举例 在历届高考数学试题中经常有 角函数类的值域的问题，其 中弦类函数的值域的问题是考的频率比较高的问题。下面系统归 纳关于弦类函数的值域求法。到目前为止，高考中出现的弦类函 数的值域问题有以下四种结构（本文所提到的弦类函数结构都是 指经三角变换和化简后的最简结构）：弦类一次函数；弦类二次 函数；同名弦类一次分式函数和异名弦类一次分式函数。下面针 对弦类不同结构的函数的值域求法系统地加以归纳（注：只列举 正弦函数）。 １．弦类一次函数 函数表达式：Ｙ＝Ａｓｉｎ（ ＋ ）＋Ｂ（Ａ≠０）值域求法：根 据正弦函数的有界性，易知其值域为［一Ａ＋Ｂ，Ａ＋Ｂ］。 如２００９年…东设函数厂（ ＝ｃｏｓ（２ｘ＋￣．）＋ｓｉｎ 。 ｊ （１）求函数厂（ｘ）的最大值和最小正周期； １ （２）设Ａ、Ｂ、ｃ为ＡＡＢＣ的三个内角，若ｃｏｓＢ＝÷，＿ｊ 厂（ 一１２２— ２弦类二次函数 函数表达式：Ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘ＋ｃ（口≠０）值域求法：令ｔ ＝ｓｉｎｘ，把函数转化为关于ｆ的二次函数在区间［一ｌ，１］内的 值域问题。 如Ｙ：ＣＯＳ２Ｘ＋２ｐｓｉｎｘ＋ｑ有最大值９和最小值６，求实数Ｐ， ｑ的值。 这道题先令ｓｉｎｘ：ｔ，ｆＥ［一ｌ，Ｉｊ，则 ＝一（ｆ—Ｐ）。＋ｐ ＋ ＋ｌ对称轴为ｔ＝Ｐ，再利用动函数定区间的方法讨论即可 求解。 ３．异名弦类一次分式函数 函数表达式：如 ：— 值域求法：将分母乘过去，等 ＣＯＳ 十 式整理为 ＝ｓｉｎｘ—ｙｃｏｓｘ即２ｙ＝√ ＋１ ｓｉｎ（Ｘ＋ ），再根据 ＇，， ｓｉｎ（ ＋妒）的有界性得到一１≤ 一≤ｌ，解出值域。当然它 ４ｙ‘＋１ 也有局限性，就是要注意定义域是否为Ｒ。 三利用导数证明不等式的通法举例 利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证 明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式 证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 １．函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式 ）＞ｇ（ｘ） （＿厂（Ｘ）＜ｇ（ ）］的问题转化为证明Ｊｒ（ ）一ｇ（ ）＞０［ｆ（ ） 一ｇ（ ）＜０），进而构造辅助函数ｈ（ ）＿－ｆ（Ｘ）一ｇ（ ），然 后利用导数证明函数ｈ（ ）的单调性或证明函数ｈ（ ）的最小 值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。 例如，已知 ∈（０， ），求证：ｓｉｎｘ＜ ＜ｔａｎｘ。 Ｚ 分析：欲证ｓｉｎｘ＜ ＜ｔａｎｘ，只需证函数厂（ ）＝ｓｉｎｘ—Ｘ和 ｇ（ ）＝ｘ—ｔａｎｘ在（ｏ， ）上单调递减即可。此为构造函数的方法。 ２．常数类不等式证明 常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问 题等价转化为证明－厂（ａ）＜＿厂（ｂ）的问题，再根据口，ｂ的不等 式关系和函数厂（ｘ）的单调性证明不等式。 例如：求证： 。 这道题可以先整理成要证明 ＞ ，再利用导数法证明函 ｊ ） 数＿ｙ： 在（ｅ，＋ ）上单调减，最后因为Ｐ＜３＜５，所以 ｌｎ３ ｌｎ５ ＞—— ３ ５ 评注：利用导数证明常数类不等式的关键是经过适当的变形， 学园Ｉ ＡＣＡＤＥＭＹ ２０１０年第３期 化学教学中培养学生的创新精神 郝永宏河北省康保县第一中学 实验结论，一方面培养，ｒ学叶 的Ｆ１学能力、观察能力、思维能力， 另一方面开发＿ｒ学乍的智力，培养 创新精神。 三注重生产生活实际是创新之源 实际生产生活是创新之源，化学 社会、生产 活有着广泛 本义就如何在高巾阶段使学生在掌握基础知识、基本技能的 基础上，培养学生的创新精神淡一点个人看法。 一注重观察能力的培养是打开创新之门 观察是创新的入『Ｊ阶段 创新就是婴有新发现，观察是发 现问题的一条晕 途径。叟创新就婴给学生造就一双“慧眼”， 学会观察，掌握观察的方法，培养学生敏锐的观察能力。培养观 察能力应做别以下几 ‘面： １．培养学生良好的观察 么都要认真、仔细、一 不苟。 ２．在教学ｌｆ１应敦给学生正确的观察方法，使学生掌握观察 程序，学生全面系统且有主次地观察，提高观察效率。 ３．注重课堂实验的观察。高中化学课堂有很多演示实验， 让学生注重课堂实验的观察是培养学牛观察能力的重婴渠道。 的联系， ｛极引导学生走 课堂，考察实际 活，探索分析实际 牛产、Ｌｊ常生活中的一些化学现象，对于培养学生实事求是的科 学态度、勇ｆ探索的精神效果极佳。彳Ｆ教学实践巾积极开展第二 课堂活动——课外实验活动。通过丰富多彩的课外活动ｎｆ以使学 生增加知识，扩大视野，仆发智力，丰寓课外生活，激发学生研 讨化学问题的浓厚兴趣。ｎｆ用如下形式进行课外化学实验活动： （１）组织实验兴趣小组，在教师的指导Ｆ，让学生自愿组织起 来，研究实验教学ｆ１１的问题，写小论文、编辑实验资料等；（２） ｆ：展化学游戏，寓实验 娱乐之中：通过科学性 ｊ趣味性、知识 ，端 观察态度。无论观察什 ４．开阔视野，扩大观察范用。仅观察课堂实验是不够的， 婴积极引导学牛观察日常牛酒、ｒ农、Ｉ 牛产中的化学现象，养成 良好的观察习惯。 性与娱乐性的完美统一以提高实验技巧，培养创新精神。 四注重思维能力是培养创新的核心 思维是创新的核心。平时在书本发现的新 题，在实验中 ５．写好观察记录。写观察记习乏一定 实事求是，准确地记 录实验条什、过程和现象，儿其婴泮 实验现象的记录，准确地 发现的特殊现象，在社会生活中观察到的新东两，都要经过大 脑』Ｊ口ｌ 、思维分析，找出本质性的东 ， ‘可能有所创新。婴 创新就必须使学生具备较强的思维能力，尤其是创造性思维能 力。在教学实践中，我们主要从以＿Ｆ几个 ‘而培养学 的创造 性思维能力： 描述实际牛产和日常生活叶１的化学现象，为后面的分析提供第一 于资料。只有具备较强的观察能力，养成良好的观察习惯，进行 认真分析研讨，／ｊ‘丌＿『能有新发现、新突破，创 新成果．． 二注重实验能力的培养是创新之本 １．激发学生创造性地学习，其疗法有：（１）激发兴趣、好 实验是创新之本。化学家的发明成果大多都出自实验率，实 验是验证、探索、发现新东西最重要最可靠的于段。平时观察到 的新东西，婴通过实验来验证，平时发现的奇异化学现象，要研 讨、探索，就婴动手做实验。要培养学生的创新精神，就必须使 学生具有较强的实验能 。在高『｝Ｉ阶段，首先要注重验证性实验。 高中化学教材中大多是验征性实验，我们可以通过这些验证性实 验培养学生实验的基本操作技能，掌握实验的摹本方法。在此基 础ｔ安排一些探索性实验，借以激发学生学习兴趣，培养学生实 事求是、勇于探索的精神。教材｝ 探索性实验不多，在教学中也 可将一些验证性实验改成探索性实验。做探索性实验的关键『口Ｊ题 是实验设计。在教学巾要加强实验没计能力的培养，要放 手脚， 让学生设计实验。对于难度大、探索性较强的实验，教师可 进行必 的指导或 ｊ学生共同设计。对＿】 学 ｝三设计的实验方案， 如果有新思想、新 ‘法、新举措，应认真审 ，只要没有意外情 况都Ｉ『以让学生进行试验，鼓励学 树立 信心，勇于探索，勇 于实践。通过学ｑ｜ｆ 己动腑设计、ｆ｛己动手操作、ｆ｛己分析总结 奇心，鼓励学生质疑，进行探索，揭示矛盾；（２）重视研讨学法， 教会学生的学习疗法，培养学牛的门学能力；（３）培养解决问题 和判断、推理的能力；（４）培养学生有同的的多方面地思考问题， 善于找出问题的本质；（５）引导学生求异思维，鼓励学乍不肓目 地迷信书本和前人，敢于设想，善于设想，发现创新。 ２．培养学生具有敏锐的观察力和辨别领悟能力，能迅速、 深刻地抓住事物或现象的本质。 ３．课堂教学受精讲精练，多采卅讨论形式的学习方法，选 题呵多选一些综合性的习题、一题多解的习题，引导学生多方位 探求解题方法，＿Ｊｆ拓学，卜创造性思路，诱发求异创新。 ４．积极开展课外活动，发展学生的爱好、兴趣、特殊 ‘能 和特长。 总之，创新就面临着成功 失败，正确埘待成功 失ｌＪ！叟对于 培养创新精神意义重大。教育学生胜不骄、收不馁，善于从失败 中吸取教训，从成功巾总结经验，培养他们坚韧不拔、ＦＩ‘折不挠、 不断努力的创新精神。 将不等式证明的问题转化为函数单调性证明问题，其中关键是构 造辅助函数，如何构造辅助函数也是这种通法运用的难点和关键 所在。通过本例，不难发现，构造辅助函数关键存丁不等式转化 为左右两边是牛Ｈ同结构的式子 数学思想， ‘能抓住解题的核心和本质，“站得高， 能看得远”， 才会起到事半功倍的作用。而高考的宗旨是考查高中数学的基础 知识、基本技能、基本思想和方法。因此，充分体会通性通法在 解题巾的作用，系统掌握知识问的内在联系就显得尤为重要。要 加强对各章节知识点的梳理，灵活运用，熟练掌握通性通法，舍 教师们在一定程度上虽然知道“通法”的含义。但在平常的 教育教学中可能运用的还不够，共至有的只是就题论题，缺少必 要的拓展、总结、升华。其实数学思想方法融会在每一道数学题 巾，做题时婴做有心人，要体会其中的转化思想、分类思想、方 弃偏、难、怪习题，淡化特殊技巧。尽管每年会出现一些题型新 颖的客观题，但无不是课本上的通性通法。所以要处理好“通法” 和“巧法”的关系，在复习中不应过分追求特殊方法、技巧，不 必将力气花在钻难题、怪题中。 １２３— 程函数思想、数形结合思想等。同时，也婴认识到，这些数学思 想不是孤立存在的，而是互相渗透的，有意地去体会并运用这些 一
