高考教案高三数学暑期第9讲.圆锥曲线的几何性质.尖子班

第9讲 圆锥曲线的

几何性质

本讲分三小节，分别为第一定义与焦点三角形、第二定义与相似三角形、第三定义，建议用时2—由于这一讲主要介绍圆锥曲线的重要且常用的几何性质，而这些性质在之前的学习中并没有系3课时．

统的介绍过，可以作为新课进行讲授．对于尖子班的学生，以介绍及证明性质为主要教学目标；对于目标班学生，以性质的灵活应用为主要教学目标．

第一小节为第一定义与焦点三角形，共3道例题．其中 例1主要讲解椭圆的焦点三角形的周长问题； 例2主要讲解椭圆的焦点三角形的面积问题； 例3主要讲解双曲线的焦点三角形的面积问题．

第二小节为第二定义与相似三角形，在知识梳理时通过探索铺垫题的形式给出非圆圆锥曲线的第二定义，例题部分共2道，其中

例4主要讲解第二定义与方程；

例5主要讲解利用椭圆的第二定义构造相似三角形解过焦点的弦的相关问题；

第三小节为第三定义，在知识梳理时通过探索铺垫题的形式给出有心圆锥曲线的第三定义，例题部分共2道，其中

例5主要讲解椭圆的第三定义； 例6主要讲解双曲线的第三定义．

知识结构图

第9讲·教师版

93

9.1第一定义与焦点三角形

知识梳理

xyx2y2椭圆221（ab0）或双曲线221上一点P（不在x轴上）与两个焦点F1、F2形

abab成的三角形称为焦点三角形．

yPyP22F1OF2xF1OF2x

焦点三角形与椭圆、双曲线的第一定义联系密切，因此解焦点三角形的问题是圆锥曲线问题中的重点问题．在解焦点三角形时，由于已知一边及另外两边的和（差），因此只需要再加一个条件就可以求解．

经典精讲

考点：椭圆的焦点三角形

x2y2【例1】 ⑴点P是椭圆221（ab0）上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，则△F1PF2的周

ab长为 ．

94

第9讲·教师版

22

⑵

xy1上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2 的内切圆半径为25161，当P在第一象限时，P点的纵坐标为 ．

点P是椭圆

x2y2⑶点P是椭圆221（ab0）上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，过F1作直线l交

ab椭圆于点A、点B，则△F2AB的周长为 ．

⑷如图，△ABC是椭圆内接等腰直角三角形，斜边BC2．C是椭圆的右焦点，椭圆的左焦点在边AB上，则椭圆的长轴长为 ． yA

228【解析】 ⑴ 2a2c．⑵ ．⑶ 4a．⑷ ．

23CxOB

x2y2【拓1】 ⑴ （2012年福建理）椭圆E：221（ab0）的

ab1左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周

2长为8．则椭圆E的方程为 ．

x2y2⑵ 椭圆右焦点分别为F1，过焦点F1的直线交椭圆于A、△ABF2F2，1的左、B两点，

169的周长为_________；若A、B两点的坐标分别为x1,y1和x2,y2，且△ABF2的面积是4，

则y2y1的值为___________．

47x2y2【解析】 ⑴ ． 1．⑵ 16，743

【教师备案】椭圆焦点三角形面积公式及其推导

x2y2对于椭圆221（ab0），设PF1m，PF2n，则mn2a，

ab2m2n22c2b22b2 cosF1PF21，∴mn2mn1cosF1PF2mn于是S△F1PF2

b2sinF1PF21mnsinF1PF2b2tan． 21cosF1PF22x2y2【例2】 ⑴已知椭圆E：221（ab0），F1c,0、F2c,0分别为椭圆的左、右焦点，

ab动点PE，连接PF1、PF2形成△PF1F2．

① △PF1F2面积的取值范围是 ； ② 设F1PF2，则△F1PF2的面积为 ；

③ 综合①②，可知当P点位于 位置时，F1PF2取得最大值． ④ 当椭圆离心率e增大时，F1PF2的最大值 ．（填增大或减小） ⑵

x2y2π已知点P为椭圆1上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，若F1PF2，

433第9讲·教师版

95

则点P到x轴的距离为 ．

x2y2⑶已知椭圆221，焦点为F1,F2，在椭圆上存在点P，使得PF1PF2，则椭圆的

ab离心率e的取值范围为________．

2π【追问】若将条件“PF1PF2”改为“F1PF2，则离心率的取值范围是多少？ ”

3【解析】 ⑴ ① 0,bc；② b2tan⑵

3．

2；③ 上顶点或下顶点；④ 增大．

2,1⑶ ． 23【追问】,1． 2x2y2【拓2】 ⑴ F1、F2是椭圆C： 1的焦点，在C上满足PF1PF2的点P的个数为 ．84x2y2⑵ 设F1、F2分别为椭圆1的左右焦点，且点P是椭圆上的一点．若△PF1F2是直角

4832三角形，则点P到x轴的距离为 ．

【解析】 ⑴ 2；

⑵

【拓3】 在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bc≥2a，求证：A≤【解析】 如图以B、C为焦点2a为长轴长构造椭圆，则

∵bc≥2a，∴点A在椭圆上或椭圆外． 如图，容易证明A≤yA83； 3π． 3π，当且仅当A为椭圆的上（下）顶点时取得等号． 3BOCx

考点：双曲线的焦点三角形

【教师备案】双曲线焦点三角形面积公式及其推导

x2y2对于双曲线221，设PF1m，PF2n，则mn2a，

ab96

第9讲·教师版

cosF1PF2m2n22c2mn22b22b2，∴mn 11cosF1PF2mn于是S△F1PF2

b2sinF1PF21mnsinF1PF2b2cot． 21cosF1PF22x2y2【例3】 ⑴已知双曲线E：221（a0，b0），F1c,0、F2c,0分别为双曲线的左、

ab右焦点，动点PE，连接PF1、PF2形成△PF1F2，设F1PF2．

① △F1PF2的面积为 ； ② 的取值范围为 ． ⑵

（2010年全国卷Ⅰ）已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则P到x轴的距离为 ．

⑶

x2y2设F1、F2为双曲线1的两个焦点，点P在双曲线上满足F1PF290，则P的

1620坐标为 ．

x2y2⑷（2011年华约）已知双曲线C：221（a,b0），F1、F2分别为C的左右焦点，

abπ又△F1PF2的面积为33a2．则C的离心率e ． P为C右支上一点且使F1PF2，3【解析】 ⑴ ① b2cot

2；② 0,π．⑵

1064．⑶ 14，；⑷ 2．

3239.2第二定义与相似三角形

知识梳理

【备注】本铺垫的目的是通过推导焦半径公式，引入圆锥曲线的第二定义．

x2y2【铺垫】已知Fc,0为椭圆221的右焦点，点P为椭圆上一点，若P点的横坐标为x0．

ab⑴ 求证：P点到右焦点的距离为aex0，其中e为椭圆的离心率；

a2a2⑵ ⑴的结论即PFex0，指出x0的几何意义；

cc第9讲·教师版

97

⑶ 指出⑵中等式的意义，并思考当题干中的右焦点F改为左焦点时相应的结论变化． ⑷ 结合抛物线的定义，试给出椭圆的第二定义，并思考该定义是否可以推广到双曲线．

【解析】 ⑴ 利用两点间的距离公式即可推得；

a2a2⑵ 的距离； x0的几何意义时点P到直线xcca2a2⑶ 椭圆上的点到右焦点与到直线x的距离之比为离心率e，我们称直线x为椭圆的

cca2a2右准线．当右焦点变为左焦点时，右准线x也相应变为左准线x．

cc⑷ 平面上到定点与到定直线的距离之比为常数e（0e1）的点的轨迹为椭圆； 该定义可以推广到双曲线：

平面上到定点与到定直线的距离之比为常数e（e1）的点的轨迹为双曲线．

【教师备案】本组拓展题是关于焦半径公式的应用的，教师可以根据情况选用．

焦半径公式：

已知离心率为e，长半轴长为a的椭圆上一点P的横坐标为x0，则P到左焦点的距离为（可以利用“左加右减”记忆） aex0，P到右焦点的距离为aex0．

已知离心率为e，实半轴长为a的双曲线左支上一点P的横坐标为x0，则P到左焦点的距离为ex0a，P到右焦点的距离为ex0a；

已知离心率为e，实半轴长为a的双曲线右支上一点P的横坐标为x0，则P到左焦点的距离为ex0a，P到右焦点的距离为ex0a．

9x2y2【拓4】 ⑴ 椭圆1上三个不同的点Ax1,y1、B4,、Cx2,y2到右焦点的距离成等差

5259数列，则x1x2的值为 ．

x2y2⑵ 已知椭圆1，F1、F2为其两个焦点，则椭圆C上 （填“存在”或“不

43存在”）点M，使得点M到左准线的距离MN是MF1与MF2的等比中项． x2y2⑶（2010年江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1上一点M的横坐标是3，

412则M到双曲线右焦点的距离为 ．

x2y2⑷（2010年江西）点Ax0，y0在双曲线1的右支上，若点A到右焦点的距离等于

4322x0，则x0 ．

【解析】 ⑴ 8；⑵ 不存在⑶ 4．⑷ 2．

98

第9讲·教师版

由此例题可以引出非圆圆锥曲线的统一定义：

圆锥曲线上的点到焦点距离与到准线距离的比为常数，且该常数即为离心率e．如下图所示：

经典精讲

考点：椭圆、双曲线的第二定义与方程

【例4】 ⑴（2012年全国大纲卷理）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x4，则该椭圆的

方程为 ．

x2y2⑵（2009年北京）已知双曲线C：221（a,b0）的离心率为3，右准线方程为abx3，则双曲线的方程为 ． 3⑶（2010年四川）已知F2,0，定直线l：x距离的2倍．则点P的轨迹为 ．

1，动点P到点F的距离是它到直线l的2x2y2y2y222【解析】 ⑴1；⑵x1；⑶x1；

8423

考点：利用椭圆的第二定义构造相似三角形解过焦点的弦的相关问题

x2y2【例5】 ⑴（2011年四中高二期中）已知椭圆C：221（ab0）的左焦点为F1c,0．过

abπ点F1且倾斜角为的直线与椭圆相交所得的弦被F1分为2:1的两段，则椭圆C的离心率

3为 ．

第9讲·教师版

99

x2y2⑵已知A、B为过椭圆221（ab0）的左焦点F的直线与椭圆的交点，判断

ab11是否为定值，并说明理由． FAFBx2⑶已知椭圆C：y21的右焦点为F，右准线为l，点Al，线段AF交C于点B．若

2FA3FB，则AF ．

【解析】 ⑴

2． 3⑵ 如图，作椭圆的左准线，设直线AB与左准线交于点P，过A、F、B引左准线的垂线，垂足分别为M、Q、N，则

NQMAPFOxBy根据椭圆的第二定义，eAFAM BFBMPA FQPFBNPB∵△PMA∽△PQF∽△PNB，∴

AM

于是设AMm，BNn，FQp，PFt则

mpn tmettnett2tttt112取倒数ee，∴，即

mnpmpnmnpAFme，BFne，

11112a2b2c∴为定值，其中e，pc AFBFmeneepcca∴

112a为定值2． FAFBb【备注】该结论可以推广到对于椭圆、双曲线、抛物线均适用的

线的半通径长度．因此这个结论的文字叙述为：

112．事实上ep为圆锥曲 FAFBep圆锥曲线焦点分过焦点的弦所得的两条线段的调和平均数为半通径长度． 例如：

（2012年重庆理）过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若ABAFBF，则AF=

25，125． 6⑶ 2．

100

第9讲·教师版

9.3“第三定义”

知识梳理

【铺垫】（2011年湖北）平面内与两定点A1a,0、A2a,0（a0）连线的斜率之积等于非零常数

m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C的方程，

并讨论C的形状及离心率与m值的关系．

yy【解析】 设动点的坐标为x,y，那么m

xaxax2y22222221 ymxa，mxyma，2ama2当m0时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线，离心率为1m；

当1m0时，曲线C是焦点在x上的椭圆，离心率为1m； 当m1时，曲线C是圆；

当m1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，离心率为1ym<-1m=-1-101． mA1Ox

这个例题可以拓展出去，即A、B可以是坐标平面上关于原点对称的任意两点Ax0,y0、Bx0,y0，此时所得的轨迹中心为原点，对称轴与x、y轴平行．由此引出有心圆锥曲线的统一定

义：

x02y02x2y2b2当m0时，轨迹方程221（xx0），其中m2，221；

ababa222x02y02xyb当1m0时，轨迹方程为221（xx0），其中m2，221；

ababa222222当m1时，轨迹方程为xyr（xx0），其中x0y0r． 我们称此为有心圆锥曲线的第三定义．于是立即有

x2y2设A、B为椭圆221上关于原点对称的两点，P为椭圆上任意一点（P点的横坐标与A、B点

ab第9讲·教师版

101

b2的横坐标均不相同），则直线PA与直线PB连线的斜率乘积为定值2；

a22xy设A、B为双曲线221上关于原点对称的两点，P为双曲线上任意一点（P点的横坐标与A、Babb2点的横坐标均不相同），则直线PA与直线PB连线的斜率乘积为定值2．

a

经典精讲

考点：椭圆的第三定义 【例6】 ⑴

（2010年北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A1,1关于原点O对称，P是

1动点，且直线AP与BP的斜率之积等于．则动点P的轨迹方程为 ．

3x2⑵（2011年东城高三期末）设A、B分别为椭圆y21的左、右顶点，P为直线x44上不同于点4,0的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M．证明：△MBP为钝角三角形．

yPMAOBx

【解析】 ⑴ x23y24（x1）． ⑵ 只需要证明BMBP0即可．设点Mx,y，P4,m则 BMBPx2,y2,m2x4my …… ①

ym13，∴myx3 …… ② x223x将②代入①，有BMBP2x4x31

22由于M在椭圆上等价于kMAkMB由于x2，∴BMBP0，因此△MBP为钝角三角形．

x2y2【拓5】 （2009年海淀一模）椭圆方程为1，A、B为长轴端点，M为直线x2上任意一

42102

第9讲·教师版

点，连接AM交椭圆于P点．

⑴ 求证：OPOM为定值；

⑵ 是否存在x轴上的定点Q使得以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点．

yQAOPBxM

21【解析】 ⑴ 设M2,m，Px,y，则kAPkBP

42ym1于是，整理有my2x4．而OPOMmy2x4为定值

x242∴原命题成立．

⑵ 假设存在定点Q，设M2,m，Px,y，Qn,0则由以MP为直径的圆通过MQ与BP的交点有MQBP0．

∴n2,mx2,ynx2n2x4my0 ……①．

21my1而kAPkBP，于是，整理有my2x4 ……②

424x22将②代入①，有nx20，解得n0．

∴存在x轴上的定点Q0,0，使得以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点．

考点：双曲线的第三定义 【例7】 ⑴

已知点P在双曲线x2y2a2（a0）的右支上（P与A2不重合），A1、A2分别为双曲线的左、右顶点，且A2PA12PA1A2，则PA1A2（ ） A．30 B．27.5 C．25 D．22.5

x2y2⑵（2011年江西）Px0,y0（x0a）是双曲线E：221（a,b0）上一点，

ab1M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM、PN的斜率之积为，则双曲线的离心率

5为 ；

【解析】 ⑴ D．

⑵

30． 5第9讲·教师版

103

课后习题

x2 1、 设F1、F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两

4点，当四边形PFQF1PF2的值等于 ． 12的面积最大时，PF【解析】 2．

x2y2 2、 已知椭圆221的左焦点、右焦点分别为F1、F2，且椭圆上存在两点P、Q，使得

abF1PF2120，FQF1260，则椭圆离心率的取值范围为 ，△F1PF2的面积与

△F1QF2的面积之比为 ．

3,1【解析】 ，3:1． 2

y2 3、 设F1、F2分别是双曲线x1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且PF1PF20，

9则△PF1F2的面积为 ，PF1PF2 ．

2【解析】 9；210．

x2 4、 设F1、F2分别为椭圆y21的左、右焦点，点A、B在椭圆上．若F1A5F2B，则

3F1A ． 【解析】 3．

x2 5、 （2009年福建）已知椭圆C：y21的左、右顶点分别为A、B．点S是椭圆C上位

410于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线l：x分别交于M、N两点．求线段MN的长

3度的最小值．

yDSMAOBxN8【解析】 ．

3

104

第9讲·教师版

22

xy（ab0）的左、右顶点，P是椭圆上异于A、B的动点．试212ab证明：当P为椭圆的上顶点或下顶点时∠APB最大．

b2【解析】 设直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，则k1k22．

ab2k12k1k2ak1a2b2注意到APB为钝角，于是tan∠APB 2k12b21k1k2cak112ab于是当且仅当k1时∠APB最大，即原命题得证．

a 6、

已知A、B是椭圆

第9讲·教师版

105