双曲线复习题与解答

题目：1．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足条件|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是（ ）。

x2x2y2y2 （A）－＝1 (x≤－4) （B）－＝1(x≤－3)

916169x2x2y2y2 （C）－＝1 (x>≥4) （D）－＝1 (x≥3)

916169答案：D

y2x2题目：2．双曲线－＝1的渐近线方程是 ( )

39yyyyxxxx （A）±＝0 （B）±＝0 （C）±＝0 （D）±＝0

39396776答案：C

x2x2y2y2题目：3．双曲线－＝1与－＝k始终有相同的（ ）

4455 （A）焦点 （B）准线 （C）渐近线 （D）离心率 答案：C

xxy2题目：4．直线y＝x＋3与曲线=1的交点的个数是（ ） 44 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 答案：A

题目：5．双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是（ ）

（A）(1a, 0) , (－1a, 0) （B）(1a, 0), (－1a, 0)

（C）（－答案：C

a1a1a1a1, 0）,（, 0） （D）(－, 0), (, 0) aaaa

题目：6．一个动圆与两个圆x2＋y2=1和x2＋y2－8x＋12=0都外切，则动圆圆心的轨迹是（ ） （A）圆 （B）椭圆 (C)双曲线的一支 (D) 抛物线 答案：C

x2y2题目：7．设双曲线221(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a, 0)、(0, b)两点，已知原点

ab 1

3c，则双曲线的离心率是（ ） 423 （A）2 （B）3 （C）2 （D）

3答案：A

到直线l的距离是

题目：8．若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离是2，则a＋b的值为（ ）。 （A）－答案：B 提示：a2－b2=1,

1111 （B） （C）－或 （D）2或－2 2222|ab|2=2, 且a2>b2, a>0, 解得a＋b=

1 2x2y2题目：9．双曲线－＝1的离心率是 。

794答案：

3

y2x2题目：10．已知方程+=1表示双曲线，则k的取值范围是 。

3k2k答案：k<－3或k>2

y2x2题目：11．若双曲线2=1与圆x2＋y2=1没有公共点，则实数k的取值范围29k4k是 。 答案：|k|>

题目：12. 双曲线的轴在坐标轴上，虚半轴的长为1，离心率为曲线相切的直线方程。 答案：y=±

1 35，求经过点(0, 3)且与双210x＋3 2x25x22

提示：设双曲线的方程是2－y=1, 由e=,解得a=2, ∴双曲线的方程是－y2=1, 设

24a过点(0, 3)的直线方程是y－3=kx, 代入消去y得(1－4k2)x2－24kx－40=0, 由△=0解得k=±

1010, ∴直线方程是y=±x＋3 22

题目：13．经过点(0, 1)的直线l与圆x2＋y2=r2相切，与双曲线x2－2y2=r2有两个交点，判

2

断l能否过双曲线的右焦点？试求出此时l的方程；如果不能，请说明理由。 答案：当k=－2时满足条件

提示：设过点(0, 1)的直线方程是y=kx＋1, 与圆x2＋y2=r2相切，则k2r2=1－r2, 又直线y=kx＋1与双曲线x2－2y2=r2联立，代入消去y得(1－2k2)x2－4kx－2－r2=0, △>0, 双曲线的右焦点为(

632r, 0)在直线y=kx＋1上，代入得3k2r2=2,与k2r2=1－r2联立解得r=, k=2, 23 k=±2, 当k=－2时，满足条件，当k=2时(舍去)

题目：14. 双曲线的两个焦点分别是F1（0，－2），F2（0，2），点P（1，0）到此双曲线上的点的最近距离为答案：S△=33

提示：双曲线的中心为 (1, －1) , 半焦距c=2，设双曲线的方程是b2y2－a2x2=a2b2,其中a2＋

5，M是双曲线上的一点，已知∠F1MF2＝60°，求△F1MF2的面积。 255为半径作圆(x－1)2＋y2=,联立消去y，得(a2＋b2)x2－2b2x＋b2245－b2－a2b2=0, △=0,解得a=1, b2=3,∴双曲线的方程是3y2－x2=3, S△=b2ctg=33 42b2=4,以P(1, 0)为圆心，

x2y2题目：15. 曲线+=1所表示的图形是（ ）。

2sin3sin2（A）焦点在x轴上的椭圆 （B）焦点在y轴上的双曲线 （C）焦点在x轴上的双曲线 （D）焦点在y轴上的椭圆 答案：C

y22

题目：16. 双曲线4x－=1的渐近线方程是（ ）。

9213 （A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±6x

362答案：D

题目：17. 若双曲线与椭圆x2＋4y2=共焦点，它的一条渐近线方程是x＋3y=0，则此双曲线的标准方程只能是（ ）。

y2y2y2y2x2x2x2x2（A）－=1 （B）－=1 （C）－=±1 （D）－=±1

3612361236123612答案：A

提示：椭圆x2＋4y2=的焦点是F1(－43, 0), F2(43, 0), 设双曲线的方程是x2－3y2=k, ∴

y2x2kk＋=48, k=36, ∴双曲线的方程是－=1

36123

3

题目：18. 双曲线的两准线之间的距离是（ ）。

32，实轴长是8，则此双曲线的标准方程只能是5y2y2y2x2x2x2（A）－=1 （B）－=1与－=1

169916916y2y2y2x2x2x2（C）－=1 （D）－=1与－=1

169169169答案：D

y2y2x2x2a216提示：a=4, =, ∴c=5, b=3,∴双曲线的方程是－=1与－=1

169169c5

y2x2题目：19. 双曲线－=1的两条渐近线所夹的锐角是（ ）。

16255555 （A）arctg （B）π－arctg （C）2 arctg （D）π－2arctg

4444答案：D

55提示：a=4, b=5, tg=arctg, 而2arctg>, 两条直线的夹角应是直角或锐角，∴ α=π

24425－2arctg

4

题目：20. 若双曲线的两条准线间的距离等于它的半焦距，则双曲线的离心率为（ ）。 （A）2 （B）2 （C）1 （D）22 答案：A

题目：21. 以F(2, 0)为一个焦点，渐近线是y=±3x的双曲线方程是（ ）。

222222yyyxxx （A）x2－=1 （B）－y2=1 （C）－=1 （D）－=1

332332答案：A

y2x2题目：22. 方程－=1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）。

3mm2

（A）m<－2 （B）m>3 （C）m<－2或m>3 （D）－2y2x2题目：23. 和椭圆＋=1有共同焦点，且离心率为2的双曲线方程是（ ）。

259y2y2y2y2x2x2x2x2 （A）－=1 （B）－=1 （C）－=1（D）－=1

414412614612答案：B

4

x2y2题目：24. 设双曲线221(0ab3c，则双曲线的离心率为（ ）。 423 （A）2 （B）3 （C）2 （D）

3答案：A

到直线l的距离为

提示：直线l过(a, 0), (0, b)两点，∴直线的方程是bx＋ay－ab=0,

aba2b2=

3c, 将b2=c24－a2代入得16a4－16a2c2＋3c4=0, 解得e=2或e=e=

23,又b>a>0, ∴c2=a2＋b2>2a2, e>2, ∴323舍去，e=2 3y2x2题目：25. 双曲线－＋=1 的焦点坐标为 。

52答案：(0, ±7)

y2x2题目：26. 双曲线方程为－=1 ，则双曲线的渐近线方程为 。

236答案：y=±x

2

题目：27. 已知双曲线的渐近线方程为x±y=0，两顶点的距离为2，则双曲线的方程为 。 答案：x2－y2=±1

题目：28. 已知两点为A(－3, 0)与B(3, 0)，若｜PA｜－｜PB｜=2,则P点的轨迹方程为 。

y22答案：x－=1, x≥1 8提示：c=3, a=1, ｜PA｜－｜PB｜=2, ∴P点的轨迹是双曲线的一支

1题目：29. 双曲线的两准线间的距离是它的焦距的，则它的离心率为 。

3答案：e=3

y2x2题目：30. 若双曲线2－=1与圆x2＋y2=1没有公共点，则实数k的取值范围29k4k是 。

5

答案：k>

11或k<－ 33

题目：31. 双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段，则离心率e= 。 答案：e=3

题目：32. 中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(1, 3)的等轴双曲线的方程是 。 答案：y2－x2=8

题目：33. 中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为8，两条准线间的距离为是 。

32的双曲线方程5x2y2答案：1

169

x2y2x2y2题目：34. 设e1, e2分别是双曲线221和221的离心率，则e12+e22与e12·e22

abba的大小关系是 。

答案：e12+e22=e12·e22 提示：e12+e22=

题目：35. 求渐近线为y=±

c2c2c2(a2b2)c42==22= e12·e22 222abababx，且与直线5x－6y－8=0有且仅有一个公共点的双曲线方程。 2x2答案：－y2=1

4x2提示：设双曲线的方程是－y2=k，与直线5x－6y－8=0联立，代入消去y得4x2－20x＋

4x216＋9k=0, △=0,解得k=1, ∴双曲线的方程是－y2=1

4

题目：36. 已知倾斜角为的直线l被双曲线x2－4y2=60截得的弦长｜AB｜=82，求直

4线l的方程及以AB为直径的圆的方程。 答案：y=x±9, (x±12)2＋(y±3)2=32 提示：设直线的方程是y=x＋m, 与双曲线的方程x2－4y2=60联立，消去y得3x2＋8mx＋4m2

＋60=0, |AB|=2|x1－x2|=216m2720=82,解得m=±9, ∴直线l的方程是y=x±9,

9当m=9时, AB的中点是(12, 3),∴圆的方程是(x－12)2＋(y－3)2=32，同样当m=－9时，AB的中点是(－12, －3), 圆的方程是(x＋12)2＋(y＋3)2=32

6

题目：37. 已知P是曲线xy=1上的任意一点，F(2,2)为一定点，l：x+y－2=0为一定直线，求证：｜PF｜与点P到直线l的距离d之比等于2。 提示：设P(x, y), |PF|2=(x－2)2＋(y－2)2, P点到直线l的距离d=

|xy2|2, ∴

x222x2y222y2|PF|2=2=2, ∴｜PF｜与点P到直线l的距离d之比等于d2xy2222x22y2xy22。

题目：38. 双曲线mx2－2my2=4的一条准线是y=1,则m的值是（ ）。 （A）答案：D

题目：39. 离心率e=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的（ ）。

（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）不充分不必要条件 答案：C

3322 （B）－ （C） （D）－ 2233y2x2题目：40. 若双曲线－=1上一点P到它的右焦点的距离是8，则点P到双曲线的右

36准线的距离是（ ）。

32732 （A）10 （B） （C）27 （D）

75答案：D

55提示：a=8, b=6, c=10, e=, 点P到它的右焦点的距离与到双曲线的右准线的距离的比是，

44532∴ 8÷＝

45

题目：41. 若双曲线的两条渐近线方程是y=±之间的距离是（ ）。 （A）答案：A

3x，一个焦点是(26,0)，则它的两条准线282261826926

（B） （C） （D） 13131313

x2y22

提示：设双曲线的方程是=k, a=2k, b=3k, c=13k=26, k=2, 两条准线之间的49 7

a2826距离是2=

13c

x2y2题目：42. 若方程=1表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）。 m5m2 （A）m<－2或25 （D）m>5 答案：C

x2y2提示：∵方程=1表示双曲线，∴(m－5)(|m|－2)>0, 解得－25 m5m2

x2题目：43. 设F1和F2是双曲线 －y2=1 的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2

4＝90°，则△F1PF2的面积是（ ）。

5 （A）1 （B） （C）2 （D）5

2答案：A

提示：a=2, b=1, c=5, P(x, y)在圆x2＋y2=5上，|PF1|－|PF2|=4, |PF1|2＋|PF2|2=(25)2, 解得

1|PF1||PF2|=1 25y2x2题目：44. 已知双曲线的两个焦点是椭圆＋=1的两个顶点，双曲线的两条准线分别

1032通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（ ）。

y2y2y2y2x2x2x2x2 （A）－=1 （B）－=1 （C）－=1 （D）－=1

465335答案：A

5y2x2310310提示：椭圆＋=1的两个顶点是(10, 0), (－10, 0), 焦点是(－, 0), (,

103255y2x2a231022

0), 在双曲线中，c=10, =, a=6, b=4, ∴双曲线的方程是－=1

5c

题目：45. 已知|θ|<,直线y=－tgθ(x－1)和双曲线y2cos2θ－x2 =1有且仅有一个公共点，

2则θ等于（ ）。

5 （A）± （B）± （C）± （D）±

312答案：B

提示：将y=－tgθ(x－1)代入到双曲线y2cos2θ－x2 =1中，化简得cos2θx2＋2xsin2θ＋cos2

θ=0, △=0,解得sinθ=±cosθ, ∴θ=±

4

|PF1||PF2|=2, △F1PF2的面积S△=

8

x2y2题目：46. 双曲线方程为221，它的焦点到与此焦点较近的准线的距离是（ ）。

ab2a22b2b2a2 （A） （B） （C） （D）

cccc答案：D

a2b2提示：双曲线的焦点到与此焦点较近的准线的距离是c－=

cc

题目：47. 双曲线实轴长为2a，过F1的动弦AB长为b，F2为另一焦点，则△AB F2的周长为（ ）。

（A）4a＋b （B）4a＋2b （C）4a－b （D）4a－2b 答案：B

提示：|AF2|－|AF1|=2a, |BF2|－|BF1|=2a, |AB|=b,∴ |AF2|＋|AB|＋|BF2|=4a＋|AF1|＋|AF2|＋|AB|=4a＋2b

yx题目：48. 渐近线是±=0，且经过P(62, 8)的双曲线方程是 。

34x2y2答案：1

36

y2x25题目：49. 和椭圆＋=1有公共的焦点，离心率e=的双曲线方程是 。

942x2答案：－y2=1

4提示：双曲线中, c2=5, ∴a=2, b=1

题目：50. 双曲线x2－y2=1的右支上到直线y=x的距离为2的点的坐标是 。 答案：(

53, －) 44|xy|2=2, |x－y|=2, 又x2－y2=1,解得

提示：设双曲线的右支上的点为P(x, y), x>0, 则

x=

53, y=－ 44

题目：51. 双曲线的实轴长为2a，F1, F2是它的两个焦点，弦AB经过点F1，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，则|AB|＝ 。 答案：4a 提示：|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，则2|AB|=|AF2|＋|BF2|，又|AF2|－|AF1|=2a, |BF2|－|BF1|=2a, ∴4a=|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|=|AF2|＋|BF2|－|AB|=|AB|

题目：52. 实、虚轴之和为28，焦距为20的双曲线方程为 。

9

y2x2x2y2答案：1, 1

3636提示：a＋b=14, c2=a2＋b2=100,解得a=6, b=8,或a=8, b=6

题目：53. 双曲线的离心率为2，则它的两条渐近线的夹角为 。 答案：60°

提示：e=2, c=2a, b=3a, tg=3, α=120°, 两条直线的夹角为锐角，∴θ=60°

2

y2x2题目：54. 双曲线－=1的共轭双曲线的准线方程是 。

3447答案：x=±

7y2y2x2x247提示：双曲线－=1的共轭双曲线－=1, a2=4, c2=7, 准线方程是x=±

34437

x2y2题目：55. 双曲线221，渐近线与实轴夹角为α，那么通过焦点垂直于实轴的弦长

ab为 。

答案：2btgα

b2提示：过焦点垂直于实轴的弦为x=c, 与双曲线的交点坐标是(c, ±), ∴弦长

ab=2b·=2btgα

a题目：56. P是双曲线x2－y2=16的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝ 。 答案：－8

32题目：57. 双曲线的两条准线间的距离为,虚轴长是6，则此双曲线的标准方程是 。

5y2y2x2x2答案：－=1, －=1

169169

题目：58. 在双曲线y2－x2=1的共轭双曲线上找一点P，使它与两个焦点的连线互相垂直。

6262答案：(, ±), (－, ±)

2222提示：双曲线y2－x2=1的共轭双曲线是x2－y2=1, 联立方程组x2－y2=1与x2＋y2=2, 解得，

62x=±, y=±

22

题目：59. 实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0的系数a、b、c恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距，且此二次方程无实根，求双曲线离心率e的范围。

答案：110

提示：一元二次方程ax2＋bx＋c=0无实根, △<0, b2－4ac<0, c2－a2－4ac<0, 又e>1, 解得1y2x2题目：60. 过双曲线－=1的左焦点F1，作倾斜角为α＝的直线与双曲线交于两点

91A、B，求|AB|的长。

192答案：

7y2x2提示：双曲线－=1的左焦点F1(－5, 0), 直线的斜率为k=1, 设直线的方程是y=x＋

916y2x21925, 与双曲线－=1联立，消去y得7x2－90x－369=0, 代入弦长公式得|AB|=

9167

11