双曲线的离心率

x2y241．已知双曲线221（a0，b0）的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（ ）

ab3x2y22．过双曲线221(a0,b0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有

ab一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

x2y2a2223．过双曲线221（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆xy的切线，切点为E，延长FE

4ab交双曲线右支于点P，若OP2OEOF，则双曲线的离心率为（ ）

x2y24．若点P(2,0)到双曲线221(a0,b0)的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（ ）

abx2y25．已知F1,F2是双曲线221(a0,b0)的两焦点，以点F1为直角顶点作等腰直角三角形MF1F2，若边

abMF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是

x2y26．如图，F1、F2是双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于

ab点A、B．若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为

7．当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”．则离心率为3的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为

x2y28．已知点P是双曲线221,a0,b0 右支上一点， F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点，I为PF1F2

ab的内心，若SIPF1SIPF21SIF1F2成立，则双曲线的离心率为（ ） 222xyF,F9．已知12分别是双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦点，O为坐标原点，P为双曲线右支上的abPF1 与以F2为圆心，OF为半径的圆相切于点Q，1的中点，一点，且Q 恰好是PF则双曲线C的离心率为（ ） 2x2y210．已知双曲线221a0,b0的渐近线与实轴的夹角为30，则双曲线的离心率为（ ）

abx2y211．已知A是双曲线221(a0,b0)的左顶点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，

abG是PF1F2的重心，若GAPF1，则双曲线的离心率为

x2y212．双曲线221（a0，b0）的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两

ab点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2（ ）

y2x2213．设双曲线221(a0,b0)的渐近线与抛物线yx1相切，则该双曲线的离心率等于( )

abx2y214．设双曲线C：221a0,b0的离心率为e，右顶点为A，点Q3a,0，若C上存在一点P，使得

abx2y2APPQ，则15．过双曲线221(a0,b0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条

ab渐近线的交点分别为B， C．若2ABBC，则双曲线的离心率是（ ）

x2y2|OF1|16．已知F1、F2分别是双曲线C:221的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，

ab为半径的圆上，则双曲线C的离心率为

x2y217．设F1、F2分别为双曲线221(a0，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1||PF2|3b，b0)的左、

ab|PF1||PF2|9ab，则该双曲线的离心率为（ ） 4x2y21上一点，满足PF1PF2，且PF12PF2，则此双曲线的离心22ab18．若点P是以F1,F2为焦点的双曲线率为 ．

222xyy2px(p0)19．已知F为抛物线的焦点，抛物线的准线与双曲线221(a0,b0)的两条渐近线分别交ab于A、B两点．若AFB为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．

x2y21与双曲线C2的公共焦点，A,B分别是C1,C2在第二，第四象限的公共点，20．如图，F1,F2是椭圆C1:4x2y2x2y2若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 ．21．双曲线C1:221与双曲线C2:221的离

abab心率分别为e1和e2，则

112 ． e12e222．已知双曲线的左焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有

一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是________．

x2y223．设F1、F2分别为双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使

abPF1PF20,且F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为 ．

参

1．A 【解析】

b25b4试题分析：由渐近线方程得，e12．故选A．

a3a3考点：求双曲线的离心率． 2．D 【解析】

c2a2c2b9，所以5210，即5e10． 试题分析：由题意23，即42aaa考点：双曲线的性质．

【方法点晴】在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e=是一个比值，故只需根据条件得到

2

2

2

关于a，b，c的一个关系式，利用b=c-a消去b，然后变形求e，并且需注意e>1． 3．C 【解析】

试题分析：由OP2OEOF得OE1(OPOF)，所以E是FP的中点，设F2是右焦2点，则O是FF2的中点，所以OE//F2P，又E切点，即OEFP，所以F2PPF，

PF22OEa，点P双曲线上，故PFPF22a，所以PF3a，于是由

PFPF222c210c10，故选C． FF2有(3a)a(2c)，得2，即ea2a42222考点：双曲线的几何性质． 4．A 【解析】

x2y22b试题分析：双曲线221的一条渐近线为bxay0，由题意2，化简22abab得ab，所以cab2a，e22c2，故选A． a考点：双曲线的性质． 5．A 【解析】

2b2c2aca20 试题分析：由等腰直角三角形MF1F2得F1F2MF12cae2e10 e51 2考点：双曲线方程及性质 6．B 【解析】

试题分析：因为ABF2为等边三角形，不妨设ABBF2AF2m，A为双曲线上一点，

F1AF2AF1AABF1B2a，B为双曲线上一点，则

BF2BF12a,BF24a,F1F22c，由ABF260，则F1BF2120，在F1BF2中

22222应用余弦定理得：4c4a16a22a4acos120，得c7a，则

e27e7．

考点：双曲线的简单性质 7．D 【解析】

x2y2试题分析：不妨设双曲线的标准方程为221a0,b0，则其“伴生椭圆”的方

abx2y2程为221．

abb2cb2312，解得22，所以其“伴生椭圆”的离心率

aaaa22；故选D． e12b2考点：双曲线的简单性质 8．C 【解析】

试题分析：如图，设圆I与PF1F2的三边F1F2,PF1,PF2分别相切于点E,F,G，连接

IE,IF,IG，则IEF1F2,IFPF1,IGPF2，它们分别是IF1F2,IPF1,IPF2的高，

1r1rPFIFPF,SPFIGPF2,IPF111IPF2222221rSIF2F1F2F1IEF2F1，其中r是PF1F2的内切圆的半

22r1rrr径．SIPF1SIPF2SIF1F2，PF1PF2F1F2，两边约去得：

2222411PF1PF2F1F2，根据双曲线定义，得PF1PF22a,F1F2c,2ac，所

22c以离心率为e2，故选C．

aS

考点：双曲线的离心率

【思路点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下五种情况①，直接求出a,c，从而求出e②构造a,c的齐次式，求出e③采用离心率的定义以及椭圆的定义来求解④根据圆锥曲线的统一定义求解⑤构建关于e的不等式，解出e的取值范围。本题中，根据题设条件I为PF1F2 的内心，又SIPF1SIPF2立关于焦半径和焦距的关系。从而找出a,c之间的关系，求出离心率e。 9．A 【解析】

1的中点，连接试题分析：由题意OF2为半径的圆相切于点Q，且Q 恰好是PF1SIF1F2，可以建2F2Q,则F2QPF1，PF2F1F22c,PQQF2,P为双曲线右支上的一点，所以PF1PF22a,即PF12c+2a2212，

2F1Qc+a22,在直角三角形

22a2ac2c0,式子的两端F1QF2,QF2QFF1F2,(ac)c(2c)，化简得22e2e10,解得e13，又因为e1,e13，所以应选A．同乘以a，可得

222考点：双曲线的离心率 10．C 【解析】

试题分析：渐近线方程为ybx．由于渐近线与实轴夹角为30，所以ab223b3tan30，所以e1()，故选C．

a3a3考点：离心率计算问题． 11．B 【解析】

GA//PF1，又因为G是PF1F2的重心，所以试题分析：若GAPF1,所以

OAOG1a1c，所以,e3，故选B．

c3aOF1OP3

1082PGO5F21015F115105A246 考点：1．双曲线的几何性质；2．三角形重心的性质． 12．C 【解析】

试题分析：由双曲线的定义可得AF1AF22a,BF1BF22a，两式相加可得

AF1BF1AB4a，因为AF1AB，所以BF14a，代入BF1BF22a可得BF22a．

因为A90，BF1AB22a，AF2ABBF22a14a所以AF21．

所以4cF1F222AF1AF222c2 20a82a，所以e2522．故C正确．

a222考点：双曲线的定义． 13．A 【解析】

试题分析：由题知：双曲线的渐近线为 yaax，所以其中一条渐近线可以为 yx，bb又因为渐近线与抛物线只有一个交点，所以 xx21只有一个解

aba所以  40a24b2b考点：双曲线的简单性质 14．A 【解析】

2c2a2b25b2c5be5 2试题分析：根据题意可知，点P在以(2a,0)为圆心，以a为半径的圆上，可以得到圆的方程为(x2a)ya，该题可转化为圆与双曲线有除右顶点以外的公共点，即方程组

222x2y22b1222有解，联立消元得(12)x4ax3ab0，其中一个根为a2b2a(x2a)2y2a23a2b23a2b2xa，另一个根为，根据题意可知(a,3a)，整理得a2b2，即22bbaaaaa2c2a2，从而解得e2，结合双曲线的离心率的取值范围，可知e(1,2)，故选

A.

考点：双曲线的离心率. 15．C 【解析】

试题分析：过右顶点A斜率为1的直线为yxa，与渐近线ybx联立可得aa2a2ababbB,C,，与渐近线联立可得yx，由2ABBC可得

aababababa2a2a22a，整理得b2ae5 ababab考点：1．双曲线方程与性质；2．直线方程；3．向量的坐标运算 16．B 【解析】

试题分析：由题意得， 双曲线的渐近线方程为，到渐近线

的距离；关于渐近线的对称点为，与与渐近线交于点，可得；

而为的中点，为

，即

的中点，所以

，而

，所以

，可得

；在三角形中，

，所以离心率

．选B．

考点：双曲线的标准方程与几何性质．相关知识点：点到线的距离；双曲线

，离心率，．

【思路点睛】首先设出点F2的坐标（c，0），然后作出其关于渐近线的对称点A，连接F1A（如上图）．易得F1A∥OB，且F1A=2BO．然后可求出点F2到渐近线的距离为b，OB=a，所以F1A=2a，AF2=2b，同时可得，F1AAF2，最后由勾股定理即可求出b，c的关系，进而求出离心率． 17．B 【解析】

试题分析：由双曲线定义根据点P为双曲线上一点，所以

PF1PF22a，又

|PF1||PF2|3b，所以

|PF1||PF2|PF1PF22PF1PF224PF1PF2又因为

b19b4ab223（舍）4，所以有9b4a9ab解得a3或a，所以

c2b2255e212eaa9，即3，故选择B

2考点：双曲线性质

18．5 【解析】

试题分析：由双曲线的定义可知PF1PF22PF2PF2PF22a,

PF1PF2,PF1PF2F1F2,即5PF24c2．

222252a4c2,5ac,e2c5． a考点：1双曲线的定义；2双曲线的离心率．

19．5 【解析】

试题分析：抛物线的准线方程为x（-pbp）， ,22apb，双曲线的渐近线方程为yx,则交点A2aB（-pbpbpb）．所以要使AFB为直角三角形，根据对称性有,p2,所以

22a2aabe1()25．

a考点：求双曲线的离心率。

cb2【方法点睛】对于求双曲线的离心率问题，因e,e12,所以只需找到a,c或a,b

aa的关系即可，因此只需题中提供一个等量关系式即可，不需求出a,c,b的具体的值。如本题中AFB为直角三角形，根据对称性即为心率。

bpp，从而求出a,b的一个关系，进而求出离2a20．

6． 2【解析】

AF1AF22a42(AFAF)8AF2AF122，试题分析：由题意，21222AF1AF24c12∴C2的离心率e326． 2考点：椭圆、双曲线的标准方程及其性质．

21．1 【解析】

a2b2a2b2y2x2e1,e2,C2:22122abba试题分析：由题意得：，所以11a2b22222212e1e2abab

考点：双曲线离心率

22．【解析】

试题分析：设直线方程为代入双曲线方程得，

．依题意知，方程应有一正根一负根，所以两根之积

小于零即,∴,故．

考点：求离心率范围． 23．5 【解析】

试题分析：根据题意可得

PF1PF2,PF1PF2,F1F2PF1PF2

因为三角形的三边长构成等差数列，所以有定义可知，

2PF1F1F2PF22cPF①，又双曲线的

PF1PF22a即

PF1PF22aPF1PF2，②．联立①②可得

PF12c2a,PF22c4a,因为，所以

PF21PF22F1F22,即

2c2a2c4a224c222，整理可得c6ac5a0解得e5

考点：双曲线性质