2014年广西南宁市中考数学试卷及答案(简明答案版)

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分120分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共36分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1. 如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作 ( )

(A)-3m (B)3 m (C)6 m (D) -6 m

2. 下列图形中，是轴对称图形的是 ( )

（A） （B） （C） （D）

3. 南宁东高铁火车站位于南宁市青秀区凤岭北路，火车站总建筑面积约为267000平方米，

其中数据267000用科学记数法表示为 ( ) （A）26.7×10 （B）2.67×10 （C）2.67×10 （D）0.267×10 4. 要使二次根式

4456x2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ( )

（A）x＞2 （B）x≥2 （C）x＞2 （D）x≥2 5. 下列运算正确的是 ( ) （A）a·a= a （B）x2=x （C）m÷m=m （D）6a-4a=2 6. 在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图1所示，若油面的宽

AB=160cm，则油的最大深度为 ( ) （A）40cm （B）60cm （C）80cm （D）100cm 7. 数据1，2，4，0，5，3，5的中位数和众数分别是 ( ) （A）3和2 （B）3和3 （C）0和5 （D）3和5

8. 如图2所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB

三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是 ( )

23636623

图2

（A）正三角形 （B）正方形 （C）正五边形 （D）正六边形 9. “黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千

克部分的种子的价格打6折，设购买种子数量为x千克，付款金额y为元，则y与x的函数关系的图像大致是 ( )

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（A） （B） （C） （D）

210. 如图3，已知二次函数y =x2x，当1而增大，则实数a的取值范围是 ( ) （A）a>1 （B）10 （D）1ABCD 中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF : BC=1 : 2，连

接DF，EC.若AB=5，AD=8，sinB=

4，则DF的长等于 ( ) 5 （A）10 （B）15 （C）17 （D）25 12. 已知点A在双曲线y2上，点B在直线yx4上，且A，B两点关于y轴对称，xmn设点A的坐标为（m，n），则+的值是 ( )

nm （A）-10 （B）-8 （C）6 （D）4

第Ⅱ卷（非选择题，共84分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13. 比较大小： 5 3（填“>”“<”或“=”）.

14. 如图5，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是 °. 15. 因式分解：2a26a= .

16. 第45届世界体操锦标赛将于2014年10月3日至12日在南宁市隆重举行，届时某校将

从小记者团内负责体育赛事报道的3名同学（2男1女）中任选2名前往采访，那么选出的2名同学恰好是一男一女的概率是 .

17. 如图6，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°

的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30° 的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于 海里. 18. 如图7，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点

O为圆心的圆分别与AC，BC相切与点E，F， 与AB 分别交于点 G，H，且 EH 的延长线和 CB 的延长线交于点D，则 CD 的长 为 .

三、（本大题共2小题，每小题满分6分，共12分）

19. 计算：14sin45328

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20. 解方程：

x21 2x2x4四、（本大题共2小题，每小题满分8分，共16分）

21. 如图8，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），

B（4，2），C（3，4）.

(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到

的△A1B1C1；

(2) 请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2； 图8

(3) 在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出．．．．P的坐标.

22. 考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试. 某校对该校

九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类，学校收集整理数据后，绘制了图91和图92两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： (1) 这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？ (2) 请补全条形统计图；

(3) 请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；

(4) 根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”的减压方式的人数.

图9-1 图9-2

五、（本大题满分8分）

23. 如图10，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB

交于点G.

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(1) 求证：△ADE≌△CFE；

(2) 若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长.

图10

六、（本大题满分10分）

24.“保护好环境，拒绝冒黑烟”.某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，

计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆. 若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元. (1) 求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？

(2) 预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人

次. 若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案的总费用最少？最少总费用是多少？

七、（本大题满分10分）

25. 如图111，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，

AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC. (1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由； (2) 求证：∠ACF=90°；

(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图112. 若EC=4，∠CEF=15°，求 AE 的长.

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八、（本大题满分10分）

26. 在平面直角坐标系中, 抛物线yx+k1xk与直线ykx1交于A, B两点，点

A在点B的左侧.

(1) 如图121，当k1时，直接写出．．．．A，B两点的坐标；

2(2) 在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面

积的最大值及此时点P的坐标；

2(3) 如图122，抛物线yx+ k1xkk0与x轴交于C，D两点（点C在点D

的左侧）.在直线ykx1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请

求出此时k的值；若不存在，请说明理由.

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2014年南宁市初中毕业升学考试数学试卷答案

选择题+填空题（每小题3分，共54分） 选择 填空 1 A 13 2 D 3 C 14 4 D 5 B 15 6 A 7 D 16 8 A 9 B 17 10 B 11 C 18 12 A ＜ 60° 2a(a3) 2 3103 (12)a 2©海壁教育——南宁中考数学领军品牌 咨询电话：400-070-2005 解析： 8. 答案：A

【海壁分析】这道题非常新颖，让人眼前一亮。其实，在考场里面拿张草稿纸试一试，是最．．．．．．．．．．．．．．．．简单的方法．．．．．。这个题目告诉我们，实践出真知。数学不仅仅需要动脑，也很需要动手。海壁教育向出题人致敬！

12. 答案：A

解答：∵A点的作标为（m，n)，A，B两点关于y轴对称。∴点B 的坐标为(-m，n)

∵点A在双曲线y22上 ∴n= ∴mn=2

mx∵点B在直线yx4上 ∴n=-m-4 ∴n+m=-4

mnm2n2(mn)22nm∴+===－10 nmnmnm【海壁分析】 此题相较以往的南宁中考压轴题，并不算难。解题的关键在于将A、B点的坐标通过m和n表示出来，代入各自的解析式中，再得到m和n的关系式，然后，对进行变形以配合刚才得到的关系式。变形的时候运用到了非常常用的配方的技巧。

18. 答案：

mn+nm(12)a 2解答：连结OE，OF。∵AC、BC与圆O相切与点E，F，∴∠OEA=90°，∠OFC=90°

又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB =90°，∠CBA=∠CAB=45°，AB=2a ∵∠CBA=∠CAB=45°，且∠OEA=∠OFC=90°，OE=OF

∴△AOE和△BOF都是等腰直角三角形，且△AOE≌△BOF。∴AE=OE，AO=BO

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∵OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠ACB =90°∴四边形OEFC是正方形。∴OE=EC=AE=

a 2∵OE=OF，∴OA=OB=

1a2a(2-1)aAB=。OH=，BH= 2222∵∠ACB=∠OEA =90°。∴OE∥DC，∴∠OED=∠EDC ∵OE=OH，∠OHE=∠OED=∠DHB=∠EDC，∴BD=BH=

(2-1)a 2∴CD=BC+BH=

(12)a 2【海壁分析】原题可转化为求DB的长度。DB所在的△BDH（BD=BH）（或证明△OEH∽△BDH亦可）是解题的突破口。所以，辅助线OE成为解题的入口。2013年，南宁中考的填空压轴题是等边三角形与内切圆，2014年，又出此题。是否意味着“圆与直角三角形”已经取代“找规律”，成为南宁中考填空压轴首选？

计算题+图像题+几何题+应用题（19、20题6分，21、22、23题8分）

19. 原式＝1－4×

2+3+22= 4 220. 答案：去分母得：x(x2)2(x2)(x2)

化简得：2x＝－2，求得x＝－１ 经检验：x＝－１是原方程的解 ∴ 原方程的解是X=－１

21.答案：（1）△A1B1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示；

（3）△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）

【海壁分析】要使△PAB的周长最小，因为AB的长是固定的，一般转化为求“两条直线之和最小值”。这是海壁总结的三种最常见最值问题其中之一。主要方法是作线段某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与线段另一点。

22. 答案 (1)8÷16%= 50（名）

(2) 体育活动人数：50-8-10-12-5=15（名）（补全条形统计图如图所示）

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(3) 360°×（10÷50）=72° (4) 500×（12÷50）=120（名） 答：略

23.答案：(1) ∵ AB∥FC，∴∠ADE=∠CFE

又∵∠AED=∠CEF，DE=FE ∴ △ADE≌△CFE（ASA）

(2) ∵ △ADE≌△CFE，∴ AD=CF

∵ AB∥FC，∴∠GBD＝∠GCF，∠GDB＝∠GFC ∴ △ GBD∽△GCF（AA） ∴

GBBD GCCF又因为GB＝2，BC＝4，BD＝1，代入得：CF＝3 = AD ∴ AB＝AD+BD = 3+1 =

【海壁分析】简单的几何证明题每年都有，一般会以四边形为基础，利用三角形全等和相似的知识证明和计算。第一小题一般为证明题，第二小题一般为计算题。这类题相对简单，必须拿分。

24. 答案：（1）设购买每辆A型公交车x万元，购买每辆B型公交车每辆y万元，依题意列方程得，

4

x2y400，解得x100

2xy350y150 （2）设购买x辆A型公交车，则购买（10-x）辆B型公交车，依题意列不等式组得，

100x150(10x)1200 60x80(10x)680解得 6x8

有三种方案 （一） 购买A型公交车6辆，B型公交车4辆 （二） 购买A型公交车7辆，B型公交车3辆 （三） 购买A型公交车8辆，B型公交车2辆

因A型公交车较便宜，故购买A型车数量最多时，总费用最少，即第三种购车方案

最少费用为：8100+1502=1100（万元）

答：略

【海壁分析】南宁中考数学每年都会有一道与实际结合的应用题，相较2010年（二元一次方程组和

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不等式），2011年（反比例函数和不等式），2012年（反比例函数和分式方程），2013年（含图像的一次函数及不等式）。今年的题目更加简单。海壁老师拿给备战期考的初一学生做，都能轻易做出来。

七、（本大题满分10分）

25. 答案：（1）BE=FH。理由如下：

∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90，

∵FHBC ∴∠FHE=90

又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF=90° 且∠BAE+∠AEB=90° ∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF ∴ △ABE≌△EHF（SAS）

∴BE=FH

(2)∵△ABE≌△EHF ∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE=CH ∴CH=FH ∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45° ∵AC是正方形对角线，∴ ∠ACD=45°

∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°

（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形

△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上。设该中点为O。连结EO，得∠AOE=90°

过E作EN⊥AC于点N

RT△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=22 RT△ENA中，EN =22

又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30° ∴AE=42

RT△AFE中，AE=42= EF，∴AF=8

所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90° AE

AE=2π·4·（90°÷360°）=

2π

考点：正方形；等腰直角三角形；三角形全等；三角形的外接圆；等弧对等角，三角函数；弧长的计算。（初二上-全等三角形，轴对称，初二下-四边形，勾股定理；初三上-圆；初三下-三角函数） 【海壁分析】这道题前两小问考到了一个非常常见的几何模型“倒挂的直角”（在2012年压轴题中也出现过），在海壁的课堂中，给参加中考的学生讲过不下5次，这个模型经常用于全等和相似的证明。在这里，用到了三角形全等中。第三小问有一定的难度和综合性，关键是找出弧AE所对应的圆的半径和圆心角。结合第一、二小题的结论（在难题中，第一二小题的结论或次生结论往往是第三小题最重要的条件），所对应的圆是等腰直角△AEF的外接圆。圆心角不难找出，关键就是如何让EC=4与圆的半径结合起来，在这里，我们做了EN这条辅助线。（海壁教育认为，几何的难点无外乎两点：1、做辅助线，2、设x列方程）

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八、（本大题满分10分）

26. 答案：（1）A(-1,0)

，B(2,3)

2yx1，解可得 【解答，无需写】当k=1时，列yx1（2）平移直线AB得到直线L，当L与抛物线只有一个交点时，△ABP面积最大【如图12-1（1）】

设直线L解析式为：yxk ，

2yx1，得x2-x-（k+1）=0 根据yxk判别式△14(k1)0，解得，k代入原方程中，得xx25 41130；解得，x， y 424∴P（1,3）

24易求，AB交y轴于M（0，1），直线L交轴y于G（0，）

过M作MN⊥直线L于N，∵OM=1，OA=1，∴∠AMO=45° ∵∠AMN=90，∴∠NMO=45° 在RT△MNE中，∠NMO=45°，MG=∴ MN=

9，【如图12-1（2）】 492，MN即为△ABP的高 8由两点间距离公式，求得：AB=32

1927故△ABP最大面积s=×32×2=

288（3）设在直线ykx1上存在唯一一点Q使得∠OQC=90° 则点Q为以OC的中点E为圆心，OC为直径形成的圆E与直线 ykx1相切时的切点【如图12-2（1）】

由解析式可知：C（k,0），OC=k，则圆E的半径：OE=CE=设直线ykx1与x、y轴交于H点和F点，与， 则F（0,1），∴OF=1 则H（∴ EH=

k=QE 211,0）， ∴OH =

kk1k k2

FOHEQH90∵AB为切线 ∴EQ⊥AB，∠EQH=90°

FHOEHQ在△FOH和△EQH中 ∴△FOH∽△EQH ∴

1k1FOEQ ∴ 1：=：QH，∴QH =

k22HOHQ南宁数学中考领军品牌“海壁教育”专业提供 第10页（共11页）

在RT△EQH中，EH=

221k1k，QH =，QE =，根据勾股定理得，

22k22k11k += 22k2求得k25 5【海壁分析】延续了南宁市一贯的出题风格，本次考试的压轴题选择了二次函数综合题。 第一小题考查了二次函数与一次函数的交点（以前一般是求解析式），并不难，数学等级在B以上的都应该拿分，而且这个分比拿选择、填空最后一题的分要容易的多，看到很多同学不做，我们感到十分可惜。

第二小题也没有出乎我们的预料，命题者选择了三种最值问题中的第二种，重点考察是否了解通过平行线求最值的思路。在海壁的课堂上，这种题型我们做过专题的分析，我相信参加中考的海壁同学都能拿分。其实，求出P点以后，用点线距公式来解更加简单。

最后一小题，据我们了解，得分的不多，跪的多，第一难在理解，“是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”，这句话让很多人彻底凌乱，很少人能联想到圆的切点。第二，这个题和其他的“存在问题”又有不同，一般的存在问题是通过设点的坐标来表示线段的长度，而这道题却是用已经存在的参数k来表示线段的长度，这又是一点区别，第三，答案的得数是一个无理数，含有根号，这样就会让计算难度增大极多。综上，海壁教育认为，第三小问在南宁能答对的人不会超过千分之一。

海壁预测，2015年，整套试卷的题目难度会降低，最后一题重点复习“动点问题”。

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