2018届山东省齐鲁名校联考高考数学二模试卷(理科)Word版含解析

（理科数学）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．复数z满足z（2+i）=1+3i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．集合A． B．

3．某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是（ ）

，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B为（ ）

A．130 B．140 C．133 D．137

4．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（ ）

A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+12

5．变量x，y满足约束条件则目标函数z=3|x|+|y﹣3|的取值范围是（ ）

A． B．[，6] C． D．

6．已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，下面四个结论：①若l⊥α，则l⊥m；②若l∥α，则l∥m；③若l⊥m，则l⊥α；④若l∥m，则l∥α，其中正确的是（ ） A．①②④ B．③④ C．②③ D．①④

7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜式为（ ）

）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析

A．C．

B． D．

8．已知f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）（ ） A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值 C．有最小值﹣1，无最大值

D．有最大值﹣1，无最小值

9．已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则的取值范围（ ） A．（﹣1，0） B．10．已知函数

C．

D．（﹣2，+∞）

2

，若函数y=f（x）+f（k﹣x）有两个零点，

则实数k的取值范围是（ ） A．

二、填空题：本题共5小题，每题5分，共25分 11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ．

B．

C．

D．

12．在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为 ．

2

2

13．已知直线ax﹣2by=2（a＞0，b＞0）过圆x+y﹣4x+2y+1=0的圆心，则14．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为 ．

的最小值为 ．

图

15．设函数f（x）=，则满足f（f（t））=2

f（t）

的t的取值范围是 ．

三．解答题（共6小题共75分，） 16．（12分）已知向量

（1）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的最大值；

（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=1，a=2的最大值．

，求三角形ABC面积

，

，f（x）=

．

17．（12分）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元． （Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；

（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．

18．（12分）圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧

于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．

（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD；

（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．

19．（12分）已知在数列{an}中，a1=1，其前n项和为sn，且（n≥2）

（1）证明是等差数列，并求数列的前n项和Pn

（2）若

20．（13分）已知函数

求数列的前项和Tn．

，对任意实数x＞0，都有成立．

（Ⅰ）对任意实数x≥1，函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求证：

，n≥2，n∈N+．

21．（14分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点在椭圆C上，

满足•=．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x=1交于点K（K介于M，N两点之间）． （ⅰ）求证：|PM|•|KN|=|PN|•|KM|；

（ⅱ）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．

2018届山东省齐鲁名校联考高考数学二模试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．复数z满足z（2+i）=1+3i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由z（2+i）=1+3i， 得

，

则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（1，1），位于第一象限． 故选：A．

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题的计算题． 2．集合，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B为（ ）

A． B．

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】分别求解分式不等式与一次不等式化简化简集合A，B，再由交集运算得答案．【解答】解：由0，得

，即﹣2≤x＜2．

∴集合

={x|﹣2≤x＜2}，

又B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}， ∴A∩B={x|1≤x＜2}= C． D． 【考点】7D：简单线性规划的应用．

【分析】确定不等式表示的区域，化简目标函数，利用图象即可求得结论．

【解答】解：不等式表示的区域如图所示，三个交点坐标分别为（0，1），（，3），（目标函数z=3|x|+|y﹣3|=3x﹣y+3，即y=﹣3x+z﹣3，

2，0） ∴目标函数过（2，0）时，取得最大值为9，过（，3）时，取得最小值为 ∴目标函数z=3|x|+|y﹣3|的取值范围是故选A．

【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．

6．已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，下面四个结论：①若l⊥α，则l⊥m；②若l∥α，则l∥m；③若l⊥m，则l⊥α；④若l∥m，则l∥α，其中正确的是（ ） A．①②④ B．③④ C．②③ D．①④

【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．

【分析】在①中，由线面垂直的性质定理得l⊥m；在②中，l与m平行或异面；在③中，l与α不一定垂直；在④中，由线面平行的判定定理得l∥α． 【解答】解：由直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，知：

在①中，若l⊥α，则由线面垂直的性质定理得l⊥m，故①正确； 在②中，若l∥α，则l与m平行或异面，故②错误； 在③中，若l⊥m，则l与α不一定垂直，故③错误；

在④中，若l∥m，则由线面平行的判定定理得l∥α，故④正确． 故选：D．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．

7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析

式为（ ）

A．

D．

B．

C．

【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=的解析式．

【解答】解：由题意可知A=2，T=4（因为：当x=

时取得最大值2，

+φ），

，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣

，k∈Z，

﹣

）=π，ω=2，

时取得最大值2，求出φ，即可得到函数

所以：2=2sin（2×所以：2×因为：|φ|＜

+φ=2kπ+，

所以：可得φ=﹣故选：B．

，可得函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x﹣）．

【点评】本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．

8．已知f（x）=2﹣1，g（x）=1﹣x，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）（ ） A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值 C．有最小值﹣1，无最大值

D．有最大值﹣1，无最小值

x

2

【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．

【分析】可以画出f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，的图象，根据规定分两种情况：在A、B两侧，|f（x）|≥g（x）；在A、B之间，从图象上可以看出最值；

【解答】解：画出y=|f（x）|=|2﹣1|与y=g（x）=1﹣x的图象， 它们交于A、B两点．

由“规定”，在A、B两侧，|f（x）|≥g（x）故h（x）=|f（x）|； 在A、B之间，|f（x）|＜g（x），故h（x）=﹣g（x）． 综上可知，y=h（x）的图象是图中的实线部分， 因此h（x）有最小值﹣1，无最大值． 故选C．

x2

【点评】此题考查分段函数的解析式及其图象的性质，利用了数形结合的方法，是一道中档题；

9．已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则的取值范围（ ） A．（﹣1，0） B．

【考点】KI：圆锥曲线的综合．

【分析】由题意可知：抛物线的离心率为1，则a+b+c=﹣1，整理可得f（x）=（x﹣1），则g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b，由椭圆及双曲线离心率的取值范围，求得g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0，画出可行域，则的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，即可求得的取值范围． 【解答】解：令f（x）=x3+ax2+bx+c，

∵抛物线的离心率为1，则1是方程f（x）=x+ax+bx+c=0的一个实根， ∴a+b+c=﹣1，

∴c=﹣1﹣a﹣b，代入f（x）=x3+ax2+bx+c，

可得f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（x﹣1）（x2+x+1）+a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1） =（x﹣1），

设g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b，则g（x）=0的两根满足0＜x1＜1，x2＞1， 由韦达定理：x1+x2=﹣（a+1）＞0，则a＜﹣1，

3

2

C． D．（﹣2，+∞）

x1x2=1+a+b，

∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0，

，解得：

，

作出可行域，如图所示的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率， ∴﹣2＜＜﹣， 故选C．

【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的取值范围，二次函数的性质，的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题．

10．已知函数A．

B．

，若函数y=f（x）+f（k﹣x2）有两个零点，则实数k的取值范围是（ ）

C．

D．

【考点】54：根的存在性及根的个数判断． 【分析】判断函数

在区间（﹣1，1）上单增，且是奇函数；利用y=f（x）+f（k﹣x）有

2

两个零点，等价于方程x2﹣x﹣k=0在区间（﹣1，1）上有两个零点，列出不等式组求解即可． 【解答】解：根据题意，可知

由函数y=f（x）+f（k﹣x2）有两个零点，

等价于方程x2﹣x﹣k=0在区间（﹣1，1）上有两个零点，

在区间（﹣1，1）上单增，且是奇函数；

令g（x）=x2﹣x﹣k，则满足，得．

故选：B．

【点评】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性，函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．

二、填空题：本题共5小题，每题5分，共25分 11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ﹣6 ．

【考点】E7：循环结构．

【分析】根据题意，i、S的初始值分别为1，0．该程序的意图是：当i≤3时，用（﹣1）i•i2+S值代替S，直到i=4时输出S的值，由此不难得到本题的答案．

【解答】解：该程序从i=1开始，直到i=4结束输出S的值，循环体被执行了3次

①i=1，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i代替S，得S=﹣1，用i+1代替i，进入下一步； ②i=2，满足i＜4，由于i是偶数，用S+i代替S，得S=3，用i+1代替i，进入下一步； ③i=3，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i代替S，得S=﹣6，用i+1代替i，进入下一步； ④i=4，不满足i＜4，结束循环体，并输出最后一个S值 故答案为：﹣6

【点评】本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题．

222

12．在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为 2 ．

【考点】DB：二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：Tr+1=

=ar

，

令3﹣∴

=0，解得r=2． =60，a＞0，解得a=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

13．已知直线ax﹣2by=2（a＞0，b＞0）过圆x2+y2﹣4x+2y+1=0的圆心，则【考点】J9：直线与圆的位置关系．

【分析】圆心为（2，﹣1），则代入直线得：2a+2b=2，即a+b=1，利用基本不等式，即可求出值．

【解答】解：圆心为（2，﹣1），则代入直线得：2a+2b=2，即a+b=1，则有

，（当且仅当

故答案为4．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

14．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数区域，则阴影部分E的面积为 1+ln2 ．

图象下方的阴影部分

时取等号）

的最小

的最小值为 4 ．

【考点】67：定积分．

【分析】首先利用定积分表示阴影部分的面积，然后计算定积分． 【解答】解：由已知得到矩形面积SD=1×2=2，

=1+lnx|==1+ln2；

故答案为：1+ln2．

【点评】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后正确计算．

15．设函数f（x）=，则满足f（f（t））=2

f（t）

的t的取值范围是 [﹣，+∞） ．

【考点】5B：分段函数的应用．

【分析】根据函数满足f（f（t））=2f（t）得出f（t）≥1，讨论t≥1时f（t）=2t≥1，和t＜1时f（t）=t+≥1，解不等式求得t的取值范围．

【解答】解：函数f（x）=满足f（f（t））=2

f（t）

，

∴f（t）≥1，

当t≥1时，f（t）=2≥1，解得t≥0， ∴t≥1；

当t＜1时，f（t）=t+≥1， 解得t≥﹣，∴﹣≤t＜1， ∴t的取值范围是[﹣，+∞）， 故答案为：[﹣，+∞）．

【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．

三．解答题（共6小题共75分，） 16．（12分）（2017•山东二模）已知向量

，

，f

t

（x）=．

（1）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的最大值；

（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=1，a=2的最大值．

【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；HW：三角函数的最值．

【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数的解析式，利用正弦函数的周期性以及最值，从而求得函数f（x）的最小正周期及f（x）的最大值． （2）利用余弦定理以及基本不等式，求得三角形ABC面积的最大值． 【解答】解：（1）易得则f（x）=

∴f（x）的最小正周期T=即

=π，当

， =﹣cos2x+

sin2x=sin（2x﹣

时，

）+．

，求三角形ABC面积

，f（x）取最大值．

）+=1，

（2）锐角三角形ABC中，∵f（）=sin（A﹣∴sin（A﹣

）=，∴A=

．

∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴12=b2+c2﹣bc，

∴b+c=12+bc≥2bc，∴bc≤12．（当且仅当b=c时等号成立） ∴S=bc•sinA=

bc≤3

．

．

2

2

∴当三角形ABC为等边三解形时面积的取最大值是3

【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性以及最值，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．

17．（12分）（2017•山东二模）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元． （Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；

（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．

【考点】C9：相互事件的概率乘法公式；C5：互斥事件的概率加法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．

【分析】（Ⅰ）由条件利用相互事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率P1 的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率P2 的值，再把P1 和P2相加，即得所求． （Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，X的分布列，从而求得X的期望．

【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=． 依题意，集成电路E需要维修有两种情形： ①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（

）=P（）P（）P（）=××=

）+P（B）+P（

C）

．

），求得P（X=100ξ）=P（ξ=k） 的值，可得

②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A=

+

+

×=．

+=

所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=．

），而X=100ξ，

（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=X的分布列为： X P ∴EX=0×

0 100 200 +100×

+200×

=

．

•

•

，k=0，1，2．

【点评】本题主要考查相互事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．

18．（12分）（2017•山东二模）圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD；

（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．

于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．

【考点】MI：直线与平面所成的角；LU：平面与平面平行的判定．

【分析】（I）利用中位线定理和圆的性质分别证明OF∥AC，OG∥AD，故而得出平面OGF∥平面CAD； （II）连结DG，则可证四边形OADG是菱形，OC⊥平面ABD，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面BCD的法向量和

的坐标，则直线FG与平面BCD所成角的正弦值为|cos＜

＞|．

【解答】证明：（Ⅰ）∵OF为△ABC的一条中位线 ∴OF∥AC，又OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD， ∴OF∥平面ACD．

又∵OG为∠DOB的平分线，∴OG⊥BD， ∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，

∴OG∥AD，又OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD， ∴OG∥平面ACD，

又∵OG，OF为平面OGF内的两条相交直线， ∴平面OGF∥平面CAD

（Ⅱ）∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，

∵平面CAB⊥平面DAB，平面CAB∩平面DAB=AB，OC⊂平面ABC， ∴CO⊥平面DAB，

又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1，又OG∥AD，OG=1，OA=1， ∴四边形ADGO为菱形，∠AOG=120°， 设DG中点为M，则∠AOM=90°，即OM⊥OB， ∴直线OM，OB，OC两两垂直，

以O为原点，以OM，OB，OC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz． 则B（0，1，0），C（0，0，1），D（∴

=（

，

，

，

，G（=（

，

，F（0，，）．

=（0，﹣1，1），，﹣，0）．

设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，

∴∴∴

=1，|

，令y=1， =（|=1， =

．

=

，1，1）．

．

∴直线FG与平面BCD所成角的正弦值为．

【点评】本题考查了面面平行的判定，空间角的计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．

19．（12分）（2017•山东二模）已知在数列{an}中，a1=1，其前n项和为sn，且

（n≥2）

（1）证明是等差数列，并求数列的前n项和Pn

（2）若求数列的前项和Tn．

【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和． 【分析】（1）当n≥2时，求和公式即可得出．

（2）由（1）可得Sn，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：（1）证明：当n≥2时，

，

，化简得sn﹣1﹣sn=2snsn﹣1，利用等差数列的通项公式与

化简得sn﹣1﹣sn=2snsn﹣1，即所以数列

，又，

为以1为首项，2为公差的等差数列， ，则Pn=

=n2． ，

（2）由（1）得

所以，

=所

，

以

，

，②

①﹣②得，

=（3﹣2n）×2n+1﹣6， ∴

．

①

【点评】本题考查了数列递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．（13分）（2017•山东二模）已知函数立．

（Ⅰ）对任意实数x≥1，函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求证：

，n≥2，n∈N+．

，对任意实数x＞0，都有

成

【考点】3R：函数恒成立问题；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；R6：不等式的证明． 【分析】（Ⅰ）利用对任意实数x＞0，都有

成立，得出

，求导数，利

用对任意实数x≥1，函数f（x）≥0恒成立，分类讨论，即可求实数a的取值范围；

（Ⅱ）证明，所以，即可证明：

，n≥2，n∈N+．

【解答】（Ⅰ）解：∵

，∴

，即得a=b┅┅┅┅┅┅1分

，┅┅┅┅┅┅2分

当a≤0时，因为x≥1，所以f'（x）＜0，f（x）在x∈[1，+∞）上单调递减， 此时f（2）＜f（1）=0与f（x）≥0不符，（舍）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 当a＞0时，令g（x）=ax﹣2x+a，△=4﹣4a，

若△≤0，即a≥1时，g（x）≥0，f'（x）≥0，f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增．f（x）≥f（1）=0成立┅┅┅┅┅4分

若△＞0，即0＜a＜1时，设g（x）的零点为x1，x2（x1＜x2）， 则

，x1x2=1．所以有0＜x1＜1＜x2．

2

2

则当x∈（1，x2）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在x∈（1，x2）上单调递减，f（x）＜f（1）=0与f（x）≥0不符，（舍）．┅┅┅┅┅┅┅┅5分

综上：实数a的取值范围是[1，+∞）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，即

恒成立．

（x≥1），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分

令

则有，即┅┅┅┅┅┅10分

所以

迭加有所以故

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

成立．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．

21．（14分）（2017•全国二模）已知椭圆C：

的左、右焦点分别为F1，F2，点

在椭圆C上，满足•=．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x=1交于点K（K介于M，N两点之间）． （ⅰ）求证：|PM|•|KN|=|PN|•|KM|；

（ⅱ）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．

【考点】K4：椭圆的简单性质；KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）根据题意，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则有

•

=（﹣c﹣1，﹣）•（c﹣1，﹣），

解可得题意可得c的值，进而由椭圆的定义可得a的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程可得答案；

（Ⅱ）（ⅰ）设l1方程为y﹣=k（x﹣1），与

=1联立，可得关于x的一元二次方程，令△=0解

2

2

可得k的值，结合题意可以设直线l2方程，联立两直线方程，整理可得x+tx+t﹣3=0，由根与系数的关系分析可得PM、PN关于直线x=1对称，即∠MPK=∠NPK，进而由正弦定理分析可得

，即可得证明；

（ⅱ）由（ⅰ）知，kPM+kPN=0，kl1=﹣，kl2=，假设存在直线l2，满足题意．不妨设kPM=﹣k，kPN=k，（k＞0），由等比数列的性质分析可得q=﹣1，进而分析可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0， 则

•

=（﹣c﹣1，﹣）•（c﹣1，﹣）=1﹣c+

2

，

所以c=1，

因为2a=|PF1|+|PF2|=4，所以a=2， 又由c=1，则b2=a2﹣c2=3，

故椭圆C的标准方程为=1；

（Ⅱ）（ⅰ）证明：设l1方程为y﹣=k（x﹣1），

与=1联立，消y得（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（3﹣2k）2﹣12=0

由题意知△=0，解得k=﹣，

因为直线l2与l1的倾斜角互补，所以l2的斜率是． 设直线l2方程：y=x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立，整理得x2+tx+t2﹣3=0，

由△＞0，得t＜4，x1+x2=﹣t，x1•x2=t﹣3； 直线PM、PN的斜率之和kPM+kPN=

22

===0

所以PM、PN关于直线x=1对称，即∠MPK=∠NPK， 在△PMK和△PNK中，由正弦定理得又因为∠MPK=∠NPK，∠PKM+∠PKN=180° 所以

，

，

故|PM|•|KN|=|PN|•|KM|成立；

（ⅱ）由（ⅰ）知，kPM+kPN=0，kl1=﹣，kl2=，

假设存在直线l2，满足题意．不妨设kPM=﹣k，kPN=k，（k＞0） 若﹣

，﹣k，k按某种排序构成等比数列，设公比为q，则q=﹣1或q=﹣1或q=﹣1．

2

3

所以q=﹣1，

则k=，此时直线PN与l2平行或重合，与题意不符， 故不存在直线l2，满足题意．

【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意先利用椭圆的定义求出其标准方程．