维普资讯 http://www.cqvip.com 第１２卷第１期 哈尔滨理工大学学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＨＡＲＢＩＮ ＵＮＩＶ．ＳＣＩ．＆ＴＥＣＨ． Ｖ０１．１２ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．，２００７ ２００７年２月 Ｇａｕｓｓ小波变换像空间的再生核函数 侯 杰， 邓彩霞， 张晓卫 （哈尔滨理工大学应用科学学院，黑龙江哈尔滨１５００８０） 摘要：针对经常用于边界检测并且使用效果非常好的Ｇａｕｓｓ小波，给出了其小波变换像空 间的再生核具体表达式．并且当固定尺度因子时，利用再生核空间理论，对Ｇａｕｓｓ小波变换像空间 做了具体描述，为进一步研究一般的小波变换像空间提供了理论基础． 关键词：小波变换；再生核；Ｇａｕｓｓ小波 中图分类号：０２９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—２６８３（２００７）０１—００６２－０３ Ｒｅｐｒｏｄｕｃｉｎｇ Ｋｅｒｎｅｌ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｉｍａｇｅ Ｓｐａｃｅ ｏｆ Ｇａｕｓｓ Ｗａｖｅｌｅｔ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ＨＯＵ Ｊｉｅ，ＤＥＮＧ Ｃａｉ—ｘｉａ， ＺＨＡＮＧ Ｘｉａｏ—ｗｅｉ （Ａｐｐｌｉｅｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈａｒｂｉｎ Ｕｎｉｖ．Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．，Ｈａｒｂｉｎ １５００８０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇａｕｓｓ ｗａｖｅｌｅｔ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｕｓｅｄ ｉｎ ｅｄｇｅ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｓ ｏｆ ａ ｇｏｏｄ ｐｅｒｆｏｒｍ— ａｎｃｅ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｐｒｏｄｕｃｉｎｇ ｋｅｒｎｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｍａｇｅ ｓｐａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｇａｕｓｓ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｉｍａｇｅ ｓｐａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ａｎｄ ｗｈｅｎ ｂｅｉｎｇ ｆｉｘｅｄ ｓｃａｌｅ，ａ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａ— ｔｉｏｎ ｏｆ ｉｍａｇｅ ｓｐａｃｅ ｏｆ Ｇａｕｓｓ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｒｅｐｒｏｄｕｃｉｎｇ ｋｅｒｎｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｂａｓｉｓ ｆｏｒ ＵＳ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｉｍａｇｅ ｓｐａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｒｅｐｒｏｄｕｃｉｎｇ ｋｅｒｎｅｌ；Ｇａｕｓｓ ｗａｖｅｌｅｔ 小波分析在当前数学领域中发展十分迅速，一 方面它有着深刻的理论背景，其数学思想非常精美 而完善；另一方面，它在工程中的应用又十分广泛， 任意一个随机信号，其连续小波变换系数在小波变 换相平面上都具有一定的相关关系；相关区域的大 小由再生核给出；并且可以证明，随着尺度的减小， 它是从Ｆｏｕｒｉｅｒ变换中发展而来，但是在刻画局部化 上又比Ｆｏｕｒｉｅｒ变换有优势．它同时在时间和频率上 其相关区域减小，这说明连续小波变换是一种冗余 度很高的基 Ｊ．所以在小波的实际应用中，可以根 做局域变换，因而能够有效地从信号中提取有用信 息，解决了Ｆｏｕｒｉｅｒ变换不能解决的许多难题．到了 ２０世纪９０年代，小波变换受到了科学家和工程师 的广泛关注，在信号分析、图像处理、模式识别、语音 合成、方程求解、分形力学等领域都以取得了具有科 学意义和应用价值的重要成果¨ ．再生核Ｈｉ￣ｅｎ空 间是连续小波变换的基础，因为在小波分析理论中， 收稿日期：２００６一ｏ４一ｌ６ 据再生核的结构来选择最合适的小波基．本文对 Ｇａｕｓｓ小波变换像空间的再生核及其结构作了具体 描述，为小波变换像空间的理论研究奠定了基础． １ Ｇａｕｓｓ小波 Ｇａｕｓｓ小波母函数为 基金项目：黑龙江省教育厅高校骨干教师创新项目（１０５４Ｇ０１０） 作者简介：侯杰（１９８１一），男，哈尔滨理工大学硕士研究生． 维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期 （ ）一 其Ｆｏｕｒｉｅｒ变换是 侯。 杰等：Ｇａｕｓｓ小波变换像空间的再生核函数 ０ ６３ （１） 竹 把￡ （Ｒ）等距地映射到Ｌ２（Ｒ ×Ｒ； 口一ｚｄ口 ）， ａｖＬｚ（Ｒ）的像仅构成一个闭子空间， （∞）ｌ－－ｉｏ）ｅ一 不是整个空间Ｌ２（Ｒ＋×Ｒ； ０，－２ｄ口 ） ５Ｉ． 竹 （ ）的可容许条件为 （２） ２ Ｃａｕｓｓ小波变换像空间的再生核 ｃ ＝２竹 ｄ一詈 Ｇａｕｓｓ连续小波函数为 旷 （￡）＝Ｉ口Ｉ一 ｆ ），口， ∈Ｒ，口≠０（３） 对Ｖ厂∈Ｌ （Ｒ），Ｇａｕｓｓ小波变换为 （ （口， ）＝Ｊ厂（ｔ） 口 （ｔ）ｄｔ＝ 一 ０一 ）ｅ－ 出 （４） 定义１【 设日是Ｈｉｌｂｅｒｔ函数空间，其元素是 某个抽象集合Ｅ上的实值或复值函数，内积用下式 表示 ，ｇ）ｌ－－ ・），ｇ（‘））厂，ｇ∈Ｈ 若对任意固定的ｑ∈Ｅ，存在一个Ｋ（ｐ，ｑ），作为 Ｐ的函数是日中的元素，而且对任意的厂∈Ｈ及ｑ∈ Ｅ有 厂（ｑ）＝ ｐ），Ｋ（ｐ，ｑ）） 则称Ｋ（ｐ，ｑ）是Ｈｉｌｂｅｒｔ函数空间日的再生核， 称日是再生核空间． 定义２【 Ｈｉｌｂｅｒｔ函数空间取Ａ）（Ａ＞０）为 具有有限范数 ｛含』 ｆ（ｚ）Ｉ ２ｅ－￣＇ｌ ｚｌ ２ ） ＜∞ 的所有整函数厂（ｚ）在该范数意义下构成的Ｈｉｌｂｅｒｔ 函数空间，且Ｃ×Ｃ上的二元函数ｅ “为该空间的 再生核．即对空间中的任意一个元厂（ ）∈取Ａ）及 ∈ Ｃ，“∈Ｃ有 厂（五）ｌ－－＜厂（ ），ｅ ＞ 则这个空间称为Ｆｏｃｋ空间． 引理１ 对Ｖ厂，ｇ∈Ｌ （Ｒ），有 Ｊ ＪＲ Ｊ Ｊ （ 、 （口， ）（ ｇ）（口， ） ｄａｄｘ ２ ４－ｘＲ 口 ＪｆＲ ￡）ｇ一（ｔ）ａ￡＝ ＜厂，ｇ＞０ 作为式（５）的特例，对于厂∈Ｌ２（Ｒ），有 （６） ｝（ （口 ｝ ＝ ｝厂（ ）｝ Ｊ ＪＲ ｘＲ Ⅱ 厶ｕ： Ｒ 定理１ 对于Ｅ上的再生核Ｈｉｌｂｅｒｔ空间 和Ｅ 上任意的非零的复值函数ｓ（ｐ）， （Ｐ，ｑ）ｌ－－ｓ（ｐ） ｓ（ｑ）Ｋ（ｐ，ｇ），ｐ，ｇ Ｅ Ｅ，是Ｈｉｌｂｅｒｔ空间 的再生 核，其中 ．是由Ｅ上所有形如下式的函数 （ｐ）构 成 、 （Ｐ）ｌ－－厂（Ｐ）ｓ（ｐ）厂∈ 且 ．具有内积 ， ） （等，等） 证明：１）对于任意固定的ｑ∈Ｅ， （ｐ，ｑ）作为Ｐ 的函数，有 （Ｐ，ｑ）∈ ．． ２）对于Ｖ ∈ ．，Ｖ ｑ∈Ｅ有 （Ｐ，ｑ ＝ ， ｓ（ｐ） ） ： 一Ｖ ｐ），’。 “、（ Ｐ，ｑ）） ： 一 厂（ｑ）ｓ（ｑ）＝ （ｑ） 由定义１可知， （Ｐ，ｑ）为Ｈｉｌｂｅｒｔ函数空间 。 的再生核． 由于口的对称性，考虑口＞０时，将式（４）推广 为 （ 、 （Ａ， ）＝［厂（ｆ）Ａ一｝ （ ）ｄ￡ （７） 其中ｆ∈ （Ｒ），并记小波变换式（７）的像空间为 ，其中 Ａ ｌ－－口＋ｂｉ， ＝ ＋ｙｉ， 口，６， ，Ｙ∈Ｒ，口＞０ 小波变换式（７）的像空间日的再生核为 Ｋ（Ａ ， ＝ 一号 （ ） ÷ （ ） Ａ÷Ａ丁Ａ ｆ丁Ｉ （（Ａ∞） （， （ ∞）Ａ ∞）ｅ －ｌ，ｏｄ∞ ＪＲ （８） 口 ，６ ， ，Ｙ ∈Ｒ， 将式（８）作进一步计算，可得 数为定理２ 小波变换式（７）的像空间的再生核函 维普资讯 http://www.cqvip.com 哈Ｋ（Ａ，ｚ；Ａ ，ｚ ）＝ 尔滨理工大学学报 第１２卷 ２ （ ＋Ａａ（Ａ ））｝（＼ 一 ２ａ（Ａ ＋Ａ ））／ ｅ （９） ‘２ （２ ａａ （口 ～６ ））土２ （、 （、・一 ％）４ａ ｂ口 一 ） ， ｅ （１１） 其中， 当固定的Ａ Ｅ△（孚）时，对于，∈Ｌ２（Ｒ）的小 波变换（７）的像 （ （Ａ，ｚ）＝（ （ｚ） Ａ，Ａ ∈△（寻）＝（Ａ ｆ ｌ ａｒｇＡ ｌ＜寻），ｚ，ｚ，∈ｃ 由上面再生核函数Ｋ（Ａ，ｚ；Ａ ，ｚ ）的具体表达 式可知，Ｋ（Ａ，ｚ；Ａ ，ｚ ）作为（Ａ，ｚ）的函数在△（｝）× 有再生核（１１）的整函数构成的Ｈｉｌｂｅｒｔ空间． 为Ｈｉｌｂｅｒｔ￣＂Ｉ＇ｚ－ｊＨＫＡ的元素被描述，其中 是具 ｃ上是解析的，并且作为（Ａ ，ｚ ）的函数在△（手）× Ｃ上是反解析的．因此 （Ｒ）中的小波变换式（４） 的像（ 。 （ｎ， ）可以被解析延拓到空间△（｝）× Ｃ上，形式为（ 。 （Ａ，ｚ），像（ （Ａ，ｚ）是具有 定理２中再生核Ｋ（Ａ，ｚ；Ａ ，ｚ ）的Ｈｉｌｂｅｒｔ函数空间 的元素．进而，因为｛Ａ一÷ （ ）；Ａ∈△（号）， ｚ∈ｃ｝在Ｌ （Ｒ）中是完备的，所以有等距恒等式 ＩＩ（ （Ａ，ｚ） ＝ＩＩｆｌ ｌＬ２（ ） 结合式（６），进一步可得到恒等式 ｌｌ（ （Ａ，ｚ）ｌ ｌ２＝ ２ ０ｔ Ｉ（ （ ）Ｉ （１ｏ） 定理３ 小波变换式（４）的像（ 。 （ｏ， ）被 解析延拓到空间△（ ＇ＩＴ）×Ｃ上后，成为小波变换式 （７），（ （Ａ，ｚ）的范数由式（１０）给出． 定理３表明：对于小波变换式（７）的像空间 的再生核函数Ｋ（Ａ，ｚ；Ａ ， ）来说，尽管其表达式并 不简单，但是定义在△（孚）×ｃ上的小波变换式 （７）的范数仍可由定义在Ｒ ｘ Ｒ上的（ （ｎ， ） 给出，因此式（１Ｏ）是一个非常有意义的恒等式． ３ 当固定尺度因子时，Ｇａｕｓｓ小波变 换像空间的具体描述 当固定尺度因子Ａ∈△（詈），ＲＡ＝Ａ 时，将式 （９）中的再生核函数Ｋ（Ａ，ｚ；Ａ ，： ）记作 （ ， ）， 即有 Ｋ（Ａ，ｚ；Ａ ，ｚ ）＝ （Ｚ．￣Ｚ －）＝ 进一步描述这个空间 ，式（１１）可写成 。（（ ，ｚ， ＝Ｚ ，ｔ：一 蛙× （２ｃｔ（ａ‘一ｂ‘）） ｘｘ ｐ Ｉ ＿二＿ 』） 【（１ｌ ２） 由定义２知： －ｅｘ ）是Ｆ０ｃｋ空间 的 再生核，其范数为 Ｉｆ（圳Ｉ ｛ × ㈤Ｉ￣ｅｘｐ｛ ）岫）÷＜ｏ。 定理４ 若 ‰ ＝ ｅ冲｛ ） 贝Ｉｊ ）为具有有限范数 ｌ Ｊ圳ｌ，㈨ ｉ × 唧（ ） ｙ） 一 （１３） 的所有整函数 （ｚ）在该范数意义下构成的Ｈｉｌｂｅｒｔ 空间 ）的再生核．并且Ｇａｕｓｓ小波变换像空间 Ｈ 具有有限的范数 （ｚ）ｌｌ ＝ｌ ｌｈ ｌ ｌ证明：取 ＝（ ）｝唧｛ ） 则 ）（ｚ， ＝ｓ（ｚ）ｓ（ ） （ｚ， ＝ （２ａ（口 一 ））‘ｂ Ｔ ‘Ｌｅ冲（ （口‘一 ‘）８ａ ｂ） （下转第６８页） 维普资讯 http://www.cqvip.com 哈－尔滨理工大学学报 第１２卷 ３２．一…２６ ６］ …联项、控制输人和系统的不确定性具有鲁棒性． 参 考文献： ［１］ ＤＩＮＧ Ｓ Ｘ，ＦＲＡＮＫ Ｐ Ｍ，ＤＩＮＧ Ｅ Ｌ，ｅｔ ａ１．Ａ Ｕｎｉｉｅｄ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｆｏ Ｃ ＝［一０．００１ ６ —０．００２ ６］ Ｄ门＝０．００７ ５ ｙｌ＝１．６５４ ７ Ａｎ＝［一４２８２６８６．．－５５２ 一 ２ ９．４１８．８］ ｔｈｅ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｆａｕｌｔ Ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｉｎｔ Ｊ．Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０００，１４（５）：７２５—７４５． ＮＧ Ｓ Ｘ，ＤＩＮＧ Ｅ Ｌ，ＪＥＩＮＳＣＨ Ｔ，ｅｔ ａ１．Ａｎ Ａｐｐｍａｃｈ ｔｏ ａ Ｕｎｉ・ ［２］ ＤＩ， ， ７．９…一～６０ ７］ ［３］ ｌｆｅｄ Ｄｅｓｉｎ ｏｆｇ ＦＤＩ Ｓｙｓｔｅｍ［Ｃ］．Ｔｈｅ ３ｒｄ Ａｓｉａ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｃｏｎｆ．， Ｓｈａｎｇｈａｉ，２０００：２８１２—２８１７． ＰＡＬＨＡＲＥＳ Ｒ Ｍ，ＰＥＲＥＳ Ｐ Ｌ Ｄ．Ｒｏｂｕｓｔ Ｈ Ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ Ｄｅｓｉｎ ｇＣｎ＝［一０．００４ ３ —０．００３ ９］ Ｄ ＝『０．０１ｌ ０］ １，，＝１．６８７ ６ ｗｉｔｈ Ｐｏｌｅ Ｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ Ｖｉａ ＬＭＩｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｐｔｉｍｉａ．ｚ ｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，１９９９，１０２（２）：２３９—２６１． ｍｉａｔｚｉｏｎ Ａｐｐｍａｃｈ ｔｏ Ｄｅｓｉｎ Ｒｏｂｕｓｔｇ ［４］ ＷＡＮＧ Ｈ，ＬＡＭ Ｊ．Ａｎ Ｏｐｔｉ５ 结 语 本文针对一类不确定关联大系统，设计出基于 Ｆａｕｌｔ Ｄｅｔｅｏｔｉｏｎ Ｏｂｓｅ￣ｅｍ［Ｃ］．Ｔｈｅ ３ｒｄ Ａｓｉａ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｃｏｎｆ．， Ｓｈａｎｇｈａｉ，２０００：３０５２—３０５６． ‘ Ｍ Ｌ，ＮＩＥＭＡＮＮ Ｈ．Ｎｏｒｍ Ｂａｓｅｄ Ｄｅｓｉｎ ｇｏｆ Ｆａｕｌｔ Ｄｅｔ￣ｔｏｍ ［５］ ＲＡＮＫ 线性矩阵不等式的鲁棒故障检测滤波器，使残差信 号和加权故障信号之间的误差最小，并且对动态关 ［Ｊ］．Ｉｎｔ．Ｊ．Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９９９，７２（９）：７７３—７８３． （编辑：董 晶） （上接第６４页） 由定理１知， ）为 ）的再生核，范数 参考文献： 唐远炎，王玲．小波分析与文本文字识别［Ｍ］．北京：科学出 版社．２００２． ㈤ ＝ｊ ｊ ｛ ｌ２ ｅｘｐ｛ × ［２］ 彭玉华．小波变换与工程应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２０００． ［３］ ＡＲＯＮＳＺＡ Ｊ Ｎ．Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｒｅｐｒｏｄｕｃｉｎｇ Ｋｅｒｎｅｌｓ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｆｔｈｅ ＡＭＳ，１９５０，６８：３４３—３５５． ｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ Ｒｅｌａｔｄ ｔｅｏ Ｆｏｃｋ Ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ Ｅ４］ ＰＥＥＴＲＥ Ｊ．Ｓｏｍｅ Ｃａ２ ２ｏｒｒｒ（口 ＋ｂ ）］ （口 一ｂ ） Ｓｈａｌｅ—Ｗｅｉｌ Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｇｒａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｔｈｅｏｒｙ，１９８９，１２：６７—８１． ｊ （ ）｛ ｅｘｐ（ ） ｄ，，）｝ ［５］ ＤＡＵＢＥＣＨＩＥＳ Ｉ．Ｔｅｎ Ｌｅｃｔｕｒｅｓ ｏｎ Ｗａｖｅｌｅｔｓ［Ｍ］．Ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｆｏｒ Ｉｎｄｕｓｔｒｉｌ ａｎｄ Ａｐｐｌａｉｅｄ Ｍａｔｈ，１９９２． 结合式（１２）知，下面的等距恒等式成立 （编辑：王 萍） ｌ１ （ ）ｌ１ ＨＫＡ＝Ｉ １ｈ Ｉ１舅 ）
