技术与方法TechniqueandMethod
一个新超混沌系统的动力学分析及其电路实现鄢
徐家宝，吴凤娇，黄心笛，赵嘉，王坤，宋芮
（西北农林科技大学水利与建筑工程学院电气系，陕西杨凌712100）
摘要：构造了一个新的超混沌系统，通过Matlab绘制其相轨迹图，初步判断该系统具有混沌吸引子。从平衡点、对称性和不变性、耗散性和混沌吸引子的存在性、Lyapunov指数谱以及Poincare截面，对该新超混沌系统从定性和定量方面进行了详细的动力学分析，加深了对该超混沌系统的认识。最后，搭建了Multisim电路对该超混沌系统进行电路仿真实验，实验结果与Matlab数值模拟结果相一致，验证了该系统的实际超混沌特性。
关键词：超混沌系统；动力学分析；Lyapunov指数；电路仿真
中图分类号：TP273
文献标识码：A
文章编号：1674-7720(2014)04-0067-04
Dynamicanalysisandcircuitexperimentofanewhyperchaossystem
XuJiabao，WuFengjiao，HuangXindi，ZhaoJia，WangKun，SongRui
(DepartmentofElectricalEngineering,NorthwestA&FUniversity，Yangling712100，China)
Abstract：Anewhyperchaossystemwasconstructed.Thespacetrajectoryindicatesthatthesystemcontainschaoticattractor.Thechaoticcomplexdynamiccharacteristicsofthenewhyperchaossystemwereanalyzed,includingtheequilibriumpoint,thesym鄄metry,thedissipativity,theLyapunovexponentsandthePoincaremap.Thesecharacteristicsenableustoknowthesystemdeeply.Andthenthehyperchaoscircuitwasbuilttoverifythepracticalvalueofthehyperchaossystem.
Keywords：hyperchaossystem；dynamicanalysis；Lyapunovexponents；circuitexperiment
人们对混沌现象的认识可以追溯到19世纪，法国数学家Poincare在研究太阳系三体运动时不经意间发现了它，1990年，美国海军实验室的学者Pecora和他的同伴Carroll在电子学线路的设计实验中观察到混沌同步的现象[1]。在最近几十年中，混沌更是受到了广大学者和专家的关注和青睐。从发现混沌现象到现在，混沌被应用在人们生活的各个方面，如机械系统、电子系统、生态系统、信息系统、应用数学和物理学中[2-6]。
随着混沌系统维数的增加，人们发现了超混沌现象，其中人们熟知的超混沌系统有超混沌Chen系统、超混沌Lü系统等[7-8]。超混沌的动力学行为比混沌动力学行为更加复杂，相轨迹在更多的方向上分离，超混沌现象利用信息加密使得对信息密码的破解更加困难，因此，超混沌系统在科技领域有着巨大的研究价值。
本文在前人所做工作的基础上，先构造了一个新的超混沌系统，并采用经典的动力学分析方法(包括相轨
鄢基金项目：西北农林科技大学国家级“大学生创新创业训练计划”资助课题（1210712090）
迹、平衡点、耗散性、Lyapunov指数和poincare截面等方面)对新系统从定性和定量两方面做了详细的分析，加深了对该超混沌系统的认识。并借助Multisim对新超混沌系统搭建了仿真电路，实验结果与理论分析相一致，验证了该超混沌系统的实际物理意义。
1新超混沌系统数学模型
构造的新超混沌系统数学模型如下：
觶=a(y-x)x觶=-xz-wy
觶=-b+xy+xz
2
(1)
觶=myw
当系统初值取为[x0，y0，z0，w0]=[0.5，0.8，0.2，0.4]，a=5，
b=90，m=5时，计算机仿真的系统相轨迹如图1所示，
初步判断该系统具有超混沌吸引子。
2新超混沌系统的动力学分析
2.1平衡点分析
通过求解下面的方程可以得到系统的平衡点：
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技术与方法100500-50-100100z1TechniqueandMethod
50y1
0
-50
-100-40(a)x-y-z
-20
0x1
20
40
604020y10-20-40-60
-80
-25-20-15-10-5
05x1
(b)x-y
101520
25
Lyapunov指数参数m
图2系统的Lyapunov指数谱
时，运动便是混沌的。m=-9、m=-5、m=5、m=19时的
Poincare截面如图3所示。
从图3可以看出，m=-9、m=-5时，Poincare截面图上有少数离散点，系统处于稳定的周期状态；m=5、m=
19时，Poincare截面上是一些线弧分布点集，并且离散点分布稠密不一样，系统处于混沌状态，Poincare截面的分
析结果与Lyapunov指数谱的分析结果相一致。
100806040200-20-40
-15-10
图1超混沌系统（1）的相轨迹图
a(y-x)=0-xz-w=0-b+xy+x2=0my=0
(2)
x4经过计算发现该系统没有平衡点。
2.2对称性和不变性
经过演算可以得出，系统（1）在变换
0-10-20-30-40-50-60-70-2
024
(x，y，z，w)→(-x，-y，z，-w)时具有不变性，即可以说明系统（1）关于Z轴具有对称性，
并且这种特性对于x、y、w都成立。
判断系统是否是耗散的，可以利用梯度公式进行判断，计算系统（1）的梯度为：
x4觶坠z觶坠w觶觶坠y觶=坠x荦V+++=-a=-5<0(3)
坠x坠y坠z坠w所以系统（1）是耗散的，所有系统的轨
迹最终会被在一个体积为0的极限点集上，即它的
渐进动力学行为会被固定在一个吸引子上，这就证明了混沌吸引子的存在性。
x42.3耗散性和混沌吸引子的存在性
6040200-20-40-60-80
-20-15-10-50510152025
x1
(c)m=5
68x1
(a)m=-9
101214
x4-5
150100500-50-100-150-200
-20-15-10-50
05x1
(b)m=-5
1015
510152025x1
(d)m=19
图3系统(1)的Poincare截面图
3Multisim电路仿真
Multisim软件能够提供各种电子元件，是目前电力学科专业最常用的软件。利用Multisim软件搭建仿真电
路非常方便，且搭建出来的电路具有可实施性，超混沌系统能够产生复杂的、随机的信号，这种信号可以用于混沌保密通信等各个行业。
搭建的模拟电路包括反相比例电路、除法电路、集成乘法电路、反相积分电路、反相求和电路。其中反相比例电路用于信号反相，例如把x反相变成-x；除法电路用于产生整数项；集成乘法电路用于两个信号的相乘；反相积分电路用于积分；反相求和电路用于多个信号的求和。这样就构成了模拟电路。为了便于观察信号的轨
2.4Lyapunov指数谱分析
系统(1)在参数a=5、b=90、-20≤m≤40时的Lyapu-nov指数谱如图2所示。当m>0时，从图2的Lyapunov指数谱中可以看出此时有两个Lyapunov指数大于零，所以系统处于超混沌状态，与图1得到的结论相一致。2.5Poincare截面分析
当Poincare截面上只有一个不动点或者是少数离散点时运动是周期的；当Poincare截面上是一条闭合曲线时，运动是准周期的；当Poincare截面上是沿着一条线段
或者是一条线弧分布点集，并且离散点分布稠密不一样
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技术与方法TechniqueandMethod
u=-1
RC
乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙
迹，在电路中还有示波器，本设计中选用的集成放大模块是3554SM，电源电压采用+14V。
在设计电路之前，首先要确定电路中原件的参数，超混沌系统的模型如式（1）所示，对系统两边进行积分得：
乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙
udt乙1
(5)
可以把式(4)写成：
x=1RCy=1RC乙(-xz-w)dty=乙z=乙(-b+xy+x)dtw=乙(my)dt
x=a(y-x)dt
2
(4)
z=1
RCw=1w
RC41
式(6)中，τ=RC只是积分时间常数，对信号的混沌特
性没有影响，只影响时间常数。式中的Rx、Ry、Rz、Rw是用来调节参数的，在模拟电路中，R11、R12、R21、R22、R31、
R(y-x)dt乙RRR(-xz-w)dt乙RRR(-1+xy+x乙RRRR(y)dt乙Rx
12
11
y
21
22
z
31
32
2
(6)
)dt
33
采用积分形式，从式(4)中可以看出，其中包含了乘积项、求和项、整数项、比例项等，对照积分器计算式：
R32、R33、R41可以通过下式来确定，比较式(6)以及式(4)，
可以得出：
图4系统（1）的Multisim实验电路
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技术与方法Rw=mR41
TechniqueandMethod
混沌系统，通过对其在平衡点、对称性和不变性、耗散性和混沌吸引子的存在性、Lyapunov指数谱以及Poincare截面等方面进行非线性动力学分析，加深了对该超混沌系统的认识。并对该新超混沌系统采用Multisim搭建了仿真电路，电路实验结果与Matlab数值模拟结果相一致，证实了该超混沌系统的工程实践意义。参考文献
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Rx=Rx=a，Ry=Ry=1，Rz=b，Rz=Rz=1，R12R11R21R22R319R32R33
(7)
为了便于计算，取Rx=10kΩ，Ry=10kΩ，Rz=10kΩ，
Rw=10kΩ，R=10kΩ，C=10nF，当超混沌系统中参数a=5，b=90，m=5时，可以计算出电路中的参数如下：
R11=2kΩ，R12=2kΩ，R21=10kΩ，R22=10kΩ，
R31=1kΩ，R32=10kΩ，R33=10kΩ，R41=2kΩ。
除法电路中的乘法器采用的乘法增益为9，比例电
阻分别为9kΩ、1kΩ，其余的乘法增益均为1。
从式(6)可以看出，模拟电路中，当电阻R11、R12、R21、
R22、R31、R32、R33、R41取固定值时，通过调节特征电阻Rx、Ry、Rz、Rw，可以改变超混沌系统的参数。当参数a=5，b=90，m=5时，系统（1）的Multisim实验电路如图4所示，
仿真结果如图5所示。
202-209.
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x1(b)x-y
x
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w1wz
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(d)z-w
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(收稿日期：2013-10-17)
作者简介：
徐家宝，男，1992年生，本科在读，主要研究方向：非线性系统的分析与控制。
吴凤娇，女，1984年生，硕士，讲师，主要研究方向：测控技术及其自动化，电力系统及其自动化。
图5基于Multisim电路实验结果以及Matlab仿真比较
图5中（a）和（c）是Multisim实验结果，（b）和（d）是对应的Matlab仿真结果。可以看出，通过Multisim软件搭建的电路仿真，其实验结果与Matlab软件模拟的结果是一致的，说明了该超混沌系统具有工程实践意义。特别说明，Multisim实验结果与Matlab仿真线条的疏密程度不一样，是由于仿真时间长短不同引起的。
本文在前人所做工作的基础上，构造了一个新的超
(上接第66页)
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(收稿日期：2013-10-16)
作者简介：
颜冰钧，男，19年生，硕士研究生，主要研究方向：三相永磁无刷直流电机控制，三相永磁同步电机控制。
郭新华，男，1977年生，博士，讲师，主要研究方向：永磁型双机械端口电机驱动控制，三相永磁同步电机驱动控制，六相永磁同步电机控制，中压大功率牵引异步电机控制，无刷直流电机控制。
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70
《微型机与应用》２０14年第33卷第4期
一个新超混沌系统的动力学分析及其电路实现
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
徐家宝， 吴凤娇， 黄心笛， 赵嘉， 王坤， 宋芮， Xu Jiabao， Wu Fengjiao， Huang Xindi， Zhao Jia， Wang Kun， Song Rui
西北农林科技大学 水利与建筑工程学院 电气系,陕西 杨凌,712100微型机与应用
Microcomputer & its Applications2014(4)
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引用本文格式：徐家宝.吴凤娇.黄心笛.赵嘉.王坤.宋芮.Xu Jiabao.Wu Fengjiao.Huang Xindi.Zhao Jia.Wang Kun.Song Rui 一个新超混沌系统的动力学分析及其电路实现[期刊论文]-微型机与应用 2014(4)
