基于matlab的阻尼振动

孟利平 （船院 2009011521）

摘要：

分析单自由度阻尼系统的阻尼系统对其固有振动模态的影响，用传统方法通过matlab实现其振动规律曲线，并改变其初始条件，实现一组曲线的脉冲过度函数，改变传统运算算法，使运算简便明了。

关键字： 阻尼振动，复数运算，简便

引言：

通过传统方法，用基本公式分析阻尼振动，并根据传统算法编程，用matlab实现其振动规律曲线，并绘制曲线。由于传统计算公式要考虑复数运算，其要避开复数运算，所以程序显得繁琐，改变其中算法公式，用matlab直接实现其算法，并绘制相应曲线。改变其初始条件，实现一组曲线的脉冲过度函数，并用matlab绘制其过渡曲线。

基本知识：

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不论是弹簧振子还是单摆，由于外界的摩擦和介质阻力总是存在，，在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量，振幅就会逐渐减小，经过一段时间，振动就会完全停下来。这种振幅越来越小的振动叫做阻尼振动。

振幅随时间减小的振动称为阻尼振动．因为振幅与振动的能量有关，阻尼振动也就是能量不断减少的振动．阻尼振动是非简谐运动．阻尼振动系统属于耗散系统。

阻尼振动 振动系统因受阻力而作振幅减小的运动。

一 . 阻尼振动的动力学方程

现象：振幅随时间减小

原因：阻尼

动力学分析：

假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即：

假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即：

阻尼力 FrCv 阻力系数 C

对物块应用牛顿第二定律：

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kxCvma mdxdt22Cdxdtkx0 化解为二阶线性常系数齐次方程，即阻尼振动的动力学方程： dxdt222dxdt0x0 2其中： 固有角频率 0km 阻尼系数 C2m 解得： xAetcos(t) 其中： 振幅 Aet 角频率  022 T2π2π022 振幅Aet为随时间的推移，呈指数递减，越大，振动衰减越快；越小，振幅衰减越慢。随时间的推移，质点坐标单调地趋于零。质点运动是非周期的，甚至不是往复的。将质点移开平衡位置后释放，质点便慢慢回到平衡位置停下来，即过阻尼状态。 三种阻尼的比较 3

欠阻尼 022

过阻尼 022

临界阻尼 022

对以上传统公式算法，用matlab进行编程计算，实现其振动规律曲线，并通过曲线对阻尼振动规律进行分析。所绘图如下：

相应三维图如下：

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算法改进： 上述算法公式较为繁琐，计算速度慢，编程复杂，是因为要避免复数运算。而matlab本身就具备复数运算功能，通过改变其中一些算法，重新编程，可以使求解变得简单，程序也直观简单。设原始微分方程为： mdxdt22Cdxdtkx0 先用roots函数求p1,p2，语句为： proots([a2,a1,1]) 然后不必管他们是否为复数， 把 xc1eptc2ept 12 对t求导，得 vdx/dtc1p1ep1tc2p2ep2t 带入初始条件可得: x0c1c2 v0c1p1c2p2 将这两个线行方程联立，得解： [c1c2][1p11p2] 5

这样，只要给出t数组，就求出了x。

根据以上改进，假如其它参数不变，求出=0.3一种情况下此系统的脉冲响应，用matlab编程实现其运动规律曲线，如下：

绘得三维图如下：

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比较分析说明：

从上述两种方法中，可以明显感觉改进之后的方法程序简单明了，易于接受，而且运算简便，速度快捷。而传统的算法为了避免复数运算，而显得相对繁杂。但要注意的是，系统的实际运动中，x必是实数，但在复数运算中，由于计算的误差，难免会出现微小的虚部，使x变成复数。这会使绘图语句无法执行，因此要用real语句取出实部才能绘图。但这种方法核心语句只有中间的三句，语句简单多了。

绘脉冲过渡曲线：

改变初始条件，实现一组曲线的系统脉冲过度函数。因为脉冲函数的幅度无穷大，而持续时间却无限小，其面积为一个单位，所以脉冲激励的最后结果可形成一个单位的初速，由他产生脉冲过度函数波形。所的曲线如下：

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结论：

通过两种方法的比较，前者是传统的经典算法，但为了避免复数运算，其公式显得繁琐复杂。可以明显感觉改进之后的算法更简单明了，其核心语句只有中间的三行就行，运算简便，速度快捷，而且易于让读者理解并接受。

参考文献：

【1】MATLAB及其在理工课程中的运用指南（第三版） 陈怀琛 西安电子科技大学出版社

【2】基于MATLAB的数学实验 胡守信，李柏年 科学出版社 【3】物理学（第五版）．阻尼振动

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