安徽省皖北名校2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题 含答案

皖北名校2020~2021学年度高二上期末考试

数学试卷（文科）

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区．．．．．域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

4.本卷命题范围：人教版必修2，必修3，选修1-1第一章至第二章第2节。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线l经过原点O0,0和A1,3两点，则直线l的倾斜角是 A.30

B.45

C.60

D.120

2.有下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为

1，则买100000张这种彩票一定能中奖；④连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上.

100000其中必然事件是 A.② ③

B.③④

C.①②③④

D.②

x2y21表示焦点在x轴上的椭圆”是“a2”的 3.“方程2a4A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中甲、乙分别缺了一个数据，若甲的中位数、乙的平均数分别为

1

108，112.25，则甲、乙两处缺的数据为

A.9，5

B.8，6

C.7，5

D.9，6

5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为

A.4

2B.6 C.12 D.24

6.设Px,y，若xy232x2y2328，则点P的轨迹方程为

x2y21 D.84x2y21 A.

1

x2y21 B.

416

x2y21 C.

48

7.在区间1,8上任取一个数x，则满足lnx1的概率为

A.

3 4 B.

1 4 C.

8e 7 D.

e1 78.如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿

EF翻折，使得平面CDFE平面ABEF，则异面直线BD与AE所成角的正弦值为

2

A.5 5 B.30 10 C.70 10 D.25 59.定义x表示不超过x的最大整数，xxx，例如：4.94，4.90.9.执行如图所示的程序框图，若输入x6.8，则输出结果为

A.4.6

B.2.8

C.1.4

D.2.6

10.已知三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，ABAC2，BC22，PB平面ABC，若球

O的体积为722，则该三棱锥的体积是

16 382 3A. B.5 C. D.

8 3x2y21的左、右焦点，若P为椭圆上一点，且△PF1F2的内切圆周长为11.已知F1，F2分别是椭圆4323，则满足条件的点P有 3A.4个

B.1个

C.2个

D.3个

x2y212.已知点A，B是双曲线221a0,b0的左、右顶点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若

ab 3

F1F225，P是双曲线上异于A，B的动点，且直线PA，PB的斜率之积为定值4，则

A.2

B.22

C.23

D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若命题p:xR，x23x20，则p是_________.

x2y2x2y21的离心率与椭圆1的离心率互为倒数，则双曲线的标准方程为_______，14.已知双曲线

m943双曲线的渐近线方程为_______.（本小题第一空3分，第二空2分）

15.为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现将1200名员工从1到1200进行编号，在1~15中随机抽取一个数，如果抽到的是8，则从61~75这15个数中应抽取的数是_________.

16.已知圆P的方程为xy6x8y0，设该圆过点M1,2的最长弦与最短弦分别为AC与BD，

22则四边形ABCD的面积为______.

三、解答题；共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AA1A1C，M，N分别为BC，AC的中点.

（1）求证：AB//平面A1MN；

（2）求证：ACA1M. 18.（本小题满分12分）

4

x2y21表示焦点在x轴上的双曲线”已知命题p：“方程：2；命题q：“关于x的不等式2a4a。 x22ax10在R上恒成立”

（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围. 19.（本小题满分12分）

新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人.如表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表.

分组 频数 频率 6,6.5 5 0.10 6.5,7 7,7.5 x y 7 0.14 7.5,8 8,8.5 12 0.24 z 0.20 8.5,9 合计 8 0.16 50 1 （1）求该校高二学生的总数；

（2）求频率分布表中实数x，y，z的值：

（3）已知日睡眠时间在区间6,6.5内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面

5

谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率. 20.（本小题满分12分）

某养殖场通过某装置对养殖车间进行恒温控制，为了解用电量ykWh与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温（℃） 用电量（kWh） 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 7 6 （1）请利用所给数据求用电量y与气温x的线性回归方程ybxa； （2）利用线性回归方程预测气温10℃时的用电量.

nn参考公式：bxynxyxxyyiiiii1nxi12inx2i1xxii1n2，aybx.

21.（本小题满分12分）

22已知圆C1:x1y21与圆C2:xy8xm0.

2（1）若圆C1与圆C2恰有3条公切线，求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，若直线x2yn0被圆C2所截得的弦长为2，求实数n的值. 22.（本小题满分12分）

22x2y21已知椭圆C:221ab0的离心率为，点22,在椭圆C上.

33ab（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l不过原点O且与坐标轴不平行，直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积是定值.

皖北名校2020~2021学年度高二上期末考试·数学试卷（文科）

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参、提示及评分细则

1.C 由O0,0和A1,3两点，代入斜率公式得k3，则直线l的倾斜角是60.故选C.

2.D 因为在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾.所以①不是必然事件；因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件；因为某彩票中奖的概率为

1，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定

100000.

能中奖，即③不是必然事件；抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以④是随机事件.故选D

x2y2x2y221表示焦点在x轴上的椭圆，13.B 若方程2则a4，所以a2或a2，所以“方程2a4a4表示焦点在x轴上的椭圆”是“a2”的必要不充分条件.故选B.

4.A 甲的中位数为108，所以（i）处数为9；乙的平均数为112.35，所以（ii）处数为5.故选A.

5.C 由题中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，底面三角形的一直角边长为2，斜边长为13，则另一直角边长为113223，所以棱柱的体积V23412.故选C.

226.B 由题意可知，点Px,y到点F10,23的距离与到点F20,23的距离之和为定值8，并且

843F1F2，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，所以2a8，a4，因为c23，所

x2y21.故选B. 以bac16124，所以点P的轨迹方程为

4162227.C 在区间1,8上任取一个数x，满足lnx1，即xe，所以所求概率p8e8e.故选C. 8171BD，28.D 如图，连接BF交AE于点O，取DF的中点G，连接OG，AG，则OG//BD且OG所以AOG（或其补角）为异面直线BD与AE所成的角.由在矩形ABCD中，AB3，BC2，则

DFFA1，AEBFAB2AF22，所以AO1AE1.平面CDFE平面ABEF，平面2CDFE平面ABEFEF，DFEF，DF平面DCEF，所以DF平面BAFE，又BF,AF平

面BAFE，所以DFBF，DFFA，所以BDDF2BF25，所以OGBD125.又2 7

GF511.在△AOG中，所以异面直线BD与AE所成角的正弦DF，所以AGAF2FG2222值为

25.故选D. 5

9.D x6.8，y4.4，x5，x0；x2.2，y1.6，x1，x0；x0.8，y1.6，x1，

x0；z2.6；输出z2.6.故选D.

10.A 由球O的体积V43BC22，得r32.因为ABAC2，易知三角形ABCr722，

3211161为等腰直角三角形，则三棱锥的高h2r2BC8，所以体积V228.故选A.

23232333311.C

因为△PF1F2的内切圆的周长为2r内，所以r内，

S△PF1F21312a2cr内acr内213，又因为S△PF1F22cyPyP3，所232以yP3，所以符合条件的点P有两个，分别为椭圆的上下顶点.故选C. 12.A

设

Aa,0，Ba,0，Px,y，则kPAyy，kPB，所以

xaxakPAkPBx2221b2ayyyb224.又因为F1F225，所以2c25，c5.

xaxax2a2x2a2a222又因为cab，所以a1，b2，所以AB2.故选A.

213.x0R，x03x020

y2x2311 yx 由题意可知m0，14.因为椭圆的离心率e1，所以双曲线的离心率e22，

39272 8

y2x29m31，2，x. 即所以m27，所以双曲线的标准方程为双曲线的渐近线方程为y3392715.68 由题意可知，1200人抽取80人，编号后分为80段，每段有15人，则从61~75这15个数中应抽取的数是：815468.

16.1017 圆P的方程可化为x3y425，点M1,2在圆内，过点M1,2的最长弦一定是圆P的直径，所以AC10，当ACBD时，BD最短，此时PM22，则

22BD2r2PM2217，所以四边形ABCD的面积S1ACBD1017. 217.证明：（1）在△ABC中，因为M为BC的中点，N为AC的中点，

所以MN是△ABC中的中位线，所以MN//AB.………………………………………………………2分 因为AB平面A1MN，MN平面A1MN，

所以AB//平面A1MN.………………………………………………………………………………………5分 （2）因为AA1A1C，N为AC的中点，所以A1NAC.……………………………………………6分 因为△ABC中，ABAC，由（1）已证MN//AB，

所以MNAC.……………………………………………………………………………………………7分 因为A1N,MN平面A1MN，A1NMNN，

所以AC平面A1MN.…………………………………………………………………………………9分

又因为A1M平面A1MN，所以ACA1M.…………………………………………………………10分

x2y21表示焦点在x轴上的双曲线， 18.解：（1）∵方程22a4a∴a0,解得2a0或0a2. 24a0, 9

∴实数a的取值范围为2,00,2，………………………………………………………………4分

2（2）当命题q为真时，4a40.

解得2a1.…………………………………………………………………………………………6分 ∵“p或q”为真命题、“p且q”为假命题，

∴p真q假或p假q真.…………………………………………………………………………………7分

∴若p真q假，则2a0或0a2,解得2a1或1a2.…………………………9分

a1或a1,若p假q真，则a2或a2或a0,解得a0.………………………………………………11分

1a1,∴实数a的取值范围是2,11,20.…………………………………………………………12分

19.解：（1）设该校高二学生的总数为n， 由题意

5015050，解得n600， n660540所以该校高二学生总数为600人.………………………………………………………………………………3分

（2）由题意

z0.20，解得z10，………………………………………………………………………4分 50………………………………………………………………………………5分 x505712z88，

yx0.16.……………………………………………………………………………………………6分 50（3）记“选中的3人恰好为两男一女”为事件A，记5名高二学生中女生为F1，F2，男生为M1，M2，

M3，从中任选3人有以下情况：F1，F2，M1；F1，F2，M2；F1，F2，M3；F1，M1，M2；F1，M1，M3；F1，M2，M3；F2，M1，M2；F2，M1，M3；F2，M2，M3；M1，M2，M3，基本

事件共有10个，它们是等可能的，……………………………………………………………8分

10

事件A包含的基本事件有6个，故PA63， 105所以选中的3人恰好为两男一女的概率为

3.…………………………………………………12分 520.解：（1）由表中数据得x345672.5344.565，y4，…………2分

555xyi5i32.5435464.576108.5，xi23242526272135，……4分

i1i1nxiyinxy所以bi1108.5554n2x21355520.85，………………………………………………6分

inxi1aybx40.8550.25，……………………………………………………………………8分

所以y0.85x0.25.……………………………………………………………………………………9分

（2）当x10℃时，y0.85100.258.25，………………………………………………11分 当气温为10℃时，用电量为8.25kWh.………………………………………………………………12分 21.解：（1）圆C21:x1y21，圆心C11,0，半径r11；

圆C2:x42y216m，圆心C24,0，半径r216m.…………………………………2分

因为圆C1与圆C2有3条公切线，所以圆C1与圆C2相外切，所以C1C2r1r2，………………4分

即3116m，解得m12.………………………………………………………………………6分 （2）由（1）可知，圆C22:x4y24，圆心C24,0，半径r22.

因为直线x2yn0与圆C2相交，弦长是2，

所以圆心C0的距离dr2222到直线x2yn223，……………………………10分

11

即4n33，解得n1或n7.………………………………………………………………12分

c22c2822.解：（1）解：由题意得，离心率e，所以2.

a3a9b21因为abc，所以2，…………………………………………………………………………1分

a9222x2y2所以椭圆C的方程为221，………………………………………………………………………2分

9bb13将点22,代入椭圆方程得

811， 9b29b2所以b1.…………………………………………………………………………………………………3分

2x2y21.………………………………………………………………………4分 所以椭圆C的方程为9x2y21得 （2）证明：根据题意设直线l的方程为ykxmk0,m0，代入919kx2218kmx9m290，………………………………………………………………5分

218km419k29m290，所以m29k210.…………………………………6分

9m2918km设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1x2，x1x2， 2219k19k18k2m2my1y2kx1x22m2m.……………………………………………8分

19k219k2m9km,.……………………………………………9分 2219k19k所以线段AB的中点为M的坐标为 12

所以直线OM的斜率为kOMm02119k，……………………………………………10分

9km9k019k2所以kOMkl

111k，即直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积是定值.………………12分 9k99 13