Holder不等式的几种不同形式及其证明和应用【大学毕业论文】

Hölder不等式的几种不同形式及其

证明和应用

Several Hölder inequalities and their

proofs and applications

专 业:

数学与应用数学

* *: ***

****:

***

湖南理工学院数学学院 二○一一年五月 岳阳

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摘 要

在初步掌握了Hölder不等式的基础上，我们进一步对Hölder不等式的几种不同的形式给出了证明. 通过证明, 进一步掌握好Hölder不等式, 并为其在各个领域的应用打下好的基础.

关键词: Hölder不等式; Young 不等式; Hölder不等式的几种形式; 证明方法; 推广及应用

I

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Abstract

After mastering several inequalities, we further give their proofs. By this, we further master the Hölder inequality and its applications.

Keywords: Hölder inequality; Young inequality; several Hölder inequalities; the method of proof; extension and application

II

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目 录

摘 要 ................................................................... I ABSTRACT ................................................................ II 0 引言 ................................................................... 1 1预备知识 ................................................................ 1 2 Hölder不等式的几种不同形式及其证法 ...................................... 5 2.1 Hölder不等式的离散形式及其证法 ..................................... 5 2.2 Hölder不等式的积分形式及其证法 ..................................... 7 2.3 Hölder不等式的概率形式及其证法 ..................................... 9 3 Hölder不等式的推广及应用 .............................................. 10 3.1 Hölder不等式的推广．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10 3.2 Hölder不等式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 参考文献 ................................................................ 14

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0 引言

Hölder不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程等学科的研究中发挥 了重要作用, 使用的技巧灵活多样, 得到的结果极为深刻. 然而在数学知识体系中Hölder不等式的证明出现较晚, 了它的早期传播和使用.

于是, 首先我们给出了几条常用的定理以及某些定理的证明, 根据这些重要定理与初等数学之间的联系以得到Hölder不等式的几种不同形式的证明; 其次, Hölder不等式又经常以另外两种形式出现. 一种是离散量的形式, 另一种是连续量的形式. 本文中通过借助三个引理, 在给定条件下, 先后证明了离散形式的Hölder不等式及积分形式的Hölder不等式; 再次, 由于随机不等式是不等式领域的重要组成部分, 这种类型的不等式在许多方面都有着重要的应用, 特别是在概率论与数理统计领域中的作用突出. 因此, 我也给出了Hölder不等式的概率形式的证明.

Hölder不等式的不同形式的证明及其推广, 可使此不等式就能在初等数学阶段中给予介绍, 有利于传播和使用, 并能揭示相关结果的本质, 再充分发掘利用此结果, 能使许多问题得到新的简单而又直接的解决, 体现数学的威力, 训练使用这些知识的技巧和能力, 能为以后的发展奠定基础.

总之, 著名的Hölder不等式在分析学中起着非常重要的作用, 它的证法与推广能解决很多实际问题. 在已有结论的基础上对Hölder不等式进行证明, 推广及应用做了一些初探, 探求多种简洁的证明方法、推广形式, 通过对其不同形式的证明, 探索出了一些不等式证明的途径和相关技巧, 并通过对其在不同程度的推广, 加强了对Hölder不等式的应用.

1 预备知识

为了方便证明, 本文先给出一些必要的引理．

1.1（引理1）

设a1,a2an不全相等且q1q2qn1,qi0,i1,2,,n，

qnq2anq1a1q2a2anqn. 则G(a,q)M(a,q),即a1q1a2

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湖南理工学院 本科毕业论文 1.2(引理2)

设为一个正随机变量，r,s为任意正实数，且Er,Es存在，

则有（Ers)(Es)r.

1.3(引理3)

设,0,1, 那么对于x0， 有xx（x1时，等号成立）.

证明:考察函数f(x)xx0,

我们发现

f(1)10,

又由于 f'(x)(x11).

'x）=(x11)0, 当x1时，f（函数f(x)在上是减函数. （1，+）所以，

f(x)f(1)0,

因此，当x1时不等式成立. 当0x1时，f'(x)(x11)0,

函数f(x)在（0，1]上是增函数.

所以，

f(x)f(1)0,

因此对一切x0,不等式xx0成立. 由此引理得证.

1.4 (引理4)（基础关系式）

设A,B0, 则AB1A1B,0,1. (1) 证明：若A,B中有一个0, 则（1）式显然成立.

设A,B均不为零, 将（1）式两边同时处以B, 得

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AA1. BB令

A=x.则上式变为 Bxx1. （2）

所以, 我们只需证明（2）式成立就可以了. 令fxxx+-1，(x0,01)，则

f'xx1x11,(x0,01).

令f'xx1x11=0，得

x1.

对f'x再求导, 得

f''x1x2.

以x1代入f''x的表达式中, 得

f''1=10,由01,10.

则x1是fx的极大值点.

故f1=0是函数在0,+上的最大值.

所以，当x0时xx+1(01)成立, 从而（1）式成立. 证毕.

设xa0,由引理4的不等式可以得到abab,

b这个不等式对任何a,b0都成立, 同时这个不等式是引理1的二元形式.

1.5 (引理5)（Young不等式）

apbq11，设 a,b0,p,q1.且1,则以下不等式成立：ab pqpq当且仅当apbq等号成立.

证法一：当ab0时, 以上不等式显然成立.

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当ab0时, 令=111p11,1,则q1,(1) pq1p1pq其次, 对于xx1,(x0,01),

上式两端同时乘以bqbq0, 有abqqpapbq. pqapbq11qpqq. 证毕. 1.所以ab由1可得qpqpqpp证法二：考察函数f(x)ex.显然f(x)是凸函数.

因此，

1、当ab0时， abelnab11lnaplnbqpqe1lnap1lnbqee pq 1p1qab, pq1p1qab. pq上式不等号是由于凸函数的性质. 2、当 ab0时，显然有ab 由上述1和2, 引理5得证.

1.6 (引理6)

若fx在a,b上连续, 将a,bn等分 (分点包括两端点)， 有xiaibaba(i0,1,,n), 记等分的每个小区间长度为x, nnba而fxifa+i=faixfi, 则有：

n1n1nlimfxilimfnni1nni1证明：由xbaba,得n. nxba1bfxdx. a+ianba又由fx在a,b上连续，fx在a,b上存在定积分，

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而fxix是fx在a,b上的“积分和”的一种特殊情况.

i1nxn1b1n故有limfxilimfxif(x)dx.证毕. annnbabai1i1

1.7 (引理7)

设E是R中给定的可测集, f(x)是定义在E上的可测函数.

p1, 若f(x)可积, 称f是p幂可积的函数构成一个类， 记成Lp(E)或简称为Lp, 称为Lp空间，即Lp=f:fEppdm

对于L空间的元f, 称fp

pEfpdm1P为f的范数.

2. Hölder不等式的多种形式及证明方法

2.1 Hölder不等式的离散形式及其证明

111, 则 pq离散形式：设ak,bk0(k1,2,n),p,q1以及

abk1nkkakpbkq, 等号成立当且仅当ak与bk成比例. k1k1nn1pn1qpnak1证法一 ：nk11pk1anppnqqkakbkk1k1k1abkk1pbqnkqbkk1 1qn1akpnpk1pakk11bqnkqbqkk11nap1nbkqkn nqk1pqpk1abkkk1k1111.（应用引理5） pq第 5 页 共 14 页

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因此akbkakpbkq成立.

k1k1k1当且仅当

nn1pn1qakpak1n=pkbkqbk1n时等号成立.

qk 证法二：在引理4中, 取=则式子变为

AkBk1,AAkp, p11qAkpBk. pq将上式两边对k求和, 便得

1ABkkpk1n1nqABk, qk1k1pkn令 Akaknpakk11p,Bkbknqbkk11q

代入上式, 即有

nnak1abkk1pk1nk1ppakk111nnpqpqakbk

k1k1qp11nnnpqbk1pqabk. 1kqk1nk1qk1qbkk1即

nakbkk111pqpqababkkkk. pk1k1qk1k11p1qn1pn1qn1pn1q所以

abkk1nkqakpbk.

k1k1第 6 页 共 14 页

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证法三：在引理5中我们取

akbka,b,(k1,2,3,n). 11nppnqqakbkk1k1引理5式变为

akbknpnqakbkk1k11p1qakppakpk1nqbkqqbkk1n.

将上面两边对k求和便得 akbkk1n11pqpq ababkkkk.pk1qk1k1k11p1qn1pn1qn1pn1q所以

pqababkkkk.

k1k1k1

nnn2 .2 Hölder不等式的积分形式及其证明

积分形式：设f(x),g(x)在a,b上可积, 其中p1,q1,且

1p1q111, 则有 pqbafgdx(fdx)(gdx).

aabpbq证法一：令mbaf(fdx)p1p,nbag(gdx)q1q,

则利用引理5得

f(fdx)abp1pbag(gdx)q1q1pba1pfdxqfpgqqb

agdx两边关于x在a,b上积分有

bpabafgdx1pbq1qa(fdx)(gdx)111, pq第 7 页 共 14 页

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从而有

bafgdx(fdx)(gdx).

aabp1pbq1q得证.

证法二:设f,g为a,b上的非负可积函数，

则当f(x)0或g(x)0时, 上式显然成立.

令

（ba）xiaiaix(i0,1,,n),

n则由Hölder不等式的离散形式可知

i1nfigi(fi)(gi)　　(fif(xi),gi=g(xi)).（1）

i1i1np1pnq1q在（1）两端同时乘以

1 , 有 np1q1n1n1np figi(fi)(gi)q. （2）

ni1ni1i1np1pnq1q（2）式右端=n1(fi)(gi)

i1i1n11pq(fii1pnp)(gii11pnq)

1q1qi1nfin1pi1nqgin.

于是，（2）式就转化为

nfigifii1i1nnnp1pngii1nq. 1q而xbaba 将n代入上式, 得 ，, 故nxnpxnxnfigifibai1bai1xngibai11pq. （3） 1q第 8 页 共 14 页

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即

1n1n1nfgxfxgx（4） iiiibai1bai1bai1对（4）式两端取极限，

当n，x０时, 并由引理6得

p1pq1q1babaf.gdx1bafba1ppbdxgdx. a1q1pq1q 化简上式, 即得



babbf.gdxfdxgdx.证毕.

aapq2.3 Hölder不等式的概率形式及证明

概率形式：设为一个正随机变量, r,s为任意正实数且Er、Es存在.

s（Er）(Es)r. 则有

证明：令

rErs1a()+r,f(x)arxsasxr; ssE则由a0且f(x)在上有最小值 （0，）marssrrss[()r()sr]. sr因此有

aarssrarssrrsssr[()()r]. sr取期望得

aEaErssrarssrrss[()r()sr]， sr而

arEsasEr=arsasEsarErm(E)

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srsr(E)rssr

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所以

sr(Er)sr(Es)sr1　　即 (Er)s(Es)r.

3 Hölder不等式的推广及应用

3.1 Hölder不等式的推广 定理 n设p1i满足1,且pi0, 则对任何可测函数fpii1piL(E), i有Ef1f2...fndmf1p1f2p2...fnpn.

证明：当n2时显然成立.（即Hölder不等式的积分形式） 假设当nk时成立, 即

Ef1f2...fkdmf1pf...f 12p2np.k 这里p111i满足...1,且p0p 1p2pik下面验证当nk1时结论是否成立. 即验证当

1p1...11,且pi0时1p2pk1Ef1f2...fkfk1dmf1p1f2p2...fnp3fk1p是否成立.

k1 令1l1p1...1，

1p2pk则

1l1p1且1111k1p,

1p2pklll 由Hölder不等式得

Ef1f2...fkfk1dm

Ef1f2...fkfk1dmf1f2fklfk1pk1， 由假设得到

llp1l2Ef1f2...fkdm{E(f1)dpm}l1{(flp2lE2)dlpm}{(lpklEfk)dlpm}k.第 10 页 共 14 页

1）2） （

（

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{f1dm}Ep1lp1{f2dm}Elp2lp2{fkdm}Elpklpk．

所以

f1f2...fkl{f1f2...fkdm}E1

p2lp2{f1dm}Ep1lp1{f2dm}Epk{fkdm}Epklpkf1p1f2p2...fn

代入（2）式即得结论, 命题得证.

注：此结论形式上与Hölder不等式积分形式有细微差别, 但由于

Ef1f2fmdmf1f2fmdm恒成立，

E所以上述命题的结论也可以改成：

Ef1f2fmdmf1p1f2p2fnpn.

从定理可以看出, 当n2时，不等式就是积分形式的Hölder不等式. 因此，不等式（1）是积分形式的Hölder不等式的推广.

3.2 Hölder不等式的应用

1）卷积形式的Young不等式：设fL1(Rn),gLp(Rn)(1p), 则 fgpf1gp;

111, pq2）广义形式的Young不等式：fLp(Rn),gLq(Rn)(1p,q),则有fgLr(Rn), 且有fgrfpgq,(1111). pqr证明：当q1时，rp，就是通常的Young不等式. 当q时，r,p1，此时成立是显然的. 下面只考虑1p,q的情形，由

1111得 pqr 11111pq1r,qr， rpq第 11 页 共 14 页

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11111 ()()1，

prqrr

1pqp/(1)q/(1)rr 利用Hölder不等式得 fg111， rRnf(y)g(xy)dy

Rnf(y)1ppr1prqrg(xy)(Rn1qr(f(y)pg(xy))dy

q1rq1r fg1qf(y)g(xy)dy).

p1 对上式两端取r次方，在Rn上积分后，取次方，即得结果.

r3）积分形式的闵可夫斯基不等式：如果1p，对于uLP(),vLp()，有

uvLp()，并且uvpupvp.

证明：当p1时，由绝对值的三角不等式关系，显然成立. 当p1时，我们应用Hölder不等式积分形式的技巧来证明. 当p1时，

uvuvpp1uv

p1 uuvpvuvp1，

因此，由（2.2）Hölder不等式的积分形式我们有

uvdxuuvp1dxvuvp1dx

p1ppp1p (u)(uv)p1ppp1p(v)(uv)

即

(uvdx)(udx)(vdx)，

p1pp1pp1p 即 uv

pupvp. 证毕.

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注：当p1时，上述等号成立当且仅当存在两个不全为零的非负数c1,c2，使得

c1u(x)c2u(x)；

这里, 应用积分形式的Hölder不等式证明了上述形式的不等式.

致谢 本文是在张映辉博士的指导和帮助下完成的, 在此对张老师表示衷心的感谢!

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参考文献

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