数学建模论文之银行不良贷款问题

银行不良贷款问题之建模分析

摘要：

1.问题的提出 1.1背景知识

商业银行主要业务之一就是对项目建设、固定资产投资等进行贷款。近年来，

国有商业银行正在面临改革，入世的挑战。可谓机会与风险并存，正确处理好方方面面的问题，是国有商业银行改革成功的关键所在。目前较为突出的的问题是虽然我国银行贷

款额平稳增长，但是商业银行普遍存在的比例较高的呆，坏帐和逾期贷款等不良贷款问

题，使不良贷款率过高，给银行贷款业务的发展带来较大压力。

截至2003年国内各主要商业银行不良贷款余额及不良贷款率 单位：亿元人民币

银行名称 中国工商银行 中国建设银行 中国农业银行 中国银行 合计

贷款 29578.37 17663.88 19129.60 18161. 84533.74

不良贷款额 7598.78 2679.60 6982.03 4085.31 21345.72

不良贷款率 21.56% 11.90% 30.07% 18.07% 25.26%

1.2 现状分析

我国国有商业银行在降低不良贷款上的确下了不少功夫，如尝试制定严格的信贷管理制度，信贷业务的完全程序化改革，规定降低不良贷款的指标等。但是国有商业银行的不良资产仍严重偏高,尤其四大国有银行为最。 2004年，主要商业银行不良贷款余额减少3946亿元，下降4.56个百分点，已降至13.2％。这个比例已经远远高出世界银行业的平均水平, 银行体系的不良贷款余额和比率仍处于高位，不仅已超过《巴塞尔协议》的要求，而且与国际先进银行不良贷款比率应保持在5％以下的要求相去甚远。如果考虑各国有商业银行对外公布的

数字相对保守的因素，那我国商业银行的资产质量更是可想而知。

1.3 需要解决的问题

1.利用网洛等收集有关数据资料，建立合适的数学模型帮助银行控制不良贷款的发生金额；

2.不良贷款是多方面因素造成的，银行希望利用自己业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。

1.4附件说明（具体数据见附录）

附件1：某银行一年贷款主要业务数据

2.问题的分析及理解

2.1问题的理解

本题是一个关于影响银行不良贷款因素预测类的问题，从附件所给数据观察，题目具有数据量大，信息多的特点（数据样本观察值大于因素值，因此可以进行数据分析）。本文最终目标在于如何进行影响因素的选择，才能使得某影响因素对银行不良贷款进行控制，从而是银行贷款稳定增长并产生最大的经济效益？由于银行贷款预测是银行每年进行的重要预策，直接关系到银行的当年经济效益和长远发展战略。然而影响不良贷款的因素是多方面的，而且银行自身的数据收集和积累不足，这种情况下的预测问题在我国国有银行中普遍存在，同时也是本文处理问题的难点所在。

要在信息不足及多种因素共同影响的前提下，提出以多元线性回归为基础来进行关于不良贷款的预测，则应：

1.对数据进行分析，剔除或改变奇异数据:

见附表1中本年固定资产投资额中编号2的数据9039知，与同列的其他观察值比较，明显过大，属于奇异数据，故应使其缩小100倍得90.39属于正常值。

2. 3. 4. 5.

2.2 重要因数的理解 1.不良贷款

不良贷款(Non-Performing Loan) ，不良贷款亦指非正常贷款或有问题贷款是指借款人未能按原定的贷款协议按时偿还商业银行的贷款本息，或者已有迹象表明借款人不可能按原定的贷款协议按时偿还商业银行的贷款本息而形成的贷款。 我国曾经将不良贷款定义为呆帐贷款、呆滞贷款和逾期贷款（即“一逾两呆”）的总和。

2.各项贷款余额

贷款余额指至某一节点日期位置，借款人尚未归还放款人的贷款总额。 贷款余额不是贷款数额，贷款数额是指合同数额，是一个不变的数额。贷款余额是指截止到某一日以前商业银行已经发放的贷款总和。银行的考核指标中有存贷比，即贷款余额与存款余额之比不能超过７５％，否则就会违规，并存在很大风险，存款余额为负债指标，贷款余额为资产指标。

3.本年累计应收贷款

本年累计应收贷款的概念就是截止到报告期，累计没有收回来的贷款总数，此总数包含正常的应收贷款余额和不良贷款余额，本年累计应收贷款与不良贷款成正相关关系----即累计应收贷款余额越大，不良贷款产生的几率越高。

4.贷款项目

即贷款项目的数目。

5.本年固定资产投资额

本年固定资产投资额是指一年内以货币表现的建造和购置固定资产活动的工作量，它是反映固定资产投资规模、速度、比例关系和使用方向的综合性指标。全社会固定资产投资包括国有经济单位投资、城乡集体经济单位投资、其他各种经济类型的单位投资和城乡居民个人投资。按照我国现行管理，全社会固定资产投资总额分为基本建设、更新改造、房地产开发投资和其他固定资产投资四个部分；城乡集体经济单位投资包括城镇集体所有制单位投资和农村集体所有制单位投资；其他各种经济类型单位投资包括联营经济、股份制经济、中外合资经营、中外合作经营、外资、与合资经营、与合作经营、港澳资及其他经济的单位投资。城乡居民个人投资包括城市、县城、镇、工矿区所辖范围内的个人建房和农村个人建房及购买生产性固定资产的投资。

3.模型假设

1. 收集的各种数据真实可靠（已剔除或修改奇异数据)，所得数据可以反映不良贷款的相关情况；

2. 近5年内人民币汇率和银行利率变动对不良贷款等本文相关指标无显著影响；

3. 忽略突发性事件对不良贷款造成的损失（如地震、金融危机等）； 4. 假设银行对不良贷款预测的弹性需求为线性；

5. 假设社会环境稳定，社会关于银行贷款方面无较大调整； 6. 本文不考虑各银行之间的竞争力关系影响；

注：上述假设是模型建立中的全局假设，在后面的模型建立中可能会引入局部性假设。

4.符号说明

符号YX1X2X3X4DFSSMS2RrU符号说明不良贷款各项贷款余额本年累计应收款贷款项目个数本年固定资产投资自由度偏向差平方和方差判定系数相关系数四元回归的偏向差平方和

5 模型的建立与求解

5.1建模思路

关于对于银行不良贷款问题的分析，我们不仅要从各项贷款余额、本年累计应收贷款、贷款项目个数、本年固定值产投资额等4方面来逐一分析，更要注意这些因素综合起来及彼此间相互作用对不良贷款可能产生的影响。目前，有很多关于预测分析的方法，如：定性预测、时间序列分析、因果联系、移动平均预测法、线性回归预测方法等，而在本文中应根据表1其数据特点来采用线性回归预测方法，而根据我们筛选出来的对不良贷款影响的主要因素来作为建模的因素。

5.2 模型的建立

应用EXCEL分别计算Ｙ与Ｘ１、Ｘ２、Ｘ３、Ｘ４的相关系数，了解彼此间的相关性，在此基础上进行回归统计、方差分析、以及回归分析等方法进行数据的进一步分析，得出的结果用t检验法法检验Ｘ与Ｙ相关性的显著性；，接着用Ｆ检验法进行线性相关性质显著性的检验。

5.1.1根据数据选择变量X1、X2、X3、X4和Y分别代表各项贷款余额、本年累计应收贷款、项目贷款个数、半年固定资产投资额和不良贷款，将各个变量的值输入excel。

5.2.2.根据EXCEL绘制计算表及拟合散点图，算出Y与X1、X2、X3、X4的相关系数

5.2.3.分别对Y与X1、X2 、X3、X4 的回归统计、方差分析、回归分析

如图 知在回归统计中知道Y分别与X1、X2 、X3、X4相关系数简单判断出X1、X2 、X3、X4均与Y有正相关，其散点图如下：

141210 不良贷款14121082不良贷款8200 00102030贷款余额 不良贷款与贷款余额的散点图1412 100200300400 累计应收贷款 不良贷款与累计应收贷款的散点图1412不良贷款不良贷款10820010820 10203040贷款项目个数050100150200固定资产投资额 不良贷款与贷款项目个数的散点图

5.2.4相关公式解释及检验

r不良贷款与固定资产投资额的散点图1.相关系数r的公式：

(xx)(yy)(xx)(yy)22

由图知全部的因素X与Y的相关系数均大于0，属于正相关。其中Y与X1之间是高度相关，Y与其他X因素间属于中性相关；同理知X值彼此间也有相关性。

2.利用t值检验法检验相关性显著情况：

假设：Ｈ０：Ｘ与Ｙ之间相关系数r=0，ｈａ：Ｘ与Ｙ之间相关系数r<>0，@=0.05

由回归分析及上图知t检测法知根据显著性水平@＝0.05，查t分布表得t@(n-2)=2.069

由于t绝对值=>t@(25-2)=2.069，拒绝H0，肯定Ha,即Ｘ与Ｙ之间相关性呈显著，X值彼此之间也相关性显著。 2.

FSSR1SSEn2nMSRMSE~F(1,n2)

22ˆyyinR判定系数

2SSRSSTyˆiyi1ni112yyi2ˆyyii1i1n

再在方差分析中知F值=8.4846510118》F标准0.05=0.0078342639782，即可知F检验知有统计学意义，线性相关性显著，建立Y分别与X1、X2 、X3、X4的线性回归是有意义的，再由判定系数知道在Y取值的变差中，有R2的百分值可以表示出Y值与X值之间的线性关系来解释,即由X值决定Y值程度。（其中X1决定Y值的程度最大，在Y取值

的变差中，有71.16%可以由Y与X1之间的线性关系来解释）

在这里可以各自的散点图做出来，回归呈线性图，求出各自的线性方程，已知一元线性回归方程Y= b0 + b1 x + e （b0、b1是参数）

nn且由参数的最小二乘估计知：

Q0Q1ˆ00i1ˆ)(yiy2i1ˆˆx)2最小(yi01i

ˆˆx)202(yi01ii1n

ˆ11ˆˆx)202xi(yi01ii1n

nˆ1ni1nnxiyixiyii1i1nni1n2xixii12

ˆyˆx01

再由标准误差公式:

估计出标准误差值，反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小

Y1=-0.82952+0.0375 X1 (SE=1.97994753271768) Y2=-0.31814+0.416784 X2 (SE=2.51388581348362) Y3=-0.7231+0.295165 X3 (SE=2.63198113359876) Y4=0.976576+0.04666 X4 (SE=3.15122963786683)

5.3 改进模型

由上个模型知，我们算出各自因素X分别于Y的相关性及线性方程，但我们忽略了各个因素X之间的相互作用及直接、间接对Y的影响，因此我们需要将模型改进为多元线性回归方程的预测，计算因素终和的影响。 5.31 计算

Y与X1、X2 、X3、X4 总的的回归统计、方差分析、回

归分析

由多元相关系数R=203页知

由图知 在总的方差分析中知F值=18.111275707 > F标准

0.05=2.8047055543E-06，F检验可知有统计学意义，建立Y与X1、X2、

X3、X4的多元线性回归方程是有意义的，通径分析也是有意义的。 经过用EXCELL回归方程式的选择分析或最优多元线性回归的统计选择，筛选出与Y确实相关的因素X：

由于

X3的P-value值>0.05，说明X3对整体的线性影响不显著，则筛掉X3进行三元回归：

由于X2的P-value值>X2的P-value值>0.05，说明X3对整体的线性影响不显著，则筛掉X2进行二元回归 -

由于X1、X4的P-value值<0.05，说明其对整体的线性影响显著

最后得出结果，X1、X4对Y确实有线性相关。（X1的标准误差=0.00748，X4的标准误差=0.01497）

且已知多元回归方程的各个偏回归系数是，b1=0.050332133 b4= -0.031901232 具有有统计学意义。 即得出的线性回归方程为：

Y= -0.444205907 + 0.050332133X1 -0.031901232X4 5.3.2 进行通径系数的分析 先列出标准差表

标准差（即各自变量的开平发）Sx1 Sx4

根据通径系数公式计算

即找出对Y影响最大的因素是X1。

6.模型的检验 6.1结果表示：

及Sy 我们通过上述分析知:

首先，我们利用数据特点分别构建了四个一元线性回归模型，利用相关系数计算其相关程度，并用t检验法证明X与Y的相关性显著，再用F检验法验证了其X与Y的线性相关性，证明其统计学意义，最后利用参数的最小二乘估计法估计出参数b的值，分辨估计其标准误差得出：

Y1=-0.82952+0.0375 X1 (SE=1.97994753271768) Y2=-0.31814+0.416784 X2 (SE=2.51388581348362) Y3=-0.7231+0.295165 X3 (SE=2.63198113359876) Y4=0.976576+0.04666 X4 (SE=3.15122963786683)

接着，考虑到因素之间的相互作用及对y的影响，构建了一个4元线性回归方程模型，同上再次用到了相关系数，t检验法、f检验法和参数的最小二乘及标准误差估计法得出： Y=

由上述公式知各项贷款余额和本年固定资产投资额共同影响着不良贷款，又由通径分析P1大于P2知影响不良贷款的最大因素是各项贷款余额。

6.2 模型拟合度的检验

拟合度检验是对已制作好的预测模型进行检验，比较它们的预测结果与实际发生情况的吻合程度。我们用拟合度判定系数R来反映回归直线的拟合程度。

2

公式：

由表得出：R2=0.760924由此我们可以知道在Y取值的变差中，有76.09%可以由Y与X1、X4之间的线性关系来解释.

7回归预测 由上

8评价与推广

本文选用了线性回归模型的思路，根据表中合理的数据及特点构建成了线性回归模型，从两个方面对此模型进行了数据分析，得出了较为正确，合理的结论。本模型不仅可用于评判几种影响不良贷款的因素的

合理性，还可以将进出口总额、货币供应量、股票价格指数作为变量，同时讨论对不良贷款的进一步影响的的合理性。此外，本模型还可以进一步优化，为我股经济发展，做些详情预测。总之，本模型有极强的可推广性，适合大多数的评判问题。（本模型数据全部由excel数据处理，简单明了，通俗易懂）

9对银行领导的建议