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第七章 期权价值评估（六）
【例题12•计算题】假设A公司的股票现在的市价为40元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格均为40.5元，到期时间均是1年。根据股票过去的历史数据所测算的连续复利收益率的标准差为0.5185，无风险利率为每年4%。
要求：
（1）建立两期股价二叉树图；（2）建立两期期权二叉树图；
（3）利用两期二叉树模型确定看涨期权的价格。
【答案】
（2）期权二叉树：Cuu=83.27-40.5=42.77
（3）解法1：
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上行概率=解法2：
2%=上行概率×44.28%+（1-上行概率）×（-30.69%）上行概率=0.4360
下行概率=1-0.4360=0.50
Cu=（上行概率×上行期权价值＋下行概率×下行期权价值）÷（1＋持有期无风险利率）=（0.4360×42.77＋0.50×0）/（1＋2％）=18.28（元）
Cd=（上行概率×上行期权价值＋下行概率×下行期权价值）÷（1＋持有期无风险利率）=0
期权价格C0=（0.4360×18.28＋0.50×0）/（1＋2％）=7.81（元）
(三)布莱克－斯科尔斯期权定价模型（BS模型）1.假设
（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；（2）股票或期权的买卖没有交易成本；
（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；（5）允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；（6）看涨期权只能在到期日执行；
（7）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。2.公式
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教材【例7－13】沿用例7-10的数据，某股票当前价格为50元，执行价格为52.08元,期权到期日前的时间为0.5年。每年复利一次的无风险利率为4%，相当连续复利的无风险利率rc=ln(1.04)=3.9221%,连续复利的标准差σ=0.4068,即方差 σ2=0.1655【补充要求】 （1）计算期权的价格；
（2）利用敏感分析法分析股价、股价的标准差、利率、执行价格和到期时间对于期权价值的影响。
【解析】
d1=
d2=0.07-0.4068×N(d1)=N(0.070)=0.5280
=-0.217
N(d2)=N(-0.217)=0.4140
C0=50×0.5280-52.08×e-3.9221%×0.5×0.4140=26.40-52.08×0.9806×0.4140=26.40-21.14
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=5.26（元）
【提示】随着二叉树模型设置期数的增加，其计算结果不断逼近BS模型。根据例7-10的资料，采用单期二叉树模型计算的期权价值是6.62元，采用两期二叉树模型计算的期权价值是5.06，采用6期二叉树模型计算的期权价值是5.30元，采用BS模型计算的期权价值是5.26元。（2）
（1）当前股票价格：如果当前股票价格提高20%，由50元提高到60元，期权价值由5.26元提高到11.78元，提高123.92%。可见，期权价值的增长率大于股价增长率。
（2）标准差：如果标准差提高20%，期权价值提高21.73%。可见，标的股票的风险越大，期权的价值越大。
（3）利率：如果利率提高20%，期权价值提高1.58%。可见，虽然利率的提高有助于期权价值的提高，但是期权价值对于无风险利率的变动并不敏感。
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（4）执行价格：执行价格提高20%，期权价值降低57.55%。可见，期权价值的变化率大于执行价格的变化率。值得注意的是，此时期权价值的下降额（5.26-2.23=3.03）小于执行价格的上升额（62.50-52.08=10.42）。
（5）期权期限：期权期限由0.5年延长到0.6年，期权价值由5.26元提高到5.元。可见，期权期限的延长增加了股票价格上涨的机会，有助于提高期权价值。
3.参数估计（1）无风险利率
①期限要求：无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。
②这里所说的国库券利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率），而不是票面利率。
③模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率，而不是常见的年复利。连续复利假定利息是连续支付的，利息支付的频率比每秒1次还要频繁。
如果用F表示终值，P表示现值，rc表示无风险利率，t表示时间（年）： 则：F=P×
即：rc＝[ln（F/P）]/t
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前【例7－13】沿用【例7-10】的数据，某股票当前价格50元，执行价格52.08元，期权到期日前的时间为0.5年。每年复利一次的无风险利率4%，相当连续复利的无风险利率rc=ln(1.04)=3.9221%。教材【例7－14】 假设t=1年，F=104元，P=100元，则：rc=ln（104/100）÷1=ln(1.04)÷1=3.9221%
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