用LINGO求解整数规划

在LINGO中，输入总是以model:开始，以end结束；中间的语句之间必须以“；”分开；

LINGO不区分字母的大小写；

目标函数用MAX=…；或MIN=…；给出（注意有等号“=”）。

在LINDO中所有的函数均以“@”符号开始，如约束中@gin(x1)表示x1为整数，用@bin(x1)表示x1为0-1整数。

在现在的LINDO中，默认设置假定所有变量非负。 函数中变量的界定：

@GIN(X)：X为整数 @BIN(X)：限定变量X为0 或 1。

@FREE(X)：取消对x的符号（即可取任意实数包括负数）

@BND(L,X,U)： L<= X <= U LINGO提供了大量的标准数学函数： @abs(x)???????????? 返回x的绝对值

@sin(x)???????????? 返回x的正弦值，x采用弧度制 @cos(x)???????????? 返回x的余弦值 @tan(x)???????????? 返回x的正切值 @exp(x)???????????? 返回常数e的x次方 @log(x)???????????? 返回x的自然对数

@lgm(x)???????????? 返回x的gamma函数的自然对数 @sign(x)??????????? 如果x<0返回-1；否则，返回1 @smax(x1,x2,…,xn)? 返回x1，x2，…，xn中的最大值 @smin(x1,x2,…,xn)? 返回x1，x2，…，xn中的最小值 例1：整数规划模型在LINGO中可以如下输入： model:

Max=5*x1+8*x2; ！*号不能省略

x1+x2<=6; !约束条件和目标函数可以写在model：与end之间的任何位置 5*x1<=45-9*x2;

@gin(x1);@gin(x2); ！和LINDO不同，不能写在end之后 end

运行后同样得到最优解为x1=0，x2=5，最优值为40。

例2：在线性规划中的应用

max Z =5X1+3X2+6X3, s.t.

X1 +2 X2 + X3 ≤18 2 X1 + X2 +3 X3 =16 X1 + X2 + X3 =10

X1 ,X2 ≥0 , X3 为自由变量

应用LINGO 来求解该模型，只需要在 lingo窗口中输入以下信息即可： max=5*x1+3*x2+6*x3; x1+2*x2+x3<=18; 2*x1+x2+3*x3=16; x1+x2+x3=10; @free(x3);

然后按运行按钮，得到模型最优解，具体如下： Objective value: 46.00000 Variable Value Reduced Cost x1 14.00000 0.000000 x2 0.000000 1.000000 x3 -4 .000000 0.000000

由此可知，当 x1 =14 , x2 =0 , x3 =-4 时，模型得到最优值，且最优值为 46。 说明：在利用LINGO 求解线性规划时，如自变量都为非负的话，在LINGO 中输入的信息和模型基本相同；如自变量为自由变量，可以使用函数 @free来把系统默认的非负变量定义自由变量，如实例一中的 x3。 例3、用LINGO求解整数线性规划问题：

1、 模型的输入

使用LINGO求解上述整数规划模型，LINGO程序如下：

MODEL:

max=3*x1+4*x2+8*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; x1+2*x2+3*x3<=100; 3*x1+5*x2+7*x3<=700; x1<=200*y1; x2<=150*y2; x3<=300*y3;

@GIN(x1);@GIN(x2);@GIN(x3); @BIN(y1);@BIN(y2);@BIN(y3); END

2、 执行

点击LINGO菜单下的SOLVE键，或按CTRL+S键，即可求得问题的解。

此问题的解为：x1100,x20,x30,y11,y20,y30，最优值为：200。 当运用LINGO求解此问题后，系统会弹出一个名为Solution Report的文本框，其文本框中包含了求解的详细信息，如下：

Rows= 8 Vars= 6 No. integer vars= 6 ( all are linear) Nonzeros= 28 Constraint nonz= 18( 4 are +- 1) Density=0.500 Smallest and largest elements in abs value= 1.00000 700.000 No. < : 7 No. =: 0 No. > : 0, Obj=MAX, GUBs <= 3 Single cols= 0

Global optimal solution found at step: 4 Objective value: 200.0000 Branch count: 0

Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 -3.000000 X2 0.0000000 -4.000000 X3 0.0000000 -8.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.0000000 150.0000 Y3 0.0000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 200.0000 1.000000 2 300.0000 0.0000000 3 100.0000 0.0000000 4 0.0000000 0.0000000 5 400.0000 0.0000000 6 100.0000 0.0000000 7 0.0000000 0.0000000 8 0.0000000 0.0000000

3、 LINGO程序注解

MODEL：LINGO模型程序的开始标志。 END：LINGO模型程序的结束标志。

max=3*x1+4*x2+8*x3-100*y1-150*y2-200*y3：表明目标函数是

3x14x28x3100y1150y2200y3，问题为求最大值。

2*x1+4*x2+8*x3<=500：对应约束条件2x14x28x3500，其余类似。 @GIN(x1)：对应约束条件x1为整数，函数@GIN用来限定变量为整数，其余类似。 @BIN(y1)：对应约束条件y1为0－1变量，函数@BIN用来限定变量为二进制整数。 例4、非线性整数规划 min=x+3*y^2+@exp(x);

2*x+3*y>10; 5*x-y<6;

@gin(x);@gin(y);

运行结果：

Local optimal solution found at iteration: 124 Objective value: 30.71828

Variable Value Reduced Cost X 1.000000 3.718280 Y 3.000000 18.00000