初中函数综合试题(附答案)

一、选择题：（每小题3分，共45分）

1．已知h关于t的函数关系式为h12gt2，（g为正常数，t为时间），则函数图象为（ ）

（A） （B） （C） （D） 2．在地表以下不太深的地方，温度y（℃）与所处的深度x（km）之间的关系可以近似用关系式y＝35x＋20表示，这个关系式符合的数学模型是（ ）

（A）正比例函数 （B）反比例函数． （C）二次函数 （D）一次函数 3．若正比例函数y＝（1－2m）x的图像经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时y1＞y2，则m的取值范围是（ ） （A）m＜0 （B）m＞0 （C）m＜1 （D）m＞122 4．函数y = kx + 1与函数yxk在同一坐标系中的大致图象是（ ）精心整理

（A） （B） （C） （D）

5．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数yax2(ac)xc与一次

函数y＝ax＋c的大致图像，有且只有一个是

正确的，正确的是（ ）

（A） （B） （C） （D） 6．抛物线y2(x1)21的顶点坐标是（ ）

A．（1，1）B．（1，－1）C．（－1，1）D．（－1，－1）

7．函数y=ax+b与y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列选项中正

确的是（ ） A． ab>0， c>0 B． ab<0， c>0 C． ab>0， c<0 D． ab<0， c<0 8．已知a，b，c均为正数，且k=abbcaccab，在下列四个点中，正比例函数ykx 的图像一定经过的点的坐标是（ ）

A．（l，1） B．（l，2） C．（l，－122） D．（1，

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－1）

9．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，AEBD=6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC，P与平行四边形的两条边分别交于点E，F．设BFCBP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为……………（ ）10．如图4，函数图象①、②、③的表达式应为（ ） （A）y542x，yx2，yx

（B）y52x， yx2，y4x

（C）y542x，yx2，yx

（D）y52x，yx2，y4x

11．张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（ ） 12．二次函数y=x2-2x+2有 （ ） A． 最大值是1 B．最大值是2 C．最小值是1 D．最小值是2

13．设A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=2x图象上的两点，若x1DA． y2< y1<0 B． y1< y2<0 C． y2> y1>0 D． y1> y2>0 14．若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上，则c的值是 ( )

A． 9 B． 3 C．-9 D． 0

15．二次函数yx23x32的图象与x轴交点的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定y P 二、填空题：（每小题3分，共30分）

D O x 1．完成下列配方过程： 第

3

x22px1＝x22px________________

＝x_____2_______；

2．写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限：_________． 3．如图，点P是反比例函数y2x上的一点，PD⊥x轴于点D，则△

POD的面积为 ； 4、已知实数m满足m2m20，当m=___________时，函数

yxmm1xm1的图象与x轴无交点．

5．二次函数yx2(2m1)x(m21)有最小值，则m＝_________；

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6．抛物线yx22x3向左平移5各单位，再向下平移2个单位，所得

抛物线的解析式为___________；

7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可 盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价__________； 8．某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学生出手处为A（0，2），铅球路线最高处为B（6，5），则该学生将铅球推出的距离是________； 9．二次函数yax2bxc(a0)的图像与x轴交点横坐标为－2，b，图像与y轴交点到圆点距离为3，则该二次函数的解析式为___________；

10．如图，直线ykx2(k0)与双曲线ykx在第一象限内的交点R，与x轴、y轴的交点分别为P、Q．过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k的值等于 ．

三、解答题：（1－3题，每题7分，计21分；4－6题每题8分，计24分；本

题共45分）

1已知二次函数yx2bxc的图像经过A（0，1），B（2，－1）两点．

（1）求b和c的值；

（2）试判断点P（－1，2）是否在此函数图像上？

2．已知一次函数ykxk的图象与反比例函数y8x的图象交于点P(4，

n)． （1）求n的值．（2）求一次函数的解析式．

3．看图，解答下列问题． （1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象． 4．已知函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2） （1） 求这个函数的解析式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x>0时，求使y≥2的x的取值范围．

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5．某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时

间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示：

每件销售价（元） 50 60 70 75 80 85 … 每天售出件数 300 240 180 150 120 90 … 假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律． （1）观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系，并写出该函数关系式． （2）门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元． 求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计） 6．如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状． （1） （2） （1）一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；

（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数据：3.36≈1.8，

3.≈1.9，4.36≈2.1） 7．已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2．

（Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且

AB＝5，试求m 的值； （Ⅱ）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值．

参： 一、选择题： 1．A 2．D 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 9．A 10．C 11．D 12．C 13．C 14．A 15．C 二、填空题：1．p2，1p2，p，1p2 ． 2 y=2x 3． 1 4．2或－1 5． 54 6．yx28x10 7．10元或20元

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8．6＋25 9． y1x2x3或 y144x2x3 10．22

三、解答题： 1．

2．解：（1）由题意得：n84，n2. （2）由点P（4，2）在ykxk上，24kk, k25． 一次函数的解析式为y2x255． 3．解：（1）由图可知A（－1，－1），B（0，－2），C（1，1） 设所求抛物线的解析式为y＝ax2

＋bx＋c abc1，a2， 依题意，得c2， 解得b1， ∴ y＝2x2＋x－2． abc1c2 （2）y＝2x2

＋x－2＝2（x＋1）2－1748 ∴ 顶点坐标为（－11714，8），对称轴为x＝－4 （3）图象略，画出正确图象

4．解：（1）函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2） ∴9+3b-1=2，解得

b=-2 ． ∴函数解析式为y=x2-2x-1 （2）y=x2-2x-1=(x-1)2-2 ，图象略， 图象的顶点坐标为（1，-2）

（3）当x=3 时，y=2， 根据图象知，当x≥3时，y≥2

∴当

x>0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3．

5．解：（1）由统计数据知，该函数关系为一次函数关系，每天售出件

数y与每件售价x之间的函数关系为： y6006x．

（2）当y168时， 1686x600， 解得：x72； 设门市部每天纯利润为z ①当x72时，y168

当x70时，zmax5280

②当x72时，y168 zx406006x4026x7025320

x70时，y随x的增大而减少 x72时，zmax62253205296

52965280 当x72时，纯利润最大为5296元．

6． （1） （2）

解：（1）如图，建立直角坐标系， 设二次函数解析式为 y＝ax2

＋c ∵ D（－0.4，0.7），B（0.8，2.2）， ∴ 0.16a＋c＝0.7，0.a＋c＝2.2．

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∴ a＝28， ∴绳子最低点到地面的距离为0.2米． 5c＝0.2． （2）分别作EG⊥AB于G，FH⊥AB于H， AG＝1（AB－EF）＝122（1.6－0.4）＝0.6． 在Rt△AGE中，AE＝2，EG＝AE2－AG2＝220.62＝3.≈1.9． ∴ 2.2－1.9＝0.3（米）． ∴ 木板到地面的距离约为0.3米．

7．解： (I)设点Ａ（x1，0），B(x2，0) ， 则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根．

∵x1 ＋ x2 ＝m ， x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2； 又AB＝∣x1 x2∣＝（x221+x2）4x1x25，∴m－4m＋3=0 ． 解得：m=1或m=3(舍去) ，∴m的值为1 ． （II）设M(a，b)，则N(－a，－b) ． ∵M、N是抛物线上的两点， ∴a2mam2b,①a2mam2b.② y C ①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 ． ∴a2＝－m＋2．

N O x M ∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N． ∴a2m．

这时M、N到y轴的距离均为2m， 又点C坐标为（0，2－m），而S△M N C = 27 ，

∴2×12×（2－m）×2m=27 ． ∴解得m=－7 ． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

中考试题分类汇编--函数综合题

1. 如图，已知点A（tanα，0），B（tanβ，0）在x轴正半轴上，点A在点B的左边，α、β 是以线段AB为 斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角． （ 1 ）若二次函数 y ＝－ x 2－ 5 kx ＋（ 2 ＋ 2k － k 2

2 ）的图象经过 A、B两点，求它的解析式； （2）点C在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由． 解：（1）∵ α，β是Rt△ABC的两个锐角，

∴ tanα·tanβ＝1．tanα＞0，tanβ＞0． 由题知tanα，tanβ是方程 x2＋52kx－（2＋2k－k2）＝0的两个根，

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∴ tanx·tanβ＝（2＝2k－k）＝k－2k－2，∴ k－2k－2＝1． 当x＝

2

2

2

1793时，y＝≠ 10255 解得，k＝3或k＝－1． ∴ 点C不在（1）中求出的二次函数的图象上． 而tanα＋tanβ＝－52k＞0，

∴ k＜0．∴ k＝3应舍去，k＝－1． 故所求二次函数的解析式为y＝－x2＋52x－1． （2）不在． 过C作CD⊥AB于D． 令y＝0，得－x2

＋52x－1＝0，

解得x11＝2，x2＝2． ∴ A（12，0），B（2，0），AB＝32．

∴ tanα＝12，tanβ＝2．设CD＝m．则有CD＝AD·tanα＝12AD． ∴ AD＝2CD．

又CD＝BD·tanβ＝2BD，

∴ BD＝12CD．

∴ 2m＋12m＝32．

∴ m＝35．∴ AD＝65．

∴ C（17310，5）．

2．已知抛物线yx2kxb经过点P(2，3)，Q(1，0)． y （1）求抛物线的解析式． （2）设抛物线顶点为N，与y轴交点为A．求sin∠AONQ的值． O M x

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为M，求四边形OANMA的面积． N 解：（1）解方程组01kb342kb

得k2b3，yx22x3． （2）顶点N(1，4)，ON17，sin∠AON1717． （3）在yx22x3中，令x0得y3，A(0，3)， 令y0得x1或3，M(3，0)． S四边形S3△OANS△ONM267.5（面积单位） 3．如图9，抛物线y=ax2+8ax+12a与x轴交于A、B两点（点A在点B的

左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ ACB为直角,且恰使

△OCA∽△OBC. y(1) 求线段OC的长. C(2) 求该抛物线的函数关系式．

OABx图9精心整理

(3) 在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？ 若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在， 请说明理由.

解：（1）23；（2）y33x2833x43；（3）4个点： 4．已知函数y=2x和y=kx+l(k≠O)．

(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值； (2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点? 解；(1) ∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴a21∴a2ak1k1 (2)将y＝

22x代人y=kx+l，消去y．得kx+x一2=0． ∵k≠O，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可． ∵△＝1＋8k，

∴1+8k≥0，解得k≥一18

∴k≥一18且k≠0．

5．已知如图，矩形OABC的长OA=3，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。

（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）；

（2）若P，A两点在抛物线y=－43 x2

+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；

（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由. （1）30,（332,2）; （2）∵点P（32,3），A（3，0）在抛物线上，故 -4×3

+b×32342

+c=342,-3×3+b×3 +c=0, ∴b=3,c=1. ∴抛物线的解析式为

y=-423x+3x+1,C点坐标为（0，1）. ∵-42

3×0+3×0+1=1， ∴ 点C在此抛物上. 6.如图，二资助函数yx2bxc的图象经过点M（1，

—2）、N（—1，6）. （1）求二次函数yx2bxc的关系式.

（2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5。将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.

解：（1）∵M（1，－2），N（－1，6）在二次函数y = x2+bx+c的图象

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上，

∴1bc2, b4,1bc6.解得

c1.二次函数的关系式为y = x2－4x+1. （2）Rt△ABC中，AB = 3，BC = 5，∴AC = 4， 解得x41612227. ∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移17个单位. 7.如图，在平面直角坐标系中，两个函数yx,y12x6的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S. （1）求点A的坐标.

（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式. （3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由. （4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________.

解：（1）由yx,x4,y1 可得 2x6,y4. ∴A（4，4）。 （2）点P在y = x上，OP = t，

则点P坐标为(22t,22t). 点Q的纵坐标为22t，并且点Q在y12x6上。 ∴22t12x6,x122t， 即点Q坐标为(122t,22t)。 PQ12322t。 当12322t22t时，t32。 当0＜t32时， 当点P到达A点时，t42， 当32＜t＜42时， 92t2362t144。

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（3）有最大值，最大值应在0＜t32中，

当t22时，S的最大值为12. （4）t122. 8．已知一次函数y=

3+m(O(1)直线AC的解析式为________，直线l的解析式为________ (可以含m)；

(2)如图，l、l分别与△ABC的两边交于E、F、G、H，当m在其范围内变化时，判断四边形EFGH中有哪些量不随m的变化而变化?并简要说明理由；

(3)将(2)中四边形EFGH的面积记为S，试求m与S的关系式，并求S的变化范围；

(4)若m=1，当△ABC分别沿直线y=x与y=3x平移时，判断△ABC介于直线l，l之间部分的面积是否改变?若不变请指出来．若改变请写出面积变化的范围．(不必说明理由) 解： (1)y=

3x +2 y=3x-m

(2)不变的量有：

①四边形四个内角度数不变， 理由略；

②梯形EFGH中位线长度不变(或EF+GH不变)，理由略．

(3)S=433m 0(4)沿y=3x平移时，面积不变；沿y=x平移时，面积改变，设其面

积为S，则 0顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)OA=6，OB=12 ，

点C是线段AB的中点，OC=AC.

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作CE⊥x轴于点E． ∴ OE=12OA=3，CE=1

2OB=6．

∴ 点C的坐标为(3，6). (2)作DF⊥x轴于点F

△OFD∽△OEC，OD2

OC=3，于是可求得OF=2，DF=4． ∴ 点D的坐标为(2，4). 设直线AD的解析式为y=kx+b．

把A(6，0)，D(2，4)代人得6kb02kb4， 解得k1b6， ∴ 直线AD的解析式为y=-x+6 . (3)存在．

Q1(-32，32)； Q2(32，-32)； Q3(3，-3) ； Q4(6，6) .

10. 在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(4,0),设P、Q分别是线段AB、

OB上的动点,它们同时出发,点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运

动,点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动.设运动时间为t(秒). (1)用含t的代数式表示点P的坐标; (2)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?

(3)在什么条件下,以Rt△OPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线?选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式. 解:(1)作PM⊥y轴,PN⊥x轴.∵OA=3,OB=4,∴AB=5.

∵PM∥x轴,∴PMOBAPAB.∴PM3t1245.∴PM=5t. ∵PN∥y轴,∴PNPBPN5OAAB.∴3t35.∴PN=3-95t. ∴点P的坐标为(125t,3-95t).

(2)①当∠POQ=90°时,t=0,△OPQ就是△OAB,为直角三角形. ②当∠OPQ=90°

时,△OPN∽△PQN,∴PN2=ON?NQ.(3-95t)2=

125t(4-t-125t).

化简,得19t2-34t+15=0.解得t=1或t=1519.

③当∠OQP=90°时,N、Q重合.∴4-t=12205t,∴t=17.

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综上所述,当t=0,t=1,t=1519,t=2017时,△OPQ为直角三角形. (3)当t=1或t=

1519时,即∠OPQ=90°时,以Rt△OPQ的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y轴的抛物线.当t=1时,点P、Q、O三点的坐标分

别为P(

125,65),Q(3,0),O(0,0).设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x-0),即y=a(x2-3x).将P(125,65)代入上式,得a=-56.∴y=-56(x2-3x). 即y=-56x2+52x.

说明:若选择t=1519时,点P、Q、O三点的坐标分别是P(363061196119,19),Q(19,0),O(0,0).求得抛物线的解析式为y=-30x2+30x,相应给分.

11．已知：抛物线yx22xm（m>0）与y轴交于点C，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点.

（1）求C点、C′点的坐标（可用含m的代数式表示） （2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P点的坐标（可用含y m的代数式表示）

（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长. O x 12．抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是（ A ） A．（1，1） B．（-1，1） C．（-1，-1） D．（1，-1）

13．如图，△OAB是边长为23的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF. （1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标； （2）当A′E//x轴，且抛物线y16x2bxc经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；

（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由. 解：（1）由已知可得∠A，OE=60o , A，E=AE

由A′E//x轴,得△OA，E是直角三角形， 设A，的坐标为（0，b） AE=A，E=3b,OE=2b 所以b=1，A，、E的坐标分别是（0，1）与（3，1） （2）因为A，、E在抛物线上，所以

所以c1y1x23x1 3，函数关系式为b666精心整理

由16x236x10得x13,x223

与x轴的两个交点坐标分别是（3，0）与（23，0） （3）不可能使△A′EF成为直角三角形. ∵∠FA，E=∠FAE=60o,若△A′EF成为直角三角形,只能是∠A，EF=90o或∠A，

FE=90

o

若∠A，EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A，、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；

同理若∠A，FE=90o也不可能

所以不能使△A′EF成为直角三角形. 14.已知抛物线y=x2—4x+1.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线.

⑴求平移后的抛物线解析式;

⑵若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m的取值范围;

⑶若将已知的抛物线解析式改为y=ax2+bx+c(a＞0，b＜0)，并将

此抛物线沿x轴方向向左平移 -ba个单位长度，试探索问题⑵．

(1)解：yx24x1 配方，得y(x2)23，

向左平移4个单位，得y(x2)23 ∴平移后得抛物线的解析式为yx24x1

(2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(－2，－3)

解yx24x1x0yx24x1，得y1 ∴两抛物线的交点为（0，1）

由图象知，若直线y＝m与两条抛物线有且只有四个交点时，m＞－3且m≠1

（3）由yax2bxc配方得，ya(xb24acb22a)4a

向左平移ba个单位长度得到抛物线的解析式为

∴两抛物线的顶点坐标分别为(b4acb22a,4a)，(b4acb22a,4a) 解ya(xb)4acb22a4a 得，x0 2ya(xb)4acbyc 2a4a∴两抛物线的交点为（0，c）

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由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是：

m＞4acb24a且m≠c

15.直线y33x1分别与x轴、y轴交于B、A两点． ⑴求B、A两点的坐标；

⑵把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平

面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD

求D点的坐标． 解：如图（1）令x=0，由y33x1 得 y=1 令y=0，由y33x1 得x3 ∴B点的坐标为（3，0），A点的坐标为（0，1） （2）由（1）知OB=3，OA=1 ∴tan∠OBA=

OAOB=33 ∴∠OBA=30° ∵△ABC和△ABO关于AB成轴对称

∴BC=BO=3，∠CBA=∠OBA=30° ∴ ∠CBO=60° 过点C作CM⊥x轴于M，则在Rt△BCM中 CM=BC×sin∠CBO=3×sin60°=32 BM=BC×cos∠CBO=3×cos60°=

32∴OM=OB－BM=3－332=2 ∴C点坐标为（32，32） 连结OC ∵OB=CB，∠CBO=60° ∴△BOC为等边三角形 过点C作CE∥x轴，并截取CE=BC则∠BCE=60° 连结BE则△BCE为等边三角形． yCE作EF⊥x轴于F，则EF= CM=32，ABF=BM=32 OMBFxOF=OB+BF=3+

332=32 精心整理

∴点E坐标为（

332，32） ∴D点的坐标为（0，0）或（

332，32） 16．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．

(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象； (3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出x为何值时，y>0．

解：(1)由图象，可知A(0,2)，B(4,0)，C(5,-3)， 得方程组

解得

∴抛物线的解析式为

顶点坐标为(第25题) (2)所画图如图．

(3)由图象可知，当-10． 17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B(5，0)，M为等腰梯形OBCD底边OB

(第28题)

上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60°． (1)求直线CB的解析式： (2)求点M的坐标；

(3)∠DMC绕点M顺时针旋转α(30°<α<60°)后，得到∠D1MC1(点D1，C1依次与点D，C对应)，射线MD1交直线DC于点E，射线MC1交直线CB于点F，设DE=m，BF=n． 求m与n的函数关系式． 解：(1)过点C作CA⊥OB，垂足为A．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠CBO=60°， 0D=BC=2，∴CA=BC·sin∠CBO=3, BA=BC·cos∠CBO=1．

∴点C的坐标为(4，3)． 设直线CB的解析式为y=kx+b，由B(5，0)，C(4，3)， 得 解得 (第(1)

∴直线CB的解析式为y=-3x+53． (2)∵∠CBM+∠2+∠3=180°，∠DMC+∠1+∠2=180°

，

∠CBM=∠DMC=∠DOB=60° ∴∠2+∠3=∠1+∠2,∴∠1=∠3．

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∴△ODM∽△BMC． ∴OD·BC=BM·OM． ∵B点为(5，0)，∴OB=5． (第(2)设OM=x，则BM=5-x． ∵OD=BC=2，∴2×2=x(5-x)． 解得x1=1，x2=4．

∴M点坐标为(1，0)或(4，0)． (3)(I)当M点坐标为(1，0)时， 如图①，OM=1，BM=4． (第(3)小∵DC∥OB，∴∠MDE=∠DMO． 又∠DMO=∠MCB,∴∠MDE=∠MCB． ∵∠DME=∠CMF=a,∴△DME∽△CMF.

∴CF=2DE． ∵CF=2+n，DE=m，

∴2+n=2m，即m=1+n(第(3)小

2(0(Ⅱ)当M点坐标为(4，0)时，如图②．

OM=4,BM=1.

同理可得△DME∽△CMF，

∴DE=2CF.

∵CF=2-n，DE=m，∴m=2(2-n)，即m=4-2n(12为E，过点D作DF⊥OB，垂足为F。点M，N，P，Q分别是线段BE，ED，DF，FB的中点。连接MN，NP，PQ，QM。记OD的长为t .

(1) 当t13时，分别求出点D和点E的坐标；

(2) 当t13时，求直线DE的函数表达式；

(3)如果记四边形MNPQ的面积为S，那么请写出面积S与变量t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，是否存在s的最大值？若存在，求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由。

19．如图，在△ABC中，ABAC1，点D，E在直线BC上运动，设BDx，

CEy．

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（1）如果BAC30，DAE105，试确定y与x之间的函数关系式； （2）如果BAC的度数为，DAE的度数为，当，满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．Ａ 解：（1）在△ABC中，ABAC1，∠BAC30， ∠ABC∠ACB75， Ｄ Ｂ ∠ABD∠ACE105． （第 Ｃ22 Ｅ 又∠DAE105， ∠DAB∠CAE75． 又∠DAB∠ADB∠ABC75， ∠CAE∠ADB． △ADB∽△EAC． ABECBDAC． 即1xy

1

，所以y1

x

． （2）当，满足关系式290时，函数关系式y1x仍然成立． 此时，∠DAB∠CAE． 又∠DAB∠ADB∠ABC90，

∠CAE∠ADB．

又∠ABD∠ACE，△ADB∽△EAC仍然成立． 从而（1）中函数关系式y1x成立． 20．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为(4，，，0)43，动点M，N分

C P Ｎ B 别从O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点O M M沿OA向终点A运动，点N沿BC向

（第23A 终点C运动，过点M作MP⊥OA，交AC于P，连结NP，已知动点运动了x秒． （1）P点的坐标为（ ， ）（用含x的代数式表示）； （2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值； （3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．

解：（1）由题意可知，C(0，3)，M(x，，0)N(4x，3)， P点坐标为(x，3-34x)． （2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC4x，NC边上的高为34x，其中0≤x≤4．

S12(4x)333x8(x24x)8(x2)22．

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3S的最大值为，此时x2．

2 （2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y1x22xc的解析式； （3）延长MP交CB于Q，则有PQBC． ①若NPCP，

PQBC，NQCQx．

C Ｑ Ｎ P B （3）若反比例函数y2k的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），x试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y1与y2的大小.22. 解：（1）根据图象可知c0

3x4，

x4． 3O M A 且抛物线y1x22xc与x轴有两个交点

所以一元二次方程x22xc0有两个不等的实数根。 所以224c44c0，且c0 所以c1 （2）因为抛物线经过点（0，-1） 把x0，y11代入y1x22xc 得c1 故所求抛物线的解析式为y1x22x1 （3）因为反比例函数y2（1，a） k的图象经过抛物线y1x22x1上的点x35②若CPCN，则CN4x，PQx，CPx， 4451xx，x．

49（第23题③若CNNP，则CN4x．

3PQ， NQ42x，

4在Rt△PNQ中，PN2NQ2PQ2． 3128． (4x)2(42x)2(x)2，x457416128综上所述，x，或x，或x． 395721. （2006·北京市海淀区）已知抛物线y1x22xc的部分图象如图1所示。

图1 图2

（1）求c的取值范围；

把x1，y1a代入y1x22x1，得a2 把x1，a2代入y2k，得k2 x精心整理

所以y22x

画出y22x的图象如图所示.

观察图象，y1与y2除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为1，2和

2，1

把x1，y，y2222和x221分别代入y1x2x1和y2x可知，

1，2和2，1是y1与y2的两个交点 根据图象可知：当x1或0x1或x2时，y1y2 当x1或x1或x2时，y1y2 当1x0或1x2时，y2y1 22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2）. （1）若a＝1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求b的值.

（2）若abc＝4，且a≥b≥c，求|a|＋|b|＋|c|的最小值. 解：⑴由题意，a＋b＋c＝2， ∵a＝1，∴b＋c＝1 bb2

抛物线顶点为A（－2，c－4

）

设B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0 ∴|BC|＝| x221－x2|＝| x1－x2|＝（x1＋x2）－4 x21x2＝b－4c

∵△ABC为等边三角形，∴b24 －c＝ 32b2

－4c

即b2－4c＝23·b2－4c，∵b2－4c＞0，∴b2－4c＝23 ∵c＝1－b， ∴b2＋4b－16＝0， b＝－2±25 所求b值为－2±25

⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾. ∴a＞0． ∵b＋c＝2－a，bc＝4a ∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋4

a＝0的两实根．

∴△＝（2－a）2－4×4a≥0，

∴a3－4a2＋4a－16≥0, 即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4. ∵abc＞0，∴a、b、c为全大于０或一正二负．

①若a、b、c均大于０，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾； ②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0, 则|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，

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∵ a≥4，故2a－2≥6

当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a|＋|b|＋|c|的最小值为6． 23. 已知抛物线yax2bxc与y

轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 y=-x+2 并且线段CM的长为22 （1） 求抛物线的解析式。

O （2） 设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0）， 且点A在B的左侧，求线段AB的长。 （3） 若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。

（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线yax2bxc 过点C（0,2），所以c=2，抛物线yax2bxc的顶点

M

b4acb22a,4a在直线CM上，所以4a2b24ab2a2,解得b0或b2 若b＝0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b＝－2。即M1a,21a过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在RtCMQ中，CM2CQ2QM2 所以，8(111a)2[2(2a)]2，解得，a2。

∴所求抛物线为：y112x22x2 或y2x22x2 以下同下。

1）解法二：由题意得C(0 , 2),设点M的坐标为M（x ，y）

∵点M在直线yx2上，∴yx2 由勾股定理得CMx2(y2)2，∵CM22 ∴x2(y2)2=22，即x2(y2)28 解方程组 yx2x12x2(y2)28 得y14

x22y20

∴M（-2，4） 或 M‘ （2，0）

当M（-2，4）时，设抛物线解析式为ya(x2)24，∵抛物线过0，2）点， ∴a1，∴y122x22x2 当M‘（2，0）时，设抛物线解析式为ya(x2)2 ∵抛物线过（0，2）点，∴a1，∴y122x22x2 ∴所求抛物线为：y12x22x2 或

y1x22x2 M y 2 2）∵抛物线与x轴有两个交点，

C A N O B D （（

（精心整理

∴y12x22x2不合题意，舍去。

∴抛物线应为：y12x22x2 抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴由12x22x20，得

（3）∵AB是⊙N的直径，∴r =22 ， N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN = 4

设直线yx2与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴

MDN45，作NG⊥CM于G，在RtNGD中，NGDNsin4522= r 即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径，∴直线CM与⊙N相切 24． 已知：抛物线y=-x2

+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P．

(1)求A、B、P三点坐标；

(2) 在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；

(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.

解：(1)求得A(1，0)，B (3，0)， P (2，1)

(2)作图正确 当1＜x＜3时，y>0

(3)由题意列方程组得：yx24x3y2x6 3 y 2 转化得：x2-6x+9=0 1 -2 -1 -1 O 1 2 3 4 5 -2 x △ ＝0，∴方程的两根相等， -3 方程组只有一组解 ∴此抛物线与直线有唯一的公共点

25． 已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以

AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB ，过B作BC⊥AB，交AE于点

C. (1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长；

(2)当点B在x轴上运动时，设点C的

纵、横坐标分别为y、x，试求y与x

的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）； (3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共

点M21(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x21+x2－6(x1+x2)=8，求直线l的解析式．

解：(1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝233

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∵∠OAB＝∠BAC，∠AOB＝∠ABC=Rt∠ ，∴△ABO∽△ABC ，∴AOABABAC，由此可求得：AC＝43

y A 方法二：由题意知：tan∠OAB=

C (2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点O D B D，过H x C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC＝AD，BD＝--4′ G ∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，则OB2＝AO×OD----6′，即2x21y

化简得：y=

x24，当O、B、C三点重合时，y=x=0，∴y与x的函数关系式为：y=x24

方法二：过点C作CG⊥x轴，交AB的延长线于点H，则AC2＝(1－y)2+x2=(1+y)2，化简即可得。 (3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得：ykxby得：y14x2，消去x2-4kx-4b=0，则有x1x24kx1x24b，由题设知： x2

2

，即(4k)2

+8b-24k=8，且b=-1，则16k21+x2-6(x1+x2)=8-24k -16=0，解之得：k1=2，k2=12，当k1=2、b=-1时，

△＝16k2+16b=-16>0，符合题意；当k2=

12，b=-1时，△＝

16k2+16b=4-16<0，不合题意（舍去），∴所求的直线l的解析式为：y=2x-1

26．如图，已知抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，与y

轴交于点C（0， 3），点P是抛物线的顶点，若m-n= -2，m·n =3．

（1）求抛物线的表达式及P点的坐标； （2）求△ACP的面积S△ACP．

解： （1）设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，∵抛物线

过C（0，3），∴c=3， 又∵抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点， ∴m、n为一元二次方程ax2+bx+3=0的解， ∴m+n=-b ，mn=3aa， 由已知m-n= -2，m·n =3，∴解之得a=1，b=-4；m=1，n=3，

∴ 抛物线的表达式为y=x2-4x+3，P点的坐标是（2，1）

（2）由（1）知，抛物线的顶点P（2，-1），过P作PD垂直于y轴于

点D，所以，S△BCP =S梯形CBPD-S△CPD=S△COB+ S梯形OBPD- S△CPD， ∵B（3，0），C（0，3），

∴S11△BCP =S△COB+ S梯形OBPD- S△CPD=×3×3+×1×（3+2）-1222×2×4=3．

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27．已知抛物线C1：yx22mxn（m，n为常数，且m≠0，n0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．

注：抛物线yax2bxca≠0的顶点坐标为b2a，4acb24a． （1）请在横线上直接写出抛物线C2的解析式：________________________；

（2）当m1时，判定△ABC的形状，并说明理由； （3）抛物线C1上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由． 解：（1）yx22mxn．

（2）当m1时，△ABC为等腰直角三角形． 理由如下：

如图：点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上， ACBC．

过点A作抛物线C1的对称轴交x轴于D，过点C作CEAD于E． 当m1时，顶点A的坐标为A11，n，CE1．

又点C的坐标为0，n，

AE1nn1．AECE．

从而∠ECA45，∠ACy45．

由对称性知∠BCy∠ACy45，∠ACB90．

△ABC为等腰直角三角形． （3）假设抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则

PCABBC． 由（2）知，ACBC，ABBCAC． 从而△ABC为等边三角形． ∠ACy∠BCy30． 四边形ABCP为菱形，且点P在C1上，点P与点C关于AD对称．

PC与AD的交点也为点E，因此∠ACE903060．

点A，C的坐标分别为Am，m2n，C0，n，

AEm2nnm2，CEm． 在Rt△ACE中，AEm2tan60CEm3．

m3，m3． 故抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时m3． 28．如图10（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向

A D 11B 1C

L

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正方形移动，直到AB与CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.

（1）写出y与x的关系式；

（2）当x＝2，3.5时，y分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？ （1）y＝2x2 （2）8；24.5 （3）5秒

29、 如图，已知抛物线L21: y=x-4的图像与x有交于A、C两点， （1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式； （2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；

（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由.

解：设l2的解析式为y=a(x-h)2+k

∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，

∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4） ∴y=ax2+4 ∴0=4a+4 得 a=-1 ∴l2的解析式为y=-x2+4 (2)设B(x1 ,y1) ∵点B在l1上 ∴B(x21 ,x1-4) ∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称 ∴B、D关于O对称 ∴D(-x1 ,-x21+4). 将D(-x21 ,-x1+4)的坐标代入l2：y=-x2+4 ∴左边=右边 ∴点D在l2上.

(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则

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S=2*S△ABC =AC*|y1|=4|y1| a.当点B在x轴上方时，y1＞0

∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大， ∴S既无最大值也无最小值 b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0 ∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小， ∴当y1 =-4时，S由最大值16，但他没有最小值 此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.9分 ∴AC⊥BD

∴平行四边形ABCD是菱形 此时S最大=16.

30.已知关于x的二次函数yx2mxm212与yxmxm2222，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A, B两个不同的点． (l）试判断哪个二次函数的图象经过A, B两点； (2）若A点坐标为（-1, 0)，试求B点坐标； (3）在（2）的条件下，对于经过A, B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？

解：(l）对于关于x的二次函数y =x2mxm212, 由于△＝(-m ) 2

-4×l×m21=-m22-2<0,

所以此函数的图象与x轴没有交点

对于关于x的二次函数 y =x2mxm222.

由于△＝(-m ) 2-4 ×l×(m212)=-m2

-2<0, 所以此函数的图象与x轴没有交点

对于关于x的二次函数yx2mxm222, 由于(m)241(m222)3m240, 所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.

故图象经过A、B两点的二次函数为yx2mxm222,将A(-1,0)代入yx2mxm22m222，得1m2=0.

整理，得m2-2m = 0 . 解之，得m=0，或m = 2．

(2 ) 精心整理

当m =0时，y＝x2-1．令y = 0，得x2-1 = 0. 解这个方程，得x1=-1，x2=1 此时，B点的坐标是B (l, 0)． 当m=2时，y=x2-2x-3.令y=0，得x2-2x-3=0. 解这个方程，得x1=-1，x2=3 此时，B点的坐标是B（3，0）. (3) 当m =0时，二次函数为y＝x2-1，此函数的图象开口向上，对称轴为x=0，所以当x<0时，函数值 y 随：的增大而减小． 当m=2时，二次函数为y = x2-2 x-3 = (x-1)2-4, 此函数的图象开口向上，对称轴为x = l，所以当x < l 时，函数值y随x的增大而减小.

31．如图1，已知直线y1x与抛物线y124x26交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标；

（2）求线段AB的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大

的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． 解：（1）解：依题意得y14x26P x6x41解之得13 y21y22A yx图21 图2

（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1） 由（1）可知：OA35 OB25 过B作BE⊥x轴，E为垂足 B 由△BEO∽△OCM，得：OCOM5Ｅ OBOE，OC4， D M C A 同理：OD52，C54，0，D50，2 第

图1

设CD的解析式为ykxb(k0) AB的垂直平分线的解析式为：y2x52．

（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线y12xm上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）．

抛物线与直线只有一个交点，

H B P G A 图2

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2 12414(m6)0， 在直线GH：y1252x4中，

设O到GH的距离为d，

P到AB的距离等于O到GH的距离d． 32.已知：m、n是方程x26x50的两个实数根，且mn，抛物线yx2bxc的图像经过点A(m,0)、B(0，n). (1) 求这个抛物线的解析式；

(2)

设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线yax2bxc(a0)的顶点坐标为（(b4acb22a,4a)） (3)

P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于ü H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出D P点的坐标.

解：（1）解方程B x26x50,得x15,x21 由mn，有m1,n5

所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）. A C O ú 将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入yx2bxc. 得1bc0c5解这个方程组，得b4c5

所以，抛物线的解析式为yx24x5

（2）由yx24x5，令y0，得x24x50 解这个方程，得x15,x21 所以C点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）. 过D作x轴的垂线交x轴于M. 则S127DMC29(52)2 S1125梯形MDBO22(95)14，SBOC2552

所以，SS2725BCD梯形MDBOSDMCSBOC142215.

（3）设P点的坐标为（a,0） 因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为yx5. 那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a,a5)，

PH与抛物线yx24x5的交点坐标为H(a,a24a5). 由题意，得①EH3EP，即(a24a5)(a5)322(a5)

解这个方程，得a32或a5（舍去） ②EH2EP，即(a24a5)(a5)233(a5)

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解这个方程，得a23或a5（舍去） P点的坐标为(3,0)或(223,0).

33．已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数ykx1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为4，4．平行于x轴的直线l过0，1点． （1）求一次函数与二次函数的解析式； （2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明； （3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位t0，二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？ 解：（1）把A(4，4)代入ykx1得k34， 一次函数的解析式为y34x1； 二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴， 设二次函数解析式为yax2，

把A(4，4)代入yax2得a14， 二次函数解析式为y124x．  （2）由y34x1

y14x2解得x1x4y4或y1， 4B1，14， 过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为A，B， 则AA415，BB11544，

55直角梯形AABB的中位线长为42258， 过B作BH垂直于直线AA于点H，则BHAB5，AH411544，2AB52152544， AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍，

以AB为直径的圆与直线l相切．

（3）平移后二次函数解析式为y(x2)2t， 令y0，得(x2)2t0，x12t，x22t，

过F，M，N三点的圆的圆心一定在直线x2上，点F为定点，

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要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x2的距离，

此时，半径为2，面积为4π，

设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE1， 在三角形CEM中，ME2213， MN23，而MNx2x12t，t3， 当t3时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π．