圆与方程复习题

一、选择题

1．直线axy2a0与圆x2y21的位置关系是（ ）

A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定

22

2．已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆x＋y－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( ) A．6 B.

1121 C．8 D. 223．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆

的标准方程是( )

2222

A．(x－2)＋(y－1)＝1 B．(x－2)＋(y－3)＝1

2222

C．(x－3)＋(y－2)＝1 D．(x－3)＋(y－1)＝1

22

4．已知圆C：x＋y＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( )

A．8 B．－4 C．6 D．无法确定

2222

5．若圆O：x＋y＝4与圆C：x＋y＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )

A.x＋y＝0 B.x－y＝0 C.x－y＋2＝0 D.x＋y＋2＝0 6．在平面直角坐标系则弦AB的长等于 ( ) A.

B.

C.与圆

D.1

相交于

、

两点且

，

中，直线

与圆

相交于A、B两点，

7．直线

则a的值为( )

A.3 B.2 C.1 D.0

22

8．已知圆C1：(x＋1)＋(y－1)＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )

22

A.(x－1)＋(y＋1)＝1

22

B.(x＋2)＋(y－2)＝1

22

C.(x＋1)＋(y－1)＝1

22

D.(x－2)＋(y＋2)＝1

9．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，则圆的方程为( )

22

A.(x－2)＋(y＋1)＝2

22

B.(x＋2)＋(y－1)＝2

22

C.(x－1)＋(y－2)＝2

22

D.(x－2)＋(y－1)＝2

210．若P2,1为圆x1y25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )

2A.xy30 B.2xy30 C.xy10 D.2xy50

试卷第1页，总3页

二、填空题

22

11．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)＋(y－1)＝2，则圆C上各点到l距离的最小值为________，最大值为________． 12．已知x，y满足x＋y＝1，则

2

2

y2的最小值为________． x113．已知过点P(1,2)的直线与圆x2y22x6y50相切，且与直线axy10垂直，则a________.

三、解答题（题型注释）

22

14．已知圆C：x＋(y－1)＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0，且直线l与圆C交于A、B两点．

(1)若|AB|＝17，求直线l的倾斜角；

(2)若点P(1,1)满足2AP＝PB，求此时直线l的方程．

15．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程．

16．求圆心在直线3xy0上，与x轴相切，且被直线xy0截得的弦长为27的圆的方程．

17．已知足：①截

轴所得弦长为

；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为

；③圆心到直线：

22的距离为的圆的方程。

18．已知圆C的方程:xy2x4ym0 （1）求m的取值范围；

45,求m的值 5（3）若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；

（2）若圆C与直线l:x2y40相交于M,N两点，且MN19．已知半径为5的圆的圆心在

x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线

4x3y290相切．

求：（1）求圆的方程；

（2）设直线axy50与圆相交于A,B两点，求实数a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P(2,4)的直线l垂直平分弦AB？ 若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

20．已知圆C的方程为x(y4)4,点O是坐标原点.直线l:ykx与圆C交于

试卷第2页，总3页

22M,N两点.

（1）求k的取值范围;

（2）过(1,3)作圆的弦，求最小弦长？

试卷第3页，总3页

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参

1．D

【解析】直线axy2a0过定点(2,0)，该点在圆x2y21外.由于a的取值不确定，导致直线的斜率不确定，所以直线与x2y21的位置关系不确定，如a0，直线y0与圆相交，a1时，由圆心到直线的距离|2|，直线与圆相离，选D. 21（半径）

2考点： 直线与圆的位置关系. 2．B

【解析】如图，过圆心C向直线AB做垂线交圆于点P，

这时△ABP的面积最小． 直线AB的方程为

xy＋＝1，即3x－4y－12＝0， 4316， 511611×5×(－1)＝. 252圆心C到直线AB的距离为 d＝3041123242＝

∴△ABP的面积的最小值为

3．A

【解析】设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切，

4a3∴＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0，

5∴a＝2.

22

所以圆的方程为(x－2)＋(y－1)＝1. 4．C

【解析】圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心(－

m，0)，即2答案第1页，总8页

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－

m＋3＝0，∴m＝6. 25．C

2222

【解析】圆x＋y＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)＋(y－2)＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．直线l过OC的中点(－1,1)，且垂直于直线OC，易知kOC＝－1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.故选C. 6．B

【解析】圆心到直线的距离

，所以

，

即7．D

【解析】圆的圆心为

，所以，选B.

,半径

，即

。因为，所以圆心到直线的距离

，所以

，平方得

，解得，选D.

8．D

22

【解析】圆C1：(x＋1)＋(y－1)＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2

关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆

C2的方程为(x－2)＋(y＋2)＝1，选D 9．D

【解析】所求圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，故线段AB的垂直平分线x＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x－3y－1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为＋(y－1)＝2，选D. 10．A 【解析】

试题分析：圆的圆心为C(1,0).由圆的性质知，直线PC垂直于弦AB所在的直线,则

2

22

，所以圆的标准方程为(x－2)

2

kAB=111.所以直线AB的方程为：y(1)x2,即xy30.

0(1)kPC12故选A

考点：垂直 圆 11．2 32 答案第2页，总8页

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【解析】由圆的标准方程得圆的圆心C(1,1)，半径长r＝2，则圆心C(1,1)到直线l的距离d＝1142＝22>2＝r，所以直线l与圆C相离，

则圆C上各点到l距离的最小值为d－r＝22－2＝2，最大值为d＋r＝22＋2＝32. 12．

3 4y2y2表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，∴的最小值是直线PQx1x1【解析】

与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由2kk12＝

1，得k＝13．

3y23，结合图形可知≥，∴所求最小值为. 4x141 222【解析】

试题分析：圆M配方为(x1)(y3)5，由于点P(1,2)在圆上，由已知得，过点P(1,2)的直线与圆的半径MP垂直，故半径MP与直线axy10平行，即a故a321，1121． 2考点：1、直线和圆的位置关系；2、直线和直线的位置关系. 14．（1）

2或. （2）x－y＝0或x＋y－2＝0. 332

2

【解析】(1)由圆C：x＋(y－1)＝5，得圆的半径r＝5，

AB32又|AB|＝17，故弦心距d＝r. ＝22再由点到直线的距离公式可得d＝2011mm12，

∴

011m3＝，解得m＝±3.

22m1即直线l的斜率等于±3，故直线l的倾斜角等于

2或. 33(2)设A(x1，mx1－m＋1)，B(x2，mx2－m＋1)，由题意2AP＝PB可得2(1－x1，－mx1＋m)

答案第3页，总8页

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＝(x2－1，mx2－m)，

∴2－2x1＝x2－1，即2x1＋x2＝3.①

222222

再把直线方程y－1＝m(x－1)代入圆C：x＋(y－1)＝5，化简可得(1＋m)x－2mx＋m－5

m232m2＝0，由根与系数2关系可得x1＋x2＝2.②

m1m1m23m2312mm2由①②解得x1＝2，故点A的坐标为(2，)． 2m1m1m1把点A的坐标代入圆C的方程可得m＝1，即m＝±1，故直线l的方程为x－y＝0或x＋y

－2＝0.

2222

15．（1）x＋y－3＝0 （2）(x＋3)＋(y－6)＝40或(x－5)＋(y＋2)＝40 【解析】(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，

则由P在CD上得a＋b－3＝0.① 又直径|CD|＝410， ∴|PA|＝210. ∴(a＋1)＋b＝40.② 由①②解得2

2

2

a3a5或 b2b6∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)． 2222

∴圆P的方程为(x＋3)＋(y－6)＝40或(x－5)＋(y＋2)＝40. 16．（x1）(y3)9或（x1）(y3)9 【解析】

试题分析：设圆心a,b，由题意可得半径rb，求出圆心到直线的距离d，再利用垂径定理l2r2d2，解得a的值，从而得到圆心坐标和半径，由此求出圆的方程． 试题解析：解：设所求圆的圆心为，半径为r，依题意得：b3a且|b|r， （2（a,b）分）

圆心到直线2xy0的距离d2222|a3a|， （4分） 222由“r，d，半弦长”构成直角三角形，得rd7， （6分） 解得：a1， （7分）

2当a1时，圆心为(1,3)，半径为r3，所求圆的方程为（x1）(y3)29；

答案第4页，总8页

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当a1时，圆心为(1,3)，半径为r3，

2所求圆的方程为（x1）(y3)29； （11分） 22综上所述，所求圆的方程为（x1）(y3)29或（x1）(y3)29． （12

分）

考点：求圆的方程

17．x1y14或x1y14

2222【解析】

试题分析：依题意，可设所求圆心为Pa,b，半径为r，由①截y轴所得的弦长为2可得

r2a21；由②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1可知劣弧所对的圆心角为90°，

从而有r2b；再由③圆心到直线l：x2y0的距离为

5可得a2b1，综合5可求得a,b的值，从而可得该圆的方程． 试题解析：解：设当∴∴

① 时，

∵

∴

当∴

时，

∴

∵②

由①、②得：又∵到的

∴∴∴或

∴∴

或

或

∴或

答案第5页，总8页

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考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系. 18．(1)m5;(2)m4;(3)m【解析】

试题分析：(1)圆的方程要满足DE4F0;或配成圆的标准方程，r0; (2) 利用弦心距公式，先求点到面的距离，利用rd(228. 52221MN)2 ，求出m的值; 2(3)设Mx1,y1,Nx2,y2,若OMON,那么x1x2y1y20,利用直线方程与圆的方程联立，得到根与系数的关系式，代入后，求得m的值. 试题解析：解：（1）(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，可化为 (x－1)2＋(y－2)2＝5－m， ∵此方程表示圆， ∴5－m＞0，即m＜5.

(2) 圆的方程化为 (x1)2(y2)25m，圆心 C（1，2），半径 r则圆心C（1，2）到直线l:x2y40的距离为 d5m，

1224122215由于MN4121222，则MN，有rd(MN)，

22555m(15)2(25)2,得m4.

x2y22x4ym0（3）

x2y40消去x得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0， 化简得5y2－16y＋m＋8＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则

16yy215 yym812510yy215 ①② yym8125答案第6页，总8页

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由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0 即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0， ∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0. 将①②两式代入上式得 16－8×

16m8＋5×＝0， 558. 55(, ) 12解之得m考点：1.圆的方程;2.直线与圆的位置关系. 19．（1）(x1)2y225（2）(, 0)（3）a【解析】

试题分析：（1）设圆心为M(m, 0)（mZ）,利用直线与圆相切的位置关系，根据点到直线的距离公式列方程解得a的值，从而确定圆的方程；

（2）直线axy50与圆交于不同的两点，利用圆心到直线的距离小于圆的半径列不等式从而解出实数a的取值范围；

（3）根据圆的几何性质，垂直平分弦AB的直线必过圆心，从而由两点确定直线l的斜率，进一步由两直线垂直的条件确定实数a的值. 试题解析：（1）设圆心为M(m, 0)（mZ）．

3 4由于圆与直线4x3y290相切，且半径为5，所以，即4m2925．因为m为整数，故m1． 故所求的圆的方程是(x1)2y225．

4m295， 5（2）直线axy50即yax5．代入圆的方程，消去y整理，得

(a21)x22(5a1)x10．由于直线axy50交圆于A,B两点，

2故4(5a1)24(a21)0，即12a5a0，解得 a0，或a5． 12所以实数a的取值范围是(, 0)5(, )． 121， a（3）设符合条件的实数a存在，由（2）得a0，则直线l的斜率为答案第7页，总8页

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1l的方程为y(x2)4，即xay24a0．

a由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1, 0)必在l上． 所以1024a0，解得a所以存在实数a335．由于(, )， 44123，使得过点P(2,4)的直线l垂直平分弦AB. 4考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系. 20．（1）k3或k3；（2）22．

【解析】 试题分析：（1）根据直线l与圆相交，得到圆心到直线l的距离d小于半径，即可求出k的取值范围；（2）当圆心与(1,3)连线为弦心距时，弦长最小，利用两点间的距离公式求出弦心距，由垂径定理及勾股定理求出最小弦长即可． 试题解析：（1）圆心(0,4)到直线kxy0的距离d|4|1k22，解得k3或

k3．

（2）当圆心与(1,3)连线为弦心距时，弦长最小， ∵圆心C到(1,3)的距离为(10)(34)22222，半径r2，

根据题意得：最小弦长为22(2)22． 考点：直线与圆的位置关系．

答案第8页，总8页