概率论与数理统计天津大学作业答案

填空题

1.设随机变量

X的分布律为P{Xk}A()k,k1,2,3,4，则A= 。 答案：

1216 15,Xn为来自总体X

2.设总体X服从均匀分布U(1,), 为未知参数。X1,X2,的一个简单随机样本，X为样本均值，则的矩估计量为 。 答案：

1X

23.设X服从参数为1的指数分布e(1)，Y服从二项分布B(10,0.5)， 则

D(Y) 。 D(X)答案： 2.5

4.设A,B,C为三个随机事件，则“A,B,C中只有两个发生”可表示为 。 答案：ABCABCABC

5.某袋中有7个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回， 则乙取到红球的概率为 。 答案：0.7

6.设A,B,C为三个随机事件，则“A,B,C中只有一个发生”可表示为 。 答案：ABCABCABC

7.某袋中有9个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到白球的概率为 。 答案：0.25

选择题 1、一批产品中有正品也有次品，从中随机抽取三件，设A，B，C分别表示抽出的第一件、第二件、第三件是正品，下列事件不能描述“正品不多于两件”的是（ C ）。 （A）ABC （B）ABCABCABCABCABCABCABC （C）ABC （D）ABC 2、设总体X~N(3,16)，X1,X2,值，则( A )

(A) X3~N(0,1) (B) 4(X3)~N(0,1) (C) X3X3~N(0,1) (D) ~N(0,1) 416,X16为来自总体X的一个样本，X为样本均3、在假设检验中，H0表示原假设，H1表示对立假设，则犯第一类错误的情况为( C )

（A）H0真，接受H0 （B）H0不真，接受H0 （C）H0真，拒绝H0 （D）H0不真，拒绝H0

4、设X1,X2,X3,X4是来自均值为的总体的样本，其中未知，则下列估计量中不是 的无偏估计的是( B )。

X2X23X34X411（A）T1(X1X2)(X3X4) （B）T21 635XX2X3X41111 （C）T31 （D）T4X1X2X3X45.设

42488X服从参数为的Poisson分布，即X~P()，则(A) 1 (B)  (C)

E(X)（ A ）。 D(X)1 (D) 0 6.设随机变量X~N(2,4),Y~N(0,1),且X,Y相互，ZX2Y，则Z~（ B ）。

(A) N(6,8) (B) N(2,8) (C) N(0,6) (D) N(0,46)

简答题

设随机变量Z在5,6上服从均匀分布，

0,Z11,Z1XY1,Z11,Z1， 写出(X,Y)的联合分布律。 ，

解：

P{X0,Y1}P{Z1,Z1}P{Z1}4， 11P{X0,Y1}P{Z1,Z1}0，

P{X1,Y1}P{Z1,Z1}P{1Z1}P{X1,Y1}P{Z1,Z1}P{Z1}即为

X 0 1

Y -1 2， 115 111 0 4 112 115 11设某种元件的寿命X(单位：小时)服从指数分布，其概率密度为

1x1300e,x0f(x)3000,x0。

（1）求元件寿命超过600小时的概率；

（2）若有3个这种元件在的工作，求其中至少有2个元件的寿命超过600小时的概率。 解：

x1300P{X600}edxe2600300（1）

（2）至少有2个元件的寿命超过600小时的概率为

C32(e2)2(1e2)(e2)33e42e6

一盒灯泡共12个，其中10个合格品，2个废品（点时不亮）。现从中任取一个使用，若取出的是废品，则废品不再放回，再取一个，直到取得合格品为止。求在取得合格品以前已取出的废品数X的分布律、数学期望和方差。 解：

X的所有可能取值为0，1，2. 故X的分布律为

10210521101P{X0}，P{X1}，P{X2}，

1212113312111066即

1 2 X 0 551pk 633662765所以EX,EX2,DX

1133363

设随机变量X与Y相互, 下表给出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及X 和Y的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表的空白处。（注意：必须有简单的计算依据，无依据扣分）

Y y1 y2 y3 P{Xxi}pi X x1 x2 P{Yyj}p.j 1 2 1 24 1 31

答案：

因为X与Y，所以pijpi.p.j,i1,2,j1,2,3。又pij1，故得如下

i,j表格。

X x1 x2 P{Yyj}p.j Y y1 y2 y3 P{Xxi}pi 1 41 83 81 121 241 81 31 61 22 31 31

设总体X具有密度函数

(1)x, 0x1f(x;)，

0, 其它其中是未知参数，(X1,,Xn) 是来自总体X的样本。 求：（1）的矩估计量； （2）的极大似然估计量。

解：

（1）E(X)x(1)xdx011 2令

1ˆ2X1. X, 解得1X2n（2）L()f(xi,)(1)n(x1,i1,xn),

nlnL()nln(1)lnxi

i1ndlnL()nlnxid1i1令0，

解得1

nlnxi1nˆ1. 所以inlnXi1n.

i设X1,X2,X3,X4是来自总体X～N(0,6)一个简单随机样本，若

Ya(X1+2X2)2b(2X3X4)2服从2(n)分布，求a,b,n。（要有求解过程）。

解：X12X2N(0,30),X12X2302X3X430N(0,1)

2X3X4N(0,30),N(0,1)

且X12X2,2X3X4相互， (X12X222X3X42)()30302(2)

n2,ab1 30

甲厂和乙厂生产同样的产品，生产后集中到一起。已知甲厂生产的产品占60%，

乙厂生产的产品占40%。两厂生产产品的次品率分别为1%和2%。现从这些产品中任取一件，求取到的恰好是次品的概率。 解：

设A：任取一件恰好是次品 B：甲厂生产,

则P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)=60%*1%+40%*2%=0.014

设随机变量X的概率密度函数为

Ax2, 0x2 f(x)0, 其它求：（1）A的值；（2）X的分布函数F(x)；（3）D(X)。

解：解：（1） 令2f(x)dxAx2dx1， 得 A03 8（2）F(x)xx00,1f(x)dxx3,0x2

8x21,233xf(x)dxxx2dx 08223123 E(X2)x2f(x)dxx2x2dx D(X)E(X2)[E(X)]208520

设总体X服从参数为的指数分布, 即

ex,x0f(x)，

x00,其中0为未知参数，X1,X2,,Xn为来自总体X的一个简单随机样本，求的

ˆ。 最大似然估计（3）E(X)

解：

L()f(xi,)eni1n(xi)i1n

lnL()nln(xi).

i1ndlnL()n(xi)0. 解得 令

di1n

.

inxi1nˆ故的最大似然估计量为nXi1ni1. X

袋中有5个球，其中有3个红球、2个白球，从中任取两球，求取出的两球颜色相同的概率。

11C3C2解：122

C55

箱子中有10只开关，其中2只是次品，8只是正品。在其中不放回地取两次，每次取一只。令

0,若第一次取的是正品0,若第二次取的是正品，Y X1,若第一次取的是次品1,若第二次取的是次品求(X,Y)的联合分布律。

解：

8728， P{X0,Y0}10945828， P{X0,Y1}10945288， P{X1,Y0}10945211 P{X1,Y1}10945

2002,f(x)x0,设X的概率密度函数为解：

x200x200，求X的分布函数F(x)。

F(x)

x0,x200,x200200dt1,x200,f(t)dt2002tx

设总体X的分布律为

X pX -1 0 2(1) 1 (1)2 2 其中01为未知参数，现有8个样本观测值 1,1,1，0，1，1，1，0，

ˆ。 （1）求的矩估计ˆ1； （2）求的极大似然估计2

解：（1）EX2(1)212,

1ˆ5 x 令EXx， 得 148（2）L()P(Xxi)[2]4[2(1)]2[(1)2]2410(1)6

i18lnL()ln410ln6ln(1)，

令

dlnL()111060， d1ˆ5 得28x1,0x1设总体X的概率密度函数为f(x)，其中0为未知参数，

其他0,(X1,X2,,Xn)为来自这个总体的样本。

求：（1）的矩估计； （2） 的最大似然估计量。 解： （1）EX102ˆX xdx令X11Xnn2（2）L()xii11(x1x2xn)1,

nnlnL()ln(1)lnxi

2i1dlnL()n1d222lnxi1nin0 解出nlnxii1 2nˆ所以的极大似然估计为nlnXii1. 

设有甲乙两个袋子，甲袋中有3个红球、4个白球；乙袋中有2个红球、5个白球。现在从甲袋中任取两个球放入乙袋中，再从乙袋中任取一个球。 （1）求从乙袋中取出的这个球为红球的概率；

（2）若已知从乙袋中取出的这个球为红球，求从甲袋中取出的这两个球都为红球的概率。 解：

（1）A: 从乙袋中任取一个为红球

Bk: 从甲袋中恰取出k个红球，k=0,1,2

112C43C32422433420C42C3 P(A)P(Bk)P(A|Bk)222

C79C79C7979797963k02C3242P(A|B2)P(B2)C791 （2）P(B2|A)20P(A)563

对同一靶子进行两次地射击，每次击中的概率为0.9。设X表示两次射击中击中靶子的次数。求X的分布函数F(x)。 解：

0P(X0)C2*(0.9)0*(0.1)20.01

1P(X1)C2*(0.9)1*(0.1)10.18 2P(X2)C2*(0.9)2*(0.1)00.81

X的分布律为： 0 X pX 1 0.18 2 0.81 0.01 0,0.01,X的分布函数为：F(x)0.19,1,x00x11x2x2。

在正态总体X~N(30,4)中随机抽取一个容量为16的样本，X为样本均值。求

P{|X30|1}。 （(0.5)0.6915,(2)0.9770）

解：

1X~N(30,)，

4P{|X30|1}P{29X31}(2)(2)2(2)120.97700.954

对同一靶子进行两次地射击，每次击中的概率为0.8。设X表示两次射击中击中靶子的次数。求X的分布函数F(x)。

0*(0.8)0*(0.2)20.04 解：P(X0)C21P(X1)C2*(0.8)1*(0.2)10.32 2P(X2)C2*(0.8)2*(0.2)00.

X的分布律为： 0 X pX 1 0.32 2 0. 0.04 0,0.04,X的分布函数为：F(x)0.36,1,x00x11x2x2。

设(X,Y)的联合概率密度函数为

21x2y3, 0xy1f(x,y)。

0, 其它

某商店销售一批电视机共9台，其中有2台次品，7台正品。目前已售出2台（不

挑选），今从剩下7台中任搬一台，求此台为正品的概率。 解：

A: 任搬一台为正品, Bk:卖出k件正品，k=0,1,2，则

1122C76C7C27C257P(A)P(Bk)P(A|Bk)222

C97C97C979k02

1,0x2,0y2x设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)4， 其它0,求边缘密度fX(x)，fY(y)。并回答X和Y是否相互？说明理由。 解：

fX(x)fY(y)2x11dy0x2x0x2 f(x,y)dy04. 20其它其它0214y,0y4ydx0y4 f(x,y)dx24. 80其它0其它fX(x)fY(y).

,Xn为来自总体X

X和Y不相互，这是因为f(x,y)ex,x0, X1,X2,设总体X的概率密度函数为f(x)其它0,ˆ。 的一个样本，求未知参数的最大似然估计解：

L()f(xi)exinei1i1nnn(xi)i1n

lnL()nln(xi).

i1ndlnL()n(xi)0. 解得 令

di1

.

inxi1nˆ故的最大似然估计量为nXi1ni1. X

市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率比例为3:2:1，且三家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％。试求市场上该品牌产品的次品率。

解：解：设 B：买到一件次品。

Ai：买到i厂家产品；i=甲，乙，丙

P(B)P(B|A1)P(A1)P(B|A2)P(A2)P(B|A3)P(A3)

321 0.020.010.030.0183

666

1,0x1,0y2x设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，求Cov(X,Y)。

其它0,

解：

2

00312x2E(Y)yf(x,y)dxdydxydy

00312x1E(XY)xyf(x,y)dxdydxxydy

0021221Cov(X,Y)EXYEXEX

23318E(X)xf(x,y)dxdydxxdy12x设(X,Y)的联合概率密度函数为

2xy, 0x1,0y2x。 f(x,y)0, 其它求边缘密度fX(x)，fY(y)。并回答X和Y是否相互？说明理由。

解：

2x4x30x102xydy0x1. fX(x)f(x,y)dy其它00其它12xydx0y1y fY(y)f(x,y)dx2其它0

X和Y不相互，这是因为f(x,y)fX(x)fY(y).

设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

6xy2, 0x1,0y1。 f(x,y)0, 其它求边缘密度fX(x)，fY(y)。并回答X和Y是否相互？说明理由。 解：

16xy2dy2x,0x1, fX(x)f(x,y)dy00,其他16xy2dx3y2,0y1, fY(y)f(x,y)dx00,其他因为f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X和Y相互。

一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，求：（1）X的分布律；（2）E(X)。 答案：

（1）X的分布律为：

P(X3)10.1， 3C5C32P(X4)30.3，

C52C4P(X5)30.6

C5x30,0.1,3x4X的分布函数为F(x) （2）E(X)=30.1+40.3+50.6=4.5

0.4,4x5x51,

ABe2x, x0设连续型随机变量X的分布函数为 F(x)

0, x0 求：（1）常数A，B的值；（2）X的概率密度函数f(x)；（3）P{1X1}。 答案：

（1）由F()1得A=1；由F(x)在x=0处连续，得A+B=0，所以B=-1。

2e2x, x0（2）f(x)F'(x)；

0, x0（3）P{1X1}F(1)F(1)1e2