教例剖析
基于APOS理论下的小学数学概念教学的研究
——以俞正强老师教学“分数的初步认识”一课为例
安徽合肥市建平实验小学南艳分校（230601）刘
［摘
祥
要］美国著名数学教育家杜宾斯基提出的APOS理论把数学概念教学分为四个阶段：活动阶段、过程阶段、对象阶段、图
式阶段。以小学数学中的“分数的初步认识”教学内容为例，以APOS理论为基础，借助多媒体软件设计概念教学的四个阶段。通过创设真实的活动情境，使学生感悟分数；开展小组合作探究，使学生理解“分数”的概念；建构对象实体，促学生把握“分数”的本质；建立深层图式，助学生形成概念的基本体系。
［关键词］APOS理论；概念教学；分数［中图分类号］G623.5
［文献标识码］A
［文章编号］1007-9068（2020）11-0022-03
一、问题提出
美国的数学家杜宾斯基提出的APOS的理论认为，作为学习者不能直接学习到数学的概念，而是要通过一些心智结构使得所学的概念产生实际的意义，教学的真正目的是要帮助学习者建立合适的心智结构。APOS理论以活动、过程、对象与图式四个具体的阶段体现了数学概念的形成与思维过程。
执教教师以APOS理论为指导，借助多媒体演示动态生成的全过程来设计概念教学过程的四个阶段，有助于学生学习“分数的初步认识”中的概念。
二、APOS理论的概念教学阶段与多媒体的运用杜宾斯基认为，任何一个数学教育中的理论或模型都应该致力于对“学生是如何学习数学的”以及“什么样的教学计划可以帮助这种学习”的理解，而不仅仅是陈述一些事实。正是基于这样的考虑，杜宾斯基建立了APOS理论，而APOS理论中包含四个基本的阶段：
1.活动（Action）阶段
“活动阶段”是指个体或学习者通过一步一步的外显性（或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象，它是学习者获得数学概念不可缺失的条件。在小学数学中，许多的概念都是“隐性”的，需要通过一些外显的探究活动去获得概念的本质。在数学概念的教学中，借助多媒体教学，能够将教学的对象动态地呈现在学生面前，通过有效操作，产生良好的教学效果，从而让学生感悟“分数”的本质，由此能够获得概念的表象。
2.过程（Process）阶段“过程阶段”是外显数学的活动思考的过程，当“活动”经过多次的重复而被个体熟悉后，就可以内化为一种称之为“过程”的心理操作。有了这种“过程”，个体就可以想象这个“活动”，而不需要通过外部的刺激；他可以在头脑中实施这个过程，而不需要具体操作；进而，他还可以对这个过程进行逆转以及与其他
小学教学参考数学2020·422程序进行组合。学生多次重复和熟悉之后，就能进行
一系列的心理活动，抽象出数学概念的本质属性。在数学概念的获得中，可以借助多媒体将数学的对象转化为动态图像，通过演示帮助学生从图形中发现“分数”的本质。
3.对象（Object）阶段当个体或学习者能够把“过程”作为一个整体进行操作时，这一过程就变成了一种心理“对象”。借助多媒体将概念的对象做一系列的动态操作演示，就能帮助学生把握概念的特点及性质，深层次认识概念。
4.图式（Scheme）阶段一个数学概念的“图式”是指由相应的“活动”、“过程”、“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架，它可以用于解决与这个概念相关的问题。从这个意义上看，APOS理论中的“图式”有点类似于韬尔的“概念意向”。以上四个阶段及其关系如图1所示：
活动阶段内化感知生成动态图像过程阶段压缩解压缩对象阶段执行运算命令建构关联图式阶段建立相关联系改变约束条件感知直观背景获得概念本质属性掌握性质法则形成数学概念的体系图1APOS理论的四个阶段
按照杜宾斯基的解释，上述四个成分中，“活动”、“过程”和“对象”也可以看作是数学知识的三种状态，而“图式”则是由这三种知识结构构成的一种认知结构。此外，上述四种结构成分的排列虽然在理论上具有一种等级结构，也就是说，一般情况下前一成分的建构是后一成分的基础。APOS理论认为，在数学学习中，在恰当引导前三个阶段后，学习者本身在建构与反思的基础上能够形成图式，进而厘清问题的情境，获得数学概念的本质。本文以俞正强老师教学的“分数的初步认识”为例，以APOS理论为指导，借助
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多媒体探索小学数学概念教学的过程。
三、分数的初步认识概念教学设计1.创设真实的活动情境创设真实的活动情境，，初步认识“分数分数””依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》，学生在学习分数之前，对分数并不了解，也不知道怎么读与写，所以在引入分数的概念之前，俞老师并没有直接给出分数的概念，而是通过创设具体的情境，使得学生逐渐体会整数与分数，慢慢抽象出分数的概念。
师：大家吃过月饼吗？生（齐）：吃过。师：请看大屏幕。今天老师带来一些月饼，这是几个月饼呢？
生1：一个。师：老师又带来这样的月饼，你们猜猜看是多少呢？
生2：半个。生3：半个。师：你们太聪明了。根据APOS理论，在最初的活动阶段，学习者通过一步一步的外显性（或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象，它是学习者获得数学概念不可缺失的条件。通过有趣的对话活动，教师慢慢唤醒学生对分数的认知，了解学生已有的知识与经验。通过创设一个月饼到半个月饼的情境，引发学生学习数学的兴趣，并逐渐抽象出数字“1”和“半个”（该怎么表示呢？），激起学生学习分数的热情，为进入APOS的下一个阶段做好准备。
2.开展小组合作探究开展小组合作探究，，理解“分数分数””的概念师：“半个”月饼用哪个数字来表示呢？请开展小组合作探究。
师：在学习“半个”月饼用哪个数字表示之前，思考一下，这半个月饼是从哪里得来的？
（大屏幕演示“一个月饼”到“半个”月饼的动画）生1：半个月饼是从一个月饼里得来的。生2：半个月饼是把一个月饼分成了“两半”。生3：把一个月饼“平均”分成了“两半”，那么半个月饼就出现了。
师：是的。把一个月饼平均分成了两块，取出其中的一块。平均分成两块，在数学里我们用数字“2”表示；取出其中的一块，我们用数字“1”表示；平均分，
1用一短横进行表示。因此我们用“”来表示这个“半
2个”。
师:这个数怎么读呢？生4：二分之一。根据APOS理论，在这一阶段，学习者需要对数学活动做进一步的思考。教师借助多媒体动画演示，通过操作由“一个月饼”到“半个”月饼的形成过程，让
学生通过观察、比较、分析、归纳等一系列的探究过
程，概括出数的特点。在整个APOS的第二个过程中，让学生对这样的“数”有了初步的感觉。
3.建构对象实体建构对象实体，，把握“分数分数””的本质在多媒体技术的支撑下，俞老师列举多个分数的实例，使学生可以从不同的角度去逐渐体会并建构
1“分数”的概念，经历由一个月饼到半个月饼再到个
31月饼，最后到个月饼，由特殊的“1”到一般的分数的
4建构过程，很好地抽象出分数概念的本质特征：分数就是把“一个”单位“1”平均分成若干份，其中的每一份可以用分数表示。俞老师帮助学生建构“分数”的概念之后，又帮助学生了解了“分数”具体的量和“分量”的区别。
师：半个月饼可以用哪个数字来表示？
1生1：。
211师：“”和“个”有什么区别和联系呢？
221生2：单独的表示的是“把一个整体平均分成两
21份，其中的一份就用表示。
21生3：“个”表示一个物体的一半，是具体的数
2量。例如妈妈给我一个苹果，我吃了这个苹果的半
1个，也就是个。
2根据APOS理论，教学该阶段的目的是要帮助学生抽象出分数概念的本质特征，实现对分数概念的更深层次的认识和理解。在多媒体辅助教学的环境下，俞老师利用多媒体展现从多个动态的实例中抽象出分数的本质概念，让学生更直观地看到分数的产生与变化的全部过程。分数的概念具有运算的规则“实体”，即对象。学生学习了分数的概念之后，从“过程”阶段进入了“对象”阶段，这里，“对象”阶段发挥了多媒体的优势，突出了分数教学的重点，提升了课堂的教学效率，吸引了学生学习分数的热情与兴趣。
4.建立深层图式建立深层图式，，形成概念的基本体系
根据APOS理论，图式阶段是建立概念联系的阶段，即学习者能够建立新的知识结构，形成新的概念体系。多媒体可以直接呈现分数的产生与变化的过程，能够引导学生对分数的认识更深入。师：吃了半个月饼后，还剩几个月饼？生1：还剩半个，因为是把一个月饼平均分成了两半，吃了一半，所以还剩一半。
师：如果把一个月饼平均分成三块，吃了其中的一块，还剩多少？
生2：还剩三分之二个，因为是把一个月饼平均分
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画好图说清图
——谈“线段图”对学生数学学习的帮助
江苏徐州市铜山区黄集镇小合子小学（221106）徐漫漫
［摘
要］在教学中渗透数形结合思想、转化思想等，是发展学生数学核心素养的主要着力点。以“线段图”为例，用好、用活画
图策略，就能让学生在画图、说图等活动中学会思考、分析、比较，数学学习更富理性。
［关键词］画图；说图；数学；理性［中图分类号］G623.5
［文献标识码］A
［文章编号］1007-9068（2020）11-0024-02
画图策略不仅能把隐晦的关系具体化、直观化，还能促进学生有序分析、有序思考能力的稳步发展，有效发展学生的述说能力与倾听、交流意识。为此，教师应用好这一“拐杖”，引导学生在的体验中更科学地感悟知识、建构知识，进而让他们的数学学习更富活力、充满理性。
下面将以线段图在六年级分数乘除法问题解决中的应用为例，谈谈如何让学生学会观察、思考、分享与归纳，从而助力他们的数学学习，促进他们数学思
维和数学素养的协同发展。
【教学案例】
例题2：岭南小学六年级45个同学参加学校运动会，其中男运动员占5/9，女运动员有多少人？5/9，就是把这些运动员平均分成9份，男运动员占5份。
生2：是的，男运动员占5/9,就是占“1”的5/9,也就生1：应该把六年级45人看成“1”。男运动员占
是45人的5/9。
成三份，只吃掉了其中的一份，还剩下两份，所以剩下
的部分占整体的三分之二，即可以用三分之二表示。
人教版教材三年级下册创设了两位学生分月饼的情境，由“简单的一个月饼怎样才能够分给两个学生吃呢?”引发学生思考后得出半个可以用分数表示，符合学生的认知规律，学生比较容易得出分数的概念。
从以上教学可以看出，多媒体能够帮助学生发现知识的内在联系，建立深层次的图式，逐渐建立分数的概念体系。在数学课堂教学中，APOS的四个阶段是紧密相连、环环相扣的，在相互作用的条件下完成了对分数概念的建构，让学生对分数的概念理解得更深刻。
四、思考本节课是“分数的初步认识”第一节课，分数对于学生来说是比较陌生的，在课堂中帮助学生建构分数的概念就十分关键。俞老师的这节课恰恰是基于学生已有的生活经验，让学生逐步理解分数的概念。首先，创设真实的活动情境，让学生初步认识分数；接着，让学生合作探究，说一说自己对分数的看法；紧接着，让学生建构对象的实体，理解分数的本质；最后，让学生建立深层图示形成分数的概念体系。整堂课
设计非常巧妙（感知分数——建构分数的概念——理解分数的概念），贴近学生的实际生活，抓住学生的心理特征，让学生在愉快的氛围中去学习并掌握分数的概念，这正体现了“教师是学生的组织者、引导者与合作者，学生是学习的主体”，把课堂还给学生，让学生用数学的思维去思考现实的世界，用数学的语言表达现实的世界，用数学的眼光观察现实的世界。
从数学学习心理学角度看，APOS的理论是合理的，反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。据了解，该理论主要应用于大学数学教学的研究，但也同样适用于小学数学的概念教学，特别是与多媒体信息技术相结合的情况下，能够很好地突破学生的认知水平，令课堂教学取得意想不到的效果。
［参
考
文
献］
［1］鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程［M］.上海：上
海教育出版社，2009.
［2］乔连全.APOS：一种建构主义的数学学习理论［J］.全球
教育展望，2001（3）：16-18.
（责编金铃）
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