高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解32---正态分布(解析版)

正态分布

考点一 正态分布的特征

【例1】（1）（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））若随机变量X且PX50.2，则P1X5等于（ ）

A．0.6

B．0.5

C．0.4

D．0.3

N3,2，

（2）（2021·黄石市有色第一中学高二期末）设随机变量服从正态分布N4,3，若Pa5Pa1，则实数a等于（ ）

A．7

B．6

C．5

D．4

【答案】（1）A(2）B 【解析】（1）由于随机变量XN3,2，则PX1PX5，

因此，P1X51PX1PX512PX5120.20.6.故选：A.

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（2）∵随机变量ξ服从正态分布N（4，3），

∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），∴x=a﹣5与x=a+1关于x=4对称，∴a﹣5+a+1=8， ∴2a=12，∴a=6，故选:B． 【举一反三】

1．（2021·湖北宜昌市）某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩占近似服从正态分布N95,2，且P(9195)0.25．若该校有700人参加此次检测，估计

该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（ ）

A．100 【答案】D

【解析】由题意，成绩X近似服从正态分布N95,则正态分布曲线的对称轴为X95， 又由P(9195)0.25， 根据正态分布曲线的对称性，可得

11PX99[12P(91X95)]120.250.25，

222B．125 C．150 D．175

，

所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为7000.25175人，

故选：D.

2．（2021·山东青岛市）某种芯片的良品率X服从正态分布N0.95,0.01，公司对

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科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（ ）元附：随机变量服从正态分布

N,2，则P()0.6826，P(22)0.9544，P(33)0.9974.

A．52.28 【答案】B

B．65.87 C．50.13 D．131.74

【解析】因为XN0.95,0.012，得出0.95，0.96，

所以PX0.95PX0.5，

P0.95X0.96PX

11PX0.68260.3413； 22111PX210.68260.1587， 2PX0.96所以EX01000.34132000.158765.87（元） 故选：B

3．（2021·江西景德镇市）某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X服从正态分布N82,16，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为（ ）

〖参考数据〗：PX0.683，P2X20.954，

P3X30.997

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A．2300 【答案】A

B．3170 C．3415 D．460

【解析】依题意知，82,4所以P74x900.954 则Px9010.95410.023，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为 21000000.0232300故选：A

考点二 正态分布的实际应用

【例2】（2021·安徽池州市）2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z服从正态分布N,2.假设生产状

态正常，生产出的每个口罩彼此.记X表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于3的数量.

（1）求PX1的概率； （2）求X的数学期望EX；

（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z小于3的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？

2附：若随机变量ZN,，则PZ0.6826，

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P2Z20.9544，P3Z30.9974，0.9987100.9871.

【答案】（1）0.0129；（2）0.013；（3）这种监控生产过程的方法合理. 【解析】（1）抽取口罩中过滤率在3,3内的概率

P3Z30.9974，

所以PZ310.99740.0013， 2所以PZ310.00130.9987，

10故PX11PX010.998710.98710.0129

（2）由题意可知X~B10,0.0013，所以EX100.00130.013.

（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于3的概率PZ310.99740.0013，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于2或等于3的概率PX10.0129，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理.

【举一反三】

1．（2020·全国高二课时练习）为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：cm)，其频率分布直方图如图所示.

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（1）求该植物样本高度的平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

（2）假设该植物的高度Z服从正态分布N,2，其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2，利用该正态分布求P(.5Z96).

2附：11010.5.若Z~N,，则

P(Z)68.3%,P(2Z2)95.4%.

【答案】（1）x75，s2110；（2）81.85%. 【解析】（1）由题意可得平均数

x550.1650.2750.35850.3950.0575，

s2(5575)20.1(6575)20.2(7575)20.35(8575)20.3(9575)20.05110

（2）由（1）知，Z~N(75,110)，从而

11P(.5Z75)P(7510.5Z7510.5)68.3%34.15%2211P(75Z96)P(75210.5Z75210.5)95.4%47.7%

22所以P(.5Z96)P(.5Z75)P(75Z96)34.15%47.7%81.85%.

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2．（2020·全国高二单元测试）某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正态分布N(μ，σ2)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，

μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；

（2）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 10.12 9.97 10.01 9.95 10.02 9.98 9.21 10.03 10.04 9.99 9.98 9.97 10.01 9.97 10.03 10.11

11611011022(xix)(xi16x2)0.20，其中经计算得xxi9.96，s16i116i116i1xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．

参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ＜x＜μ＋3σ)＝0.997 4，0．997416≈0.9592，0.00270.05.

【答案】（1）0.0408；0.0416；（2）需要对当天的生产过程进行检查；10.01；0.05. 【解析】(1)∵抽取的一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997 4， ∴零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6， 故X～B(16,0.0026)．

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P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408； X的数学期望为E(X)＝16×0.0026＝0.0416. (2)x9.96，s≈0.20，得9.96，0.20.

∵样本数据可以看到有一个零件的尺寸在3,39.36,10.56∴需要对当天的生产过程进行检查．

剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.21之后， 剩下数据的平均数

16之外，

1169.969.2110.01，可得μ的估计值为10.01. 15222∵xi160.20169.961587.8656， i1剔除9.36,10.56之外的数据9.21之后， 剩下数据的方差为

11587.8656-9.212-1510.0120.0027， 15∴σ的估计值为0.00270.05.

3．（2020·全国高二专题练习）现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表： 阶段 幼年期 成长期 [18,82) 成年期 [82,98] 体重(kg) [2,18) 根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X均近似服从正态分布N50,16．由于我

2国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量

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保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已

43知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为,．

54（1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；

（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售--头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元记Y为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值．

2（参考数据：若Z~N,，则

P(Z)0.683,P(2Z2)0.954,P(3Z3)0.997）

【答案】（1）幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头；（2）135450元.

【解析】（1）设各阶段猪的数量分别为n1,n2,n3， ∵猪的体重X近似服从正态分布N(50,162)，

P(2X18)P(50316X502 16) 0.9970.9540.0215，

2n1100000.0215215（头）；

P(18X82)P(50216X50216)0.954

n2100000.9549540（头）；

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P(82X98)P(50216X50316) 0.9970.9540.0215，

2n3100000.0215215（头）

∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头．

（2）随机变量Y的所有可能取值为900，300，300．

43341137111P(Y900),P(Y300),P(Y300)，

5455454205420Y的分布列为 Y P 900 3 5300 7 20300 1 20371E(Y)900300300630（元），

52020由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则总利润的期望为630215135450（元）．

考点三 正态分布与其他知识的综合运用

【例3】（2021·内蒙古赤峰市）疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、38、

38；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．

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（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布N,2（和2

分别为样本平均数和方差），则认

为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．（参考数据：21014.5）规定：若P2X20.9544，

2P3X30.9974， 则称变量X“近似满足正态分布N,的概率分布”．

（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是

13，获得100元的概率是．现在从这10个高分

44学生中随机选一名，记其获奖金额为Y，求Y的分布列和数学期望．

【答案】（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5. 【解析】（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：

21014.5，265214.536，265214.594，

365314.521.5，365314.5108.5， 得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，

P2X2170.9650.9544， 200学生的得分都在30,100间，P3X310.9974．

学生得分近似满足正态分布N65,210的概率分布，因此该校的疫情防控是有效

的；

（2）设这名同学获得的奖金为Y，则Y的可能值为50、100、150、200，

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63961433PY50，PY100，

10420104104843134111PY150C2，PY200，

1044201044022故Y的分布列为：

Y 50 9 20100 3 8150 3 20200 1 40P EY50933110015020087.5． 2082040【举一反三】

1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在[4,20]内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.

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（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数).

（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数服从正态分布N,2，其中，为（1）中求得的平均数标准差的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数(14,18)的人数(结果四舍五入保留整数).

（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.

附：若随机变量服从正态分布N,2，则P()0.6827，

P(22)0.9545，P(33)0.9973.

【答案】（1）12；（2）47；（3）分布列答案见解析，数学期望：216. 【解析】（1）依题意得

x0.0150.0170.0890.5811 0.22130.06150.03170.011911.6812.

2（2）因为~N12,2，

所以P(1418)P(1221232)，

1[P(618)P(1014)]0.1573 2所以走路步数(14,18)的总人数为3000.157347.

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（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1.

由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400.

10.020.880.0352； P(X0)0.0220.0004；P(X100)C211P(X200)C20.020.10.8820.7784；P(X300)C20.10.880.176；

P(X400)0.120.01.

所以X的分布列为

X P 0 0.0004 100 0.0352 200 0.7784 300 0.176 400 0.01 E(X)00.00041000.03522000.77843000.1764000.01216.

2．（2021·长沙市·湖南师大附中高二期末）国家、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区． 垃圾量 12.5,15.515.5,18.518.5,21.521.5,24.524.5,27.527.5,30.530.5,33.5 频5 6 9 12 14 / 16

8 6 4 数 （1）估计该市A类社区这一天垃圾量的平均值x；

（2）若该市A类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N,27.04，其中近似为50个样本社区的平均值x（精确到0.1吨），估计该市A类社区中“超标”社区的个数；

（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X，求X的分布列和数学期望．

附：若X服从正态分布N,2，则PX0.6826；

P2X20.9544；P3X30.9974．

5【答案】（1）22.76吨；（2）51个；（3）分布列见解析，.

2【解析】

（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则

x145176209231226829632422.76.

50估计该市A类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨. （2）据题意，22.8，227.04，即5.2，则

PX28PX10.68260.1587. 2因为3200.158750.78451，估计该市A类社区中“超标”社区约51个.

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（3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在27.5,30.5内的“超标”社区也有4个，则X的可能取值为1，2，3，4.

142332C4C41C4C43C4C43PX15，PX2PX3，，55C814C87C8741C4C1PX454.

C814则X的分布列为：

X Y 1 1 142 3 73 3 74 1 14所以EX113315234. 147714216 / 16