高一数学必修一重点方法讲解

高中必修一一些重点

函数值域求法十一种 .......................................................................................................... 2 复合函数 .............................................................................................................................. 9 一、复合函数的概念 .................................................................................................... 9 二、求复合函数的定义域： ........................................................................................ 9 复合函数单调性相关定理 ................................................................................................ 10 函数奇偶性的判定方法 .................................................................................................... 10 指数函数： ........................................................................................................................ 12 幂函数的图像与性质 ........................................................................................................ 15

1

函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

x的值域。 例1. 求函数

解：∵x0

1y1∴x0

x的值域。

显然函数的值域是：(,0)(0,) 例2. 求函数y3解：∵x0

x3

故函数的值域是：[,3] x0,3

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

2 例3. 求函数yx2x5,x[1,2]的值域。

2解：将函数配方得：y(x1)4

∵x[1,2]

由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin4，当x1时，ymax8 故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

1x 例4. 求函数的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程

y1xx22(y1)x0

（1）当y1时，xR (1)4(y1)(y1)0

13y2 解得：2131,（2）当y=1时，x0，而22 132,2 故函数的值域为2(y1)x2

例5. 求函数yxx(2x)的值域。

22解：两边平方整理得：2x2(y1)xy0（1） ∵xR

2∴4(y1)8y0

解得：12y12

但此时的函数的定义域由x(2x)0，得0x2

22由0，仅保证关于x的方程：2x2(y1)xy0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，

2

132,2。 即不能确保方程（1）有实根，由 0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0x2

yxx(2x)0

ymin0,y1x122代入方程（1） 22242[0,2]解得：即当

2x122224时，

原函数的值域为：[0,12]

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x4 例6. 求函数5x6值域。

x46y5y3

解：由原函数式可得：则其反函数为：

y46y5x3，其定义域为：

x35

3,5 故所求函数的值域为：

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数

yeexx11的值域。

exy1y1

解：由原函数式可得：

x∵e0

y1∴y10

解得：1y1

故所求函数的值域为(1,1)

例8. 求函数

2ycosxsinx3的值域。

解：由原函数式可得：ysinxcosx3y，可化为：

y1sinx(x)3y

sinx(x)3yy2即

∵xR

1

∴sinx(x)[1,1]

3

13yy21即解得：

1y

24

2422,44 故函数的值域为

6. 函数单调性法

x5log3 例9. 求函数y2x5解：令y12,y2log3x1(2x10)的值域。 x1

则y1,y2在[2，10]上都是增函数 所以yy1y2在[2，10]上是增函数 当x=2时，

ymin23log32118

5当x=10时，ymax2log3933

1,33 故所求函数的值域为：8

例10. 求函数yx1yx1的值域。

2x1x1

解：原函数可化为：令y1x1,y2x1，显然y1,y2在[1,]上为无上界的增函数

所以yy1，y2在[1,]上也为无上界的增函数

2所以当x=1时，yy1y2有最小值2，原函数有最大值2显然y0，故原函数的值域为(0,2]

2

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数yx2则xt1

x1的值域。

解：令x1t，(t0)

1324 ∵

又t0，由二次函数的性质可知

yt2t1(t)2当t0时，ymin1 当t0时，y 故函数的值域为[1,)

例12. 求函数

yx21(x1)2的值域。

2解：因1(x1)0 2即(x1)1

4

故可令x1cos,[0,] ∴

ycos11cos2sincos1

2sin(4)1

∵

0,0454

22sin(4)102sin(4)112

故所求函数的值域为[0,12]

3yxx例13. 求函数

x42x21的值域。 2y12x1x解：原函数可变形为：

21x21x2

2x22可令xtg，则有1x2sin2,1x2cos1x

y12sin2cos214sin4

k1当28时，ymax4 k当

28时，

y1min4

而此时tan有意义。

11故所求函数的值域为4,4 例14. 求函数y(sinx1)(cosx1)x，

,122的值域。解：y(sinx1)(cosx1)

sinxcosxsinxcosx1

1令sinxcosxt，则

sinxcosx2(t21)

y12(t21)t112(t1)2

由tsinxcosx2sin(x/4)

x且

,122 2可得：2t2

3∴当t2时，

ymax22，当

t22时，

y324232,32故所求函数的值域为422。

5

例15. 求函数yx45x2的值域。

2解：由5x0，可得|x|5

故可令x5cos,[0,]

y5cos45sin10sin(4)4

∵0

4454

当/4时，ymax410 当时，ymin45

故所求函数的值域为：[45,410]

8. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数

y(x2)2(x8)2的值域。

解：原函数可化简得：y|x2||x8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(8)间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时，y|x2||x8||AB|10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y|x2||x8||AB|10 故所求函数的值域为：[10,]

2 例17. 求函数yx6x13解：原函数可变形为：

x24x5的值域。

2y(x3)2(02)2(x2)2(01)

(32)2上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(2,1)的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为[43,]

ymin|AB|(21)243，

例18. 求函数yx2

6x13(x3)x224x5的值域。

2解：将函数变形为：y(02)(x2)2(01)2

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(2,1)到点P(x,0)的距离之差。

即：y|AP||BP| 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'，则构成ABP'，根据三角形两边之差小于第三边，有||AP'||BP'|||AB|即：

(32)2(21)226

26y26

6

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有||AP||BP|||AB|综上所述，可知函数的值域为：(26,26]

26

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），(2,1)，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），

(2,1)，在x轴的同侧。

9. 不等式法

利用基本不等式ab2ab,abc3abc(a,b,cR)，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

sinx 例19. 求函数

解：原函数变形为：

y(sin23y(sinx1)(cosx21cosx)42的值域。

xcos22x)x21sin2x1cos2x1cesxsec3tan3tan53222xcotxcot2xx2

xk4时(kz)，等号成立

当且仅当tanxcotx 即当

例20. 求函数y2sinxsin2x的值域。

解：y4sinxsinxcosx

4sin2故原函数的值域为：[5,)

xcosx

4y16sin8sin2xcos22x2xsin2x(22sin2x)28[(sin27xsinx22sinx)/3]3

22当且仅当sinx22sinx，即当由

y2sin2x23时，等号成立。

27可得：

839y839

8383,99 故原函数的值域为：

10. 一一映射法

7

原理：因为yaxbcxd(c0)在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另

一个变量范围。 例21. y13x求函数

2x1的值域。

x|x1或x1解：∵定义域为22 x1y由y13x2x1得2y3 x1y1故

2y32x1y2y31或

2

解得

y32或y32

,33故函数的值域为22,

11. 多种方法综合运用 x2 例22. 求函数

yx3的值域。

解：令tx2(t0)，则x3t21

yt11t21（1）当t0时，

t12t，当且仅当t=1，即x1时取等号，所以

0y12（2）当t=0时，y=0。

0,1综上所述，函数的值域为：2 注：先换元，后用不等式法

y1x2x2x3x4 例23. 求函数

12x2x4的值域。

y12x2x4xx3解：

12x2x412x2x4

21x2x1x21x2 2令xtan1x2cos22，则1x2 x11x22sin

ycos212sinsin212sin1

2sin117416

∴当

sin14时，

ymax1716

当sin1时，ymin2 17此时

tan2都存在，故函数的值域为2,16

8

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

复合函数

一、复合函数的概念

如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。

注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。

另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。

例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 与g ( x ) = x + 1

2两个函数复合而成。

二、求复合函数的定义域：

（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义域。

例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。 答案： [-1/2 ，0 ]

例2、已知f ( x )的定义域为（0，1），求f ( x 2)的定义域。 答案： [-1 ，1]

（2）若f [ g ( x ) ]的定义域为（m , n）则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。

例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求f ( x ) 的定义域。 答案： [ 1 ，3]

（3）由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。

例4、已知f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x 2 – 2 ) 的定义域。 答案：[-√3/2 ，-√3]∪[√3/2 ，√3] 三、求复合函数的解析式。

1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x) 解：设f(x)axb (a0)，则

2f[f(x)]af(x)ba(axb)baxabb

a2a24a2  　或　　b3abb3b1f(x)2x1　　或　　f(x)2x3

9

2、 配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，

常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。 例2 已知f(x解：f(x1x1x)x1x221x2 (x0) ，求 f(x)的解析式

1x2

)(x)2， x f(x)x22 (x2)

3、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的

定义域的变化。

例3 已知f(x1)x2x，求f(x1) 解：令tx1，则t1，x(t1)

x

22f(x1)x22f(t)(t1)2(t1)t1,

f(x)x1 (x1)

f(x1)(x1)1x2x (x0)

222

复合函数单调性相关定理

1、引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是

增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数

证 明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.

因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d). 因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］， 故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

2、引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)

上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.

因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

3、总结 同增异减

函数奇偶性的判定方法

1．定义域判定法

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例1 判定f(x)(x1)x2的奇偶性．（非奇非偶） 2．定义判定法f(x)与f（-x）关系

例2 判断f(x)xaxa的奇偶性．（偶） 3．等价形式判定法

例3 判定f(x)1xx11xx122的奇偶性．（奇）

评注：常用等价变形形式有：若f(x)f(x)0或

f(x)f(x)1，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)0或

f(x)f(x)． 1，则f(x)为偶函数（其中f(x)0）

4．性质判定法

例4 若a0，f(x)(xa，a)是奇函数，g(x)(xR)是偶函数，试判定(x)f(x)g(x)的奇偶性． 评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． 5、练习

（1）.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_ (－∞,－1] （2）(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0(1)令t=|x+1|,则t在(－∞,－1]上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1]上递减. (2)∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x， ∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞)单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0, ∴b=－a(x1+x2)＜0.

2.奇偶性

记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]，

如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]，

则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数； 当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。

如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。

所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。

在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。 二 加减函数

1.增减性 对于F(x)=g(x)+f(x) ，增+增=增 ，减+减=减， 减+增则无定则

2.奇偶性 对于F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇=奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶无定则 三 相乘函数 1.增减性

11

对于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆无定则.知道你会不信 ,很好 ,我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数,而F(x)=x^2,有增有减. 2.奇偶性

对于F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去,不然没人听的懂). 即 奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇*奇=偶 除法就不用说了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成F(x)=g(x)[1/f(x)], 自己推.

指数函数：

aa0且a1定义：函数y叫指数函数。 定义域为R，底数是常数，指数是自变量。 x要求函数yax中的a必须a0且a1。因为若a0时，y4，当xxxx14时，函数值不存在。

xa0，y0，当x0，函数值不存在。a1时，y1对一切x虽有意义，函数值恒为1，但y1

的反函数不存在， 因为要求函数yax中的a0且a1。

1x1、对三个指数函数y2，y，y10的图象的认识。

2xx图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）x取任何实数值时，都有a0； （2）无论a取任何正数，x0时，y1； x（1）图象都位于x轴上方； （2）图象都经过点（0，1）； （3）y2，y10在第一象限内的纵坐xxxx0，则a1（3）当a1时， xx0，则a1标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，1y2x的图象正好相反； xx0，则a1 当0时， a1xx0，则a1

（4）y2，y10的图象自左到右逐渐（4）当a1时，ya是增函数， 1上升，y的图象逐渐下降。 2xxxx当0时，ya是减函数。 a1x

对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：

①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y2和y10相交于(0，1)，当x0时，y10的图象

x22xxx02及102。 在y2的图象的上方，当x0，刚好相反，故有122

1x②y2与y的图象关于y轴对称。

21③通过y2，y10，y2xxxx 且a1）的示意图，三个函数图象，可以画出任意一个函数ya（a0x 12

1如y3的图象，一定位于y2和y10两个图象的中间，且过点(0，1)，从而y也由关于y轴的对称

3xxxx1性，可得y的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

3x2、对数：

定义：如果aN(a0且a1)，那么数b就叫做以a为底的对数，记作blogN（a是底数，N 是真数，ab） logaN是对数式。

由于Na0故logaN中N必须大于0。

当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。

由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：

则0.32xbx52412

求log0.325252 解：设log0.32x 448即25∴x825

12521即log0.3224 评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求35x中的x，化为对数式xlog35即成。

（2）对数恒等式： 由a N(1)blogN(2)a将（2）代入（1）得alogaNbN

运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算：

3log123 解：原式31log122313log1322。

（3）对数的性质：

①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则：

①l ogMNlogMlogNM，NRaaaMoglogMlogNM，NR②l aaaN③l ogNnlogNNRaan

1nogNlogNNR④l aan 13

3、对数函数：

定义：指数函数ya(a0且a1)的反函数

x(0,)叫做对数函数。 ylogxxa

1、对三个对数函数y logx，ylogx，212ylgx的图象的认识。

图象特征与函数性质：

图象特征 （1）图象都位于 y轴右侧； （2）图象都过点（1，0）； +函数性质 （1）定义域：R，值或：R； （2）x1时，y0。即log10； a（3）当a1时，若x1，则y0，若，则y0； 0x1时，若x0，则y0，若a1在x轴上方，当0时，图象在x轴下当0x0时，则y0； 0x1方，ylogx与上述情况刚好相反； （3）ylogx，ylgx当x1时，图象212gx是增函数； （4）y从左向右图象是上（4）a1时，ylologx，ylgxa2升，而ylog1x从左向右图象是下降。 2时，ylo0a1gx是减函数。 a对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：

（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是ylogx与ylgx在点（1,0）曲线是交叉的，即当x0时，2时，ylox1ylogx的图象在ylgx的图象上方；而0gx的图象在ylgx的图象的下方，故有：22；l。 log1.5lg.15og0.1lg.0122

（2）ylogx的图象与ylog1x的图象关于x 轴对称。 22ylog1x三个函数图象，（3）通过ylo可以作出任意一个对数函数的示意图，如作ylogx，gxylgx，232的图象，它一定位于ylo，x0时，在ylgx的上方，而位于gx和ylgx两个图象的中间，且过点（1,0）2时，刚好相反，则对称性，可知ylog1x的示意图。 x1ylogx的下方，023

因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

4、对数换底公式：

logNalogNblogba

LNlogN(其中e2.71828…)称为的N自然对数 neLNlogN称为常数对数g10 由换底公式可得：

lgNlgNLN2.303lgN nlge0.434314

由换底公式推出一些常用的结论： （1）logban 或logb·loga1ablogab

1（2）logabmnmnlogab

ogblogb（3）l aan（4）logaanmmn

5、指数方程与对数方程*

定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。

在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。

由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。 指数方程的题型与解法： 名称 基本型 同底数型 不同底数型 需代换型 a题型 fx解法 取以a为底的对数f xogbla 取以a为底的对数fxx 取同底的对数化为fx ·lgax·lgb换元令ta转化为t的代数方程 xb (x)af(x)aafxbx Fax0 对数方程的题型与解法：

名称 基本题 同底数型 需代换型 题型 logfxba logfxlogxaaF(logax)0 解法 对数式转化为指数式fxa b转化为fxx（必须验根） 换元令tlogx转化为代数方程 a幂函数的图像与性质

一、幂函数的定义



1214一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数.如yx,yx3,yx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

分数指数幂

m正分数指数幂的意义是：an负分数指数幂的意义是：a1、 幂函数的图像与性质

mnnam（a0，m、nN，且n1） （a0，m、nN，且n1）

1nam幂函数yx随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握yx，当n2,1,

nn12,13,3的图像和性质，列表如下．

15

从中可以归纳出以下结论：

① 它们都过点1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② a13,1212,1,2,3时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数．

③ a,1,2时，幂函数图像不过原点且在0,上是减函数．

④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

yx n奇函数 y 偶函数 y 非奇非偶函数 y n1 O x O x O x y y y 0n1 O x O x O x y y y n0 O x O x O x a

y 例1、 右图为幂函数yx在第一象限的图像，则a,b,c,d的大小关系是 （ ） (A)abcd (C)abdc

12yx (B)badc (D)adcb

1111，abdc，应2222cdbayx yx

cbO x 解：取x选(C)．

，由图像可知：三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义

对数函数的定义：一般地，我们把函数ylogax（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函

16

数的定义域是（0，+∞）．

幂函数的定义：一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数. ②性质

对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R； 过点（1，0），即当x=1，y=0；

在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，

1在[0，+∞]上，yx、yx、yx、yx2是增函数，

23在（0，+∞）上， yx1是减函数。

例1．已知函数fxmm1x25m3，当 m为何值时，fx：

（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是0,上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）m2或m1（2）m1（3）m变式训练：已知函数fxmmx2m2m3245（4）m25（5）m1

，当 m为何值时，fx在第一象限内它的图像是上升曲线。

2mm0简解：解得：m,13,

2m2m30小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。

例2．比较大小：

1130.5112（1）1.52,1.72 （2）(1.2)3,(1.25)3（3）5.25,5.26,5.26（4）0.5,3,log30.5

111解：（1）∵yx2在[0,)上是增函数，1.51.7，∴1.521.72

（2）∵yx在R上是增函数，1.21.25，∴(1.2)(1.25) （3）∵yx在(0,)上是减函数，5.255.26，∴5.2515.261；

12∵y5.26是增函数，12，∴5.265.26；

x1333综上，5.2515.26315.260.52

30.5（4）∵00.51，31，log30.50，∴log30.50.53

2

例1 求下列函数的单调区间： y=log4(x－4x+3)

2

解法一：设 y=log4u,u=x－4x+3.由 u＞0,

2

u=x－4x+3，

解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.

2

当x∈(－∞，1)时，u=x－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x

17

∈(3，±∞)时，u=x－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.

2

解法二：u=x－4x+3=(x－2)2－1, x＞3或x＜1，(复合函数定义域) x＜2 (u减)

解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.

2

由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.

22

u=x－4x+3=(x－2)－1,

x＞3或x＜1，(复合函数定义域) x＞2 (u增)

解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.

2

例2 求下列复合函数的单调区间： y=log1 (2x－x)

32

解： 设 y=log1u,u=2x－x.由

32

u＞0

2

u=2x－x 解得原复合函数的定义域为0＜x＜2.

2

由于y=log1u在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x－x的单调性正好相反.

3易知u=2x－x=－(x－1)+1在x≤1时单调增.由

0＜x＜2 （复合函数定义域） x≤1，(u增)

解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.

2

又u=－(x－1)+1在x≥1时单调减，由

x＜2， (复合函数定义域) x≥1， (u减)

解得1≤x＜2,所以1，2)是原复合函数的单调增区间. 例3、求y=76xx的单调区间.

解： 设y=u,u=7－6x－x,由 u≥0,

2

u=7－6x－x 解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.

2

22

2因为y=u在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.

22

易知u=-x-6x+7=-(x+3)+16在x≤-3时单调增加。由 -7≤x≤1,（复合函数定义域） x≤-3,（u增）

解得-7≤x≤-3.所以-7，3是复合函数的单调增区间.

22

易知u=－x－6x+7=－(x+3)+16在x≥－3时单调减，由 －7≤x≤1 (复合函数定义域) x≥－3， (u减)

解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.

1x22x1()例4 求y=2的单调区间.

1u()2

解 ： 设y=2.由 u∈R, u=x－2x－1,解得原复合函数的定义域为x∈R.

1u()2

因为y=2在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x－2x－1的单调性与复合函数的单调性相反.

易知,u=x－2x－1=(x－1)－2在x≤1时单调减，由 x∈R, (复合函数定义域) x≤1， (u减)

解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.

注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复

18

22

合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步. 练习

求下列复合函数的单调区间.

1.y=log(x2

3－2x);(答：(－∞，0)是单调减区间，(2，+∞)是单调增区间.)

12.y=log2(x2

－3x+2)；(答：(－∞，1)是单调增区间，(2，+∞)是单调减区间.)

553.y=x25x6,(答：［2，2是单调增区间，］［2，3］是单调减区间.)

14.y=0.7x;(答：(－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.) 5.y=23x2;(答(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间)

(1)x36.y=3,(答(－∞，+∞)为单调减区间.)

7.y=3log2x；(答：(0，+∞)为单调减区间.)

log18.y=

(4xx2)；(答：(0，2)为单调减区间，(2，4)为单调增区间.)

9.y=4x26x；(答：(0，3)为单调减区间，(3，6)为单调增区间.) 10.y=72xx2；(答(－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)

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