车辆-轨道系统激振源随机分析

铁 道学报 Vol.40 April

No.42018

JOURNALOFTHECHINARAILWAYSOCIETY

文章编号：1001-8360(2018)04-0120-07

车辆-轨道系统激振源随机分析

徐

1

磊、陈宪麦

2

西南交通大学牵引动力国家重点实验室，四川成都610031;

2.中南大学土木工程学院，湖南长沙410075)

摘要：简述轨道不平顺的时-空随机特性和时-空随机样本的概率计算及反演方法，基于弹性系统动力学总势 能不变值原理、形成矩阵的“对号入座”法则以及车辆-轨道耦合动力学理论，建立适合不同激振源的车辆-轨道 系统动力计算模型。通过车辆-轨道系统激振源随机分析，论证系统激振源与系统随机响应之间的概率转换关 系；采用激振源时-空随机分析方法，可以获取系统在不同概率水平下的振动响应；将构架蛇形波作为车轨系统 横向激振源计算系统响应极值具有一定的可行性。

关键词：车辆-轨道耦合动力学；激振源（时-空随机性；弹性系统动力学总势能不变值原理（概率转换 中图分类号：U213.2

文献标志码：A

do<10. 3969/1. issn. 1001-8360. 2018. 04. 017

Random Analysis on Vibration Sources of Train-track System

XU Lei1，CHEN Xianmai2

(1. State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；

2. School of Civil Engineering，Central South University，Changsha 410075，China)

Abstract： This paper made

a brief introduction about the temporal-spatial random nature of

trac

and proposes the probabilistic computation and inversion methods for temporal-spatial random samples. Based on the principle of total potential energywith stationary value in elastic system，the “set-in-right-position” rulefor forming structural matrices and the theory of vehicle-track coupling dynamics，the dynamic calculating mo­dels applied to different vibration sources for train-track system were buil.. Through a comprehensive randomanalysis of the vibration sources of the train-track system，the probabilistic transformational relationship be­tween the vibration

sources and random

responses of the

system was

demonstrated. The vibrati

the system at different probabilistic level can be acquired by using temporal-spatial random analysis method，and it is

feasible to

take

the

bogie frame hunting waves as the response

extremum

the transverse vibration sources of train-track system.

Keywords： vehicle-track coupling dynamics ； vibration sources ； temporal-spatial randomness ； principle of total

potential energy with stationary value in elastic system ； probabilistic transformation

对于车辆-轨道耦合系统(本文简称此系统）而言，随着确定性计算理论的不断完善[1]，车线工况及激励 形态确定的系统振动分析不再是困扰铁路工作者的主 要问题。此系统本质上是随机动力系统，激振源的随 机性是其随机振动的重要原因，国内外对此系统的随 机振动研究尚不充分。-般将随机激振源取为轨道随 机不平顺-1]，文献[2]另辟蹊径，取构架蛇形波为此系

收稿日期修回日期基金项目：国家自然科学基金（作者筒介：徐磊（，男，湖南岳阳人，博士研究生。 E-mail：

统的横向激振源。

总结国内外关于此系统激振源随机分析的研究， 以下几个问题有待深人探讨：

⑴激振源时变性考虑不足。按功率谱（或能量） 等效原理反演的轨道随机不平顺或构架蛇形波样本， 均来自此系统某一概率水平或某一时间点下的实测谱 (或标准差），其动力计算结果实为此系统沿线路的空 间随机结果[3]。

⑵激振源的时-空随机模拟方法尚未提出。此系 统的激振源既有沿线路空间的分布随机性，又有随时

2015-12-24;

1988—)

leix_2013@163. com

=2016-01-18 51478482)

第！期徐磊等：车辆-轨道系统激振源随机分析

121

间的演变随机性，所以此系统的激振源具有时-空随机 特征。若不进行此系统的时-空随机计算，就无法统计 个分布函数F(x)，上极限分布H(x)必收敛为与原 始分布有关的3种形式，并可统一

为广义极值分布[=]，

振动响应的概率分布，则涉及此系统可靠度的问题均无法妥善解决。

(3)自文献[2]提出采用构架蛇形波作为此系统横 向激振源，已近30年。未见针对此激振源合理性进行 全概率的理论论证，并与车辆-轨道耦合动力学[1]计算 结果进行对比验证的相关文献。

本文以轨道随机不平顺的时-空随机性为基础， 阐述其随机反演方法；结合车辆-轨道耦合动力学模 型[1]，分析时-空随机不平顺输入下此系统构架蛇形 波的随机分布特性及模拟方法；进一步建立车辆-轨 道动力计算模型，以构架蛇形波谱的随机反演样本 为激振源，通过两种激振源在两种计算模型下的动 力响应，相互验证此系统两种激振源的概率转换关 系及合理性。

1

轨道随机不平顺时-空随机反演方法

轨道不平顺的空间随机表现为其幅值及相位沿线 路随机分布(一般通过功率谱表征），其时间随机表现 为谱线以不同的概率上、下波动。

图1为武广高速铁路2013年高低不平顺实测谱 分布。图1表明，时-空域内的随机谱线在较广的范围 内波动，极大极小谱值相差超过3个数量级。而国内 外经常使用的平均谱，仅是众多统计谱线中的一条，其 出现概率及激励形态均十分有限，将平均谱作为激振 源计算出的响应并不完备。只有从此汇总谱图中还原 出线路随机不平顺的所有激振形态及其出现概率，才 能计算出此系统的所有振动响应（包括最不利极值响 应)及其概率分布，并开展可靠性研究。

104

102

10°

波长/m

图1

轨道高低不平顺实测谱

1 1轨道不平顺谱的概率特征

轨道不平顺的时-空随机反演重在遍历轨道随机 不平顺所有激振形态，并赋予其概率性质。计算表明， 图1中的所有谱线均对应确定的概率水平，即在某一 确定时-空随机域内，不同波长的谱密度值与其出现概率一一对应。

文献M研究表明，当取样足够长时，对于任何一

其分布函数为

#(\"!，\"#) = exp{— — & !(\" % \")]%1 0\")

( 1 )

式中：

分别为位置参数和尺度参数为形状参

数；K\")为示性函数，即

1 [1 + !(\"%\")]>〇

'\")${ # (2 )

0其他

当！$0时，式（1 )为Gumbel分布，即极值I型； 当！ > 0时，式（1 )为Frechet分布，即极值#型；当 !#0时，为Weibull分布，即极值$型。计算得到 式（1 )的参数后，可根据给定的概率水平\"求解对 应的逆函数

$

\" + #[1 — (—ln#/)V!] ! $ 0

(

\\\" % #ln(— ln# )

! $ 0

( 3 ；

文献[6-7]采用参数估计及假设检验方法，计算获 得不同类型不平顺不同波长谱值的概率分布参数（\"、 #和！值），并验证了线路不平顺谱服从广义极值分布。

图2为实测90百分位数谱与广义极值分布90百分位 数谱的比较图。

从图2可知，线路实测谱与概率分布拟合谱能较 好吻合，证明了用广义极值分布进行轨道随机不平顺 概率分析是可行的。

1. 2基于谱密度的随机反演方法

令轨道不平顺谱密度值为波长和概率水平（用百 分位数表示）的函数，即

PSD(g，A) $

{^七

| 〇 $ 〇 〜

t

$ Al 〜Au}

(!)

式中& P为谱密度值；匕为波长，M分别为上、下限

截止波长A.为百分位数，AuA

为上、下限截止百分

位数。

式（！）包含了不同频率、不同概率下的谱密度 值，而单边功率谱密度序列GU)与轨道不平顺反演

值之间存在下列关系

122

铁 道0,G( c〇 ) G'(5 )

从式（5 )可知，轨道不平顺反演值与功率谱密度 值存在概率信息的转换关系，在频率与百分位数确定 的情况下，/')的概率密度是可以确定的。

Pr (A,)

Pr(G('))d

'(6 )

式中：Pr()表示概率密度。

采用谐和函数-]模拟轨道不平顺

NX(t) $ &,$ 1 Azc〇s('3 & () (7 )

式中& A^

、p分别为第，个谐和分量的幅值、圆频率

和相位角；N为谐和分量项数;设'z(2 ( , ( N - 1) 为['1，'u ]的内点，'1 $ '1，'N $ ，'i为相互

的随机变量，不同频率的相位角服从（0，％]内 的均匀分布，谐和分量幅值人按式（5 )计算。

从式（7 )可知，每条随机不平顺序列X⑴的出 现概率可由人的概率决定，基于式（6 )，可得

Pr(X()):Pr(G('))d

'

(8 )

可进一步假定线路谱线均按百分位谱形式排列， 形成百分位谱密度矩阵

Pr1 $'1

Pr!-#… PriProb (A

Pr#,'1Pr#,'2…

Pr2Pr77$''1Prn,'2… Prn(9 )

式（9 )中矩阵的每

一

列满足如下关系

f*7 Prob' (A)dA $ 1

!10)

即每个频率与其对应谱密度值序列构成的概率子 集，在这里若考虑线路谱线的百分位形式，则其不再独 立，可进一步将不同不平顺类型的百分位概率密度矩 阵构建为一个二维联合概率密度集，即

I '1 JI %1Prob(A,')dXd' $ 1

(11)

可以获得任意百分位谱/

a

)的出现概率为

Pr (G(Al)):

Prob (A ')dAd'

(12)

由

G(AD反演获得的轨道随机不平顺序列

X

,()具有与GA

)相等的出现概率，这便完成了具

有概率特征的随机不平顺反演工作。

根据不同百分位谱线出现的概率，通过超立方抽

样方法-]随机提取m个谱线样本，统计m个样本轨道 不平顺幅值的概率密度分布，即获得每个不平顺幅值 在整个线路中出现的近似概率。通过试算，可取m范

学报

第40卷

围为300〜500。图3为m $ 300时，不平顺幅值反演 概率密度分布与实测概率密度分布的比较；图4为不 同累计概率下谱线的概率分布。

& 一实测分布

0

5 10

幅值/mm

图3

高低不平顺反演概率分布与实测概率分布的比较

%

/#擊

0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

累计概率

图4

不同累计概率下谱线的概率分布

由图3可知，反演获得的概率密度分布与实测十

分接近，证明本文提出的具有概率特征的随机不平顺 反演方法是可行的。由图4可知，概率水平最高的轨 道不平顺谱线出现在较低百分位数下，此概率分布曲 线与广义极值分布较相似。

其他类型的不平顺均可参照上述方法进行时-空 随机模拟。对于不同类型不平顺样本的组合问题，文 献[10]基于华罗庚和王元分圆域思想，提出一种随机 变量空间选点的数论方法，可供参考，这里不再赘述。

2

构架蛇形波谱计算与统计

将上述轨道不平顺随机样本输入经过验证的车 辆-轨道耦合动力学模型-]，进行轨道随机不平顺激振 下此系统振动响应的计算。结果表明，计算获得的构 架横向振动加速度谱仍然可用广义极值分布进行概率 分析，如图5所示。

注：1、2、3、4分别表示10、30、70、90百分位数谱。

从图5可知，采用广义极值分布能良好拟合构架 横向蛇形波在不同累计概率水平下的功率谱线。振动

主频主要分布在14〜42 Hz范围内，且存在34 Hz及

第！期徐磊等：车辆-轨道系统激振源随机分析

123

其倍频谱峰，这些计算结果与文献[1]中给出的实测结 果吻合良好。

根据构架蛇形波谱，可以依据功率谱等效算法[1] 模拟构架加速度响应，采用基于卡尔曼滤波的状态空 间方法[11]估计其位移响应，对位移关于时间一次差分 计算对应的速度响应。计算结果表明，此方法效果良 好，不会产生时域积分时的漂移现象，如图？所示。

3动力计算模型

3.1模型简介

以轨道不平顺为激振源的车辆-轨道耦合动力学 模型在文献-]中有详细介绍，不再论述。本文介绍以 轨道垂向不平顺和构架横向蛇形波为此系统垂、横向 激振源的车辆-轨道动力计算模型。

不考虑风、地震等外部激励，此系统是自激系统， 从图？可知，按上述模拟思路，模拟结果与实际计 算结果较一

致，模拟方法可行

。

图@为99百分位数构架蛇形波谱的振动响应模

拟时程

。

QIS.UI鹋

)/铟异

时间/s

(a)构架横向加速度

Ts.uo/鹋掛■

0.210 ----------------1-5 -------------------10 1---------------1-15 --------------------20

1

时间/s

(b)构架横向速度

图7

构架蛇形波99百分位数谱的振动响应模拟时程

将图@所示模拟结果与实际动力计算结果最大值 进行比较，发现此模拟值与计算值基本吻合，如模拟和

计算位移最大值分别为\"012 7和\"012 4 m。

其空间振动方程为

M8 +C8 +K8

= P

(13)

式中:M、

'、

）为系统的质量、

阻尼、

刚度矩阵；！、

！

、5

为系统的加速度、速度、位移；P为系统荷载列阵。

基于弹性系统动力学总势能不变值原理[12]和形

成矩阵的“对号入座”法则气将此系统视为一个整 体系统，轮轨界面不是此系统的边界条件，而是作为 系统的内部环境考虑。除车辆自重外，此系统荷载 列阵来自振动参数的已知响应，轮轨相互作用力已 等效计入系统能量位移变分后的动力矩阵之中，无

需显式计算。

无论采用何种动力计算模型，轮轨接触几何关 系均无法回避。根据文献[13-14]在本文计算模型 中考虑车轮爬轨和跳轨，将轮轨位移衔接条件（轮轨

位移]钢轨位移十轨道不平顺十轮轨相对位移）作 为轮轨接触几何关系的基本条件。在计算中，轮轨 相对位移通过能量变分导入系统动力矩阵之中，无 需计算。

采用文献[15]的车辆模型，但考虑轮对的摇头振 动。采用文献[16]的板式轨道结构模型。用WU

法求解式(13)，积分步长为0. 005 s。

3.2模型验证

本文将动力计算模型的验证分成两个部分&⑴与车辆-轨道耦合动力学模型[1]的计算结果进 行对比。

⑵基于列车脱轨能量随机分析理论[17]，计算车 辆-板式轨道系统的极限抗力做功值，

与文献[16]的计

算结果进行对比。

3.2.1 验证一

采用相同的计算条件，以高速无砟轨道谱90百 分位数谱为车辆-轨道耦合动力学模型[1]的激励输

入，计算此系统振动响应（包括构架蛇形波\"将构

架蛇形波及轨道随机不平顺输入本文模型，再次计 算此系统的振动响应，表1为计算响应最大值的 对比。

124

漭 姍 一

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112. 29

111. 32

F ,/kN

9. 598. 23$0S$L、 1-3,/mm

〇.28

斗〇.3〇60^0S$肝姍11^杏，耸屮傘錨锉^sifstsi-槭瓣沖菡_, ^菡®S锉ijif-槭癱随也卅菌-fLKsi卟锉^噼癱随 sif-槭雒湘® *®s,>Am#imT*Hif-槭癱随S冯»®,阵倉到餵南Tqnn£薄雞截掛q£锉ii

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舞驾>鸢溺f_。米迪S槭碎af-槭&苠制淨迓锒 350 km

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苠簿郯歸啩^砷亙盏渖；掛簿驾渖»歸啩阵賺丑，扭倉簿耸S舞驾制 燁丨漾_濞#耸#_(函8(d))。

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(b)

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(2)

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制淨瞄 、 茚第！期

0.

10

徐磊等：车辆-轨道系统激振源随机分析

125

bo/«铟

异捉卅

析奠定基础。

⑵本文较多从理论层面探讨轨道随机不平顺时- 空随机样本的概率计算及反演方法。大量基础检测数 据和资料积累、此系统基础部件性能演化规律及完善

05

的车辆-轨道耦合动力模型等研究工作的展开，是此方

0

图9

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

法应用于工程实际的关键。

!)不同计算理论的对比证实了将构架蛇形波作 为激振源具有合理性。实际上，若将系统动力学的基 本思想拓展至车辆-轨道耦合系统之中，即系统内部各 累计概率

车体横向加速度累计概率-响应极值分布

I

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

累计概率

图10钢轨横向位移累计概率-响应极值分布

论计算结果较吻合。此吻合是指此系统响应的全概率 吻合，该计算结果说明&

⑴此系统激振源与其振动响应之间存在概率转 换关系，例如轨道随机不平顺与构架蛇形响应存在的 概率转换关系，此关系可通过车辆-轨道耦合动力学[1] 理论计算和统计分析获得。

(2)将构架蛇形波作为横向激振源计算系统最大 响应是可行的，图9〜图11的计算结果证明了这一 点。关键是用于动力计算的理论模型是否合理描述了 该系统的物理、力学关系。

5

结论

⑴简述轨道不平顺的时-空随机特性，并给出了 相应的时-空随机模拟方法。以往的研究多对线路的 单一统计谱线进行动力计算与分析，未考虑线路谱随 时间和空间的随机波动性。随着铁路大系统动力学非 确定性计算工作的不断深入，应该深入考察此随机性， 为时-空随机激振下的车辆-轨道系统动力演化特性分

组成要素的动力反应不是的，而是具有互为因果 的反馈特性，便不难理解其合理性。若研究者掌握了 与此激振源相符的动力模型构造原理及方法，便能获 得与实际吻合的计算结果。

⑷采用激振源时-空随机分析方法，利用车辆-轨

道动力计算模型，可以计算出不同动力指标在不同概 率水平下的响应，为此系统可靠性计算奠定了基础。

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(责任编辑赵昱萌）