凸函数

凸函数,是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）

凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。

中国数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但是，在中国的许多经济学著作中，凹凸概念与其他国家的观点是一致的，这与数学教科书相反。举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。

另外，也有些教材会把凸定义为上凸，凹定义为下凸。碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量、有成立。

于是容易得出对于任意（0,1）中有理数，有如果f连续，那么可以改变成区间（0,1）中的任意实数。

若这里凸集C即某个区间I，那么就是：设f为定义在区间I上的函

数，若对I上的任意两点和任意的实数，总有

则f称为I上的凸函数，当定义中的“≤”换成“<”也成立时，对应可称函数f为对应子集或区间上的严格凸函数。

判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数，对于实数集上的凸函数，一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上小于等于零，就称为凸函数。如果其二阶导数在区间上恒小于0，就称为严格凸函数。