高三物理14_重力做功与重力势能的改变,机械能守恒定律 知识点解析、解题方法、考点突破、例题分析、达标测

【本讲主要内容】

重力做功与重力势能的改变；机械能守恒定律

本部分将使学生进一步理解重力势能、弹性势能、机械能的概念，熟练应用机械能守恒定律解决实际问题，全面理解机械能与其它形式能的关系，机械能与做功的关系，并能处理有关的实际问题。

【知识掌握】 【知识点精析】

一. 势能：由于相互作用的物体间的作用力和物体间的相对位置决定的能叫做势能。如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等。

1. 重力势能：物体与地球组成的系统中，由于物体与地球间相互作用，与物体与地球相对位置有关的能叫重力势能。

（1）定义式：EP=mgh，m是物体的质量，h是物体距离所选取的参考水平面的高度。EP是物体相对这个所选取的参考平面的重力势能。重力势能是物体和地球组成的系统所共有的。

（2）重力势能有相对性：EP=mgh与所选的参考平面（也叫做零重力势能面）有关，因此在计算重力势能时，必须首先选取零重力势能面。通常选取地面为零重力势能面。在实际问题中，零重力势能面可任意选取。为了计算方便，一般选取初始状态或末了状态所在的水平平面为零重力势能面。

（3）重力势能是标量，但是有正负，若物体所处位置在零势能面上方、物体的重力势能为正，物体处在零势能面下方，重力势能则为负。可见，EP的符号仅表示重力势能的相对大小。

（4）重力势能的差值具有绝对性。 在实际问题中，我们所关心的往往不是物体具有多大重力势能，而是重力势能的变化量。同一物体m，在距离零势能的高度为h1和h2运动时，物体的重力势能变化量为

EPEP2EP1mg(h2h1)，m、g、h2－h1是确定的，即重力势能的变化量与零重力势

能的选取无关。

（5）重力势能的变化与重力做功的关系。

当物体从高处向地面降落时，重力做正功、重力势能减少。重力对物体做多少功，物体的重力势能就减少多少。

当物体从低处向高外上升时，即物体有竖直向上的位移时，重力对物体做负功，由于物体的高度增加，物体的重力势能增加。即重力对物体做多少负功，重力势能就增加多少。 （重力是保守力）。重力对物体做功和路径无关，只与初末高度差有关，重力对物体所做的功等于物体重力势能变化量的负值。即：WeEp。

2. 弹性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能，叫做弹性势能。（关于弹性势能的大小，只要求定性了解，对同一个物体，弹性形变越大，其弹性势能越大）（其计算式：EP1kx22不作要求）（k为弹簧的劲度系数，△x为弹簧的伸长量或压缩量）

二. 机械能

动能、重力势能、弹性势能都是与物体的机械运动相关联的，统称为机械能。若Ek表示物体的动能，Ep表示物体的势能，则物体的机械能EEkEp。

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1. 机械能守恒定律

系统只有重力和弹力做功，机械能的总量保持不变，表示为EP1Ek1EP2Ek2或

Ep减Ek增。

2. 判定机械能是否守恒的方法 （1）对某一系统，若只有重力和弹力做功，其它力不做功（或其它力做功代数和为零），则该系统的机械能守恒。

（2）对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化，没有其它形式的能转化（如没有转化为内能），则系统的机械能守恒。 3. 机械能守恒定律应用的一般步骤：

（1）确定研究对象，找出初状态和末状态。

（2）作出运动过程的受力分析，确定此过程是否只有重力（或弹力）做功。如果是，则机械能守恒。

（3）选定参考平面（零势面）根据机械能守恒定律列出方程解题。

三. 功能关系

在前面的专题中，我们已经掌握了三种求功的方法： （1）利用WFscos求功； （2）利用PW求功； t （3）利用动能定理求功，现在再学习第四种求功的方法： “功是能量转化的量度”，其含义是：“做了多少功就有多少能量转化，反之，转化了多少能量说明做了多少功”，实质是能量守恒的另一种表述。

如：在水平地面上平铺n块砖的质量为m，厚度为h，如将砖一块一块地叠放起来，至少做多少功？

解析：这是一道非常典型的变质量做功问题，先画清草图

nh h n块

根据功能关系可知：只要找出砖叠放起来总增加的能量△E，就可以得到

WEE末E初nmgnh/2nmg

四. 一对摩擦力做功产生热的问题

hn(n1)mgh 22 当两个物体之间存在摩擦力，且产生相对运动时，它们之间才产生热；Qf滑S相对，其中f滑必须是滑动摩擦力，S相对必须是两个接触的相对滑动距离（或相对路程）。这一过程是摩擦力做功使机械能转化为内能的过程。是能量守恒的体现，该关系可以表示为

E机械E内增。即QE2E1（见解题方法指导例2）

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一对静摩擦力即使对物体做功，由于相对位移为零，而没有热能产生，只有物体间机械能的转移。

五. 能量守恒

以上摩擦力问题可进一步推广为多种形式的能量相互转化问题。 1. 能量守恒应从下面两方面去理解：

（1）某种形式的能减少，一定存在某其它形式的能的增加，且减少量一定与增加量相等。

（2）某个物体的能量减少，一是存在其它物体能量的增加，且减少量和增加量一定相等。

2. 功率的意义：单位时间内转化的能量，PWE tt 3. 用能量守恒解题步骤是：

（1）分清有多少形式的能在变化

（2）分别列出减少的能量△E减和增加的能量△E增的表示式 （3）列恒等式△E减=△E增

【解题方法指导】 例1. 如图所示：轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球。AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动，现将杆置于水平位置，然后由静止状态释放，不计各处的摩擦与空气阻力，试求 （1）AB杆转到竖直位置时，角速度多大； （2）AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能增量多大？ ACB 解析：由于连杆的作用，两小球的各自机械能均不守恒，而若以AB杆整体为研究对象，释放后除重力和弹力外其它力不做功，所以系统的机械能守恒。（注意到运动中C、B处的小球绕A点运动的角速度相同）由机械能守恒很方便求出。 （1）设角速度为，则有

vCLvB2L

以AB杆为研究对象，转动到竖直位置，机械能守恒，以最低点为零势能，则有：

2mgL2mg(2L)mgL解得11m(L)22m(2L)2 2210g，为竖直位置AB杆的角速度。 gL 第3页

（2）此过程中B端小球机械能的增重为

14EB增EB末EB初(2m)(2L)22mg(2L)mgL

29说明：抓住解决问题的关系，角速度相等机械能守恒。

例2. 如图所示，长L1.0m的木板B，质量为M=4kg，静止在光滑水平面上。在木板最左端有一质量为m=2kg的小物块A，在沿水平向右，F=10N的恒力作用下由静止开始运动。物块和木板间的动摩擦因数为0.2，g取10m/s2。 求：（1）要把物块从木板右端拉下去，恒力做功是多少？ （2）在上述过程中，A、B受到的滑动摩擦力所做的功？ （3）物块从木板右端拉出时，A、B的动能各多大？ fAFfB 解析：（1）分别对A、B进行受力分析，AB之间摩擦力大小为fNmg 根据牛顿第二定律 Ff3m/s2方向向右， mf对木板B有：aB1m/s2，方向向右， M对木块A有：aA设物块从木板右端拉出时，A对地位移为sA， 木板B对地位移为sB，经过时间为t， 根据题意，由草图知sAsBL， ABsAA sB则有B11aAt2aBt2L，代入数据 221aAt21.5m 2解得：t1.0s 所以sA恒力F做功WFFsA15J （2）由第一问的解答可知：物块从木板右端拉出时，木板B对地位移sBA、B受到的滑动摩擦力所做的功

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1aBt20.5m 2

对A：W1fsAcos18041.5J6J 对B：W2fscos040.5J2J （3）根据动能定理：①对木块A有：解得：A的动能为9.0J ②对木板B有：

1mv2A0(Ff)sA 21Mv2sB B0f2解得B的动能为2.0J。

说明：在问题（2）的解答中还应体会到，A、B间的摩擦力对A做负功，对B做正功，但两个功值的大小不同。从解答过程中的几个表达式会得到

11WF(mv2mv2L AB)f(sAsB)fsf22其中fs是A、B间相互作用的滑动摩擦力做功的代数和的“绝对值”，恰为“摩擦生

热”。即系统产生的内能。表明：外力F做功施加给系统的能量等于系统增加的机械能和转化成的内能之和。

【考点突破】

【考点指要】

机械能守恒知识是近几年高考必考内容之一，经常以选择题、计算题形式出现；下表是近五年各地区试卷中机械能部分所占分值情况。 考试年份 2000 2000 2001 2001 2003 2003 2004 2005 2005 2005 2006

试卷类型 物理 物理 物理 理综 春招 理综 物理 物理 理综 理综 理综 地区 上海 上海 上海 上海 北京 上海 江苏 广东 北京 全国I 全国II 题号 5 8 8 33 16 7 15 14 23 24 18 知识点 机械能 机械能 加速度、重力作功 能量守恒 机械能守恒 机械能守恒 机械能守恒、平衡 机械能守恒、平抛运动 机械能守恒 机械能守恒 动量守恒、机械能守恒 分值 5分 5分 5分 4分 6分 5分 15分 12分 16分 19分 6分 题型 选择 选择 选择 简答 选择 选择 计算 计算 计算 计算 选择题 另外解题方法，前文已述不再重复。

【典型例题分析】

例1. （04江苏15）如图所示，半径为R，圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上，一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重

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物，忽略小圆环的大小。

C θθ O R m m

（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上（如图）在两个小

圆环的中点C处，挂上一个质量M2m的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速度释放重物M，设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物m下降的距离。

（2）若不挂重物M，小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大小圆环间的摩擦均可以忽略，问两个圆环分别在哪些位置时系统处于平衡状态？

解析：（1）过程分析：重物先向下做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降距离最大，设下降最大距离为h，系统只有重力和弹力做功，机械能守恒。

Mgh2mg[h2(Rsin)2Rsin]

解得h2R

（另解h=0舍去）

（2）系统处于平衡状态时，两小环可能的位置为 a、两个小环同时位于大圆环的顶端 b、两个小环同时位于大圆环的底端

c、两个小环一个位于大圆环的顶端，一个位于大圆环的底端

d、除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称，设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上（如图）

T N C α α θθ R T O T m 第6页

m mg

对于重物m，受绳子拉力T与重力mg作用，有 Tmg

对于小圆环，受到三个力作用处于平衡状态沿大圆环切向两绳拉力T的分力相等

TsinTsin'

'90所以α=45°

说明：此题为力学部分的综合测试题，解答本题（1）问时，首先明确过程，分析各力做功情况，确定机械能是否守恒。确定初末状态，列机械能方程，注意各物下落高度之间的关系。（2）问要对平衡状态全面分析。

例2. （2005年全国卷I24. （19分））

如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹

簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为(m1m2)的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。

解析：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有

kx1m1g

①

挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有

kx2m2g

②

B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为

Em3g(x1x2)m1g(x1x2)

③

C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得

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11(m3m1)v2m1v2(m3m1)g(x1x2)m1g(x1x2)E 221由③④式得(m32m1)v2m1g(x1x2) ⑤

22m1(m1m2)g2由①②⑤式得v

(2m1m3)k

⑥

④

【综合测试】

一、选择题

1. 如图所示，某人以拉力F将物体沿斜面拉下，拉力大小等于摩擦力，则下列说法中正确的是（ ）

A. 物体做匀速运动

B. 合外力对物体做功为零 C. 物体的机械能不变 D. 物体的机械能减小

2. 如图所示，一辆汽车从凸桥上的A点匀速运动到等高的B点，以下说法中正确的是（ ）

A. 由于车速不变，所以汽车从A到B过程中机械能不变 B. 牵引力对汽车做的功等于汽车克服阻力做的功 C. 汽车在运动过程中所受合外力为零

D. 汽车所受的合外力做功为零。

3. 物体在地面附近以2m/s2的加速度匀减速上升，则在上升过程中，物体的机械能（ ） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 无法确定

4. 一人在高出地面h处抛出一个质量为m的小球，不计空气阻力，小球落地时的速率为 ，则人抛球时对小球做的功为（ ）

A.

B.

C.

D.

5. 如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落，从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中（ ）

A. 重力先做正功，后做负功 B. 弹力没有做正功

C. 金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡

D. 金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大。

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6. （2001全国物理）细长绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方1/2摆长处有一个能挡住摆线的钉子A，如图所示。现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是（ ）

A. 摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小 B. 摆球在左、右两侧上升的最大高度一样

C. 摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等 D. 摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍

7. （2002年春季）下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动，在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是（ ）

A B C D

8. （2001年上海综合）在一种叫做“蹦极跳”的运动中，质量为m的游戏者身系一根长为L、弹性优良的轻质柔软橡皮绳，从高处由静止开始下落1.5L时到达最低点，若在下落过程中不计空气阻力，则以下说法正确的是（ ）

A 速度先增大后减小 B 加速度先减小后增大 C 动能增加了mgL D 重力势能减少了mgL

9. 如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两个物体M和m，不计摩擦，系统从静止到开始运动的过程中，下列结论正确的是（ ） A. M和m 各自的机械能分别守恒

B. M减少的机械能等于m 增加的机械能 C. M减少的重力势能等于m增加的重力势能

D. M和 m 组成的系统机械能守恒

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10. 如图，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中（ ）

A. B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒

B. A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒。 C. A球、B球和地球组成的系统机械能守恒 D. A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒

二、填空题

11. （1996年全国）在“验证机械能守恒定律”的实验中，已知打点计时器所用电源的频率为50赫。查得当地的重力加速度g＝9.80米/秒2。测得所用的重物的质量为1.00千克。实验中得到一条点迹清晰的纸带，把第一个点记作0，另选连续的4个点A、B、C、D作为测量的点。经测量知道A、B、C、D各点到0点的距离分别为62.99厘米、70.18厘米、77.76厘米、85.73厘米。根据以上数据，可知重物由0点运动到C点，重力势能的减少量等于____焦，动能的增加量等于____焦(取3位有效数字)。

12. 如图所示，长为

的轻杆上端及其正固定两个质量均为的小球，杆竖直立在光

滑水平地面上，现自由释放杆让其自由倒下，设杆在倒下的过程中杆下端始终不离开水平地面，则A球着地的速度大小为________，方向为_______（从A、B这一系统水平方向动量守恒的角度去分析）。

三、计算题

13. 如图所示，斜面倾角θ=30°，小球从斜面上A点做平抛运动的初动能为6J，不计

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空气阻力，小球落在斜面上P点的动能为多少.

14. 一块质量为M的木块放在光滑水平面上，现有一质量为m的子弹以速度v0射入木块中。设子弹在木块中所受阻力不变，大小为f，且子弹未射穿木块。若子弹射入木块的深度为D，则木块向前移动距离是多少？系统损失的机械能是多少？

15. （2004全国春）如图，abc是光滑的轨道，其中ab是水平的，bc为与ab相切的位于竖直平面内的半圆，半径R=0.30m。质量m=0.20kg的小球A静止在轨道上，另一质量M=0.60kg、速度v0=5.5m/s的小球B与小球A正碰。已知相碰后小球A经过半圆的最高点c落到轨道上距b点为l42R处，重力加速度g=10m/s2，求：

（1）碰撞结束后，小球A和B的速度的大小。 （2）试论证小球B是否能沿着半圆轨道到达c点。

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【综合测试答案】

一、选择题 1. C 2. BD 6. AB 7. C

二、填空题

3. A 8. AB

4. B 9. BD

5. D 10. BC

11. 解析：Ep=mgh=7.62J；Ek=

12

mv=7.56J 2sBD(85.7370.18)102（其中v===3.8875m/s）

12T25012. 解析：整个系统在水平方向上受到外力为零，水平方向动量守恒，在落地瞬间，A、B两球在水平方向上动量守恒，质量相等，所以有vAxvBx0，又因为机械能守恒则有

1122mghAmghBmvAmvB

22vA2R,vBR,vA2vB

230gl 解得 vA5方向为竖直向下

三、计算题

13. 解析：整个过程机械能守恒，要求在P点的动能，须先求下落的高度h，令水平方向位移为x，下落时间为t

由Ek121mv26J得 v2m4gm，h=

12gt3h2 tan=

3xvt解得：t812gt， 2mg由此得小球在P点的动能为Ekmgh614J

14. 解析：以子弹、木块组成的系统为研究对象。画出运算草图，如下图。系统水平方向

不受外力，故水平方向动量守恒。据动量守恒定律有

mv0=(M+m)v（设v0方向为正）

子弹打入木块到与木块有相同速度过程中摩擦力做功：

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由运动草图可知s木=s子－D ③ 由式①②③解得s木①+②有

mD

Mm112(Mm)v2mv0f(s子s木) 221122即fDmv0(Mm)v

22m2v0112 Ekmv0(Mm)22(mM)2 =

2m(Mm1)2v0

2(mM)15. 解析：（1）以v1表示小球A碰后的速度，v2表示小球B碰后的速度，v1表示小球A在半圆最高点的速度，t表示小球A从离开半圆最高点到落在轨道上经过的时间，则有

v1t42R ① 12gt2R ② 21212mg(2R)mv1mv1 ③

22Mv0mv1Mv2 ④

由①②③④求得

v123Rg mv2v023RgM代入数值得 v16m/s

v23.5m/s

（2）假定B球刚能沿着半圆的轨道上升到c点，则在c点时，轨道对它的作用力等于零。以vc表示它在c点的速度，vb表示它在b点相应的速度，由牛顿定律和机械能守恒定律，有

vc2MgM

R112Mvc2Mg(2R)Mvb 22解得

vb5Rg

代入数值得 vb3.9m/s

由v23.5m/s，可知v2vb，所以小球B不能到达半圆轨道的最高点。

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