2022年高考数学必刷压轴题专题10以分段函数为背景的解不等式含解析

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专题10 以分段函数为背景的解不等式

【方法点拨】

1. 遇绝对值往往直接转化为分段函数解决.

2. 以分段函数为背景的解不等式，注意对分类后结果的处理，一般“类中取交、类后取并”

（即分类过程中，不等式取交集，而最终结果应取各类之并集）.

【典型题示例】

例1 (2021·全国乙卷·理23改编)已知函数fxxax3．（1）当a1时，不等式fx6的解集是 ;（2）若fxa，则实数a的取值范围是 ． 【答案】（1）,42,.（2）,.

32【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

（2）利用绝对值不等式化简fxa，由此求得a的取值范围.

【解析】（1）当a1时，fxx1x3，x1x3表示数轴上的点到1和3的距离之和，

则fx6表示数轴上的点到1和3的距离之和不小于6，

3所对应的点距离之和等于6， 当x4或x2时所对应数轴上的点到1，3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是x4或∴数轴上到1，x2，

所以fx6的解集为,42,.

（2）依题意fxa，即xax3a恒成立，

xax3axx3a3，

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当且仅当axx30时取等号，fxmina3,故a3a， 所以a3a或a3a， 解得a点评：

解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.

例2 已知函数f(x)|3x1|2|x1|,则不等式f(x)f(x1)的解集是 ．

3. 27,【答案】.

6【分析】在同一直角坐标系内作出函数f(x)、

fx1的图象，根据图象即可解出．

fx1的图象，如图所示：

【解析】将函数fx的图象向左平移1个单位，可得函数

由x35x11，解得x所以不等式的解集为,

7． 67． 6

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【巩固训练】

x22x，x21.已知函数f(x)1，则关于x的不等式f(1x)f(2x)的解集

x1，x22为 ．

2，x≤0，

2.设函数f(x)＝1，x>0，

－x

则满足f(x＋1)B．(0，＋∞) D．(－∞，0)

A．(－∞，－1] C．(－1,0)

3.已知f (x)＝(x＋1) |x|－3x．若对于任意x∈R，总有f (x)≤f (x＋a)恒成立，则常数

a的最小值是______．

4.已知函数f(x)x(1a|x|)1(a0)，若f(xa)f(x)对任意的xR恒成立，则实数a的取值范围是 .

5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集为 ． 6.已知函数

f(x)x|x2|，则不等式f(2x)f(1)的解集为__________.

17. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若对于任意x∈R，有f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为 ．

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【答案与提示】

1.【答案】,

【分析】作出函数fx图象，考察动区间

即x122x间图象的单调性，易得，当1x= 1x，211时，f(1x)f(2x)，此即为“临界值”，而动区间右移时满足题意，故21x11,x 2212所以不等式f(1x)f(2x)的解集为,. 211-xO12-x24682.【答案】 D 【解析】 法一：分类讨论法 x＋1≤0，①当2x≤0，3 即x≤－1时， 4f(x＋1)x＋1≤0，②当2x>0x＋1>0，③当2x≤0，

时，不等式组无解．

即－1f(x＋1)欢迎下载！

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因此不等式的解集为(－1,0)．

x＋1>0，④当2x>0，

即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．

综上，不等式f(x＋1)2，x≤0，∵f(x)＝1，x>0，

－x

∴函数f(x)的图象如图所示． 结合图象知，要使f(x＋1)则需

x＋1<0，

2x<0，2x或

x＋1≥0，



2x<0，

∴x<0，故选D. 3.【答案】3＋10．

x－2x，x≥0，

2

【提示】f (x)＝－x－4x，x＜0，，作出函数f (x)的图象得：

2

OMyNx作平行于x轴的直线l与f(x)图象有三个交点，设最左边与最右边的交点分别为M，N，如图所示，则a的最小值即为线段MN长的最大值．设直线l的方程为y＝t， 可得MN＝3＋1＋t＋4－t＝3＋(1＋t＋4－t)＝3＋5＋2(1＋t)(4－t)

≤3＋5＋1＋t＋4－t＝3＋10

所以，a的最小值是3＋10 【说明】

1.本题的难点是要能结合函数的图象发现常数a的最小值即为线段MN长的最大值． 2.本题也可使用导数知识解决. 4.【答案】[2,)

【解析】设g(x)x(1a|x|)(a0)，则f(xa)f(x)g(xa)g(x)对任意的

2

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xR恒成立，意即将g(x)图象上的每一点向左平移a个单位后，所得到的图象不可能

在g(x)的上方.

因为g(x)x(1a|x|)x(1ax),x0

x(1ax),x0如图，由图象得，a2，又因为a0，故a2. a𝑦

5.【答案】

1− 𝑎𝑂 1𝑎 𝑥 ,55,

【提示】利用奇函数，求出x0时，f(x)x24x，代入分段求出，或直接使用图象，数形结合求出. 6.【答案】

-1，

【提示】去绝对值，分段求出，或直接使用图象，数形结合求出. 66

7.【答案】[－6，6].