函数值域几种常见求法

一、 配方法 例1、 求函数y2y0,2。

x4x2的值域。

例2、若x2y4,最大值lg2。 二、 观察法

x0,y0,试求lgxlgy的最大值。

x

x 例2. 求函数y3[,3]

的值域。

三、 部分分式法 求yx1x2的值域。

x23x213x21 ，可得值域yy1

解：（利用部分分式法）由y小结：已知分式函数yaxbcxd(c0)，如果在其自然定义域（代数式

自身对变量的要求）内，值域为yya； c如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为yacbad(adbc)，用复合函数法来求值域。 ccxd 四、判别式法 例4. 求函数

y1xx1x22的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程

(y1)x2(y1)x0

（1）当y1时，xR

1

(1)4(y1)(y1)0

21解得：2y32

131,（2）当y=1

时，x0，而22

13故函数的值域为2,2

五． 基本不等式法： 例：求函数yx22x2x1(x1)的值域

解：原函数可化为 y(x1)211x1x1x12(x1) 当且仅当x0时取等号，故值域为2, 六． 有界性法：（非负性） 求函数2yx1x21 的值域

x21y1y01y1

原函数的值域为11

ex 例7. 求函数

y1ex1的值域。

ex解：由原函数式可得：y1y1

∵ex0

y1∴

y10

解得：1y1

2

故所求函数的值域为(1,1) 七．. 数形结合法 例2、 求函数yx2x5的值域。

结合图形不难得到：y[7,)。

例16. 求函数

y(x2)2(x8)2的值域。

解：原函数可化简得：y|x2||x8| 故所求函数的值域为：[10,] 1、 求yx3x1 的值域

y 4 ,x14解法一：（图象法）可化为 y22x,1x3 4,x3- -4 0 1 3 x 观察得值域y4

y4

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