教材探析 ④ 正态分布概念的教学设计 ■闻杰刘玉霞 它们都可以看作许多微小的，的随机因素作用 的总后果，而每一个因素的影响都很小，都不应起着 压倒一切的主导作用。如射击的误差就受着许多随 机因素诸如风向、抖动、瞄准者情绪的随机波动等的 摘 要：正态分布在概率论与数理统计的理论 研究和实际应用中都占有十分重要的地位。在自然 界和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似服 从正态分布。因此，在正态分布概念的教学中，有必 要详细讨论，精心设计，使得学生能够很好地理解概 念，并了解它的一些应用。 关键词：正态分布；几何意义；实例教学 正态分布的学习是在学习概率论基本概念这一 章节后，随机变量及其分布的内容中，开始用到分析 的工具，有些学生对它一开始就产生了恐惧心理。而 这一章节里正态分布可以说是概率里最重要的一种 分布，有着极其广泛的应用，而学生在高中学习过一 些相关内容，却不是那么系统，所以，通过这个内容 的教学设计，一方面让学生更好地掌握这一知识，另 一方面可以提高学生学习这一门课的兴趣，消除一 些恐惧心理，为后面的学习打下基础。以下是笔者教 学的一些设计： 一、结合几何意义进行概念教学 正态分布，是一种最重要的连续型分布，它的概 率密度是： ’ 士 一 ２ｏ＂。 ，一 ＜ 。公式相对复杂，不容易记 』 住，但可以结合几何意义进行 解释，让学生理解参数的意 Ｘ 义，从而加深对公式的印象。 从形态上看，正态分布是一条 单峰、对称呈钟形的曲线，位 ＾ 于 轴上方，在正负无穷远处 １ 取值为０，图形以 点为中心， 在 处有拐点，并在 处取 ｊ九 ：０．７ 最大值。当 固定，图形形状 不变，随着“的变化左右移动； 当 固定， 越小，图形越峰 陡，集中ｑｎｘ－￣的附近， 越 ／ 一 大，图形越平坦，在 的附近 ０ 下降缓慢。 这也表明了这两个参数鲜明的概率意义， 决定 正态曲线的中心位置， 决定曲线的分散程度。而事 实上， 就是分布的数学期望，ｏｒ是分布的标准差。特 别的，当 ＝０，ｏ＇２＝１时，称为标准正态分布，这时曲线 关于 自对称。通过几何意义的解释，学生既能体会 到公式的美，又加强了对原本陌生概念的理解。 二、运用实例阐述。让正态分布更直观 我们知道，服从正态分布的事件都有个共同点： 综合影响。 另一方面，从正态分布的分布函数可以得出： Ｐ（ 一ｏ－＜ｘ￣＋ｏ－）＝Ｏ．６８２６， ｜ｐ（“一２ｏ－＜ｘ－－＜／．＊＋２ｏ＂）＝０．９５４４， Ｐ（／．ｚ一３ ＜ ≤“＋３ ）＝０．９９７４。 可以看到，正态分布总体几乎总取值于区间 （ 一３ｏ＂，／ｚ＋３ｏ＇）之内，而在此区间以外取值的概率只 有０．００２６，通常认为这种情况在一次试验中几乎不 可能发生。在实际应用中就只考虑这个区间，称为 ３ｏ－原则。 从理论发现这一原则，也能更好地解释正态分 布在实践中的一些应用。如在教育统计学中，在进行 选拔的考试时，它期望学生的成绩服从正态分布，中 等成绩占最多，其余成绩以中等成绩为轴，向两侧逐 次降低，这样会出现比较极端的分数分布，从而有利 于甄别和选拔；在医学现象中，同质群体的身高、红 细胞数、血红蛋白量、胆固醇等呈现为正态分布，依 此可制定医学参考值为占最多比例的范围，若偏离 了这个范围，说明有可能不正常，有利于医生进一步 判断。 根据理论举出相应的实例，而实例的解释也反 过来帮助理解理论的含义。 三、突出正态分布的重要性 正态分布由德国数学家棣莫弗在求二项分布的 渐近公式中得到，后由Ｇａｕｓｓ率先将其应用于天文学 研究，它不仅有着极其广泛的背景，也有着极其重要 的地位。检验、方差分析、相关和回归分析等多种统 计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计 方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的 统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这 些统计推断方法也是以正态分布为理论基础。 分 布、盼布都有其推导出来，嗌验也是以其为基础。ｔ 分布、二项分布、Ｐｏ／ｓ Ｏｎ分布的极限为正态分布，因 此正态分布也称为常态分布。完整地了解正态分布 的概念及本质，才能在以后的学习中灵活运用，凸显 出正态分布的重要性。 以上是笔者对于正态分布概念教学的一些教学 设计，定向于从几何意义出发去理解概念，从实例讲 解去巩固原理，从人文历史的介绍去突出内容的地 位。当然突出了一些点，有些内容会讲的不是太详 细，如在“± 处有拐点并没有详细给出计算推导等。 （作者单位：国际关系学院）
