江苏省八年级数学上册期中考试卷(含答案解析)

案解析)

江苏省2019八年级数学上册期中考试卷(含答案解析) 一、选择题(本题8小题,每小题３分,共２４分) 1、下列图案中轴对称图形是( ) A、 B。 Ｃ、 Ｄ、

２、下列各条件中,不能作出惟一三角形的是( ) A。已知两边和夹角 B、已知两角和夹边 C、已知两边和其中一边的对角 D、已知三边

3、在Rt△ABC中,∠ＡCＢ=9０°,AC=２4cm,AB=26cm,则其直角边BC的长为( )

A。6ｃm B。100cm C、１5cm D、10ｃm

4、△ＡBＣ中,AＤ⊥BＣ于D,要使△ＡBD≌△ＡCＤ,若添加条件∠B=∠C,则可用( )

A。SSＳ B、AAS C、HL D、不确定

5。如图,△ＡＢC中,AB=AC,D是ＢＣ的中点,AＣ的垂直平分线分别交ＡC、AD、AB于点E、O、F,则图中全等三角形的对数是( )

A。1对 Ｂ。2对 C。3对 D、4对

6、如图,在△ABC中,∠B＝36°,∠C=72°,AD平分∠BAC交BC于点D、下列结论中错误的是( )

A、图有三个等腰三角形 B。点Ｄ在ＡB的垂直平分线上

C、AC＋CD=AＢ D、BD＝2ＣＤ 二、解答题(共2小题,满分6分)

8、如图,∠ABC=∠ADC=90°,Ｍ、N分别是AC、ＢD的中点,ＡC＝2６,ＢD=24,则线段MN长为_＿_＿_＿_＿_＿、 １0、如图,在△ABC中,ＡB=AC,∠BAC＝90°,直角∠EPF的顶点是ＢC的中点,两边PE,PF分别交AＢ,ＡC于点E,F、给出以下五个结论:

(1)AE=CF;(2)∠ＡPE=∠CPF;(3)三角形ＥPF是等腰直角三角形;(4)S四边形AEＰF＝ Ｓ△ＡBC;(５)EF=AP, 其中正确的有_＿＿_＿＿＿___个、 三、操作与计算(本题共2小题,共１2分)

11。两城镇A、Ｂ与两条公路ME、MF位置如图所示,现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路MＥ、MF的距离也必须相等,且在∠ＦMＥ的内部,那么点C应选在何处？请在图中,用尺规作图找出符合条件的点Ｃ、(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)

12、如图,在△ABC中,∠Ｂ＝30°,∠Ｃ=45°,AC=２,点P是△ABＣ三条边上的任意一点、若△AＣP为等腰三角形,在图中作出所有符合条件的点Ｐ,要求: ①尺规作图,不写作法,保留痕迹;

②若符合条件的点P不只一个,请标注P１、Ｐ2…

四、解答题(本题共6小题,共5４分)

13。小强想明白广场上旗杆的高度,他发现旗杆顶端的绳子垂到旗台上还多0、８米,当他把绳子的下端在旗台上拉开2米后,发现下端刚好接触旗台面,您能帮他算出来这根旗杆的高不?

１4、已知:如图,点Ｅ、A、Ｃ在同一条直线上,AB∥CD,AB＝ＣE,∠Ｂ＝∠E。 (1)求证:△ABC≌△CED;

(2)若∠B=２5°,∠ACB=45°,求∠AＤE的度数、

15、如图,已知ＡＣ平分∠BAD,ＣＥ⊥AB于Ｅ,CF⊥AD于Ｆ,且BC=ＣD、

(1)求证:△BＣＥ≌△DＣF; (2)求证:AB＋AD=2AE。

16、如图,ＡO是边长为2的等边△AＢC的高,点D是AＯ上的一个动点(点D不与点A、O重合),以CD为一边在AC下方作等边△ＣDE,连结BE并延长,交AC的延长线于点F、 (1)求证:△ACD≌△BＣE;

(２)当△ＣEＦ为等腰三角形时,求△CEF的面积、 17、课本等腰三角形的轴对称性一节,我们最后通过直角三角形纸片折叠发现了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半\"、

(１)小聪同学画出了如图①所示的一个特别的直角三角形,

其中∠BAC为直角,AＤ为斜边ＢC上的中线,∠B＝30°、它证明上面定理思路如下:延长ＡD至点E,使DＥ=AD ,连结BＥ,再证△AＢＣ≌△BAE,您认为小聪能否完成证明？__＿____＿__(只需要填“能”或“不能”);

(2)小聪同学还想借助图②,任意的Rt△AＢC为直角,AD为斜边ＢC上的中线,证明或推翻结论AD＝ BＣ,请您帮助小聪同学 完成;

(３)如图③,在△ABC中AD⊥ＢC,垂足为D,假如CD=1,AD＝2,ＢＤ＝４,求△AＢC的中线AＥ的长度、

18、如图1,△ＡBC的边BC在直线l上,AＣ⊥BC,且AC＝ＢC;△ＥFP的边FP也在直线l,边EF与边AＣ重合,且ＥF=ＦＰ、

(1)在图１中,请您通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;

(2)将△ＥFＰ沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AＣ于点Q,连接AＰ,BQ、猜想并写出BＱ与ＡP所满足的数量关系和位置关系,请证明您的猜想;

(3)将△ＥFP沿直线l向左平移到图３的位置时,ＥP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP,BQ、您认为(2)中所猜想的BＱ与AＰ的数量关系和位置关系还成立不？若成立,给出证明;若不成立,请说明理由、

江苏省2０19八年级数学上册期中考试卷(含答案解析)参考

答案及试题解析

一、选择题(本题8小题,每小题3分,共2４分) 1、下列图案中轴对称图形是( ) A、 B。 C、 D、 【考点】轴对称图形、

【分析】依照轴对称图形的概念求解,假如一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,如此的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴、

【解答】解:A、不是轴对称图形,不符合题意; B 、不是轴对称图形,不符合题意; C、不是轴对 称图形,不符合题意;

Ｄ、是轴对称图形,对称轴有两条,符合题意、 故选:Ｄ、

【点评】本题考查了轴对称图形的概念、轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合、 2、下列各条件中,不能作出惟一三角形的是( ) A、已知两边和夹角 B、已知两角和夹边 C、已知两边和其中一边的对角 D、已知三边 【考点】作图—复杂作图;全等三角形的判定。 【分析】考虑是否符合三角形全等的判定即可、

【解答】解:A、B、D三个选项分别符合全等三角形的判定方法SAS,ASＡ,SSＳ,故能作出唯一三角形;

Ｃ、只有涉及的两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时,才成立、 故选Ｃ、

【点评】本题考查了全等三角形的判断方法,在已知两边的情况下,对应的两边必须夹角,才能判断三角形全等、 3、在Ｒt△ABC中,∠ACB=9０°,AC=2４ｃm,AＢ=26cm,则其直角边BC的长为( )

A、6cｍ Ｂ、100cm C、15ｃm D、1０cm 【考点】勾股定理、

【分析】在Ｒｔ△ABC中,由勾股定理求出直角边ＢC的长即可、

【解答】解:在Rt△ＡBC中,∠ACB＝９0°,ＡC=2４cm,AB＝26cm,

由勾股定理得:ＢC= = =10(ｃm); 故选:D、

【点评】本题考查了勾股定理;熟练掌握勾股定理,已知直角三角形的斜边长和一条直角边长即可求出另一直角边长、 4、△ABC中,AD⊥BＣ于Ｄ,要使△ABD≌△ACD,若添加条件∠B＝∠C,则可用( )

Ａ、SSS B。AAS C。HL Ｄ。不确定 【考点】全等三角形的判定、

【分析】依照垂直定义可得∠AＤB＝∠ADＣ=90°,再加上条

件∠Ｂ=∠C,公共边AＤ=AD可利用AAS进行判定。 【解答】解:∵ＡD⊥ＢC于Ｄ, ∴∠ＡDB=∠ADＣ=9０°, 在△ＡBD和△ACＤ中, , ∴△ＡBＤ≌△ＡＣD(AAS)、 故选:B。

【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:ＳSＳ、SAＳ、ASA、AAS、HL。 ５。如图,△ABC中,AB=ＡC,Ｄ是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、AD、ＡB于点Ｅ、O、F,则图中全等三角形的对数是( )

Ａ、１对 B、2对 Ｃ、3对 D、４对

【考点】全等三角形的判定;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质。 【专题】压轴题、

【分析】依照已知条件“ＡB＝ＡＣ,D为BＣ中点\得出△AＢＤ≌△ACD,然后再由AC的垂直平分线分别交ＡC、AD、AＢ于点E、O、F,推出△AOＥ≌△EOC,从而依照“SＳS”或“SAS”找到更多的全等三角形,要由易到难,不重不漏、 【解答】解:∵AB=AＣ,Ｄ为ＢC中点, ∴CＤ=BD,∠BDO=∠CDO=90°, 在△AＢD和△ACD中,

∴△ＡＢＤ≌△AＣD; ∵EF垂直平分ＡC, ∴OA=OC,AE=CE, 在△AOＥ和△COＥ中, ∴△AOＥ≌△CＯE; 在△BOD和△COD中, ∴△BOD≌△CＯD; 在△AOC和△AＯB中, ∴△AOC≌△AＯB; 故选:D、

【点评】本题考查的是全等三角形 的判定方法;这是一道考试常见题,易错点是漏掉△ABO≌△AＣO,此类题能够先依照直观判断得出估计全等的所有三角形,然后从已知条件入手,分析推理,对结论一个个进行论证、

6、如图,在△ABC中,∠B=36°,∠C=7２°,AD平分∠BAC交BＣ于点D、下列结论中错误的是( )

A、图有三个等腰三角形 B、点D在AB的垂直平分线上 C、AC+CD＝AB Ｄ、ＢD=2CＤ

【考点】等腰三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质。 【分析】依照三角形内角和定理求出∠BＡC,求出∠DＡＣ和∠BAD,依照等腰三角形的判定即可判断A;依照AＤ=BD即可判断Ｂ;在ＡＢ上截取ＡE=AC,连接DE,证△EＡD≌△ＣAD,

推出DＥ＝DC,∠C=∠ＡED＝７2°,求出ＣＤ=ＤE=BＥ,即可判断Ｃ、D、

【解答】解:Ａ、在△ＡBC中,∠B=36°,∠C=72°, ∴∠BAC=180°﹣３６°﹣７２°=７2°, ∵ＡD平分∠BＡＣ, ∴∠DAC=∠ＤAB=36°,

即∠DＡB=∠B,∠ＢＡＣ=∠C,∠ＡDＣ＝36°+36°=７２°=∠C,

∴△ＡＤB、△AＤC、△ABC都是等腰三角形,故本选项错误; B、∵∠DAB=∠Ｂ, ∴AD=BD,

∴D在ＡＢ的垂直平分线上,故本选项错误; C、在AB上截取AE=ＡC,连接ＤE, 在△EＡＤ和△CＡＤ中 ∴△EAD≌△CＡD,

∴DE=DC,∠Ｃ=∠AED=７2°, ∵∠B＝３６°,

∴∠EDB=７2°﹣36°=36°=∠B, ∴DE=BＥ,

即AＢ=AE+BE=ＡC+ＣD,故本选项错误 ; D、∵CＤ=ＤE=ＢE,DE+BＥ＞BD, ∴BＤ<２DC,故本选项正确;

故选Ｄ、

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,等腰三角形的判定,线段垂直平分线的性质,三角形三边关系定理的应用,主要考查学生综合运用定理进行推理的能力,有一定的难度、 二、解答题(共2小题,满分6分)

8、如图,∠ABC=∠ＡDC=90°,M、Ｎ分别是AＣ、BD的中点,AC=2６,ＢD=24,则线段MN长为５。

【考点】直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的判定与性质;勾股定理、

【分析】依照在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半得到BM=DM＝５,依照等腰三角形的性质得到BN=4,依照勾股定理得到答案、 【解答】解:连接BＭ、DM,

∵∠ABC=∠ADC=90°,M是ＡＣ的中点, ∴ＢM= AC,ＤM＝ AC,

∴BM=DＭ＝13,又Ｎ是ＢＤ的中点, ∴ＢN=ＤN＝ ＢＤ＝１2, ∴MN＝ ＝５, 故答案为:5、

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质,掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是

解题的关键、

10、如图,在△ABC中,AB=AＣ,∠BAC=9０°,直角∠EPF的顶点是BC的中点,两边PE,PF分别交ＡB,AC于点E,F、给出以下五个结论:

(1)AE=CF;(2)∠APE=∠CPF;(3)三角形EＰＦ是等腰直角三角形;(4)Ｓ四边形AEPF= Ｓ△ＡBC;(５)EF=AP, 其中正确的有4个、

【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。 【分析】(1)通过证明△AEP≌△CFＰ就能够得出AＥ=CF, (2)由∠EPA+∠FＰA=9０°,∠ＣPF＋∠ＦPＡ＝９0°,就能够得出结论;

(3)由△AＥP≌△CFP就能够PE=PF,即可得出结论; (4)由S四边形AEＰＦ=S△APＥ+S△AＰF、就能够得出S四边形AEPF＝S△ＣＰF＋S△APF,就能够得出结论,

(5)由条件知AP＝ BC,当ＥＦ是△ABＣ的中位线时才有EＦ=AP,其他情况ＥＦ≠AP。

【解答】解:(1)∵∠EPＡ+∠FPA=∠EPF＝90°,∠CPF+∠FPＡ=９０°,

∴∠APＥ=∠CPF、故(1)正确、 ∵AB=AC,∠BＡＣ=90° , ∴∠Ｂ=∠C=45°。 ∵Ｐ是BＣ的中点,

∴BＰ=CP=AP＝ BC、∠BAP=∠ＣＡP＝45°、 ∴、∠ＢAP＝∠C、 在△AEP和△CＦP中 ∴△AEP≌△ＣFP(ASＡ),

∴AE=ＣＦ,PE=PF,S△AEP=S△CFＰ,故(2)正确、 ∴△EPF是等腰直角三角形、故(3)正确、 ∵S四边形AEPF＝S△APE+S△APF。

∴S四边形AEＰF=S△CＰF+S△APF=S△APC＝ Ｓ△ABＣ、故(４)正确、

∵△ＡBC是等腰直角 三角形,Ｐ是BC的中点, ∴AP＝ ＢC,

∵EF不是△ABC的中位线, ∴EF≠ＡP ,故(5)错误; ∴正确的共有４个、 故答案为4、

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,中位线的性质的运用,等腰直角三角形的判定定理的运用,三角形面积公式的运用,解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键。 三、操作与计算(本题共2小题,共１2分)

11、两城镇Ａ、B与两条公路ME、MＦ位置如图所示,现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇

A、B的距离必须相等,到两条公路ME、MF的距离也必须相等,且在∠FＭＥ的内部,那么点C应选在何处？请在图中,用尺规作图找出符合条件的点C、(不写已知、求作、作法,只保留 作图痕迹)

【考点】作图—应用与设计作图、

【分析】到城镇A、B距离相等的点在线段AＢ的垂直平分线上,到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上,分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所求作的点C、

【解答】解:如图:点C即为所求作的点、

【点评】此题考查作图﹣应用与设计作图,掌握垂直平分线和角平分线的性质,以及尺规作图的方法是解决问题的关键、

1２、如图,在△ABC中,∠B＝３0°,∠C=4５°,ＡＣ=2,点P是△ABC三条边上的任意一点。若△ＡCP为等腰三角形,在图中作出所有符合条件的点P,要求: ①尺规作图,不写作法,保留痕迹;

②若符合条件的点P不只一个,请标注P1、P2… 【考点】作图—复杂作图;等腰三角形的判定、

【分析】利用线段垂直平分线的性质以及结合等腰三角形的性质得出符合题意的答案、

【解答】解:如图,共4个点,分别为P1、P2、Ｐ3、P4、

【点评】此题主要考查了复杂作图,正确掌握等腰三角形的判定方法是解题关键。

四、解答题(本题共6小题,共54分)

13、小强想明白广场上旗杆的高度,他发现旗杆顶端的绳子垂到旗台上还多0、8米,当他把绳子的下端在旗台上拉开2米后,发现下端刚好接触旗台面,您能帮他算出来这根旗杆的高不？

【考点】勾股定理的应用。

【分析】依照题意直截了当利用勾股定理得出旗杆的高即可。

【解答】解:设这根旗杆的高为x米,则绳子的长为(x+0。2)米,

依题意,得方程 x2+22=(x+0、2)２ 解得:x＝9。９、

答:这根旗杆的高为9、９米、

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用,正确应用勾股定理是解题关键、

14、已知:如图,点E、A、C在同一条直线上,AB∥CＤ,AB=CE,∠B=∠E、 (1)求证:△ABC≌△ＣEＤ;

(2)若∠B＝２5°,∠ＡＣB=45°,求∠AＤE的度数。 【考点】全等三角形的判定与性质、

【分析】(1)由ＡB∥CD就能够得出∠BAＣ=∠ECD,由ASA就能够得出△AＢＣ≌△CED;

(2)依照△ＡBC≌△ＣＥD就能够得出∠ＢAC=∠EＣD,∠ＡCB=∠CDE,AＣ=CD,求出∠ＡＤC的值就能够得出∠ＡDE的值、

【解答】解:(1)∵AＢ∥CＤ, ∴∠BAＣ=∠EＣD、 在△ABC和△ＣＥD中, ∴△AＢC≌△CED(ASA); (2)∵△ABC≌△ＣEＤ,

∴∠ＢAC=∠ECD,∠ＡＣＢ=∠CDE,ＡC=CD, ∴∠CAD=∠CDA。

∵∠B＝25°,∠ACＢ=４５°, ∴∠BAC=11０°、∠EDC=４５°, ∴∠CDA=35°、 ∴∠ＡDE=10°、 答:∠AＤE=10°。

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用,等腰三角形的性质的运用,平行线的性质的运用,解答时证明三角形全等是关键、

15、如图,已知AC平分∠BAD,CE⊥ＡB于E,CＦ⊥ＡD于F,且BC=CD、

(1)求证:△BCＥ≌△DCF; (２)求证:AB+AＤ=2AE、

【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质、 【专题】证明题、

【分析】(１)依照角平分线的性质得到ＣE＝ＣF,∠F＝∠CＥB=90°,即可得到结论;

(2)由ＣE⊥AB于E,ＣF⊥AD于Ｆ,得到∠F=∠ＣEA=90°,推出Rt△ＦAC≌Rt△EAＣ,依照全等三角形的性质得到AＦ=AE,由△BCE≌△DCF,得到BE=DＦ,因此得到结论、

【解答】(1)证明:∵ＡC是角平分线,CＥ⊥AB于E,CF⊥AD于F,

∴CＥ=CＦ,∠F＝∠CEB=90°, 在Rt△BＣE和Rt△DCＦ中, ∴△BＣＥ≌△DCF;

(２)解:∵CＥ⊥AB于E,CＦ⊥AD于F, ∴∠Ｆ=∠CEＡ=90°, 在Rt△FＡC和Ｒt△EＡC中, ∴Rt△FAC≌Rt△ＥＡC, ∴ＡF=AE,

∵△BＣＥ≌△DＣF, ∴BE=DF,

∴AB+AD=(AＥ+BE)+(AF﹣ＤF)

=ＡＥ+BE+AE﹣DＦ＝2AE、

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证Rｔ△ＢCE≌Rｔ△DCF和RＴ△ＡＣF≌ＲT△ACE是解题的关键、

16、如图,AO是边长为２的等边△ABＣ的高,点 D是AO上的一个动点(点Ｄ不与点A、Ｏ重 合),以CＤ为一边在ＡC下方作等边△CＤE,连结BE并延长,交ＡC的延长线于点F。 (１)求证:△ACＤ≌△BCＥ;

(２)当△CＥF为等腰三角形时,求△CEＦ的面积、 【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;等边三角形的性质、

【分析】(1)由△ABC和△ＣDE是等边三角形,用“SAＳ”证得△AＣD≌△BCE;

(2)首先作CP⊥BＦ于点Ｐ,由∠CBE=３0°,求得ＣP的长,继而求得答案、

【解答】解:(1)∵△AＢC为等边三角形 ∴AＣ＝BC,∠ACB＝60°, 同理可证CD＝CE,∠DCE=６0°, ∴∠AＣＢ﹣∠DCB＝∠DＣＥ﹣∠DＣB, 即∠ACD=∠BＣE, 在△AＣD和△ＢCE中, ∴△ACＤ≌△ＢCE(SＡＳ);

(2)由(1)得∠CBE=∠CAD=30°,得△ABF恒为直角三角形,且∠F＝30°CF＝ＣB=2, 又因为点D不与点A、O重合,

因此当△CEF为等腰三角形时,∠F只能为顶角, 如图,作CＰ⊥ＢF于点P, 由∠ＣＢE＝３０°, 得CP= BC=1, 因为CF=EＦ=2,

因此S△CEＦ= ×2×1=１、

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质、此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用、 １７、课本等腰三角形的轴对称性一节,我们最后通过直角三角形纸片折叠发现了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、

(1)小聪同学画出了如图①所示的一个特别的直角三角形,其中∠BＡC为直角,AＤ为斜边BC上的中线,∠B=30°、它证明上面定理思路如下:延长AＤ至点E,使DE=ＡD,连结BE,再证△ABＣ≌△ＢAE,您认为小聪能否完成证明？能(只需要填“能”或“不能”);

(２)小聪同学还想借助图②,任意的Rt△ABC为直角,AD为斜边BC上的中线,证明或推翻结论AＤ= BＣ,请您帮助小聪同

学完成;

(3)如图③,在△ABC中ＡＤ⊥ＢC,垂足为Ｄ,假如ＣD=1,AD＝２,BD=4,求△ABC的中线AＥ的长度、

【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;勾股定理的逆定理、

【分析】(1)如图①所示、由三角形内角和定理可求得∠ACB=６0°、然后证明△ACＤ≌△EBD,从而得到∠ＥBD=∠ACＤ=６0°,BE=AＣ,∠AＢE＝90°然后再证明Rt△ＡＢE≌Ｒt△BAC,因此得到BＣ=ＡE故此BＣ=２AD;

(2)如图②所示:延 长AD至点E使DE=AD,连结ＢE,先证明△ACD≌△EＢD,得到∠Ｃ=∠ＥBD,从而可证明∠ＢＡC＝∠ABE,然后证明△ABC≌△ＢAE,从而得到AE=BC,故此BC=ＡE=２AＤ;

(3)依照勾股定理得:ＡC2=5,ＡB2=20,因此可得到AC2+AB２=BＣ2、因此得到△ABC是直角三角形,依照结论可知△ABＣ的中线AE的长度＝ BC＝ 、 【解答】解:(１)能、 理由:如图①所示、

∵∠BAC=9０°,∠ＡBC=３0°, ∴∠ACＢ＝６0°、 在△ACD和△ＥＢD中, ∴△ACD≌△EBD、

∴∠ＥＢD=∠ＡCD＝60° ,BE=AＣ、 ∴∠ABE＝9０°、

在Rt△ABE和Rｔ△ＢAC中, ∴Rｔ△ＡBＥ≌Ｒt△BＡC。 ∴BC＝AＥ、 ∴BC=2AD、 ∴AD= BＣ。

(2)证明:如图②所示:延长AＤ至点E使ＤE=ＡD,连结ＢE、 在△ACD和△ＥBＤ中, ∴△ACD≌△EBＤ、 ∴∠C＝∠EBD

∴∠C+∠ABC=∠ABＣ＋∠ＥBD,即∠ＢAＣ＝∠ABE。 在△AＢC和△BAE中, ∴△AＢC≌△BAＥ。 ∴ＡE=BＣ、 ∴BC＝AＥ=2AD (3)∵AD⊥ＢC,

∴∠ＡDC=∠ADＢ=90°、 ∵CD=1,AD=2,ＢD=4,

∴依照勾股定理得:ＡC2= =5,AB2= =20。 ∵AC2=５,AB2=20,BC2=(1＋4)2=25, ∴ＡC２＋ＡB2=BC2。

∴△ＡBＣ是直角三角形、

∴△ＡＢC的中线AE的长度＝ BC= 、

【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定的应用、勾股定理和勾股定理的逆定理的应用,依照△ＡCD≌△ＥＢＤ、△ABＣ≌△BＡE是解题的关键、

18、如图1,△AＢC的边BC在直线ｌ上,ＡC⊥ＢC,且AC＝BC;△EFP的边ＦP也在直线l,边EF与边ＡＣ重合,且ＥF=FP。

(1)在图1中,请您通过观察、测量,猜想并写出AB与AＰ所满足的数量关系和位置关系;

(2)将△ＥFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AＣ于点Ｑ,连接AP,ＢQ、猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明您的猜想;

(3)将△ＥFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AＰ,ＢQ、您认为(２)中所猜想的ＢQ与AP的数量关系和位置关系还成立不?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由、

【考点】全等三角形的判定与性质;平移的性质、 【专题】探究型、

【分析】(1)依照图形就能够猜想出结论。

(２)要证BQ=AP,能够转化为证明Ｒt△BCQ≌Rｔ△ACP;要证明BQ⊥AＰ,能够证明∠QＭA＝9０°,只要证出∠１

=∠2,∠3=∠4,∠1+∠３＝90°即可证出。 (3)类比(2)的证明就能够得到,结论仍成立、 【解答】解:(1)AB＝AP;AB⊥AP; (2)BＱ=AP;ＢQ⊥ＡP。

证明:①由已知,得EＦ=ＦＰ,EF⊥FP, ∴∠EＰＦ=４５°。 又∵AＣ⊥BＣ,

∴∠CQP＝∠CPＱ=4５°、 ∴CQ=ＣP、

∵在Rt△BCQ和Rｔ△ＡＣＰ中, ＢC=AC,∠ＢＣQ=∠AＣP=9０°,CQ=ＣＰ, ∴△BCQ≌△ACＰ(SAＳ), ∴BQ=AP、

②如图,延长BQ交AP于点Ｍ。 ∵Ｒｔ△BＣQ≌Rｔ△ACP, ∴∠1=∠2、

∵在Rｔ△BCQ中,∠１＋∠3=９0°,又∠3=∠4, ∴∠2+∠4=∠1+∠３=90°。 ∴∠QMA=９0°、 ∴ＢQ⊥AＰ; (３)成立、

证明:①如图,∵∠EＰF=45°,

∴∠ＣPQ=４5°、 又∵AC⊥BC,

∴∠ＣQＰ＝∠CPQ＝45°、 ∴CＱ=ＣP、

∵在Ｒt△BＣQ和Rt△ACＰ中,

BC=AＣ,ＣQ=CP,∠ＢＣQ=∠ACＰ=９0°, ∴Rｔ△ＢCQ≌Rt△ACP、 ∴BQ＝ＡP、

②如图③,延长QB交ＡP于点N,则∠ＰBN=∠CＢQ、 ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP, ∴∠ＢQ C=∠APC、

∵在Rt△ＢCＱ中,∠BＱC+∠CBＱ＝9０°, 又∵∠CBQ=∠ＰBＮ, ∴∠ＡPＣ＋∠PBＮ=90°、 ∴∠PNＢ=90°。

∴ＱB⊥AP、

【点评】证明两个线段相等能够转化为证明三角形全等的问题、证明垂直的问题能够转化为证明两直线所形成的角是直角来解决。