递推公式案例

教学目标：

1、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据特殊的递推公式写出数列的通项公式。

2、掌握把一些简单的数列变形转化为等差数列、等比数列的方法。

3、会利用递推思想解决一些实际问题。4、培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展。

教学重点与难点：

利用递推思想求出递推关系

教学过程：

引入 观察计算机程序图

如果输入的A=1，则打印的结果为：

输入A a11 a21352

打印 a3(2)3511 a4(11)3538 ……

A=A-5 所以这列数可由给定的第一个数及后一项与前 一项的运算关系来确定。即此程序图可表达的数 a11 学语言为 nN

an13an5A=A*3 一．定义：通过给出数列的第1项（或前若干项）并给出数列的某一项与它的前一项（或

前若干项）的关系式叫做数列的递推公式。

（注：递推公式必须给定第1项，否则数列无法确定。）

例1． 试判断下列哪些是数列an的递推公式？

a11nN （×）1 （×） （2）

aaan1nn2（1）an2an1

a11a11nN （√）（3）nN （×） （4）a21an22an1an2an1an

a13（5）nN （√）

aa3nn1提问：若根据公式（5）能直接求a100的值吗？

显然这个问题不能直接求得，需迭代99次才能求出。看来根据递推公式求通项公式是很有必要的。

一．

a1a 等比数列的递推公式 nN

aqann1a1a等差数列的递推公式 nN

an1and

例2．求下列数列的通项公式

an1an3,a13nN 解： （1） nN

a3(n1)(3)3n6aa3nnn1

解：

an11a13an3nN （2） nN11n1an1anan3()33

令bn1an,bn11an111a13b1,bn1bn2a13 （3） 1 1

216n5aanbnb1(n1)d(n1)2n133an36n5

a31 （4）an1nN an为等差数列（略解）

an122

a16nN an1为等比数列 （略解） （5）an112(an1)

提问：若改成an12an1，如何求an？

a16（6）an13an1

分析：an1x3(anx)

an13an2x

2x1,x1 2 解：

an13an1an112123(an132(a1n112) a112 12)3n1anan132312 二． 小结

根据数列的递推公式求通项公式的方法

1． 直接利用等比，等差的递推公式求通项 2． 构造新的数列

a1a3． 形如可通过构造anx为等比数列求解原数列的通项。

an1panq三、教学反思

在我们高二数学教学中涉及到了数列的递推公式，虽然用递推法来解决问题既精巧又简捷，而且在升学和竞赛中的应有也越来越广，但是在我们的教材中对数列的递推公式的介绍比较简单，只有两页纸的内容，所以我想到在介绍“数列的递推公式”这一小结的内容时可以补充一些有名、有趣的数列，利用联想与化归的数学思想，来解决一些著名问题和生活实际问题。通过课内、课外知识的介绍，可以开阔学生的眼界，同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展。

通过课后与学生交流发现，大部分同学对这递推公式都比较感兴趣，但由于时间关系有些问题有相当一部分同学还没有足够的时间考虑，只能课后完成在作业卷上。总的来说在课堂上学生的学习积极性都调动了起来，但由于课堂上任务较多，学生之间的探讨较少，教师与学生之间的交流也不够。