第四节教案椭圆的几何性质

◆ 知识与技能目标

了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．

◆ 过程与方法目标 （1）复习与引入过程

引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．

（2）新课讲授过程

（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）椭圆的简单几何性质

y2x2axa，byb， ①范围：由椭圆的标准方程可得，2120，进一步得：同理可得：

ba即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里；

②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发

生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比ec叫做椭圆的离心率（0e1），a当e1时，ca，，b0当e0时，c0，ba； ． 椭圆图形越扁椭圆越接近于圆（iii）例题讲解与引申、扩展

例4 求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量． 扩展：已知椭圆mx5y5mm0的离心率为e2210，求m的值． 5解法剖析：依题意，m0,m5，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：

①当焦点在x轴上，即0m5时，有a5,bm,c5m，∴5m525，得m3；②

当焦点在y轴上，即m5时，有a复习回顾

m,b5,cm5，∴m5m1025． m531．椭圆9x2y281的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为62，离心率为

22，焦点坐标为3（准线方程为y(0,62)，顶点坐标为(0,9)(3,0)，

272）. 42．短轴长为8，离心率为的周长为 20 .

3的椭圆两焦点分别为F1、F2，过点F1作直线l交椭圆于A、B两点，则ABF252. 椭圆中焦点三角形的性质及应用

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

x2y2性质一：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中

abF1PF2,则SF1PF2b2tan(2c)2F1F2222。

22PF1PF22PF1PF2cos(PF1PF2)2PF1PF2(1cos)

PF1PF2(PF1PF2)24c22(1cos)4a24c22b2 2(1cos)1cosSF1PF21b2PF1PF2sinsinb2tan 21cos2x2y2性质二：已知椭圆方程为221(ab0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2，若

abF1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。

证明：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PF1aexo，PF1aexo 在F1PF2中，cosPF1PF1F1F22PF1PF2222(PF1PF2)22PF1PF24c22PF1PF2

2b24a24c24b2 1 11=222PF1PF22(aexo)(aexo)ae2xo2ax0a xoa2

x2y2性质三：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中

abF1PF2,则cos12e2.

证明：设PF1r1,PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：

r12r22F1F2(r1r2)22r1r24c22a22c2 cos1

2r1r22r1r22r1r22a22c22a22c221112e. 命题得证。 2r1r222a2()22x2y2性质四：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2，

abPF1F2,PF2F1,则椭圆的离心率esin()。

sinsinPF1F2,PF2F1,

由正弦定理得：

F1F2sin(180)oPF2sin

PF1sin

由等比定理得：

F1F2sin()PF1PF2sinsin而

F1F2sin()PF1PF2csin()2c2a， ∴e。 asinsinsin()sinsinsinsin已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．

(1)求椭圆的方程；

(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2． 解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜

x2y2∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝3 ∴椭圆的方程为＝1． 43(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ

11sin(180o)椭圆的离心率e 则oo22sin120sin(60)sin3sin(60o)2，

整理得：5sinθ＝3(1＋cosθ)

33sin3553． ∴故tan，tanF1PF2＝tanθ＝

31cos511251252