第三章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是( ) A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．3，4，5
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，
且a＝7，b＝24，则c的长为( )
A．26 B．18 C．25 D．21 3．如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积是( ) A．16 B．8 C．4 D．2
4．已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；
②三个内角度数之比为3∶4∶5；③三边长分别为7，24，25；④三边长之比为5∶12∶13.其中直角三角形有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则
△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，
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则c的面积为( )
A．4 B．8 C．12 D．18
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7．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为
CE，且D点落在对角线上的D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为( ) 34A. B．3 C．1 D. 23
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝17，BC＝16，AD＝15，
则△ABC的面积为( )
A．128 B．136 C．120 D．240
9．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30 cm，每个台阶的
高度都是15 cm，则A，B两点之间的距离等于( ) A．195 cm B．200 cm C．205 cm D．210 cm
10．如图是一个圆柱形的饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有
一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分的长度a(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的范围是( )
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A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
二、填空题(每题3分，共24分)
11．在Rt△ABC中，a，b为直角边，c为斜边，若a2＋b2＝16，则c＝________． 12．如图，在△ABC中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，BC边上的中线AD＝4 cm，
则∠ADB＝________．
13．如图，一架长为4 m的梯子，一端放在离墙脚2.4 m处，另一端靠墙，
则梯子顶端离墙脚的距离是________．
14．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩正上方4 000 m
处，过了10 s，飞机距离这个男孩头顶5 000 m，则飞机平均每小时飞行__________．
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15．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系(c2－a2－b2)2＋|a－b|
＝0，则△ABC的形状为____________．
16．在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC
的面积为________．
17．如图，在一根长90 cm的灯管上缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯
管看作圆柱体，且底面周长为4 cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为________．
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18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD
∥BC，且AB＝5，BC＝12，则AD的长为________．
三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共
66分)
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝12，BD＝16，CD＝5. (1)求△ABC的周长；
(2)判断△ABC是否是直角三角形．
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20.如图，在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一
点，连接AB.若AB＝20，求△ABD的面积．
21．如图，∠ABC＝90°，AB＝6 cm，AD＝24 cm，BC＋CD＝34 cm，C是
直线l上一动点，请你探索当点C离点B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形．
22．若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断
△ABC的形状．
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23．如图，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36 cm，点P
从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果同时出发，过3 s时，△BPQ的面积为多少？
24．如图，圆柱形玻璃容器高19 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底
1.5 cm的点A处有一只蜘蛛，在蜘蛛正对面的圆柱形容器的外侧，距
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上底1.5 cm处的点B处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短距离．
25．如图，甲是一个直角三角形ABC，它的两条直角边长分别为a，b，斜
边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a＋b的正方形内．
(1)由图乙、图丙，可知①是以________为边长的正方形，②是以________为边长的正方形，③的四条边长都是________，且每个角都是直角，所以③是以________为边长的正方形；
(2)图乙中①的面积为________，②的面积为________，图丙中③的面积为________；
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(3)图乙中①②面积之和为________；
(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？
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答案
一、1.D 2.C 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.C 9.A 10.A 二、11.4 12.90° 13.3.2 m 14.1 080 km 15.等腰直角三角形 169
16．126 cm或66 cm 17.150 cm 18.
24
2
2
三、19.解：(1)因为AD⊥BC，所以△ABD和△ACD均为直角三角形． 所以AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2. 又因为AD＝12，BD＝16，CD＝5，
所以AB＝20，AC＝13.所以△ABC的周长为20＋13＋16＋5＝54. (2)由(1)知AB＝20，AC＝13，BC＝21，因为AB2＋AC2＝202＋132＝569，BC2
＝212＝441，所以AB2＋AC2≠BC2.所以△ABC不是直角三角形． 20．解：在△ADC中，因为AD＝15，AC＝12，DC＝9，所以AC2＋DC2＝122
＋92＝152＝AD2.所以△ADC是直角三角形，且∠C＝90°.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，所以BC＝16.所以BD＝BC－DC＝16－9＝7.所以S△ABD1
＝×7×12＝42. 2
21．解：设当BC＝x cm时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形．因为BC＋CD＝34 cm，所以CD＝(34－，
所以在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝36＋，由勾股定理得AC2＝CD2－AD2＝(34－x)2－576，所以36＋x2＝(34－x)2－576.解得时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形．
22．解：因为a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，所以a2＋b2＋c2－6a－8b－
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10c＋50＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0.所以a＝3，b＝4，c＝5.因为32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，
所以根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形．
：本题利用配方法，先求出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理进行判断．
23．解：设AB为3，所以AB＋BC＋AC＝36 cm， 即3x＋4.
因为AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，且∠B＝90°. 过3 s时，BP＝9－3×1＝6(cm)，BQ＝2×3＝6(cm)， 11
所以S△BPQ＝BP·BQ＝×6×6＝18(cm2)．
22故过3 s时，△BPQ的面积为18 cm2.
24．解：如图，将圆柱侧面展开成长方形MNQP，过点B作BC⊥MN于点C，连接AB，则线段AB的长度即为所求的最短距离．在Rt△ACB中，AC＝MN－AN－CM＝16 cm，BC的长等于底面周长的一半，即BC＝30 cm.由勾股定理得，AB2＝AC2＋BC2＝162＋302＝1 156＝342，所以AB＝34 cm.故蜘蛛沿容器侧面爬行的最短距离为34 cm.
25．解：(1)a；b；c；c (2)a2；b2；c2 (3)a2＋b2
(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积相等．由大正方形的边长为
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a＋b，得大正方形的面积为(a＋b)2，图乙中把大正方形分成了四部分，分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为a，宽为b的长方形．根据面积相等得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab.由图丙可得(a1
＋b)＝c＋4×ab.所以a2＋b2＝c2.能得到关于直角三角形三边长的
2
2
2
关系：两直角边的平方和等于斜边的平方．
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