一元二次方程专项练习
1．已知关于x的一元二次方程x+（2m﹣1）x+m=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）当
2．关于x的方程2x﹣（a﹣4）x﹣a+1=0， （1）若方程的一根为0，求实数a的值；
（2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值．
3．已知关于x的方程x﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x1+x2=6，求k的值？
4．已知关于x的方程kx+2（k+1）x﹣3=0．
（1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根； （2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况．
5．已知方程2（m+1）x+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值． （1）方程有两个相等的实数根； （2）方程有两个相反的实数根； （3）方程的一个根为0．
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60题
时，求m的值．
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6．已知α，β是关于x的一元二次方程x+（2m+3）x+m=0的两个不相等的实数根，且满足值．
7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x﹣（2m+3）x+m=0的两个不相等的实数根，且满足值．
8．已知关于x的一元二次方程x+2（2一m）x+3﹣6m=0． （1）求证：无论m取何实数，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根xl和x2满足xl+x2=m，求m的值．
9．已知关于x的一元二次方程x﹣（8+k）x+8k=0
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+=﹣1，求m的
，求m的
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
10．已知关于x的一元二次方程x﹣2（1﹣m）x+m=0的两根为x1，x2． （1）求m的取值范围；
（2）若x1+12m+x2=10，求m的值．
11．已知：关于x的一元二次方程kx+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1=11﹣x2，求k的值．
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12．已知关于x的一元二次方程x+5x﹣m=0有两个实数根 （1）求m的取值范围；
（2）若x=﹣1是方程的一个根，求m的取值及方程的另一个根．
13．已知关于x的一元二次方程x﹣（m+2）x+m﹣2=0． （1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两实数根之积等于m+9m﹣11，求
14．一元二次方程x+kx﹣（k﹣1）=0的两根分别为x1，x2．且x1﹣x2=0，求k值．
15．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程
16．关于x的方程4kx+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
17．已知关于x的二次方程ax+2ax+1=﹣3x的两个实数根的积为1，且关于x的二次方程x+2（a+n）x﹣a=4﹣6a﹣2n有小于2的正实根，求n的整数值．
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的值．
的解，求实数k的取值范围．
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18．关于的方程2x+（2﹣m）x﹣（m+2）x﹣2=0有三个实数根分别为α、β、x0，其中根x0与m无关． （1）如（α+β）x0=﹣3，求实数m的值．
3
2
（2）如α＜a＜b＜β，试比较：
与的大小，并说明你的理由．
19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x+（3a﹣1）x+2a﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．
20．已知关于x的方程x+（2m﹣3）x+m+6=0的两根x1，x2的积是两根和的两倍，①求m的值；②求作以为两根的一元二次方程．
21．已知关于x的方程x﹣（2k﹣3）x+k+1=0． 问：（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，求k的值．
22．已知，关于x的方程x﹣2mx=﹣m+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．
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23．设m为整数，且4＜m＜40，方程x﹣2（2m﹣3）x+4m﹣14m+8=0有两个整数根，求m的值．
24．已知关于x的方程（k﹣1）x+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
25．已知关于x的一元二次方程x﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．
26．已知关于x的方程x+2（m﹣2）x+m+4=0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．
27．已知关于x的一元二次方程x+（2m﹣1）x+m=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围；
（2）当（x1+x2）•（x1﹣x2）=0时，求m的值．
（友情提示：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根，则：
28．关于x的方程（1）求k的取值范围；
（2）已知关于x的方程x﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k的值．
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，）
有两个不相等的实数根．
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29．已知x1、x2是方程4x﹣（3m﹣5）x﹣6m=0的两根，且
30．已知关于x的方程k（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两实根为x1和x2（x1≠x2），那么是否存在实数k，使存在，请说明理由．
31．已知：关于x的方程x+kx+k﹣1=0 （1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且（x1+x2）（x1﹣x2）=0，求k的值．
32．设关于x的二次方程（a+1）x﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a的值．
33．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x﹣2x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2， （1）求a的取值范围；
（2）若5x1+2x1x2=2a﹣5x2；求a的值．
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，求m的值．
有两个不相等的实数根．
成立？若存在，请求出k的值；若不
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34．已知 关于x的一元二次方程x﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当Rt△ABC的斜边长a=
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，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．
35．一元二次方程8x﹣（m﹣1）x+m﹣7=0， （1）m为何实数时，方程的两个根互为相反数？ （2）m为何实数时，方程的一个根为零？
（3）是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数？
36．已知一元二次方程kx+x+1=0
（1）当它有两个实数根时，求k的取值范围；
（2）问：k为何值时，原方程的两实数根的平方和为3？
37．关于x的方程为x+（m+2）x+2m﹣1=0．
（1）证明：方程有两个不相等的实数根．
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由．
38．已知：关于的方程x﹣kx﹣2=0．
（1）求证：无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根为x1，x2，若2（x1+x2）＞x1x2，求k的取值范围．
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39．已知：关于x的方程x﹣2（m+1）x+m﹣3=0． （1）当m为何值时，方程总有两个实数根？
（2）设方程的两实根分别为x1、x2，当x1+x2﹣x1x2=78时，求m的值．
40．已知x1，x2是关于x的方程x﹣（2m+3）x+m=0的两个实数根，且
41．已知关于x的方程x+（m+2）x+2m﹣1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根为2，求m的值，并求出此时方程的另一根．
42．关于x的一元二次方程x﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x1+x2=7．求（x1﹣x2）的值．
43．已知方程x+2（k﹣2）x+k+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方程的两个根．
44．若关于x的一元二次方程4kx+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
45．已知关于x的一元二次方程x+（k+3）x+k=0的一个根是x=﹣2，求k的值以及方程的另一根．
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=1时求m的值．
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46．已知x1、x2是方程x﹣2mx+3m=0的两根，且满足（x1+2）（x2+2）=22﹣m，求m的值．
47．已知关于x的一元二次方程x﹣（k+1）x+2k﹣2=0． （1）求证：无论k为何值时，该方程总有实数根； （2）若两个实数根平方和等于5，求k的值．
48．若关于x的方程x+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和是2，求m的值．
49．m为何值时，方程2x+（m﹣2m﹣15）x+m=0两根互为相反数？
50．已知△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x﹣（2k+2）x+k+2k=0的两个根，第三边长为10，问k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这个等腰三角形的周长．
51．已知关于x的一元二次方程x﹣2（k﹣1）x+k=0
（1）当k取什么值时，原方程有实数根；
（2）对k选取一个合适的数，使方程有两个实数根，并求出这两个实数根的平方和．
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52．已知x1，x2是关于x的方程x+（2a﹣1）x+a=0的两个实数根， （1）当a取何值时，方程两根互为倒数？
（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求a的值．
53．已知关于x的方程
2
2
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
54．已知一元二次方程8x﹣（2m+1）x+m﹣7=0，根据下列条件，分别求出m的值： （1）两根互为倒数；（2）两根互为相反数；（3）有一根为零；（4）有一根为1．
55．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x﹣（2a﹣3）x+a=0有实数根． （1）求a的取值范围；
（2）设x1，x2是一元二次方程（a﹣1）x﹣（2a﹣3）x+a=0的两个根，且x1+x2=9，求a的值．
56．已知一元二次方程8y﹣（m+1）y+m﹣5=0．
（1）m为何值时，方程的一个根为零？
（2）m为何值时，方程的两个根互为相反数？
（3）证明：是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数．
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57．已知一元二次方程（m+1）x﹣x+m﹣3m﹣3=0有一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
58．若关于x的方程（a﹣3）x﹣2（a﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，求a的值．
59．已知△ABC的一边为5，另外两边恰是方程x﹣6x+m=0的两个根． （1）求实数m的取值范围．
（2）当m取最大值时，求△ABC的面积．
60．已知等腰三角形的一边长a=1，另两边b、c恰是方程x﹣（k+2）x+2k=0的两根，求△ABC的周长．
2
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2
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参：
1．解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2
﹣4m2
≥0， 解得m≤；
（2）根据题意得x2
1+x2=﹣（2m﹣1），x1•x2=m， ∵
，
∴（x2
1+x2）﹣2x1•x2=7，
∴（2m﹣1）2
﹣2m2
=7，
整理得m2
﹣2m﹣3=0，
解得m1=3，m2=﹣1，
∵m≤，
∴m=﹣1 2．解：（1）把x=0代入原方程得﹣a+1=0，解得a=1； （2）设方程两个为x1，x2，根据题意得x1+x2==0，
解得a=±2，
当a=﹣2时，原方程化为2x2
+3=0，此方程无实数解， ∴a=2
3．解：由根与系数的关系可得： x1+x2=k+1，x1•x2=k+2，
又知x2
2
2
2
1+x2=（x1+x2）﹣2x1•x2=（k+1）﹣2（k+2）=6 解得：k=±3．
∵△=b2
﹣4ac=（k+1）2
﹣4（k+2）=k2
﹣2k﹣7≥0， ∴k=﹣3
4．解：（1）比如：取k=3，原方程化为3x2
+8x﹣3=0． …（1分） 即：（3x﹣1）（x+3）=0，
解得：x1=﹣3，x2=； …（2分）
（2）由16+k＞0，解得k＞﹣． …（3
分）
.
∵当k=0时，原方程化为2x﹣3=0； 解得：x=，
∴当k=0时，方程有一个实数根 …（4分） ∵当k＞﹣
且k≠0时，方程kx2
+2（k+1）x﹣3=0为
一元二次方程，
∴△=[2（k+1）]2
﹣4×k×（﹣3）
=4k2
+8k+4+12k
=4k2
+20k+4
=[（2k）2
+2×2k×1+1]+（16k+3）
=（2k+1）2+16k+3，…（5分）
∵（2k+1）2
≥0，16k+3＞0，
∴△=（2k+1）2
+16k+3＞0． …（6分） ∴当k＞﹣
且k≠0时，一元二次方程kx2
+2（k+1）x
﹣3=0有两个不等的实数根
5．解：（1）∵△=16m2
﹣8（m+1）（3m﹣2）=﹣8m2
﹣8m+16， 而方程有两个相等的实数根， ∴△=0，即﹣8m2
﹣8m+16=0，
求得m1=﹣2，m2=1；
（2）因为方程有两个相等的实数根， 所以两根之和为0且△≥0，则﹣=0，
求得m=0；
（3）∵方程有一根为0， ∴3m﹣2=0， ∴m=．
6．解：根据条件知：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2
， ∴
+
=
=﹣1，
.
∴=﹣1，
即：m2
﹣2m﹣3=0， 解得：m=3或﹣1，
当m=3时，方程为x2
+9x+9=0，此方程有两个不相等的实数根，
当m=﹣1时，方程为x2+x+1=0，此方程无实根，不合题意，舍去， ∴m=3
7．解：根据题意得△=（2m+3）2
﹣4m2
＞0，解得m＞﹣；
根据根与系数的关系得x1+x2=2m+3，
则2m+3=m2
，
整理得m2﹣2m﹣3=0，即（m﹣3）（m+1）=0， 解得m1=3，m2=﹣1，
则m=3
8．（1）证明：方程根的判别式
△=[2（2﹣m）]2
﹣4×1×（3﹣6m）=4（4﹣4m+m2
）﹣4（3﹣6m）
=4（4﹣4m+m2
﹣3+6m）=4（1+2m+m2
）=4（m+1）2
（4分） ∵无论m为何实数，4（m+1）2
≥0恒成立，即△≥0恒成立．（5分）
∴无论m取何实数，方程总有实数根；（6分）
（2）解：由根与系数关系得x1+x2=﹣2（2﹣m）（7分）
由题知x1+x2=m， ∴m=﹣2（2﹣m）（8分） 解得m=4．
9．解：（1）∵△=（8+k）2
﹣4×8k
=（k﹣8）2
，
∵（k﹣8）2
，≥0， ∴△≥0，
.
∴无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）解方程x2
﹣（8+k）x+8k=0得x1=k，x2=8，
①当腰长为5时，则k=5，
∴周长=5+5+8=18； ②当底边为5时， ∴x1=x2，
∴k=8，
∴周长=8+8+5=21
10．解：（1）△=[2（1﹣m）]2
﹣4m2
=4﹣8m， ∵方程有两根，∴△≥0，即4﹣8m≥0，∴m≤． （2）∵x2
2
1+x2=2（1﹣m），x2
1•x2=m，且x1+12m+x2=10，∴m2
+2m﹣3=0，解得 m1=﹣3，m2=1，
又∵m≤，
∴m=﹣3
11．解：（1）∵方程有两个实数根， ∴k≠0且△=（2k+1）2
﹣4k（k﹣2）≥0， 解得：k≥﹣
且k≠0，
∴k的取值范围：k≥﹣
且k≠0．
（2）∵一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2， ∴x1+x2=﹣
，x1x2=
，
∵x2
=11﹣x2
2
2
12，∴x1+x2=11，
∴（x2
1+x2）﹣2x1x2=11，
∴﹣2（）=11，
解得：k=﹣或k=1，
∵k≥﹣
且k≠0，∴k=1
12．解：（1）∵方程x2
+5x﹣m=0有两个实数根，
∴△=25+4m≥0，
.
解得：m≥﹣； （2）将x=﹣1代入方程得：1﹣5﹣m=0，即m=﹣4， ∴方程为x2
+5x+4=0，设另一根为a， ∴﹣1+a=﹣5，即a=﹣4，
则m的值为﹣4，方程另一根为﹣4
13．解：（1）由题意得：△=[﹣（m+2）]2
﹣4（m﹣2）=m2
+12，
∵无论m取何值时，m2
≥0，∴m2
+12≥12＞0 即△＞0恒成立，
∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）设方程两根为x1，x2，由韦达定理得：x1•x2=m﹣2， 由题意得：m﹣2=m2
+9m﹣11，解得：m1=﹣9，m2=1， ∴
14．解：∵x2
21﹣x2=0， ∴（x1+x2）（x1﹣x2）=0，
∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，
当x1+x2=0，则x1+x2=﹣k=0，解得k=0，原方程变形为x2
+1=0，此方程没有实数根，
当x2
1﹣x2=0，则△=k﹣4（k﹣1）=0，解得k1=k2=2， ∴k的值为2
15．解：原方程可化为2x2
﹣3x﹣（k+3）=0，① （1）当△=0时，
，
满足条件；
（2）若x=1是方程①的根，得2×12
﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4；
此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根； （3）当方程①有异号实根时，
，得
k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根； （4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．
.
综上所述，满足条件的k的取值范围是或k=﹣
4或k≥﹣3
16．解：（1）由△=[4（k+2）]2
﹣4×4k•k＞0， ∴k＞﹣1
又∵4k≠0，
∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；
（2）不存在符合条件的实数k
理由：设方程4kx2
+4（k+2）x+k=0的两根分别为x1、x2， 由根与系数关系有： x1+x2=﹣
，x1•x2=，
又==﹣=0，
∴k=﹣2，
由（1）知，k=﹣2时，△＜0，原方程无实解， ∴不存在符合条件的k的值
17．解：∵关于x的二次方程a2x2
+2ax+1=﹣3x ∴a2x2
+2ax+3x+1=0，
∵关于x的二次方程a2x2
+2ax+1=﹣3x的两个实数根的
积为1， ∴
=1，
∴a=±1， ∵12a+9≥0， ∴a=1
∴关于x的二次方程x2
+2（a+n）x﹣a2
=4﹣6a﹣2n可化简为：
x2
+2（1+n）x+（1+2n）=0
∴x1=﹣1，x2=﹣1﹣2n，
∵关于x的二次方程x2
+2（a+n）x﹣a2
=4﹣6a﹣2n有小于2的正实根，
∴0＜﹣1﹣2n＜2， ∴n的整数值为﹣1
18．解：（1）由2x3
+（2﹣m）x2
﹣（m+2）x﹣2=0得（x+1）（2x2
﹣mx﹣2）=0，∴x0=﹣1，（2分）
.
α、β是方程2x2
﹣mx﹣2=0的根∴， ∵（α+β）x0=﹣3，所以m=6（4分）
（2）设T=
﹣
=（5
分）
∵a＜b，∴b﹣a＞0，又a2
+1＞0，b2
+1＞0，∴
＞0（6分）
设f（x）=2x2mx﹣2，所以α、β是f（x）=2x2
mx﹣2与x轴的两个交点，
∵α＜a＜b＜β ∴
，即
∴ma+mb＞2a2+2b2
﹣4（8分）
∴4﹣4ab+ma+mb＞2（a﹣b）2
＞0（9分）
∴T＞0，即＞
19．解：∵x2
1，x2是关于x的一元二次方程x+（3a﹣1）x+2a2
﹣1=0的两个实数根，
∴△≥0，即（3a﹣1）2
﹣4（2a2
﹣1）=a2
﹣6a+5≥0 所以a≥5或a≤1．…（3分） ∴x2
1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a﹣1，
∵（3x22
1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，即3（x1+x2）﹣10x1x2=﹣80，
∴3（x2
1+x2）﹣16x1x2=﹣80， ∴3（3a﹣1）2
﹣16（2a2
﹣1）=﹣80， 整理得，5a2
+18a﹣99=0，
.
∴（5a+33）（a﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，
当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去， 当a=﹣
时，△=（﹣）2
﹣6×（﹣
）+6=（）
2
+6×+6＞0，
∴实数a的值为﹣
20．解：（1）∵原方程有两实根
∴△=（2m﹣3）2
﹣4（m2
+6）=﹣12m﹣15≥0得①…（3分）
∵x2
1+x2=﹣（2m﹣3）x1x2=m+6…（4分） 又∵x1x2=2（x1+x2），
∴m2
+6=﹣2（2m﹣3）
整理得m2
+4m=0解得m=0或m=﹣4…（6分） 由①知m=﹣4…（7分） （2）∵
…（9分），
…（11分）
由韦达定理得所求方程为…
21．解：（1）若方程有实数根，
则△=（2k﹣3）2﹣4（k2
+1）≥0， ∴k≤，
∴当k≤
，时，此方程有实数根；
（2）∵此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3， ∴（|x2
1|+|x2|）=9，
∴x22
1+x2+2|x1x2|=9，
∴（x2
1+x2）﹣2x1x2+2|x1x2|=9， 而x1+x2
2=2k﹣3，x1x2=k+1，
∴（2k﹣3）2
﹣2（k2
+1）+2（k2
+1）=9，
.
∴2k﹣3=3或﹣3，
∴k=0或3，k=3不合题意，舍去； ∴k=0
22．解：方程整理为x2
﹣2（m+1）x+m2
=0，
∵关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2
+2x的两个实数根x1、x2， ∴△=4（m+1）2
﹣4m2
≥0，解得m≥﹣； ∵|x1|=x2， ∴x1=x2或x1=﹣x2，
当x1=x2，则△=0，所以m=﹣，
当x1=﹣x2，即x1+x2=2（m+1）=0，解得m=﹣1，而m≥﹣，所以m=﹣1舍去，
∴m的值为﹣
23．解：∵a=1，b=﹣2（2m﹣3），c=4m2
﹣14m+8，
∴△=b2
﹣4ac=4（2m﹣3）2
﹣4（4m2
﹣14m+8）=4（2m+1）． ∵方程有两个整数根，
∴△=4（2m+1）是一个完全平方数， 所以2m+1也是一个完全平方数． ∵4＜m＜40， ∴9＜2m+1＜81，
∴2m+1=16，25，36，49或， ∵m为整数， ∴m=12或24． 代入已知方程，
得x=16，26或x=38，52． 综上所述m为12，或24
24．解：（1）方程（k﹣1）x2
+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2， 可得k﹣1≠0，
∴k≠1且△=﹣12k+13＞0， 可解得且k≠1；
（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2， ∵x1+x2=0，
.
∴，
∴，
又∵
且k≠1
∴k不存在
25．解：设关于x的一元二次方程x2
﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2， 则：x1+x2=m，x1•x2=2m﹣1，
∵关于x的一元二次方程x2
﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，
∴x2
2
2
2
1+x2=（x1+x2）﹣2x1•x2=m﹣2（2m﹣1）=m2
﹣4m+2=23， 解得：m1=7，m2=﹣3，
当m=7时，△=m2
﹣4（2m﹣1）=﹣3＜0（舍去），
当m=﹣3时，△=m2
﹣4（2m﹣1）=37＞0，
∴m=﹣3
26．解：设x的方程x2
+2（m﹣2）x+m2
+4=0有两个实数根为x1，x2，
∴x21+x2=2（2﹣m），x1x2=m+4， ∵这两根的平方和比两根的积大21， ∴x2
2
1+x2﹣x1x2=21， 即：（x2
1+x2）﹣3x1x2=21， ∴4（m﹣2）2
﹣3（m2
+4）=21， 解得：m=17或m=﹣1，
∵△=4（m﹣2）2
﹣4（m2
+4）≥0， 解得：m≤0．故m=17舍去， ∴m=﹣1
27．解：∵x的一元二次方程x2
+（2m﹣1）x+m2
=0有两个实数根x1和x2，
∴△=（2m﹣1）2
﹣4m2
=1﹣4m≥0，
.
解得：m≤；
（2）∵x的一元二次方程x+（2m﹣1）x+m=0有两个实2
2
则：x1x2≤0，
又∵，
数根x1和x2，
∴x2
1+x2=1﹣2m，x1x2=m， ∴（x1+x2）•（x1﹣x2）=0， 当1﹣2m=0时，1﹣2m=0， 解得m=（不合题意）．
当x1=x2时，
（x2
2
2
1+x2）﹣4x1x2=4m﹣4m+1﹣4m=0， 解得：m=． 故m的值为：
28．解：（1）依题意得△=（k+2）2
﹣4k•＞0，解之得k＞﹣1， 又∵k≠0，
∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2， 则x1+x2=k+1，x1•x2=k+2， ∴x2
2
2
1+x2=（x1+x2）﹣2x1x2=6， 即（k+1）2
﹣2（k+2）=6，
解得：k=±3，
当k=3时，△=16﹣4×5＜0， ∴k=3（舍去）；
当k=﹣3时，△=4﹣4×（﹣1）＞0， ∴k=﹣3
29．解：∵a=4，b=5﹣3m，c=﹣6m2
， ∴△=（5﹣3m）2
+4×4×6m2
=（5﹣3m）2
+96m2
， ∵5﹣3m=0与m=0不能同时成立． △=（5﹣3m）2
+96m2＞0
.
∴，
又∵，，
∴
，
∴，
解得：m1=1，m2=5 30．解：（1）由
＞0，
解得k＞﹣1， 又∵k≠0，
∴k的取值范围是k＞﹣1且k≠0； （2）不存在符合条件的实数k， 理由如下： ∵
，
，
又，
∴，
解得
经检验k=﹣是方程的解． 由（1）知，当
时，△＜0，故原方程无实根
∴不存在符合条件的k的值 31．（1）证明：△=k2
﹣4（k﹣1） =k2
﹣4k+4 =（k﹣2）2
，
.
∵（k﹣2）2
≥0，即△≥0， ∴方程一定有两个实数根；
（2）根据题意得x1+x2=﹣k，x1•x2=k﹣1， ∵（x1+x2）（x1﹣x2）=0， ∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，
当x1+x2=0，则﹣k=0，解得k=0，
当x1﹣x2=0，则△=0，即（k﹣2）2
=0，解得k=2， ∴k的值为0或2
32．解：∵关于x的二次方程（a2
+1）x2
﹣4ax+2=0的两根为x1，x2， ∴
①，
②
∵2x1x2=x1﹣3x2，
∴2x1x2+（x1+x2）=2（x1﹣x2），平方得4（x1x2）2
+4x1x2（x2
1+x2）=3（x1+x2）﹣16x1x2， 将式①、②代入后，解得a=3，a=﹣1，
当a=3时，原方程可化为10x2
﹣12x+2=0，△=122
﹣4×10×2=＞0，原方程成立；
当a=﹣1时，原方程可化为2x2
+4x+2=0，△=42
﹣4×2×2=0，原方程成立．
∴a=3或a=﹣1 33．解：（1）根据题意得a﹣1≠0且△=4﹣4（a﹣1）＞0，
解得a＜2且a≠1；
（2）根据题意得x1+x2=，x1•x2=
，
∵5x1+2x1x2=2a﹣5x2， ∴5（x1+x2）+2x1x2=2a， ∴
+
=2a，
.
整理得a2
﹣a﹣6=0，解得a1=3，a2=﹣2， ∵a＜2且a≠1，
∴a=﹣2
34．解：（1）关于x的一元二次方程x2
﹣（2k+1）x+4k﹣3=0，
△=（2k+1）2
﹣4（4k﹣3）=4k2
﹣12k+13=4
+4
＞0恒成立，
故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据勾股定理得：b2
+c2
=a2
=31①
因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根， 则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③， 因为（b+c）2
﹣2bc=b2
+c2=31， 即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，
整理得：4k2
+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2
﹣k﹣6=0，
解得：k1=3，k2=﹣2（舍去），
则b+c=2k+1=7， 又因为a=，
则△ABC的周长=a+b+c=+7．
35．解：（1）∵一元二次方程8x2
﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为相反数， ∴x1+x2==0，
解得m=1；
（2）∵一元二次方程8x2
﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的一个根为零， ∴x1•x2==0，
解得m=7；
（3）设存在实数m，使方程8x2
﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为倒数，则 x1•x2=
=1，
解得m=15；
.
则原方程为4x2
﹣7x+4=0，
△=49﹣4×4×4=﹣15＜0，所以原方程无解，这与存在实数m，使方程8x2
﹣（m﹣1）x+m﹣7=0有两个根相矛盾．故不存在这样的实数m 36．解：（1）∵方程有两个实数根， ∴△=1﹣4k≥0且k≠0． 故k≤且k≠0．
（2）设方程的两根分别是x1和x2，则： x1+x2=﹣，x1x2=， x2
2
21+x2=（x1+x2）﹣2x1x2， =
﹣=3，
整理得：3k2
+2k﹣1=0， （3k﹣1）（k+1）=0， ∴k1=，k2=﹣1． ∵k≤且k≠0，
∴k=（舍去）． 故k=﹣1
37．（1）证明：△=（m+2）2
﹣4（2m﹣1）=m2
﹣4m+8=（m﹣2）2
+4， ∵（m﹣2）2
≥0， ∴（m﹣2）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数． 由题知：x1+x2=﹣（m+2）=0， 解得：m=﹣2，
将m=﹣2代入x2
+（m+2）x+2m﹣1=0， 解得：x=，
∴m的值为﹣2，方程的根为x=
38．解：（1）证明：由方程x2
﹣kx﹣2=0知
.
a=1，b=﹣k，c=﹣2， ∴△=b2
﹣4ac
=（﹣k）2﹣4×1×（﹣2） =k2
+8＞0，
∴无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程x2
﹣kx﹣2=0．的两根为x1，x2， ∴x1+x2=k，x1x2=﹣2， 又∵2（x1+x2）＞x1x2，
∴2k＞﹣2，即k＞﹣1 39．解：（1）∵△≥0时，一元二次方程总有两个实数根，
△=[2（m+1）]2
﹣4×1×（m2
﹣3）=8m+16≥0，
m≥﹣2，
所以m≥﹣2时，方程总有两个实数根．
（2）∵x2
2
1+x2﹣x1x2=78， ∴（x21+x2）﹣3x1x2=78，
∵x1+x2=﹣，x1•x2=，
∴﹣[2（m+1）]2
﹣3×1×（m2
﹣3）=78， 解得m=5或﹣13（舍去）， 故m的值是m=5
40．解：∵关于x的方程x2
﹣（2m+3）x+m2
=0有两个实数根， ∴△≥0，
即（2m+3）2
﹣4m2
≥0， 解得：m≥﹣， ∵
+
=1，
∴=1，
∴2m+3=m2
，
.
∴m2
﹣2m﹣3=0， ∴m1=3，m2=﹣1（舍去）． 故可得m=3
41．（1）证明：∵△=（m+2）2
﹣4×1×（2m﹣1） =（m﹣2）2
+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：把x=2代入方程，得22
+2（m+2）+2m﹣1=0 解得m=﹣，
设方程的另一根为x1，
则2x1=2×（﹣）﹣1，解得x1=﹣
42．解：∵x1+x2=m，x1x2=2m﹣1，
∴x2
2
2
2
1+x2=（x1+x2）﹣2x1x2=m﹣2（2m﹣1）=7； 解可得m=﹣1或5；
当m=5时，原方程即为x2
﹣5x+9=0的△=﹣11＜0无实根，
当m=﹣1时，原方程即为x2+x﹣3=0的△=1+12=13＞0，有两根，
则有（x2
21﹣x2）=（x1+x2）﹣4x1x2=13． 答：（x21﹣x2）的值为13
43．解：∵方程x2
+2（k﹣2）x+k2
+4=0有两个实数根，∴△=4（k﹣2）2
﹣4（k2
+4）≥0， ∴k≤0，
设方程的两根分别为x1、x2，
∴x2
1+x2=﹣2（k﹣2）…①，x1•x2=k+4…②， ∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x2
2
1+x2=x1•x2+21，
.
即（x2
1+x2）﹣3x1•x2=21，
把①、②代入得，4（k﹣2）2
﹣3（k2
+4）=21， ∴k=17（舍去）或k=﹣1， ∴k=﹣1，
∴原方程可化为x2
﹣6x+5=0， 解得x1=1，x2=5
44．解：不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0．理由如下：
设方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣
∵一元二次方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实
数根，
∴4k≠0且△=16（k+2）2
﹣4×4k×k＞0， ∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0， 当x1+x2=0， ∴﹣
=0，
∴k=﹣2，
而k＞﹣1且k≠0，
∴不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0 45．解：把x=﹣2代入原方程得4﹣2（k+3）+k=0，解得k=﹣2，
所以原方程为x2
+x﹣2=0，
设方程另一个根为t，
则t+（﹣2）=﹣1，解得t=1，
即k的值为﹣2，方程的另一根为1
46．解：∵x2
1、x2是方程x﹣2mx+3m=0的两根，
∴x1+x2=2m，x1x2=3m．
又（x2
1+2）（x2+2）=22﹣m， ∴x1x2+2（x1+x2
2）+4=22﹣m， 3m+4m+4=22﹣m2
， m2
+7m﹣18=0， （m﹣2）（m+9）=0， m=2或﹣9．
.
当m=2时，原方程为x﹣4x+6=0，此时方程无实数根，2
于是（m﹣2m﹣15）﹣4×2m≥0， 22
应舍去，取m=﹣9
47．（1）证明：△=（k+1）2
﹣4（2k﹣2） =k2
﹣6k+9 =（k﹣3）2
，
∵（k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k为何值时，该方程总有实数根； （2）解：设方程两根为x1，x2， 则x1+x2=k+1，x1•x2=2k﹣2， ∵x2
2
1+x2=5，
∴（x2
1+x2）﹣2x1•x2=5，
∴（k+1）2
﹣2（2k﹣2）=5， ∴k1=0，k2=2
48．解：设方程的两根为x1，x2， ∴x1+x2=﹣（m+1），x1•x2=m+4， 而x2
2
1+x2=2，
∴（x2
1+x2）﹣2x1•x2=2， ∴（m+1）2﹣2（m+4）=2，
解得m1=3，m2=﹣3，
当m=3时，方程变形为x2
+4x+7=0 ∵△=16﹣4×7＜0， ∴此方程无实数根；
当m=﹣3时，方程变形为x2﹣2x+1=0 ∵△=4﹣4×1=0， ∴此方程有实数根， ∴m=﹣3
49．解：若两根互为相反数， 则△＞0，x1+x2=0，
.
又∵x1+x2=0，
∴﹣
=0，
即m2
﹣2m﹣15=0， 解得，m=3，或m=5．
当m=3时，（32
﹣2×3﹣15）2
﹣4×2×3=120＞0，符合题意； 当m=5时，（52
﹣2×5﹣15）2
﹣4×2×5=﹣40＜0，不符合题意．
故答案为：3
50．解：∵△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x2
﹣（2k+2）x+k2
+2k=0的两个根， 则AB+AC=2k+2，AC×AB=k2
+2k，
分为三种情况：
①若AB=AC时，则2AB=2k+2，AB2
=k2
+2k， AB=k+1，
代入得：（k+1）2
=k2
+2k， 此方程无解，即AB≠AC；
②若AB=BC=10，则10+AC=2k+2，10AC=k2
+2k， 即AC=2k+2﹣10，
代入得：10（2k+2﹣10）=k2
+2k， 解得：k1=10，k2=8，
∴AC=12或8，
③若AC=BC=10时，与②同法求出k=10或8， ∴当AC=12，AB=10，BC=10时，△ABC的周长=12+10+10=32， ∴当AC=8，AB=10，BC=10时，△ABC的周长=10+10+8=28， ∴当k=10或k=8时，△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为32或28
51．解：（1）△=4（k﹣1）2
﹣4k2
=4（k2
﹣2k+1）﹣4k2
=﹣8k+4≥0， ∴k≤，
故当k≤时，原方程有实数根；
.
（2）选k=0，则原方程化为：x2
+2x=0， 设两实数根为：x1，x2，
由根与系数的关系：x1+x2=﹣2，x1x2=0，
∴x2
2
2
1+x2=（x1+x2）﹣2x1x2，
=4﹣0=4
52．解：（1）方程两根互为倒数，根据根与系数的关系x1•x2=1， 即a2=1，
a=±1，
当a为1或﹣1时，方程两根互为倒数；
（2）∵|x1|=x2， ∴x1=x2或x1=﹣x2， 当x时△=0，即
1=x2
（2a﹣1）2
﹣4a2
=0
﹣4a+1=0， a=﹣， 当x1=﹣x2时， 2a﹣1=0， a=．
∴方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，a的值是﹣或
53．解：：（1）∵a=，b=﹣（m﹣2），c=m2
方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即△=b2
﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2
﹣4××m2
=﹣4m+4=0， ∴m=1．
原方程化为：x2
+x+1=0 x2
+4x+4=0，（x+2）2
=0，
∴x1=x2=﹣2．
.
（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
∵x2
2
2
2
1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4mx1+x2=（x1+x2）﹣2x1x2=（4m﹣8）2
﹣2×4m2
=8m2
﹣m+=224，
即：8m2
﹣m﹣160=0，
解得：m1=10，m2=﹣2（不合题意，舍去），
又∵m1=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此时方程无实数根， ∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224． 54．解：设原方程的两根为x1、x2 （1）∵两根互为倒数， ∴两根之积为1 x1•x2=
=1，
解得m=15，
（2）∵两根互为相反数，
∴x1+x2==0，
∴m=﹣，
（3）当有一根为零时， ∴m﹣7=0， ∴m=7，
（4）当有一根为1时， ∴8﹣2m﹣1+m﹣7=0， 解得m=0 55．解：（1）当a﹣1=0即a=1时，方程不是一元二次方程；
当a≠1时，由△=b2
﹣4ac≥0，得（2a﹣3）2
﹣4a（a﹣1）≥0， 解得a≤，
∵a﹣1≠0，∴a≠1，
则a的取值范围是a≤且a≠1，
（2）∵x2
1，x2是一元二次方程（a﹣1）x﹣（2a﹣3）
x+a=0的两个根， ∴x1+x2=
，
.
x1x2=
．
又∵x2
2
1+x2=9，
∴（x2
1+x2）﹣2x1x2=9． （
）2﹣2×
=9．
整理，得7a2﹣8a=0， a（7a﹣8）=0． ∴a1=0，a2=（舍去）．
经检验0是方程的根．故a=0
56．解：（1）若方程的一个根为零， 则m﹣5=0， 解得m=5，
（2）若方程的两个根互为相反数， 则两根之和为0， 故
=0，
解得m=﹣1，
（3）若方程两根互为倒数， 则
=1，
解得m=13，
当m=13时，方程是8y2
﹣14y+8=0，即4y2
﹣7y+4=0，根的判别式△=﹣15＜0，
故不存在实数m，使方程的两个根互为倒数 57．解：设另一根为x，
∵一元二次方程（m+1）x2
﹣x+m2
﹣3m﹣3=0有一个根是1，
∴m+1﹣1+m2
﹣3m﹣3=0， 解得m=3或﹣1（舍去）， 故m=3， ∴x+1=
=，
∴x=﹣， 故另一根为﹣．
58．解：设方程的两根为x1，x2，
∵关于x的一元二次方程（a2
﹣3）x2
﹣2（a﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，
.
∴a2
﹣3≠0，x1•x2=
=1，
∴a2
=4，
∴a=2或﹣2，
当a=2时，原方程变形为x2
+1=0，△=﹣4＜0，此方程无实数根， ∴a=﹣2．
即a的值是﹣2
59．解：（1）设另两边为x1，x2，且x1＞x2． ∴由韦达定理，得 x1+x2=6，x1•x2，=m； 根据三边关系得： x1+x2=6＞5 ①； ∴x1﹣x2==
＜5；
解得，m＞
；
又∵△=36﹣4m≥0， 解得，m≤9， ∴m的取值范围是：
＜m≤9；
（2）当m取最大值，即m=9时，由原方程得 x2
﹣6x+9=0，即（x﹣3）2
=0， 解得，x1=x2=3，
过点A作AD⊥BC于点D． ∴AD=
∴S△ABC=
．
60．解：x2
﹣（k+2）x+2k=0 （x﹣2）（x﹣k）=0， ∴x1=2，x2=k，
∵当k=2时，b=c=2，周长为5，
∴当k=1时，1+1=2，不能构成三角形，
.
∴周长为5
.
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