冬令营模拟题-3

1．设2014个正整数a1,a2,,a2014满足：(a1,a2,,a2014)1，现将其绕圆周放置，每次允

许进行这样的操作：任取其中一个数aj，将它加上相邻两数的最大公约数，然后将原先的数抹去，（即将aj替换成aj(aj1,aj1)，这里约定a20141a1,a0a2014）；

证明：可以经过有限次这样的操作，使得圆周上的数两两互质．

2．设a,b,c0，证明：

3．如图，非等腰ABC的内切圆分别与边BC,CA,AB相切于A1,B1,C1，线段AA1，

abbcca3．

c(bc)a(ca)b(ab)2BB1分别与内切圆相交于A2,B2；又在A1B1C1中，A1A3,B1B3分别是B1A1C1，A1B1C1的平分线；M,N是A1A2A3与B1B2B3外接圆的交点．

证明：(10)、直线MN过ABC的内心I；

A(20)、A2A3,B2B3分别是B1A2C1与A1B2C1的 平分线．

4．若前2n1个正整数所构成的集M1,2,3,BC1A3B3B2IA2B1A1C,2n1中的元素可以适当排成两个数列：

,anan1bn，就称这两个数列是

a1,a2,,an1以及b1,b2,,bn，使得a1a2b1,a2a3b2,集合M的一个“墙排列”；并称下图为该排列的“墙图”．

b1b2∙∙∙∙bnD=a1a2a3∙∙∙∙an+1bnbn-1∙∙∙∙b2b1D=an+1an∙∙∙∙a3a2a1

（其中，横线上方的每个数，皆等于其脚下相邻的两数之和）我们不妨规定a1an1，即是将反向排列而成的数列an1,an,其墙图均看成是同一种情况．

试确定M1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11的墙排列个数，并给出相应的墙图．

,a2,a1与bn,bn1,,b2,b1及其所对应的墙图和前面的数列划分及

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