平行四边形
知识点复习
1、平行四边形的判定
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 平行四边形的判定方法 ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 ④对角线相互平分的四边形是平行四边形。 2、平行线等分线段和三角形中位线定理
(1)平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
(2)平行线等分线段定理的推论：
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。
(3)三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(4)三角形中位线定理： 三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一
半。
3、三角形的重心
(1)重心的定义： 三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。
(2)重心的性质： 三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边
上中线的三分之一。
二、典型例题讲解 模块1平行四边形的判定
题型1平行四边形的判定
例题1如图所示，在平行四边形 ABCD中，AE,CF分别是 DAB， BCD的平分线, 求证：四边形AFCE是平行四边形。
例题2：如图，在等边三角形 ABC中，D是BC的中点，以AD为边向左侧作等边三角形
ADE。
(1)求 CAE的度数。
(2)取AB的中点F，连接CF、EF。试证明四边形 CDEF是平行四边形。
E,F是BD上的点，且BE DF .
例题3：如图，在平行四边形 ABCD中，BD为对角线,
求证：四边形
变式练习：
1如图，在 ABC中，中线BD，CE相交于点O,F、G分别是OB、OC的中点，连接
EF,FG,GD,DE，求证：四边形 DEFG是平行四边形。
2如图，已知 AB//DE，AB DE，AF DC，求证：四边形 BCEF是平行四边形。
3•如图，四边形 ABCD中，AD//BC，作AE//DC交BC于E 。 ABE的周长是25cm , 四边形ABCD的周长是37cm，那么AD ________ cm。
题型2:添加条件证明平行四边形
例题4：如图，在四边形 ABCD中， DAC ACB，要使四边形 ABCD成为平行四边 形，则应添加的条件不能是（
）
A、AD BC B、OA OC C、AB CD D、 ABC BCD 180
例题5： A、B、C、D在同一平面内，从① AB//CD •，②AB CD :③BC // AD :④
BC AD这四个条件中任选两个，能使四边形 ABCD是平行四边形的选法有 ______________ 种。 变式练习
1.（如图，四边形ABCD的对角线交于点 0,下列哪组条件不能判断四边形 边形（
）
ABCD是平行四
A、OA 0C,0B DO B、 BAD BCD, AB//CD
C、AD//BC,AD BC D、AB CD, AO CO
2.已知在四边形ABCD 中, 是平行四边形的是（
AB//CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形
）
ABCD
A、AD BC
B、AC BD
C、
A C
3•如图所示，平行四边形 ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接 AE,AF,
CE,CF，添加 _________ 条件，可以判定四边形 AECF是平行四边形。（填一个符合要求
的条件即可）
二
4•四边形 ABCD中，AD // BC，要使四边形 ABCD成为平行四边形还需满足的条件是 （横线上只需填一个你认为合适的条件即可）
题型3:平行四边形的判定与性质的综合应用
例题6：已知：如图，平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点 0 , E是BO的中点，过 点B作
AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF。
（1）
求证：FB CO ；
（2）
求证：四边形 AOBF是平行四边形。
例题7：如图所示，0为等边 ABC内任意一点，OD//BC, OE//AC， 且 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 上，求证：OD OE OF BC . OF //AB，并
例题8:如图所示，BD是 ABC的角平分线，点E , F分别在边BC , AB上，且
DE//AB, EF //AC . (1) 求证：BE AF ;
(2) 若 ABC 60 , BD 6,求四边形ADEF的面积。
变式练习
ABC 外一点，且 PD//AB,PE//BC , PF // AC，若 ABC 的 PF PE =
E,F， 求证：四边形
ABCD中，AC交BD于点O,AE BD，CF BD，垂足分别为 AECF为平行四边形。
3.如图所示，在平行四边形 ABCD中，C 60 , M , N分别是AD,BC的中点, BC 2CD.
1.如图，P是等边三角形 周长是,则PD (1)36求证四边形
MNCD是平行四边形;
(2)求证 BD .一 3MN .
题型4:平行四边形中的动点问题
例题18:如图，在四边形 ABCD中，AD // BC,且AD > BC, BC=6cm，点P、Q分别从A、
C两点的位置同时出发，点 P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由 点C出发向点B运动•试探究：几秒后四边形
ABQP是平行四边形？
例题19：如图，在四边形 ABCD中，AD // BC , AD 6 , BC 16 , E是BC的中点。 点P以每秒1个单位长度的速度从点 A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单 位长度的速度从点 C出发，沿CB向点B运动。点P停止运动时，点 Q也随之停止运动。 当运动时间t为多少秒时，以P,Q
E, D为顶点的四边形是平行四边形。
变式练习
1•如图：在四边形 ABCD 中，AD // BC,且 AD > BC, BC=6cm , AD=9cm , P、Q 分别从 A、
C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动， _________________
AD // BC ,
秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形.
B 90 ,AB 8cm,
AD 24cm, BC 26cm，点P从点A出发，以1cm/S的速度向点D运动；点Q从点C
同时出发，以3cm/s的速度向点B运动。规定，其中一个动点到达端点时，另一个动点也 随之停止
2
运动，从运动开始，使 PQ//CD和PQ CD ,分别需经过多少时间？为什么？
模块2:三角形的中位线
6, AC 7,点D,E,F分别是 ABC三边的中
例题1：如图，在 ABC中，AB 5,BC
D、12
B、10 C、11
题型1：直接利用三角形的中位线性质 点，则 DEF的周长为（ ）
例题2：如图， ABC周长为1,连接 ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三 角形三边中
A、9
点构成第三个三角形，以此类推，第
2018个三角形的周长为（ ）
A、22016
B、22017
C、22018
D、22019
变式练习 1.已知三角形的 3条中位线分别为3cm、 4cm、6cm ，则这个三角形的周长是 （ ）A、3cm B、 26cm
C、
24cm D、 65cm
2•如图所示， EF是
ABC的中位线， BD平分 ABC ,交EF于D ,若DE 2，则
EB _________
题型2:利用三角形的中位线解决图形的面积问题
例题3:如图，DE是 ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G ,若
CEF的面积为12cm2，则S DGF的值为（
A、 4cm
B、6cm2 C、8 cm2 D、9cm2
例题4：如图，ABC的面积是 中点，贝U AFG的面积是（
12, )
G分别是BC、AD、BE、CE的
A 4.5
B、
C、5.5
5cmAB, AC，则图中阴影部分面积为（的中点，D,E为BC上的点 ,
1.如图，在
ABC 中, AB AC ，M ,N分别是
13cm，BC 10cm，DE
连接DN ,EM。若AB
变式练习
2
A、25 B
35
C、30
D、42
cm 。
2•如图，在 ABC中， BAC 90 ,AB 4, AC 6，点D,E分别是BC , AD的中点,
AF // BC交CE的延长线于F，则四边形 AFBD的面积为 题型3:与三角形中位线有关的动点问题
。
上的动
例题4：如图，四边形ABCD中， A 90 ,AB 8, AD 6,点M ,N分别为线段BC , AB
M不与点B重合），点E,F分别为DM ,MN的中点，贝U EF长
度的最大值为（
）
C、4
变式练习
1.如图，已知四边形 ABCD中，R,P分别是BC , CD边上的点，E,F分别是AP,RP的 中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，下列结论成立的是（
A、 EFP的周长不变 C、点P到EF的距离不变
B、线段EF的长与点P的位置无关 D、 APR的大小不变
）
2.如图，已知四边形ABCD中， C 90 ,点P是CD边上的动点，连接AP , E,F分别 是AB,AP的中点，当点P在CD上从点D向点C移动过程中，下列结论成立的是（ A、线段EF的长先减小后增大 B、线段EF的长不变 C、线段EF的长逐渐增大
D、线段EF的长逐渐减小
题型4:三角形中位线性质的综合应用
例题5：如图，在 ABC中，点D是边BC的中点，点E在 ABC内，AE平分 BAC，点 F 在边 AB 上，EF//BC. （1） 求证：四边形 BDEF是平行四边形；
（2）
线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论。
）CE AE,
变式练习
1•如图所示，已知 AO是 ABC中 BAC的平分线，BD AO的延长线于点 D,E是BC
1
的中点。求证：DE 一（AB AC）.
2
课后作业 一、选择题。
1. 下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（ A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C•一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.对角线相互平分的四边形是平行四边形 2. 能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（
A、AB//CD, AD BC
D、AB AD,CB CD C、AB//CD, C A
）
）
B、 A B, C D
3. 小敏不慎将一块平
行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同 的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（
）
第3题
4.如图,
ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分
若BC 6，则DF的长是（
）
ABC，交DE于点F ，
A、3
BN AN于点 N且AB 10,BC 15, MN 3 则 AC 的长是（ 5.如图，M是 ABC的边BC的中点， AN平分 BAC ,
A、12
B、 14
D、18
C、16
D , E分别是AB, AC的中点，点F,
6.如
ABC中 G在BC上，且
图，
BC 4BF 4CG,EF 与 DG 相交于点 0,若 DFE 40 , DGE 80，那么 DOE
的度数是（
）
A、100 B、120 C、140 D、160
7.如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD ,AD BC 5，DC 7，AB 13，点 P 从点
A出发以3个单位/s的速度沿AD DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单
位/s的速度沿BA向终点A运动。当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（
A、4s B、3s C、2s D、1s
8.如图，平行四边形 ABCD中，AB 6cm，AD 10cm，点P在AD边上以每秒1cm 的速度从点 A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往 返运动，两个点同时出发，当点
P到达点D时停止（同时点 Q也停止），在运动以后，以
P, D,Q,B四点组成平行四边形的次数有（
）
A、1次
B、2次
C、3次
D、4次
二、填空题。
9•如图，在 ABC中，D, E分别是边 AB, AC的中点， B 50，先将 ADE沿DE折
）
叠，点A落在三角形所在平面内的点为 A1，贝U BDA1的度数为 __________ 。
&
10•如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出 行四边形。
____ 平
11. 如图，已知BC为等腰三角形纸片 ABC的底边，AD BC, BAC 90 ,将此
三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边 形，则能拼出平行四边形 _______ 个。
B
12.
b —c
已知直角坐标系内有四个点 0(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1)，若以O, A, B,C,为顶
点的四边形是平行四边形，贝U x= ________ 。
13.
如图，在等边三角形 ABCD中，BC 6cm,射线AG//BC，点E从点A出
发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度 运动。如果点E, F同时出发，设运动时间为t(s)，当t= ________ s时，以A,C,E,F 为顶点的四边形是平行四边形。
三、解答题
14•如图，四边形ABCD中， A ABC 90 , AD 1,BC 3, E是边CD的中点, 连接BE并延长，与 AD的延长线相交于点 F•
求证：四边形BDFC是平行四边形。
15.如图，在平行四边形 ABCD中，AE CG , BF DH ,连接EF,FG,GH,HE.求证: 四边形EFGH是平行四边形。
16.在平行四边
ABCD和平行四边形 ADEF中，AB 8,AF 6, AB AF ,M ,N分别
是对角线AC、 DF的中点，求MN的长。
17.如图，平行四边形 ABCD是对角线 AC、BD交于E点，DF // AC , DFC AEB,
连接EF。
(1)求证：DF AE ;
(2)求证：四边形BCFE是平行四边形。
18如图所示，在四边形ABCD中，AD BC,P是对角线BD的中点，中点，N是AB的中点。请判断 PMN的形状，并说明理由。
C
是DC的
M
