数学笔记-椭圆

椭 圆

（1）第一定义——把椭圆从圆中分离

椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长，但又产生了2个新的定点——焦点. 准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.

【例1】 若点M到两定点F1（0，-1），F2（0，1）的距离之和为2，则点M的轨迹是 （ ）

A.椭圆 B.直线F1F2 C.线段F1F2 D.线段F1F2的中垂线.

【解析】注意到

F1F22,且MF1MF22,故点M只能在线段F1F2上运动，即点M的轨迹就是线段F1F2，选C.

【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件，那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点，就会错误地选A.

（2）勾股数组——椭圆方程的几何特征 椭圆的长、短半轴a、b和半焦距c，满足个，继而写出椭圆方程和它的一切特征数值.

椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数组上. 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组. 【例2】已知圆A:x3y22.在a、b、c三个参数中，只要已知或求出其中的任意两个，便可以求出第3

，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程. 100，圆A内一定点B（3，0）

【解析】如图，设两圆内切于C，动点P（x，y）， 则A、P、C共线. 连AC、PB，∵

PAPBAC10

CY为定长，而A（-3，0），B（3，0）为定点，∴圆心P的 轨迹是椭圆.且aP(x,y)A(-3,0)B(3,0)X5,c3,b4.所求轨迹方程为：

x2y21. 2516

（3）第二定义——椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟

如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程，那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程给出了深刻的解释.根据这个解释，我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题.

22xy【例3】已知椭圆1，能否在此椭圆位于y轴左侧部分上找一点P，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2距离的比43例中项.

【解析】由椭圆方程知：a2,b3,c1,e1. 2YH椭圆的左准线为：l:x4.设存在椭圆上一点P（x，y） （x<0）符合所设条件.作PH⊥l于H.令

dP(x,y)OF1(-1,0)PHd,PF1r1,PF2r2，则有： PHPF1PF2d2rr12.但是

11r1edd,r22ar14d.

22∴d2r1r2F2(1,0)X2L:x=-4118812d4dd.又dx4,x4. 22555- 1 -

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这与x

2,2矛盾.故在椭圆左侧上不存在符合题设条件的点.

● 通法 特法 妙法

（1）解析法——解析几何存在的理由

解析法的实质是用代数的方法学习和研究几何.在解析几何的模式下，平面上任意一条曲线都唯一对应着一个二元方程.反之，根据任意一个二元方程，都可以用描点法唯一地画出它所对应的曲线.因此，可以将几何问题转化为解方程、方程组或不等式.

【例4】点P（x，y）在椭圆4(x2)2y24上，则

yx的最大值为 （ ）

A.1 B.-1 C. 【解析】设

223 D. 3 33Yykykxx21

y21上一点P（x，y） 方程（1）表示过椭圆x24和原点的直线.显然当直线在椭圆上方且与椭圆相切时，k最大.将方程（1）代入椭圆方程得：

P(x,y)OC(2,0)X

y x

4x2k2x244k2x216x12022

由于直线与椭圆相切，故方程（2）应有相等二实根.由

256484k20k242.∵k>0，∴取k3，选D. 33【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根，因而可转化为其判别式为零处理；同理，直线与曲线相交要求相应的判别式大于零，相离则要求这个判别式小于零.

（2）导数法——把方程与函数链接

由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算，所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算，又能达到解题目的的好方法，导数法就是最为明显的一种.

x0xy0yx2y2【例5】求证：过椭圆221上一点Mx0,y0的切线方程为：221.

abab【证明一】（解析法）设所求切线方程为：

2yy0kxx0，代入椭圆方程：

b2x2a2kxkx0y0a2b2.化简得：

kx0y0b20k2a2b2x22ka2kx0y0xa221

∵直线与椭圆相切，∴方程（1）有相等二实根.其判别式△=0，即：

4k2a4kx0y04a2k2a2b2kx0y0b20.

22化简得：k2a22x02kx0y0b2y0202

∵点Mx0,y0在椭圆上，∴b2x02a2y02a2b2，方程（2）之判别式

- 2 -

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22214x0y04a2x0b2y024x02y024a2b2b2x02a2y02x02y020.

故方程（2）亦有相等二实根，且其根为：

x0y0b2x0y0b2x0y0b2x0k222222222ax0abbx0ay0ay0.则切线方程为：

xxyyb2x0yy02xx0.再化简即得：02021.

abay0x2y2【证明二】（导数法）对方程221两边取导数：

abb2x02x2yyb2x20y2k22abayay0.则切线方程为：

xxyyb2x0yy02xx0.再化简即得：02021.

abay0【评注】（1）两种证法的繁简相差多大，一看便知

（2）这个切线方程的实际意义很大.在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的.

（3）几何法——为解析法寻根朔源

减少解析计算的又一个重要手段，是在解题中充分运用平面几何知识.

x2y2【例6】（07.湖南文科.9题）设F1，F2分别是椭圆221（ab0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（cab为半焦距）的点，且|F1F2||F2P|，则椭圆的离心率是（ ）

511C．

22

D．

A．

31 2 B．

22Y

a2,3c，设右准线交x轴于H， 【解析】如图有Pc∵|F2P||F1F2a2P(,3c)c2c|2c,且PH3c，故PF2H60

，选D.

F1HOFXa212F2Hc，OH2ce2ec2222x2【例7】已知椭圆y21和圆xay1

4总有公共点，则实数a的取值范围是 （ ）

AR.B.4,4C.3,3D.2,2

Y1-2O-1- 3 -

x2【解析】如右图椭圆y21的中心在原点，

42C(a,0)X

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且长、短半轴分别为a=2，b=1；圆的圆心为C（a，0）且半径R=1.

xa2y21

显然，当圆C从椭圆左边与之相切右移到椭圆

右边与之相切时都有公共点.此时圆心的横坐标由-3增加到3，故a∈

3,3，选C.

在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面，一是恰当地运用平面几何知识及其推理功能，二是利用图形变换去进行数量的分析与计算.

（4）转移法——将生疏向熟知化归

做数学题如果题题都从最原始的地方起步，显然是劳神费力且违反数学原则的.不失时机地运用前此运算成果就成为数学思想的本质特点.而转移法正是这一思想的具体体现.

【例8】（06.全国一卷.20题）在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0,3)和F2(0,3)为焦点，离心率为

32的椭圆.设椭

圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B且向量OM=OA+OB.试求点M的轨迹方程

Y【分析】点P在已知轨迹（椭圆在第一象限的部分）上， 是主动点；点M在未知轨迹上，且随着点P的运动而运动，是 被动点.故本例是典型的国际已知轨迹求未知轨迹，适合用坐标 转移法解之.此外，过椭圆上一点P的切线方程，可以直接运用 例5的结论.

BM(x,y)P(x , y00)c3, 【解析】椭圆的半焦距c3，离心率ea2OAX长半轴a2，短半轴b=1.又椭圆的焦点在y轴上，故其

方程为：

y2x21. 4那么x0，y0x0，y0f0，2y02x014 设点P的坐标为

1

过点P的椭圆切线方程为：

y0yx0x142

在方程（2）中，令y=0，得x1414，有A，0；再令x0，得y，有B0，. x0y0x0y01414，00，， x0y0x0y0设点M的坐标为

x，y.由OM=OA+OBx，yxy1x01x014x，代入（1）：221. 4xyy04yy0- 4 -

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∵x0，，2，∴所求点M的轨迹方程是：01y00，141xf1，yf2. 22xy转移法求轨迹方程的基本步骤是：（1）在已知轨迹上任取一点M（x0，y0），并写出其满足的已知关系式；（2）设P（x，y）为待求轨迹上一点，并根据题设条件求出两个坐标的关系式；（3）用x，y的代数式分别表示x0，y0，代入（1）中的关系式化简即得.

（5）三角法——与解析法珠联璧合

xacos三角学的资源丰富，方法灵活.在解析几何解题中适当引入三角知识，优点多多.例如椭圆方程的三角形式是：，既将

ybsin点的坐标中的两个变量减少为一个，又可以利用三角的优势去解决解析几何中的疑难.

【例9】若P是椭圆

x2y21上的点，F1和F2是焦点，则kPF1PF2433，∴半焦距

的最大值和最小值分别是

【解析】椭圆的长、短半轴分别为a=2，b=c=1.焦点坐标分别为：F1（-1，0），F2（1，0）.设椭圆上一点为

P2cos,3sinPF1同理；

，那么

22cos13sin2cos24cos42cos.

PF22cos.于是

2 kPF1PF22cos2cos4cos故所求最大值为4，最小值是3.

【例10】如图1，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。（1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3， 使P1FP2YP2OFP3Y1图P2(x2,y2)P1(x1,y1)lP1XP2FP3P3FP1，证明

111为定值，并求此定值.

|FP1||FP2||FP3|【分析】本题选自07.重庆卷.22题，是压轴题. 难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径， 否则将陷入繁杂的计算而不得自拔.

有关的3条线段都是焦半径，企图用椭圆的 第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.正确 的解题途径是：（1）利用椭圆的第二定义；（2） 题中有3个相等的角度，应不失时机地引入三角 知识.

【解析】椭圆的半焦距c=3，右准线x = 12

,lH1X120°ΘO120°FP3(x3,y3),图2

a212,a212336,b2a2c227.

c- 5 -

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x2y211，其离心率e. 故椭圆方程为：

36272如图2设P1x1,y1,P2x2,y2,P3x3,y3为椭圆上符合条件的三点，令FP1r1,FP2r2,FP3r3.作P1H1⊥l于H1，令

PH11d1，

设

∠

P1Fx=

θ

则

∠

P2Fx=

θ

+120

°

∠. P3Fx=

120

°

-θ

.于

是

r1ed1112x2，而

x13r1cos,2r19r1cosr1同理：r292cos99,r32cos(120)2cos(120).于是

1111 2cos2cos(120)2cos(120)|FP|FP|FP91|2|3|126cos2cos120cos，故为定值. 93如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解法将更为简洁 圆锥曲线的极坐标方程是：ep1ecos.其中e是椭圆的离心率，p是相应焦点到准线的距离，θ是极径与极轴的夹角.

巧用定义求椭圆中四类最值问题

圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。

一、的最值

- 6 -

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若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求

例1. 已知椭圆求

内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，

的最小值。

- 7 -

的最小值。成青数学系列笔记 2010.4.5

分析：注意到式中的数值“”恰为

，则可由椭圆的第二定义知

等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为

。

- 8 -

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二、的最值

若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。

- 9 -

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例2. 已知椭圆解：如图1，设椭圆的右焦点为

内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求

，可知其坐标为（3，0）

- 10 -

的最大值与最小值。成青数学系列笔记 2010.4.5

由椭圆的第一定义得：

图1

- 11 -

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可知，当P为

的延长线与椭圆的交点时，

最大，最大值为- 12 -

，当P为

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最小，最小值为

。

- 13 -

的延长线与椭圆的交点时，

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故三、

的最大值为

的最值

- 14 -

，最小值为

。成青数学系列笔记 2010.4.5

若A为椭圆C外一定点，

d，求- 15 -

为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到

的最小值。的距离为

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例3. 已知椭圆

外一点A（5，6），

为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到

的距离为d，求- 16 -

的最小值。

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解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为

图2

- 17 -

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根据椭圆的第二定义有：

，即

- 18 -

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可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，故

四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值

的最小值为10。- 19 -

最小，最小值

。

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例4. 定长为

的线段AB的两个端点分别在椭圆

上移动，求AB的中点M到椭圆右准线

的最短距离。

- 20 -

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解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作

于B”，MM”⊥图3

- 21 -

于A”，BB”⊥

于M”

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则

当且仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为

。- 22 -

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评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，

是AB能过焦点的充要条件。

椭圆中减少运算量的主要方法

椭圆中减少运算量提高计算速度有多种方法，以下的四种主要方法比较常用，能够有效地减少运算量，希望同学们切实掌握。 一、追根溯源，回归定义

椭圆中许多性质都是由定义派生出来的，如果能够从其定义出发，挖掘它的性质，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则可以大大地减少运算量。

- 23 -

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例1. （全国高中数赛）给定A（-2，2），已知B是椭圆点，当取得最小值时，求B点坐标。- 24 -

上的动点，F是左焦

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分析：如果设点B的坐标

，再求

则计算量相当大，而如果利用椭圆的第二定义，把

转化为B点到左准线的距离就简单的多。

- 25 -

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解：由已知椭圆方程得：根据椭圆的第二定义得：

，左准线为

1，过B点作左准线的垂线，垂足为N。过A点作此准线的垂线，垂足为M。

- 26 -

。如图

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则

（当且仅当B点是线段AM与椭圆的交点时等号成立。

可解得B点的坐标是 二、充分运用平面几何性质

结合平面几何的知识解决椭圆中的有关问题，也是避免繁杂运算的有效途径之一。- 27 -

为定值）

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例2. 椭圆为其上的动点。当

为钝角时，点P的横坐标的取值范围是____________。- 28 -

P

的焦点为，点

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分析：用和焦半径公式

分运用平面几何性质则会得以简解。解：依题意

为钝角的充要条件

以及余弦定理解题，最后因计算量过大均可能造成繁解或错解。而充

- 29 -

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以原点为圆心，

为半径作圆，则

是圆的直径。

- 30 -

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若P点在圆外，则为钝角。

联立

为锐角；若P点在圆上，则

为直角；若P点在圆内，则

- 31 -

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消去得：

故即为所求。 三、利用图形的性质化繁为简

细观题意，察看图形特征，从中找出解题突破口，也可以避免大量的运算。

- 32 -

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例3. （四川高中数学竞赛）已知P点在圆

上移动，求- 33 -

上移动，Q点在椭圆

的最大值。

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分析：如图2，本题如能从图形出发，看到

的最大值，等于

图2

- 34 -

的最大值与圆的半径之和，则可避免大量的运算。成青数学系列笔记 2010.4.5

解：设

，则- 35 -

，即

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的最大值为

四、利用“点差法”，设而不求

与弦中点的有关问题，主要有三种题型：求平行弦的中点轨迹；求过定点的弦中点的轨迹；求被定点平分的弦所在直线的方程，都可用“点差法”减少运算量。

例4. 椭圆中，过点P（1，1）的弦AB恰被点P平分，求弦AB所在的直线方程。

解：设，则

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由<1>－<2>得：则直线AB的斜率为：

- 37 -

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故弦AB所在直线的方程为：

即

利用韦达定理、曲线系方程、建立恰当的坐标系、整体代换、三角换元等方法也能起到减少运算量、提高计算速度的作用，在此就不再赘述了。 椭圆

1已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=

10，求椭圆方程 2解 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由yx1mxny122 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,

Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,

∴

4(mnmn)1022(n1)2n3+1=0,∴m+n=2 ①又2(),将m+n=2,代入得m·n=② mn2mnmn4x23213313212

由①、②式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y=1或x+y=1

22222222x2y2设椭圆221ab0的左焦点为F1（2，0），左准线l1与x轴交ab2

于点N（3，0），过点N且倾斜角为30o的直线l交椭圆于A、B两点。

（I）求直线l和椭圆的方程；（II）求证：点F1（2，0）在以线段AB为直径的圆上；

（III）在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过点F1的所有

圆中，求面积最小的圆的半径长。

- 38 -

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a23（I）直线l：yx3由已知c2，33c解： 解得：a6，bac6422222x2y2∴椭圆方程为162

y l1 B A N -3 F1 O x

x23y260（II）解方程组3yx33122代入1，整理得：2x26x303

设Ax1，y1，Bx2，y2

则kF1A·kF1B则x1x23，x1·x232

1x13x23x1·x23x1x29y1y23·x12x22x12x223x1x22(x1x2)4

33(3)921332(3)4∴F1A⊥F1B，即∠AF1B90o∴点F1(2，0)在以线段AB为直径的圆上 2

（III）面积最小的圆的半径应是点F到直线l的距离，设为r

∴r3(2)03313231为所求2

x22，y2 （II）的解法二：F1A·F1Bx12，y1·x12x22y1y2

x1x22x1x24又x1x23，x1x23

14x1x23x1x29x1x23x1x27033

3o2∴F1A⊥F1B，即∠AF1B90∴点F12，0在以线段AB为直径的圆上）

是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足

x2y2已知F1、F2是椭圆221(ab0)的左、右焦点，A

ab，AF2F1F20，若椭圆的离心率等于OAOBO(O为坐标原点）

2. 2 （Ⅰ）求直线AB的方程； （Ⅱ）若ABF2的面积等于42，求椭圆的方程；

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（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，椭圆上是否存在点M使得MAB的面积等于8解： （Ⅰ）由OA3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

OBO知直线AB经过原点，又由AF2F1F20知AF2F1F2.

因为椭圆离心率等于

221,所以ca,b2a2，故 2222y2a2， 设A(c,yA),代入方程得yA椭圆方程可以写成x2211a,a)， a,所以A(222故直线AB的斜率k22，因此直线AB的方程为

y2x. 2 （Ⅱ）连接AF1、BF1，由椭圆的对称性可知SABF2SABF1AF1F2，

x2y211221. 所以2ca42,解得a16,b8,故椭圆方程为16822 （Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得

AB2OA2(22)22243,

假设在椭圆上存在点M使得MAB的面积等于813，设点M到直线AB的距离为d，则应有43d83，所以d4.

2设M所在直线方程为即

2x2y460与椭圆方程联立消去x得方程4y286y320

y226y80(26)2480故在椭圆上不存在点M使得MAB的面积等于83.

x2y24已知F1、F2是椭圆221(ab0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足OAOB0ab（O是坐标原点），

AF2F1F20.若椭圆的离心率等于

2，求椭圆的方程；

2. （1）求直线AB的方程； 2 （2）若三角形ABF2的面积等于4．解：（1）由OAOB0知，由直AB经过原点，

又由

AF2F1F20知AF2F1F2，因为椭圆的离心率等于

22，

所以c21a,b2a2，故椭圆方程x22y2a2 设A (x，y)，由AF2F1F20，知x = c， 22y1212a,A(a,a)， 故直线AB的斜率k. 2222∴A (c，y)，代入椭圆方程得

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因此直线AB的方程为

y2x. 2SABF1SAF1F2，

（2）连结AF1、BF1、AF2、BF2，由椭圆的对称性可知SABF22x2y21122a，解得a16,b1688，故椭圆的方程为1. 所以2ca42，又由c216822x2y25 已知椭圆221(ab0)，它的上下顶点分别是A、B，点M是椭圆上的动点（不与A、B重合），直线AM交直线y=2于

ab点N，且BMBN.（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若斜率为1的直线l交椭圆于P、Q两点，求证：OPOQ与向量a=（－3，1）共线（其中O为坐标原点）. ．解：（I）由题意，A（0，1），B（0，－1），设M（x0，y0），x0≠0. ∴则直线AM的方程为

yy01x1 x0y2,x由得N(0,2).y01y01yxx10BM(x0,y01),BN(x0,3)3分

y01BMBN,BMBN0,2x03(y01)0y012x02x3(y1)0 ①， 又∵M（x0，y0）在椭圆上，2y01 ②

a2020①、②联立并消去y0，得

23x0x20,a20x00,1 （II）解法一：设直线PQ方程为y=x+b.

320,即a3,2ax2y21. ∴椭圆方程为3- 41 -

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yxb,由x2得2y134x26bx3b2309分设p(x1,y1),Q(x2,y2),则x1,x2为方程的两根3x1x2b,23by1y2x1x22bb2b..10分223bbOPOQ(x1x2,y1y2)(b,)(3,1).222故OPOQ与a(3,1)共线.12分2x12x222y11①， y21②. 解法二：设P(x1,y1),Q(x2,y2),则332x12x22y12y20， ①－②，得

3

则KPQy1y2xx218分x1x23(x1y2)x1x21,即x1x23(y1y2).10分3(y1y2)

又KPQ1,OPOQ(x1x2,y1y2)(3(y1y2),y1y2)(y1y2)(3,1),11分故OPOQ与a(3,1)共线.12分x2y2426已知直线l:xy10与椭圆C:221(ab0)相交于A、B两点，且OAOB(,).（I）求椭圆C的离心

ab33率；

（II）若椭圆C的右焦点关于直线l的对称点在圆x解：（I）设

2y25上，求椭圆C的方程.

4242A(x1,y1),B(x2,y2).OAOB(,),x1x2,y1y2

3333

xy10,112212得()xx10. 由x2y2222bbb221,aba该方程的两根为x1,x2，由韦达定理，得x1

x24. a22b2

113a2b2c2a2

2b2

b2a2c2,a22a22c2，a22c2,e- 42 -

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（II）设椭圆的右焦点为F（c，0），F关于直线l的对称点为P(x0,y0)，

x0cy010,x01,22P在圆x2y25上1(1c)25 则解得y01c.y01,x0cx2y21. c3或1(舍)a2c18,bc9 故所求椭圆方程为12222

7已知定点A（－2，0），动点B是圆F （1）求动点P的轨迹方程； （2）直线

:(x2)2y2（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P。

y3x1交P点的轨迹于M，N两点，若P点的轨迹上存在点C，使OMONmOC,求实数m的值；

解：（1）由题意：∵|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8∴|PA|+|PF|=8>|AF|∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆

x2y22设方程为221(ab0)b12

abx2y2P点轨迹方程为1.............6分1612（2）设M(x1,y1)N(x2,y2)C(x0,y0)OM2a8,a4,a2b2c2224ONmOC

(x1x2,y1y2)m(x0,y0)x0x1x2yy2,y01mmy3x1由x2y2,得：15x283x44011612x1x283,15832y015m5mx2y2C在椭圆1上， 16123412216255m1225mx02y1y23(x1x2)2....................10分5m2115,m1515………………………………14分

x2y2x2y21的离心率互为倒数.（I）求椭圆的8已知椭圆221(ab0)的一个顶点为A（0，1），且它的离心率与双曲线3ab方程；（Ⅱ）过A点且斜率为k的直线与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，并且满足OM的值.

13OAOB，求k22- 43 -

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解：（Ⅰ）∵双曲线

x231233y21的离心率为∴椭圆的离心率为。 3332x2y2∵椭圆221(ab0)的一个顶点为A（0，1），∴b=1

aba213x22,a4,椭圆的方程为y21 224a（Ⅱ）过A点且斜率为k的直线的方程是y=kx+1，代入到椭圆方程中，消去y并整理得

(14k2)x28kx0 显然这个方程有两解。设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则可解得

x10,x28k,14k214k2y1kx111,y2kx2114k2

138k14k28k14k2(,) ,) (x,y)(0,1)即A（0，1），B(2214k214k214k214k243k134(13)k2x,y214k2(14k2)将E点的坐标代入到椭圆方程中，并去坟墓可得

48k2[(13)4k2(13)]24(14k2)2展开整理得k4方法二：

11,k 162（Ⅱ）过A点且斜率为k的直线的方程是y=kx+1，代入到椭圆方程中，消去y并整理得

(14k2)x28kx0 ①显然这个方程有两解。设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则

OM1313OAOB,(x,y)(x1,y1)(x2,y2)2222 11x(x13x2),y(y13y2)........................8分22131(x13x2)2(y13y2)23b2[(x123y12)3(x223y22)23x1x263y1y2]3b2 44411x1x23y1y20 x1x23(x11)(x21)0,即(13k2)x1x23k(x1x2)30②

228k. 又由①式知：x1x20,x1x2214k112,k 代入到②式得k162∵点M在C上，9 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，经过点(3,5)的直线l与向量（－2，

A、B两点，又

5）平行且通过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于

AF2FB. （1）求直线l的方程； （2）求椭圆C的方程.

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成青数学系列笔记 2010.4.5

（1）直线l过点(3,5)且与向量（－2，5）平行

y5(x1) 2则l方程为：x3y5化简为：

25225xy(x1)与椭圆221交于A（x1,y1),B(x2,y2) （2）设直线y2ab由

AF2BF，求得y12y2

2442y1代入b2x2a2y2a2b2中整理得(b2a2)y2byb2(1a2)0

555将x42b5y1y2y24b2a2由韦达定理可知：5b2(1a2)2y1y22y242ba25由①2/②知

32b2=（4b2+5a2）（a2－1）

22①………………9分

②a24x2y2 又ab=1，故可求得 因此所求椭圆方程为：,1 243b3x2y2a2与x轴相交于点A，且|OF|2|FA|，过点10已知椭圆221(ab0)的右焦点为F，短轴长22，直线l:xcabA的直线与椭圆相交于P、Q两点。 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若以PQ为直径的圆恰好经过原点，求直线PQ的方程。

解：（Ⅰ）由已知得

b2x2y22221 acb 解得 a6,b2,c2∴ 椭圆的方程为 622c2(ac)cyk(x3) 由方程组

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（3，0） 设直线PQ的方程为

yk(x3)2 xy2126得

(3k21)x218k2x27k260

(18k2)24(3k21)(27k26)12(23k2)0得 依题意

66k33

18k227k26,x1x2设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1x2 223k13k1- 45 -

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3k2y1y2k(x13)k(x23)k[x1x23(x1x2)9]2

3k12527k263k2566(x3) 220,解得 k(,) ∴直线PQ的方程为 y∵x1x2y1y20，533- 46 -

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3k13k1