中学数学“数系知识的形成和发展过程”

【摘 要】数是最古老的数学概念之一。在长达数千年的漫长岁月中，人们对数的认识得到了不断的深化。作为一名一线的基层数学教师，我对数系的扩充及其基本理论，特别是数系知识的形成和发展过程做了深入的研究，以下是我的几点理解和认识。 【关键词】数系扩张；数系基本理论；复数系 1.“数系的扩充与复数的引入”的思考背景

2003年4月，由中华人民共和国教育部制定的《普通高中数学课程标准（实验稿）》由人民教育出版社正式出版、发行。新《标准》中将高中数学课程分为必修课与选修课两类。必修课程由5个模块组成；选修系列有四个系列，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干个专题组成；每个模块2学分（36学时），每个专题1学分（18学时），每2个专题可组成1个模块。选修课程内容本着“满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础”的原则来确定，系列3和系列4则是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认知。

“数系的扩充与复数的引入”同时最为高中数学新课程系列1和系列2的内容之一，其必要性不言而喻。目前全国已有部分省（区）

相继进入了课程试验，但由于在试验阶段，关于此部分内容可供参考的教学资料不多，甚至具体课程内容的呈现目前也没有可以参考的教材。于是，对这部分课程内容的设置及教学进行研究有其重要的意义。

2.研究的主要内容

首先对数系扩充的历史过程进行综述，其次对数系的基本理论教学概述，再次对复数系进一步扩充进行研究，使《数系的扩充与复数的引入》专题所涉及内容的广度加大，深度加深。最后对新课标下《数系的扩充与复数的引入》专题的教学提供一些建议。 3.研究的方法及意义

作为一名老教师，我深知，要给学生一滴水，教师必须要有一桶水。只有不断提高自己的专业水平，扎实专业功底，才能以不变应万变。具体说，只有通过不断的学习和深刻的领悟，才能更好地适应将来新课程中创造性教学的要求。在本文中我主要采用文献研究法、理论探讨法对这部分内容谈几点认识。 4.数系的扩充

数，是数学的最基本的概念，对数的研究始终是数学的基本内容。人们对数的认识，可以追溯到五千年以前的人类早期，在人类对数的认识和研究过程中，数的范围逐步扩大，数的内涵不断丰富，然而，对于数的系统作全面的、理论上的总结，还只是近一百多年的事。

凡是学过数学得人，对数总以为是了解的，但细究一下，许多人又

模糊起来，例如：“3+2=5”，为什么？数的加法、乘法是怎样扩充到整数的？又是怎样扩充到有理数的？数的每次扩充应遵守什么原则？复数能否进一步扩充？各种数有何共性和个性？为什么复数不能规定大小？等等。这些问题对于一般人来说，似乎无关大局，但对于中学数学教师来说，这是一定要弄明白的。 5.数的两种扩充

在科学发展史上，数的概念经历了漫长的演变和发展过程。数系的扩充有两种不同的体系，一种是数的自然扩充过程，如图1所示，即数系发展的自然的历史的体系，它反映了人类对数的认识的历史发展过程；另一种是数的逻辑扩充过程，如图2所示，即数系发展所经历的理论的、逻辑的体系，它是策墨罗冯.诺伊曼、皮亚诺、高斯等数学家构造的一种逻辑体系，其中综合反映了现代数学中许多思想方法。

6.数系扩充的原则和方法

根据数扩充的体系不同，数系扩充的原则也不同。自然扩充的原则是：为了满足数的运算需要，为了使减法通行，把负整数和零加入到数的系列，使正整数扩充到整数；为了使除法通行，把分数加入到数的行列，使整数扩充到有理数；为了使开方等运算通行，把无理数加入到数的行列，使有理数扩充到实数；为了使诸如方程χ2+1=0有解，又把虚数单位等加入到数的行列，使实数扩充到复数。 但是，数的这种自然扩充是自发的、局部的，甚至是偶然的。所以当一种新数出现后，往往在很长时间里不被人们理解和接受，甚至

被当作怪物，这从“无理数”“虚数”等名称上，也可以看出当时发明这些数的人们的矛盾心情。而且，自然扩充也不能将所有的数扩充进来，例如大多数超越数至今尚未露过面。正因为如此，19世纪以前，整个数的理论体系还没有建立起来。直至19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过。后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构。从19世纪中叶起，经过皮亚诺、康托尔、戴德金、外尔斯特拉斯等数学家的努力，完成了建立整个数学系的逻辑工作。

数的逻辑扩充原则是，从数学系统的观点出发，每次扩充时，原有数系作为新数系的子系统，具体地说，有以下三条：

（1）新数系较原有数系在保证运算通行方面，功能更加完备； （2）新数系的元素，是以原有数系的元素为基础，以某种方式构作而成；

（3）原有数系整个地“嵌入”新数系，作为其子系统。 归纳起来，科学的数集扩充通常采用两种方法：一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的数集中去；二是构造法，即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的。

中、小学数学教学中，为了适应学生的年龄特征和接受能力，关于数系扩充，主要是渗透近代数学观点，采用添加元素并强调运算的方法来进行的，其扩充过程是：

自然数集（添零）→扩大的自然数集（添正分数）→算术数集（添负有理数）→有理数集（添无理数）→实数集（添虚数）→复数集 不论是用添加元素还是构造法，由数集a扩充到数集b，都应遵循以下各个原则：

（1）a是b的真子集，即a b。

（2）在数集b里定义的一些关系和运算，对于作为b的真子集a的元素，这样的定义与先前a中原有的关系和运算的定义应是无矛盾的，并需保持它们在数集a中的一些主要性质。

（3）数集a中不是总能实施的某种运算，在数集b中总能实施。 （4）数集a应当是数集b的所有具有上述三个性质的扩展中的唯一最小扩展（在同构观点下）。

逻辑扩充的具体做法有多种，我们选择一种从理论上来说比较方便的方法。

第一步，从理论上提出对扩充后数系的功能要求，新数系是具备这种功能的最小数系，例如，将自然数半裙扩充到包含n最小整环z。 第二步，用原数系元素作基础，构作新数，建立新数系。例如，将自然数（ɑ，b）作为新数——整数，组成新数系zo={（ɑ，b）︱ɑ，b∈n}

第三步，将原有数系“嵌入”新数系。例如，将zo分成两不交子集之并：zo=n1+n2，其中n1与n同构。记z=n∪n2。 第四步，证明新数系满足所提出的各项扩充要求。

总之，数系扩充的历史发展过程，呈现出数学知识的形成和发展趋

势，教师只有不断的进行研究和探索，对自身知识体系自觉的进行整理和重构，才能形成科学合理的知识体系。