高中数学高考总复习离散型随机变量的期望方差及正态分布习题及详解

高中数学离散型随机变量的期望方差及正态分布习题及详解

一、选择题

1．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

A．100 B．200 C．300 D．400 2．设随机变量ξ的分布列如下：

ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝1

3，则D(ξ)＝( )

A．4129 B．－9 C．3 D．59

3．某区于2010年元月对全区高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布N(450,1302)，若ξ在(0,280)内取值的概率为0.107，则该区1400名考生中总分为620分以上的学生大约有(结果四舍五入)( )

A．100人 B．125人 C．150人 D．200人 4．下列判断错误的是( )

A．在1000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，有关部门按照随机抽取的方式确定后两位数字是09号码为中奖号码，这是用系统抽样方法确定中奖号码的；

B．某单位有160名职工，其中业务人员120名，管理人员24名，后勤人员16名．要从中抽取容量为20的要本，用分层抽样的方法抽取样本；

C．在正常条件下电子管的使用寿命、零件的尺寸，在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积的产量等一般都服从正态分布；

D．抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5，则某人抛掷10次硬币，一定有5次出现“正面向上”． 5．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为6

7，则口袋中白球的个数为( )

A．3 B．4 C．5 D．2

6．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )

A．39元 B．37元 C．20元 D．100

3

元

7．某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球(球的大小相同)，参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．( )

A．450元 B．900元 C．600元 D．675元

8．小明每次射击的命中率都为p，他连续射击n次，各次是否命中相互，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p(ξ>1)＝( )

A．25592477256 B．256 C．256 D．

9．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为( )

A．13 B．12 C．1112 D．6

10．已知三个正态分布密度函数φ)＝1x－μi2i(x2πσe－i

2σi2(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则( )

A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 二、填空题

11．如图，A、B两点间有5条线并联，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2,3,4,3,2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为ξ.则信息总量ξ的数学期望为________．

12．产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数X1、X2的分布列分别如下：

X1 0 1 2 3 P 0.4 0.4 0.1 0.1

X2 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2

两台机床中，较好的是________，这台机床较好的理由是________． 13．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为

5

.现甲、乙两人从袋中轮流取12

球，甲先取，乙后取，然后甲再取„，每次取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．

（1）袋中原有白球的个数为________． （2）随机变量X的数学期望E(X)＝________.

14．如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，且D(ξ)＝2，则E(pξ－D(ξ))＝________. 三、解答题

15．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课程互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．

（1）记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率； （2）求ξ的分布列和数学期望．

16．高二下学期，学校计划为同学们提供A、B、C、D四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件，不允许多选，也不允许不选)．

（1）求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率； （2）求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；

（3）求3位同学中，选择选修课程A的人数ξ的分布列与数学期望．

17．设两球队A、B进行友谊比赛，在每局比赛中A队获胜的概率都是p(0≤p≤1)． 2

（1）若比赛6局，且p＝，求其中A队至多获胜4局的概率是多少？

3（2）若比赛6局，求A队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？

（3）若采用“五局三胜”制，求A队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望．

参

1. [解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000，0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.

1

2. [解析] 由条件a，b，c成等差数列知，2b＝a＋c，由分布列的性质知a＋b＋c＝1，又E(ξ)＝－a＋c＝，

310．[答案] D

[解析] 正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.

解得a＝16，b＝13，c＝112，∴D(ξ)＝6×

－1－132＋130－132＋121－132＝59. 3. [解析] 由条件知，P(ξ>620)＝P(ξ<280)＝0.107,1400×0.107≈150. 4.[答案] D 5．[答案] A

[解析] 设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， ＝0)＝C7－x27－x6－xx·7－xx7－xCx2P(ξxx－1

C2＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝7221C72＝42，

742C∴0×7－x6－xx7－xxx－16

42＋1×21＋2×42＝7，∴x＝3.

6. [解析] ξ的分布列为

ξ 50 30 －20 p 0.6 0.3 0.1 ∴E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37(元)，故选B. 7.[解析] 摸到数字0的概率为14，再摸一次，故得500元、400元、300元、0元的概率分别为111

4×4＝16，故分布列为

ξ 1000 800 600 500 400 300 0 P 111114 4 4 16 111616 16 ∴E(ξ)＝1000×111114＋800×4＋600×4＋500×1116＋400×16＋300×16＋0×16＝675.

8. [解析] 由条件知ξ～B(n，P)，

∵Eξ＝4，，∴np＝4，解之得，p＝1

，nDξ＝2 np1－p＝2

2＝8，

∴P(ξ＝0)＝C180×20×128＝128，P(ξ＝1)＝C8

1×121×127＝125， ∴P(ξ>1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－128－125＝247

256. 9. [解析] 由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝113(3a)·b≤3·3a＋b22＝111112，等号在3a＝b＝2，即a＝6，b＝2

时成立．

11. [解析] 由题意得，ξ的可能取值为7,8,9,10. ∵P(ξ＝7)＝C21C22C21C22＋C22C113C＝1

，P(ξ＝8)＝53＝10，

535CP(ξ＝9)＝C21C21C112C22C111

C3＝5，P(ξ＝10)＝C53＝10，

5∴ξ的分布列为：

ξ 7 8 9 10 P 1 321510 5 10 E(ξ)＝15×7＋3214210×8＋5×9＋10×10＝5.

12.[答案] Ⅱ 因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2) 13．[答案] (1)6 (2)107

设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为Cn2[解析] (1)5

C2＝12，

9nn－1即2＝5，化简得n29×812－n－30＝0.

2

解得n＝6或n＝－5(舍去)．故袋中原有白球的个数为6. (2)由题意，X的可能取值为1,2,3,4.

P(X＝1)＝62

3×613×2×613×2×1×619＝3；P(X＝2)＝9×8＝4；P(X＝3)＝9×8×7＝14；P(X＝4)＝9×8×7×6＝84.

所以X的概率分布列为：

X 1 2 3 4 P 21113 4 14 84 所求数学期望E(X)＝1×2111103＋2×4＋3×14＋4×84＝7.

14．[答案] 0

[解析] ∵ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，∴np＝4，

又∵D(ξ)＝2，∴np(1－p)＝2，∴p＝1

2，

∴E(pξ－D(ξ))＝E(11

2ξ－2)＝2

E(ξ)－2＝0.

15．[解析] 设该学生选修甲、乙、丙的概率分别是x，y，z， x1－y1－z＝0.08由题意有

xy1－z＝0.12

1－1－x1－y1－z＝0.88

，

x＝0.4解得

y＝0.6

z＝0.5

.

(1)∵函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，∴ξ＝0. ξ＝0表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z) ＝0.4×0.6×0.5＋0.12＝0.24. (2)依题意ξ＝0,2，则ξ的分布列为

ξ 0 2 P 0.24 0.76 ∴E(ξ)＝0×0.24＋2×0.76＝1.52.

16．[解析] (1)设3位同学中，从4门课中选3门课选修为事件M，则P(M)＝A433

43＝8

.

2

2

2

(2)设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为事件N，则P(N)＝C4C3A29

43＝16. (3)由题意，ξ的取值为0、1、2、3.

则P(ξ＝0)＝3327

C31×3×32743＝，P(ξ＝1)＝43＝，

P(ξ＝2)＝C32×3911

43＝，P(ξ＝3)＝43＝.

∴ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3 P 27 2791 ∴E(ξ)＝0×2727913＋1×＋2×＋3×＝4

. 17．[解析] (1)设“比赛6局，A队至多获胜4局”为事件A， 则P(A)＝1－[P6(5)＋P6(6)]

＝1－C652351－23＋C23＝1－256729＝473666729. ∴A队至多获胜4局的概率为473

729

. (2)设“若比赛6局，A队恰好获胜3局”为事件B，则P(B)＝C63p3(1－p)3. 当p＝0或p＝1时，显然有P(B)＝0.

当0p＋1－p22

3＝20·126＝516 当且仅当p＝1－p，即p＝1

2

时取等号．

故A队恰好获胜3局的概率的最大值是5

16

. (3)若采用“五局三胜”制，A队获胜时的比赛局数ξ＝3,4,5. P(ξ＝3)＝p3，

P(ξ＝4)＝C32p3(1－p)＝3p3(1－p) P(ξ＝5)＝C42p3(1－p)2＝6p3(1－p)2， 所以ξ的分布列为：

ξ 3 4 5 P p3 3p3(1－p) 6p3(1－p)2 E(ξ)＝3p3(10p2－24p＋15)． [点评] 本题第(3)问容易出错，“五局三胜制”不一定比满五局，不是“五局中胜三局”．A队获胜包括：

比赛三局，A队全胜；比赛四局，A队前三局中胜两局，第四局胜；比赛五局，前四局中胜两局，第五局胜，共三种情况．