第1讲 功与功率
课 程 标 准
了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义．
素 养 目 标
物理观念：理解功和功率的概念．
科学思维：(1)会对功、功率进行分析和计算；(2)知道变力做功的求法，会解决机车启动的两种模型问题．
必备知识·自主落实
一、功
1．做功的两个要素缺一不可 (1)作用在物体上的________. (2)物体在________上发生位移． 2．公式W＝Fl cos α
α是力与________方向之间的夹角，l为物体的位移． 3．功的正负功是标量，但有正、负
(1)当0≤α<2时，W>0，力对物体做________. (2)当α＝2时，W＝0，力对物体________.
(3)当<α≤π时，W<0，力对物体做________.或者说物体________这个力做功．
2π
ππ
二、功率
1．定义：功与完成这些功所用________之比． 2．物理意义：描述力对物体做功的________. 3．公式： 比值定义法
(1)P＝t，P描述时间t内力对物体做功的________.
(2)P＝Fv机车启动类问题中F指牵引力 ①v为平均速度，则P为________功率． ②v为瞬时速度，则P为________功率．
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解． 4．额定功率与实际功率：
(1)额定功率：动力机械可以长时间正常工作的________功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求________或等于额定功率．实际功率如果大于额定功率容易将机器损坏．
W
走进生活
如图所示，“复兴号”高速列车正在平直轨道上匀速运行．
(1)“复兴号”高速列车运行的牵引力大小等于其阻力大小．( ) (2)“复兴号”高速列车运行的速度越大，其实际功率越大．( )
(3)若“复兴号”高速列车以恒定功率出站时，其加速度是不变的．( ) (4)由P＝Fv可知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比．( ) (5)由公式P＝Fv只可以求平均功率，不可以求瞬时功率．( )
关键能力·精准突破
考点一 恒力做功的分析和计算
1．是否做功及做功正负的判断
2．计算功的方法
(1)恒力做的功，直接用W＝Fl cos α计算． (2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功． 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功． 方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1.
针 对 训 练
1.如图所示，用电梯将两箱相同的货物从一楼运送到二楼，其中图甲是用扶梯台式电梯运送，图乙是用履带式自动电梯运送，假设两种情况下电梯都是匀速地运送货物，下列说法正确的是( )
A．两种情况下电梯对货物的支持力都对货物做正功 B．图乙中电梯对货物的支持力对货物做正功
C.图甲中电梯对货物的支持力对货物不做功 D．图乙中电梯对货物的支持力对货物不做功
2．如图所示，水平路面上有一辆质量为m0的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( )
A. 人对车的推力F做的功为FL B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L 3．(多选)质量为m＝2 kg的物体沿水平面向右做直线运动，t＝0时刻受到一个水平向
2
左的恒力F，如图甲所示，取水平向右为正方向，此物体的v－t图像如图乙所示，g取10 m/s，则( )
A．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5 B．10 s内恒力F对物体做功102 J
C．10 s末物体在计时起点位置左侧2 m处 D．10 s内物体克服摩擦力做功34 J
考点二 功率的分析和计算
求功率的方法：
考向1 功率的分析和计算
例1 如图所示，质量m＝10 kg的木箱放在粗糙水平面上，箱子与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.一小孩用40 N的水平力F推动木箱从静止开始运动，使木箱发生x＝4 m的位
移．求该过程中：(取g＝10 m/s)
(1)小孩推力做的功； (2)小孩推力的平均功率；
(3)木箱位移为4 m时推力的瞬时功率． [试答]
考向2 结合图像考查功和功率问题
例2[2023·重庆主城四区高一下期末]如图甲所示为一位同学在跳绳，某科学研究小组利用传感器记录了该同学在原地的跳绳过程，离开地面后竖直方向上的v－t图像如图乙所示．已知t0和该同学的质量m以及起跳速度v0，不计阻力，下列关于该同学跳绳过程分析正确的是( )
2
A．该同学重心能上升的最大高度为10t0v0 B．上升过程克服重力做功的平均功率为
25𝑚𝑣0
3
3𝑡0
C.完成100次跳绳，该同学的腾空时间为40t0
2
D．每完成一次跳绳，地面支持力对这位同学做的功为mv0
21
[解题心得]
针 对 训 练
4.[2022·广东卷](多选)如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒
定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶．已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取102，不计sm
空气阻力．下列说法正确的有( )
A．从M到N，小车牵引力大小为40 N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
4
C．从P到Q，小车重力势能增加1×10 J D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
5．(多选)质量为4 kg的物体，放在动摩擦因数为μ＝0.1的水平面上，在水平拉力F的作用下由静止开始运动，拉力做的功W和物体发生的位移s之间的关系如图所示，重力加
2
速度g＝10 m/s，在0～9 m的过程中，下列说法中正确的是( )
A．物体先做匀加速运动，然后做匀速运动 B．拉力F的平均功率为13.5 W C．拉力F的最大瞬时功率为30 W D．摩擦力做功为36 J
考点三 变力做功的计算方法 方法 以例说法 应用动能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgl(1－cos θ)＝0，得WF＝mgl(1－cos θ) 微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 平均力法 弹簧由伸长量x1被继续拉至伸长量x2的过程中，克服弹力做功W＝kx1+kx22·(x2－x1) 图像法 一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，F － x图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F_〖0〗 x_〖0〗〗
针 对 训 练
6.[2021·山东卷]如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连．木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A.2𝜋𝐿 C.
2𝑚𝑣02𝑚𝑣0
B．4𝜋𝐿 D．
2𝑚𝑣0
2𝑚𝑣0
8𝜋𝐿
16𝜋𝐿
7．如图甲所示，在光滑水平桌面内，固定有光滑轨道ABC，其中半圆轨道BC与直轨道
AB相切于B点，物体受到与AB平行的水平拉力F，从静止开始运动，拉力F的大小满足的关系如图乙所示(以A为坐标原点，拉力F从A指向B为正方向)．若m＝1 kg，AB＝4 m，
2
半圆轨道的半径R＝1.5 m，重力加速度g取10 m/s.则下列说法中正确的是( )
A.拉力F从A到B做功为50 J
B．物体从B到C过程中，所受的合外力为0 C．物体能够到达C点，且速度大小为2√5 m/s D．物体能够到达C点，且速度大小为2√15 m/s
素养提升 机车启动问题 模型1以恒定功率启动
典例1 某电动汽车的生产厂家为了测试电动汽车的性能，司机驾驶一辆汽车以恒定的功率P保持速度v0做匀速直线运动；t＝0时刻司机继续踩下油门，使电动汽车的功率立即变为原来的2倍，且此后的过程保持该功率不变．假设整个过程中电动汽车始终沿直线运动，阻力恒定．通过速度传感器描绘了t＝0时刻后汽车的v－t图像，如图所示，图中的坐标值均为已知量．则下列说法正确的是( )
A．踩下油门后的瞬间，电动汽车的加速度大小为
2Pmv0
B．踩下油门瞬间的牵引力与t1时刻后牵引力大小之比为1：1 C．0～t1时间内，电动汽车克服阻力所做的功为2𝑃𝑡1−D．0～t1时间内，电动汽车的位移大小为2𝑣0𝑡1−
33𝑚𝑣0
23𝑚𝑣0
2
2𝑃
[解题心得]
模型2以恒定加速度启动
典例2[2023·上海交大附中模拟](多选)2022年6月5日，超大型塔式起重机XGTl5000－600S，成功下线交付(如图甲)．该起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m的物体，其a－t图像如图乙所示，t1～t2时间内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，则以下说法正确的是( )
A．该起重机的额定功率为ma20t1
B．该起重机的额定功率为(mg＋ma0)a0t1
C．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1：2(t2－t1) D．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1：2t2
[解题心得]
针 对 训 练
8.[2023·湖南长沙一中模拟改编]2022年5月30日，“92号汽油跑步进入9元时代”冲上微博热搜，许多车主纷纷表示顶不住油价而迫切想买电动车代步．已知某品牌纯电动汽车整车质量(含驾驶员)约1 200 kg，高性能版的驱动电机最大功率120 kW，峰值扭矩为290 N·m，驱动形式为前车驱动，NEDC综合续航里程430 km.若该电动汽车在平直公路上行驶受
3
到的阻力大小恒为4×10N，则下列说法正确的是( )
A．汽车的最大速度为20 m/s
B．汽车上坡时换低速挡行驶，是为了使汽车获得较大的牵引力
2
C．汽车以2 m/s的加速度匀加速启动，启动后第2 s末时发动机的实际功率是32 kW D．若汽车以最大功率启动到速度达到最大的过程中，平均速度等于15 m/s
9．(多选)额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图所示．两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶，从t2和t4时刻开始牵引力均视为不变，若两车行驶时所受的阻力大小与重力成正比，且比例系数相同，则( )
A．甲车的总重比乙车大 B．甲车比乙车先开始运动
C．甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同 D．甲车在t2时刻和乙车在t4时刻的速率相同
第六章 机械能守恒定律
第1讲 功与功率 必备知识·自主落实
一、
1．(1)力 (2)力的方向 2．位移
3．(1)正功 (2)不做功 (3)负功 克服 二、 1．时间 2．快慢
3．(1)快慢 (2)①平均 ②瞬时 4．(1)最大 (1)小于 走进生活
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
关键能力·精准突破
1．解析：在题图甲中，货物随电梯匀速上升时，货物受到的支持力竖直向上，与货物位移方向的夹角小于90°，故此种情况下支持力对货物做正功，选项C错误；题图乙中，货物受到的支持力与电梯接触面垂直，此时货物受到的支持力与货物位移方向垂直，故此种情况下支持力对货物不做功，故选项A、B错误，D正确．
答案：D
2．解析：根据功的公式可知，人对车的推力做功W＝FL，故A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的作用力为Fx＝ma，由牛顿第三定律可知人对车的作用力为－ma，人对车做功W′＝－maL，故B错误；人在水平方向受到的合力为ma，竖直方向上车对人还有支持力，故车对人的作用力为F车＝√(ma)2+(mg)2＝m√a2+g2，故C错误；对人由牛顿第二定律可得Ff－F′＝ma，车对人的推力F′与F大小相等，则Ff＝ma＋F，车对人的摩擦力做功为W″＝FfL＝(F＋ma)L，故D错误．
答案：A
3．解析：设物体向右做匀减速直线运动的加速度大小为a1，则由vt图像得加速度大
2
小a1＝2 m/s，方向与初速度方向相反，设物体向左做匀加速直线运动的加速度为a2，则由
2
vt图像得加速度大小a2＝1 m/s，方向与初速度方向相反，根据牛顿第二定律，得F＋μmg＝ma1，F－μmg＝ma2，解得F＝3 N，μ＝0.05，故A错误；根据vt图像与横轴所围成的面积表示位移，得x＝×4×8 m－×6×6 m＝－2 m，负号表示物体在起点的左侧，则10 s
2
2
1
1
内恒力F对物体做功为W＝Fx＝3×2 J＝6 J，故B错误，C正确； 10 s内物体克服摩擦力做功为Wf＝Ffs＝μmg·s＝0.05×2×10×(×4×8+×6×6)J＝34 J，故D正确．
2
2
1
1
答案：CD
例1 解析：(1)小孩推力做的功W＝Fx 代入数据解得W＝160 J.
(2)在水平推力作用下，木箱从静止开始做匀加速直线运动 根据牛顿第二定律有F－μmg＝ma 由运动学公式有x＝at
21
2
取立并代入数据解得运动时间t＝2 s 小孩推力的平均功率为P＝＝80 W.
tW
(3)木箱位移为4 m时的瞬时速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s 所以瞬时功率P＝Fv＝40×4 W＝160 W. 答案：(1)160 J (2)80 W (3)160 W
例2 解析：设一次跳绳过程，上升时间为t1，则有t1＝
v
0.6t02
＝0.3t0，根据公式v0＝gt1
可得g＝t0，由图像中0～0.3t0时间内面积表示该段时间内位移，可知该同学重心能上升的
1
最大高度为h＝2×0.3t0×v0＝20v0t0，故A错误；完成一次跳绳，上升过程克服重力做功为
13
WG＝mgh，又因为g＝t，h＝20v0t0，则其平均功率̅P＝＝
t
1
1
v0
3
WG
mg·v0t0
0.3t0
320
＝
25𝑚𝑣0
3𝑡0
，故B正确；完成
100次跳绳，设该同学的腾空时间为t2，则有t2＝100×0.6t0＝60t0，故C错误；该同学受
到支持力的作用点没有发生位移，所以跳绳过程中，地面支持力没有做功，故D错误．
答案：B
4．解析：从M到N，由P1＝F1v1可得小车牵引力F1＝1＝v1P
2005
N＝40 N，A正确．从M到
N，小车匀速行驶，牵引力等于摩擦力，可得摩擦力f1＝F1＝40 N，小车克服摩擦力做的功Wf1＝f1·MN＝40×20 J＝800 J，B正确．从P到Q，由P2＝F2v2可得小车牵引力F2＝2＝
v
2
P5702
N
＝285 N，从P到Q，小车匀速行驶，小车牵引力F2＝f2＋mg sin 30°，解得f2＝F2－mg sin 30°＝285 N－50×10×2 N＝35 N；从P到Q，小车克服摩擦力做的功Wf2＝f2·PQ＝35×20 J＝700 J，D正确．从P到Q，小车上升的高度h＝PQ sin 30°＝20×0.5 m＝10 m，小车重力势能的增加量ΔEp＝mgh＝50×10×10 J＝5 000 J，C错误．
1
答案：ABD
5．解析：由题图知，0～3 m内，拉力的大小F1＝N＝10 N，3～9 m内，拉力的大小
330
F2＝
54−306
N＝4 N，摩擦力大小为f＝μmg＝0.1×40 N＝4 N，故物体先做匀加速运动后做
F1−fm
匀速运动，A正确； 0～9 m内，拉力做功为54 J，匀加速运动过程的加速度a＝
2
m/s，由x1＝2at1得，匀加速运动过程的时间t1＝ √
2
＝1.5
1
2x1a
＝2 s，匀加速运动的末速度为v＝
W
1+t2
at1＝3 m/s，匀速运动过程的时间t2＝v2＝2 s，则拉力的平均功率为P＝t
x
＝4 s＝13.5 W，
54 J
B正确；拉力的最大瞬时功率为P＝F1v＝10×3 W＝30 W，C正确；摩擦力做功为Wf＝－fs＝－36 J，D错误．
答案：ABC
6．解析：木块做圆周运动过程中，只有摩擦力做功且做功与路径有关，根据动能定理有－f·2πL＝0
答案：B
7．解析：Fx图线与横坐标轴所围面积表示功，则拉力F从A到B做功为W＝×2×40
21
𝑚𝑣02
−2𝑚𝑣0，可得摩擦力的大小𝑓＝4𝜋𝐿，B1
2
项正确．
J－10×1 J＝30 J，故A错误；
物体从B到C过程中，做圆周运动，合外力不为0，故B错误；
2
从A到B由动能定理有W＝2mvB
1
解得vB＝2√15 m/s 由于光滑轨道ABC在水平面内，则物体从B到C做匀速圆周运动，物体能够到达C点，且速度大小为2√15 m/s，故C错误，D正确．
答案：D
典例1 解析：电动汽车匀速行驶时，有阻力f＝v，踩下油门后的瞬间，电动汽车的0
P
牵引力为F＝，根据牛顿第二定律得，电动汽车的加速度大小a＝
v0
2PF−fm
＝
2PP
−v0v0
m
＝
Pmv0
，A错误；
由图像可知，t1时刻后电动汽车开始做匀速直线运动，则电动汽车的牵引力与所受的阻力相
等，故踩下油门瞬间的牵引力与t1时刻后牵引力大小之比为F∶f＝2∶1，B错误；0～t1时间内，电动汽车保持功率2P不变，牵引力为变力，由动能定理有2Pt1－W＝𝑚(2𝑣0)2−
2
1
2𝑚𝑣，解得𝑊＝2𝑃𝑡102
1
−
23𝑚𝑣0
2
，又W＝fx，解得0～t1时间内，电动汽车的位移大小为x＝
2𝑣0𝑡1−
33𝑚𝑣0
2𝑃
，C、D正确．
答案：CD
典例2 解析：0～t1时间内，物体做匀加速直线运动，牵引力不变，功率增大，当t＝t1时，根据牛顿第二定律可得F－mg＝ma0，此时功率达到额定功率，且P额＝Fv1，又v1＝a0t1，联立解得起重机的额定功率为P额＝(mg＋ma0)a0t1，故A错误，B正确；0～t1时间内
牵引力做的功W1＝
P额t12
，t1～t2时间内牵引力做的功W2＝P额(t2－t1)，则在0～t1和t1～t2时
间内牵引力做的功之比为W1∶W2＝t1∶2(t2－t1)，故C正确，D错误．
答案：BC
8．解析：无论汽车以何种方式启动，Pmax＝Ffvm总成立，因此汽车的最大速度vm＝
1.2×1054×103PmaxFf
＝
m/s＝30 m/s，A错误；根据瞬时功率P＝Fv，可知汽车上坡时，司机一般都将变速挡
2
换到低速挡位上，使汽车获得较大的牵引力，B正确；汽车以2 m/s的加速度匀加速启动，
3
启动后第2 s末的速度为v＝at＝4 m/s，此时汽车牵引力大小为F＝ma＋Ff＝1.2×10×2 N
33
＋4×10N＝6.4×10N，此时功率为P＝Fv＝25.6 kW，C错误；若汽车以最大功率启动到速度达到最大(30 m/s)的过程中，根据恒定功率启动的vt图像可知，平均速度大于15 m/s，D错误．
答案：B
9．解析：根据题述，可知两车额定功率P相同，匀速运动后牵引力大小等于阻力，即F＝Ff＝kmg，根据甲车t2时刻后和乙车t4时刻后牵引力不变，且甲车牵引力大于乙车，可知甲车的总重比乙车大，A正确；如图所示，甲车在A点所对应的时刻牵引力与阻力大小相等，所以甲车从这个时刻开始运动，乙车在B点所对应的时刻牵引力与阻力大小相等，乙车从这个时刻开始运动，所以甲车比乙车先开始运动，B正确；两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶，这两个时刻，两车的牵引力等大，由P＝Fv可知，甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同，C正确；t2时刻甲车达到最大速度，t4时刻乙车达到最大速度，根据汽车的额定功率P＝Ffvm＝kmgvm，甲车的总重比乙车大，可知甲车在t2时刻的速率小于乙车在t4时刻的速率，D错误．
答案：ABC
