概率论与数理统计教案

上课时间 第一周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 概率论基本概念 教学目的 使学生掌握随机试验、样本空间、随即事件、频率、概率及古典概型等概念 教学方法 讲授 重点、难点 基本概念的掌握与理解 板书或课件时间分配 教学内容 版面设计 在大量重复试验或观察中所呈现出的固有 规律性就是我们所说的统计规律性。 在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。 1.1随机试验 具有如下特点的试验称为随机试验： ①可以在相同的条件下重复地进行。 ②每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。 ③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 1.2样本空间、随机事件

（1）样本空间 我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本空间的元素即E的每个结果，称为样本点。 （2）随机事件 我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件。 空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。 （3）事件间的关系与事件的运算 设试验E的样本空间为S，而A，B，A（kk=1，2，„„）是S的子集： ①若AB，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B发生。

若AB且BA，即A=B，则称事件A与事件B相等。 ②事件AB{x|xA xB}称为事件A与事件B的和事件。 当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件AB发生。 ③事件AB{x|xA xB}称为事件A与事件B的积事件。 当且仅当A，B同时发生时，事件AB发生。AB也记作AB。 ④事件A-B{x|xA且xB}称为事件A与事件B的差事件。 当且仅当A发生，B不发生时事件A-B发生。 ⑤若AB，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。 基本事件是两两互不相容的。 ⑥若ABS AB，则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。 A的对立事件记为A。ASA。 设A，B，C为事件，则有：

交换律：ABBA ABBA 结合律：A(BC)(AB)C A(BC)(AB)CA(BC)(AB)(AC)分配率： A(BC)(AB)(AC)摩根率： ABAB ABAB 1.3频率与概率 （1）频率 定义：在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A)。 频率具有如下基本性质： ①0≤fn(A)≤1 ②fn(S)=1 ③若A1，A2，„，Ak是两两互不相容的事件，则fn(A1∪A2∪„∪Ak)=fn(A1)+fn(A2)+„+fn(Ak)。 （2）概率 定义：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(·)满足下列条件：

①非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0。 ②规范性：对于必然事件S，有P(S)=1。 ③可列可加性：设A1，A2，„是两两互不相容的事件，即对于AiAj=，i≠j，i，j=1，2，„，有P(A1∪A2∪„∪)=P(A1)+P(A2)+„ 概率的性质： 性质1：P()0 性质2（有限可加性）：若A1，A2，„，An是两两互不相容的事件，则有P(A1∪A2∪„∪An)=P(A1)+P(A2)+„+P(An)。 性质3：设A，B是两个事件，若AB，则有P(B-A)=P(B)-P(A)；P(B)≥P(A)。 性质4：对于任一事件A，P(A)≤1。 性质5（逆事件的概率）：对于任一事件A，有P(A)1P(A)。 性质6（加法公式）：对于任意两个事件A，B有P(AB)P(A)P(B)P(AB)。 1.4等可能概型（古典概型） 具有以下两个特点得试验是大量存在的，这种试验称为等可能概型，也成为古典概型： ①试验的样本空间只包含有限个元素。 ②试验中每个基本事件发生的可能性相同。

若事件A包含k个基本事件，即A={ei1}∪{ei2}∪„∪{eik}，其中i1，i2，„，ik是1，2，„，n中某k个不同的数，则等可能概型中事件A的概率计算公式为： P(A)P({eij})j1kkA包含的基本事件数 nS中基本事件的总数超几何分布的概率公式为：DN-Dkn-kNn 实际推断原理：概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的。 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握概率论的基本概念，学生对概念的掌教学后记 握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。

上课时间 第二周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 条件概率与性 教学目的 使学生了解条件概率与性的基本概念及其应用 教学方法 讲授 重点、难点 全概率公式与贝叶斯公式 板书或课件时间分配 事件B发生的条件概率。 条件概率P(·|A)满足： ①非负性：对于每一事件B，有P(B|A)≥0。 ②规范性：对于必然事件S，有P(S|A)=1。 ③可列可加性：设B1，B2，„是两两互不相容的事件，则有P(Bi|A)P(Bi|A) i1i1教学内容 版面设计 1.5条件概率 （1）条件概率 定义：设A，B是两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)P(AB)为在事件A发生的条件下P(A) 概率的性质都适用于条件概率。 （2）乘法定理 乘法定理：设P(A)>0，则有

P(AB)=P(B|A)P(A) （乘法公式） 一般地，设A1，A2，„，An为n个事件，n≥2，且P(A1A2„An)>0，则有 P(A1A2„An)=P(An|A1A2„An-1)P(An-1|A1A2„An-2)„P(A2|A1)P(A1) （3）全概率公式和贝叶斯公式 定义：设S为试验E的样本空间，B1，B2，„，Bn为E的一组事件，若 ①BiBj=，i≠j，i，j=1,2，„，n ②B1B2BnS 则称B1，B2，„，Bn是样本空间S的一个划分。 若B1，B2，„，Bn是样本空间S的一个划分，那么对每次试验，事件B1，B2，„，Bn中必有一个且仅有一个发生。 定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，„，Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0（i=1，2，„，n)，则 P(A)=P(A|B1)P(B1)+ P(A|B2)P(B2)+„+ P(A|Bn)P(Bn) （全概率公式） 定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，„，Bn为S的一个划分，

且P(A)>0，P(Bi)>0（i=1，2，„^，n)，则 P(Bi|A)P(BiA)P(A)P(A|Bi)P(Bi)n jP(A|B)P)(B)nj1（贝叶斯(Bayes)公式） 1.6性 定义：设A，B是两事件，若满足等式 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互，简称A，B。 定理：设A，B是两事件，且P(A)>0。若A，B相互，则P(B|A)=P(B)，反之亦然。 定理：若事件A与B相互，则下列各式也相互：A与B，A与B，A与B。 定义：设A，B，C是三个事件，若满足等式P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称事件A，B，C相互。 一般地，设A1，A2，„，An是n（n≥2）个事件，若对于其中任意2个，任意3个，„，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，„，An相互。 推论：

①若事件A1，A2，„，An（n≥2）相互，则其中任意k（2≤k≤n）个事件也是相互的。 ②若n个事件A1，A2，„，An（n≥2）相互，则将A1，A2，„，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互。 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握条件概率与性的相关内容，学生教学后记 对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。

上课时间 第三周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 概率论基本概念习题解析 教学目的 使学生巩固概率论基本概念所学内容 教学方法 讲授 重点、难点 古典概型、全概率公式与贝叶斯公式的应用 板书或课件时间分配 教学内容 版面设计 1.一俱乐部有5名一年级学生，2名二年级 学生，3名三年级学生，2名四年级学生。 （1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。 （2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。 解：（1）共有5+2+3+2=12名学生，在其中任选4名共有4=495种选法，其中每年级各选1名的选法有1111=60种选523212法，因此，所求概率为p=60/495=4/33。 （2）在12名学生中任选5名的选法共有12在每个年级中有一个年级取25=792种，名，而其它3个年级各取1名的取法共有

5232523252322111+1211+1121+ 52321112=240种，因此所求概率为 P=240/792=12/33。 2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：以Ai表示事件“第i次拨号拨通电话”，i=1,2,3，以A表示事件“拨号不超过3次拨通电话”，则有AA1A1A2A1A2A3。 因为A1，A1A2，A1A2A3两两互不相容，且P(A1)1 10191 91010P(A1A2)P(A2|A1)P(A1)1 103所以P(A)P(A1)P(A1A2)P(A1A2A3)。 10P(A1A2A3)P(A3|A1A2)P(A2|A1)P(A1)当已知最后一位数是奇数时，所求概率为 P=1/5+1/5+1/5=3/5。 3.有两种花籽，发芽率分别为0.8,0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互。求： （1）这两颗花籽都能发芽的概率。 （2）至少有一颗能发芽的概率。

（3）恰有一颗能发芽的概率。 解：以A，B分别表示事件第一颗、第二颗花籽能发芽，既有P(A)=0.8，P(B)=0.9。 （1）由A，B相互，得两颗花籽都能发芽的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.8*0.9=0.72。 （2）至少有一颗花籽能发芽的概率为事件A∪B的概率 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.72 =0.98 （3）恰有一颗花籽发芽的概率为事件ABBA的概率 P(ABBA)=P(A)+P(B)-2P(AB)=0.26。 本次课的主要内容与目的在于让学生巩固 所学概率论基本概念的相关内容，通过本次教学后记 课的学习，学生对概率论基本概念的相关应用技巧有所提升。

上课时间 第四周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 离散型变量及其分布律、随机变量及其分布函数 教学目的 使学生初步了解离散型随机变量的分布律及随机变量的分布函数 教学方法 讲授 重点、难点 随机变量及其分布函数 板书或课件时间分配 2.1随机变量 定义：设随机试验的样本空间为S={e}。X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。 2.2离散型随机变量及其分布律 有些随机变量，它全部有可能渠道的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量成为离散型随机变量。 设离散型随机变量X所有可能去的值为xk（k=1,2，„），X取各个可能值的概率，即事件{X=xk}的概率为P{X=xk}=pk，k=1,2，„。（离散型随机变量X的分布律） 由概率的定义，pk满足如下两个条件： 教学内容 版面设计

①pk≥0，k=1,2，„ ②pk1 k1（1）（0-1）分布 设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是P{X=k}=pk(1-p)1-k，k=0,1 （0＜p＜1），则称X服从以p为参数的（0-1）分布或两点分布。 （2）伯努利试验、二项分布 设试验E只有两个可能结果：A及A，则称E为伯努利（Bernoulli）试验。 将E重复地进行n次，则称这一串重复的试验为n重伯努利试验。 在n次试验中A发生k次的概率为nknkkp(1p)，记q=1-p，即有nknkP{Xk}kpq，k=0,1,2，„，n。 nknkn注意到刚好是二项式(p+q)的展开pqk式中出现pk的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，并记为X～b(n,p)。 特别，当n=1时二项分布化为

（0-1）分布）。 P{Xk}pkqnk，k=0，1（（3）泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2，„，而取各个值的概率为P{Xk}kek!，k=0,1,2，„，其中λ＞0是常数。则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～π(λ)。 泊松定理：设λ＞0是一个常数，n是任意正整数，设npn=λ，则对于任一固定的非nkkenkpn(1pn)负整数k，有：lim。 xkk!上述定理表明，当n很大，p很小（）时有nkkenk以下近似式kp(1p)k!（其中λ=np）。 2.3随机变量的分布函数 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X≤x}，-∞＜x＜∞称为X的分布函数。 对于任意实数x1，x2（x1＜x2），有 P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1} =F(x2)-F(x1)。 分布函数F(x)具有以下基本性质：

①F(x)是一个不减函数 F(x)0，②0≤F(x)≤1，且F()xlimF()limF(x)1 x③F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的。 一般，设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk，k=1,2，„。由概率的可列可加性得X的分布函数为 F(x)P{Xx}xkxP{Xx} k即F(x)Pk。 xkx本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握离散型随机变量的分布律及随机变教学后记 量的分布函数的相关内容，学生对重要分布律及分布函数相关内容掌握尚可，但对其应用尚需多加练习。

上课时间 第五周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 连续型随机变量及其概率密度、随机变量的函数分布 教学目的 使学生掌握概率密度与分布函数的相关内容 教学方法 讲授 重点、难点 正态分布 板书或课件时间分配 教学内容 版面设计 如果对于随机变量X的分布函数F(X)，存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x有则称X为连续型随机变量，F(X)f(t)dt，x f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。 概率密度具有以下性质： ①f(x)≥0 ②f(x)dx1 ③对于任意实数x1，x2（x1≤x2） P{x1Xx2}F(x2)F(x1)f(x)dx x1x2④若f(x)在点x处连续，则有F’(x)=f(x) （1）均匀分布 若连续型随机变量X具有概率密度 1f(x)ba0axb其它

则称X在区间(a,b)上服从均匀分布。记为X～U(a,b)。 0xaX的分布函数为:F(x)xb1xaaxb xb（2）指数分布 若连续型随机变量X的概率密度为 1x/ef(x)0x0其它 其中θ>0为常数，则称X服从参数为θ的指数分布。 1ex/X的分布函数为：F(x)0x0其它 服从指数分布的随机变量X具有以下性质： 对于任意s，t>0，有P{X>S+t|X>s}=P{X>t}。 上式称为无记忆性。 （3）正态分布 若连续型随机变量X的概率密度为 f(x)12e(x)222，-∞0）为常数，则称X服从参数为μ，ζ的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X～N(μ,ζ2)。

正态分布具有如下性质： ①曲线关于x=μ对称。 ②当x=μ时取到最大值f()12。 正态分布曲线在x=μ±ζ处有拐点，曲线以Ox轴为渐近线。 如果固定ζ，改变μ的值，则图形沿着Ox轴平移，而不改变其形状；若固定μ，改变ζ，由于最大值f()小时图形变得越尖。 X的分布函数为：F(x)12，可知当ζ越21xe(t)222dt 当μ=0，ζ=1时称随机变量X服从标准正态分布。 引理：X～N(μ,ζ2)，则Z=X～N(0,1)。 设X～N(0,1)，若zα满足条件P{X>zα}=α，0<α<1，则称点zα为标准正态分布的上α分位点。 2.5随机变量的函数的分布 设X～N(0,1)，其概率密度为12ex2/2(x)，-∞1y1/2ey/2率密度为fY(y)20y0y0，此时称Y服从自由度为1的χ2分布。 定理：设随机变量X具有概率密度fX(x)， -∞0（或恒有g’(x)<0），则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为fX[h(y)]|h'(y)|fY(y)0y其它 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握概率密度与分布函数的相关内容，由教学后记 于相关参数含义在后面章节介绍，学生对正态分布的掌握稍感欠缺。

上课时间 第六周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 随机变量及其分布习题解析 教学目的 使学生巩固随机变量及其分布所学内容 教学方法 讲授 重点、难点 重要概率离散型随机变量分布律与连续型随机变量分布函数、概率密度 板书或课件时间分配 2. 某种型号器件的寿命X（以h计）具有概 10002率密度：f(x)x0x1000其它教学内容 版面设计 1.尽管在几何教科书中已经讲过仅用圆规和 直尺三等分一个任意角是不可能的，但每一年总是有一些“发明者”撰写关于仅用圆规和直尺将角三等分的文章。设某地区每年撰写此类文章的篇数X服从参数为6的泊松分布。求明年没有此类文章的概率。 解：由题设某地每年撰写此类文章的篇数X～π(6)，因此，明年无此类文章的概率为： 60e6P{X=0}==e-6=2.5*10-3。 0!，现有大批此种器件（设各器件损坏与否相互），任取

5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？ 解：任取一只该种器件，其寿命大于1500h100010002的概率为p。 dx1500x2x15003任取5只这种器件，其寿命大于1500h的只数记为X，则X～b(5,2/3)，故所求概率为： P{X2}1-P{X0}-P{X1}52224232 1-(1-)5-(1)13332433．由某及其生产的螺栓的长度（cm）服从参数μ=10.05，ζ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格产品的概率。 解：记螺栓的长度为X，X～N(10.05,0.062)，螺栓不合格的概率为： 1P{10.050.12X10.050.12}10.050.1210.0510.050.1210.051[()()]0.060.061(2)(2)0.0456 本次课的主要内容与目的在于让学生巩固所 学随机变量及其分布的相关内容，通过本次教学后记 课的学习，学生对随机变量及其分布的相关应用技巧有所提升。

上课时间 第七周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 二维随机变量、边缘分布与条件分布 教学目的 使学生了解并掌握二维随机变量与相关分布的内容 教学方法 讲授 重点、难点 边缘分布与条件分布 板书或课件时间分配 教学内容 版面设计 3.1二维随机变量 一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。 定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y}称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。 分布函数F(x,y)具有以下基本性质： ①F(x,y)是变量x和y的不减函数，即对于任意固定的y，当x2>x1时F(x2,y)≥F(x1,y)；对于任意固定的x，当y2>y1时，F(x,y2) ≥

F(x,y1)。 ②0≤F(x,y)≤1，且： 对于任意固定的y，F(-∞,y)=0 对于任意固定的x，F(x, -∞)=0 F(-∞, -∞)=0, F(∞, ∞)=1 ③F(x+0,y)=F(x,y)，F(x,y+0)=F(x,y)，即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续。 ④对于任意(x1,y1)，(x2,y2)，x1yx

概率密度f(x,y)具有以下性质： ①f(x,y)≥0 ②f(u,v)dudvF(,)1 ③设G是xOy平面上的区域，点(X,Y)落在G内的概率为P{(X,Y)G}f(x,y)dxdy Gyx④若f(x,y)在点(x,y)连续，则有2F(x,y)f(x,y) xy一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X1=X1(e)，X2=X2(e)，„，Xn=Xn(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量(X1,X2,„,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量。 对于任意n个实数x1,x2,„,xn，n元函数 F(x1,x2,„,xn)=P{ X1≤x1, X2≤x2,„,Xn≤xn}称为n维随机变量(X1,X2,„,Xn)的分布函数或随机变量X1,X2,„,Xn的联合分布函数。 3.2边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分布函数F(x,y)。而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为FX(x)，FY(y)，依次称为二维随机变量(X,Y)关于X

和关于Y的边缘分布函数。 FX(x)=F(x,∞)，FY(y)=F(∞,y) X的分布律为 : P{Xxi}pij，i=1,2,„ j1Y的分布律为 : P{YYj}pij，j=1,2,„ i1记pipijP{Xxi} ，i=1,2,„ j1pjpijP{Yyj} ，j=1,2,„ i1上式分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布率。 对于连续型随机变量(X,Y)，设它的概率密度为f(x,y)，其关于X和Y的边缘概率密度分别为： fX(x)f(x,y)dy，fY(y)f(x,y)dx 3.3条件分布 事件{Y=yj}已发生的条件下事件{X=xi}发生的条件概率为： P{Xxi|Yyj}P{Xxi,Yyj}P{Yyj}pijpj， i=1，2，„。 上述条件概率具有分布律的性质： ①P{X=xi|Y=yj}≥0

②P(Xxi|Yyj}i1i1pijpj1pjpiji1pjpj1 定义 ：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y=yj}>0，则称P{Xxi|Yyj}P{Xxi,Yyj}P{Yyj}pijpj，i=1，2，„为Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。 同样，对于固定的i ，若P{X=xj}>0，则称P{Yyj|Xxi}P{Xxi,Yyj}P{Xxi}pijpi，i=1，2，„为X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。 定义：设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y)。若对于固定的y，fY(y)>0，则称f(x,y)为在fY(y)Y=y的条件下X的条件概率密度，记为 fX|Y(x|y)xf(x,y)。 fY(y)x称fX|Y(x|y)dxf(x,y)为在Y=y的条件fY(y)dx下X的条件分布函数，记为P{X≤x|Y≤y}。 教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解

和掌握二维随机变量、边缘分布与条件分布的相关内容。学生对边缘分布和条件分布的定义掌握较好，但对其性质尚需多加联系后方能熟悉。

上课时间 第八周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 相互的随机变量与随机变量的函数分布 教学目的 使学生掌握相互的随机变量并了解几种常见的随机变量的函数分布 教学方法 讲授 重点、难点 相互的随机变量 板书或课件时间分配 教学内容 版面设计 3.4相互的随机变量 定义：设F(x,y)及FX(x)，FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x，y有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，即F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X和Y是相互的。 若对于所有的x1,x2,„,xn有 F(x1,x2,„,xn)=FX1(x1)FX2(x2)„FXn(xn)，则称X1,X2,„,Xn是相互的。 若对于所有的x1,x2,„,xm；y1,y2,„,yn有 F(x1,x2,„,xm,y1,y2,„,yn)=F1(x1,x2,„,xm)F2(y1,y2,„,yn)，其中F1，F2，F依次为随机变量(X1,X2,„,Xm)，(Y1,Y2,„,Yn)和（X1,X2,„,Xm,Y1,Y2,„,Yn）的分

布函数，则称随机变量(X1,X2,„,Xm)和(Y1,Y2,„,Yn)是相互的。 定理：设(X1,X2,„,Xm)和(Y1,Y2,„,Yn)是相互的，则Xi(i=1,2,„,m)和Yj(j=1,2,„,n)相互。又若h，g是连续函数，则h(X1,X2,„,Xm)和g(Y1,Y2,„,Yn)相互。 3.5两个随机变量的函数的分布 （1）Z=X+Y的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)。则Z=X+Y仍为连续型随机变量，其概率密度为：fXY(z)f(zy,y)dy 或fXY(z)f(x,zx)dx。 若X和Y相互，设(X,Y)关于X，Y的边缘密度分别为fX(x)，fY(y)，则上面两式可化为 fXY(z)fX(zy)fY(y)dy 和fXY(z)fX(x)fY(zx)dx。 以上两式称为fX和fY 的卷积公式，记为fX*fY，即fX*fYfXY(z)fX(zy)fY(y)dy 且fX*fYfXY(z)fX(x)fY(zx)dx （2）Z=Y/X的分布和X=XY的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)，则Z=Y/X与Z=XY仍为连续型随机变量，



其概率密度分别为：fY/X(z)|x|f(x,xz)dx，fXY(z)1zf(x,)dx。 |x|x若X和Y相互，设(X,Y)关于X，Y的边缘密度分别为fX(x)，fY(y)，则上式可化为：fY/X(z)|x|fX(x)fY(xz)dx， fXY(z)1zfX(x)fY()dx。 |x|x（3）M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布 设X，Y是两个相互的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)，则： Fmax(z)=FX(z)FY(z)，Fmin(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]。 特别的，当X1,X2,„,Xn相互且具有相同分布函数F(x)时，有：Fmax(z)=[F(z)]n，Fmin(z)=1-[1-F(z)]n。 本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握 相互的随机变量与两种常见的随机变量的函教学后记 数分布。学生相互的随机变量的定义掌握较好，其余部分需要多加练习。

上课时间 第九周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 随机变量及其分布习题解析 教学目的 使学生巩固随机变量及其分布所学内容 教学方法 讲授 重点、难点 边缘分布、条件分布与相互的随机变量 板书或课件时间分配 （2）求P{X<1,Y<3} （3）求P{X<1.5} （4）求P{X+Y≤4} 解：（1）由f(x,y)dxdy1得： 11dyk(6xy)dxk[(6y)xx2]dy2022x0 424x2教学内容 版面设计 1．设随机变量(X,Y)的概率密度为 k(6xy)f(x,y)00x2，2y4其它 （1）确定常数k k(122y2)dyk(10yy2)8k2244所以k=1/8。 （2）

P(X1,Y3}dy231(6xy)dx081x1131[(6y)xx2]dy 822x013113(y)dy8228（3） P{X1.5}dy241.501(6xy)dx8x1.5141[(6y)xx2]dy 282x01463327(y)dy828232（4） P{XY4}dy244y01(6xy)dx8x4y141[(6y)xx2]dy282x0141[(6y)(4y)(4y)2]dy 822141[2(4y)(4y)2]dy822112[(4y)2(4y)3]863242.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 eyf(x,y)00xy其它，求边缘概率密度。 xyy0edye解：fX(x)0yyy0edxyefY(y)0exx0其它 y0其它 3.设某种型号的电子元件的寿命（以小时

计）近似地服从于正态分布N(160,202)，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。 解：以Xi（i=1,2,3,4）记所选取的第i只元件的寿命，由题设一只元件寿命小于180小时的概率为 P{Xi180}P{Xi160180160}2020 180160()(1)0.841320可认为X1，X2，X3，X4相互，故选取的4只元件没有一只寿命小于180小时的概率为[1P{Xi180}](10.8413)40.00063 i14本次课的主要内容与目的在于让学生巩固 所学随机变量及其分布的相关内容，通教学后记 过本次课的学习，学生对随机变量及其分布的相关应用技巧有所提升。

上课时间 第十周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 数学期望与方差 教学目的 使学生了解和掌握数学期望与方差的概念及其在实践中的应用 教学方法 讲授 重点、难点 数学期望与方差的定义及相关定理 板书或课件时间分配 若连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若 积分xf(x)dx绝对收敛，则称积分xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)。即E(X)= 教学内容 版面设计 4.1数学期望 定义：设离散型随机变量X的分布律为：P{X=xk}=pk，k=1，2，„。若级数xkpk绝k1 对收敛，则称级数xkpk的和为随机变量Xk1的数学期望，记为E(X)，即E(X)= xk1k pk。xf(x)dx。 数学期望简称期望，又称为均值。 数学期望E(X)完全由随机变量X的分布律所确定。若X服从某一分布，也称E(X)是

这一分布的数学期望。 定理：设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)（g是连续函数）。 ①若X是离散型随机变量，它的分布律为P{X=xk}=pk，k=1,2,„，若g(xk)pk绝对收k1敛，则有E(Y)E[g(X)]g(xk)pk。 k1②若X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x)，若g(x)f(x)dx绝对收敛，则有E(Y)E[g(X)]g(x)f(x)dx。 数学期望重要性质： ①设C是常数，则有E(C)=C。 ②设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)。 ③设X，Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)。 此性质可推广到任意有限个随机变量之和的情况。 ④设X，Y是相互的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)。 此性质可推广到任意有限个相互的随机变量之和的情况。

4.2方差 定义：设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即 D(X)=Var(X)= E{[X-E(X)]2}。 应用中引入D(X)，记为ζ(X)，称为标准差或均方差。 对于离散型随机变量： D(X)[xkE(X)]2pk k1对于连续型随机变量： D(X)[xE(X)]2f(x)dx 方差重要性质： ①设C是常数，则D(C)=0。 ②设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X)。 ③设X，Y是两个随机变量，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 特别地，若X，Ｙ相互，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 此性质可推广到任意有限多个相互的随机变量之和的情况。

④Ｄ(X)=0的充要条件是X以概率1取常数E(X)，即P{X=E(X)}=1。 定理：设随机变量X具有数学期望E(X)=μ，方差D(X)=ζ2，则对于任意正数ε，2不等式P{|X|}2成立。（切比雪夫(Chebyshev)不等式） 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握数学期望与方差的相关内容。学生对教学后记 数学期望与方差的定义掌握较好，相关定理部分需要结合习题多加练习。

上课时间 第十一周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 协方差及相关系数，矩、协方差矩阵 教学目的 使学生了解并掌握协方差相关知识 教学方法 讲授 重点、难点 协方差 板书或课件时间分配 相关系数。 Cov(X,Y)=Cov(Y,X)，Cov(X,X)=D(X) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 协方差的性质： ①Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，a,b是常数。 ②Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) +Cov(X2,Y) 定理： ①|XY|1

教学内容 版面设计 4.3协方差及相关系数 定义：量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差。记为 Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。 XYCov(X,Y)D(X)D(Y)称为随机变量X与Y的

②|XY|1的充要条件是，存在常数a，b使P{Y=a+bX}=1。 当|XY|0时，称X和Y不相关。 Cov(X,Y)=0可得|XY|0，即X，Y不相关； 反之X，Y不相关，X和Y却不一定相互。 当(X,Y)服从二维正态分布时，X和Y不相关与X和Y相互是等价的。 4.4矩、协方差矩阵 定义：设X和Y是随机变量，若E(Xk)，k=1,2,„存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。若E{[X=E(X)]k}，k=2,3,„存在，称它为X的k阶中心矩。若E(XkYl)，k,l=1,2,„存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。 X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩。 二维随机变量(X1,X2)有四个二阶中心矩（设它们分别存在），分别记为： c11=E{[X1-E(X1)]2} c12=E{[X1-E(X1)] [X2-E(X2)]}

c21=E{ [X2-E(X2)] [X1-E(X1)] } c22=E{[X2-E(X2)]2} 将它们排成矩阵的形式c11c12，这个矩阵c21c22称为随机变量(X1,X2)的协方差矩阵。 设n维随机变量(X1,X2,„,Xn)的二阶混合中心矩cij=Cov(Xi,Xj)=E{[Xi-E(Xi)][Xj-E(Xj)]}, i,j=1,2,„,n都存在，则称矩阵c11c12c1nc22cn2cC22为n维随机变量cn2cn2cnn(X1,X2,„,Xn)的协方差矩阵。由于cij=cji（i≠j；i,j=1,2,„,n），因而上述协方差矩阵是一个对称矩阵。 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握协方差、矩与协方差矩阵的相关内教学后记 容。学生对相关概念掌握较好，相关应用部分尚需多加练习。

上课时间 第十二周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 随机变量的数字特征习题解析 教学目的 使学生巩固随机变量的数字特征所学内容 教学方法 讲授 重点、难点 数学期望与方差 板书或课件时间分配 备用于最大负荷的时间X（以min计）是 一个随机变量，其概率密度为： 教学内容 版面设计 1. 某车间生产的圆盘直径在区间(a,b)服从 均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。 解：设圆盘直径为X，按题设X具有概率1密度fX(x)ba0axb其它 故圆盘面积A=πX2/4的数学期望为： b1112E(X)x2dxx3a44ba12(ba)a b12(b2aba2)2. 设在某一规定的时间间隔里，某电气设

115002x1f(x)21500(x3000)00x15001500x3000 其它求E(X)。 解：按连续型随机变量的数学期望定义有： E(X)xf(x)dx0xf(x)dx15000xf(x)dx030001500xf(x)dx15003000xf(x)dxx*0dxxdx0150023000(x3000)xdxx*0dx2150030001500x1x15002331500 01xx(3000*)223150015002330001500(min)3.一直正常男性承认血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，军方差是700。利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400直接的概率p。 解：以X表示每毫升含白细胞数，由题设 E(X)=μ7300，D(X)700 而概率p=P{5200在切比雪夫不等式P{|X-μ|<ε}≥1-ζ2/ε中，取ε=2100，此时： 1-ζ2/ε2=1-7002/21002=8/9，即： p=P{|X-7300|<2100}≥8/9 2本次课的主要内容与目的在于让学生巩固 所学随机变量的数字特征的相关内容，通过教学后记 本次课的学习，学生对随机变量的数字特征的相关应用技巧有所提升。

上课时间 第十三周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 大数定律 教学目的 使学生了解并掌握大数定律相关知识 教学方法 讲授 重点、难点 伯努利大数定理 板书或课件时间分配 教学内容 版面设计 弱大数定理（辛钦大数定理）：设X1,X2,„ 是相互，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望E(Xk)=μ(k=1,2,„)。1n作前n个变量的算术平均Xk，则对任nk11n意ε>0，有lim{|Xk|}1。 nk1n设Y1,Y2,„,Yn, „是一个随机变量序列，a是一个常数。若对于任意正数ε，有limP{|Ynna|}1，则称序列Y1,Y2,„,Yn, „依概率收敛于a，记为PYna。 依概率收敛的序列有如下性质： PP设Xna，Ynb，又设函数g(x,y)在P点(a,b)连续，则g(Xn,Yn)g(a,b)。

因此，弱大数定理可定义为：设随机变量X1,X2,„,Xn, „相互，服从同一分布且具有数学期望E(Xk)=μ(k=1,2,„)，则序列1nPXXk依概率收敛于μ，即X。 nk1伯努利大数定理：设fA是n次重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε>0有：limP{|nfAp|}1 n 或 limnP{|fAp|}0。 n本次课的主要内容与目的在于让学生了解 教学后记 和掌握大数定律的相关内容。学生对相关概念掌握较好，相关应用部分尚需多加练习。

上课时间 第十四周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 中心极限定理 教学目的 使学生了解并掌握中心极限定理相关知识 教学方法 讲授 重点、难点 同分布中心极限定理与李雅普诺夫(Lyapunov)定理 板书或课件时间分配 Yn教学内容 版面设计 定理一（同分布的中心极限定理）：设 随机变量X1,X2,„,Xn, „相互，服从同一分布，且具有数学期望和方差：E(Xk)=μ，D(Xk)=ζ2>0(k=1,2,„)，则随机变量之和Xk1nk的标准化变量 nXk1kE(Xk)k1nnXk1nknD(Xk)k1n 的分布函数Fn(X)对于任意x满足： nXnkk1Pxn 1t2/2edt(x)2limF(x)limnnnx定理二（李雅普诺夫(Lyapunov)定理）：设随机变量X1,X2,„,Xn, „相互，它们具

有数学期望和方差：E(Xk)=k，D(Xk)= >0，k=1,2,„，记Bk2。若2k2nk1n存在正数δ ，使得当n时，12BnnE{|Xk1nkk|2}0，则随机变量之和Xk1k的标n准化kk1n变量ZnXk1nkE(Xk)k1nXk1nkD(Xk)k1Bn 的分布函数Fn(x)对于任意x，满足 nnkXkk1k1PBn1t2/2edt(x)2limF(x)limnnnx x定理三（棣莫弗—拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理）：设随机变量 ηn(n=1,2,„)服从参数为n，p(0加练习。 上课时间 第十五周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 大数定律及中心极限定理习题解析 教学目的 使学生巩固大数定律及中心极限定理所学内容 教学方法 讲授 重点、难数学期望与方差 点 板书或课件时间分配 教学内容 版面设计 1.据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值 为100h的指数分布，现随机取16只，设它们的寿命是相互的。求这16只元件的寿命的综合大于1920h 的概率。 解：以Xi(i=1,2,„,16)记第i只元件的寿命，以T记16只元件寿命的总和：TXi，按i116题设E(Xi)=100，D(Xi)=1002，由中心极限定理：T16*100161002近似服从N(0,1)分布，故所求概率为：

P{T1920}1P{T1920}T16*100192016*1001P2216100 16100192016001()1(0.8)40010.78810.21192.设各零件的重量都是随机变量，它们相互，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000各零件的总重量超过2510kg的概率是多少？ 解：以Xi(i=1,2,„,5000)记第i个零件的重量，以W记5000个零件的总重量：WXi。i15000按题设E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12，由中心极限定理：W5000*0.550000.12近似服从N(0,1)分布，故所求概率为： P{W2510}1P{W2510}W5000*0.525105000*0.51P2250000.150000.1 25105000*0.51()1(2)250000.110.92130.07873.一工人修理一台机器需要两个阶段，第一阶段所需时间（小时）服从均值为0.2的指数分布，第二阶段服从均值为0.3的指数分布，且与第一阶段。现有20台机器需要修理，求他在8小时内完成的概率。

解：设修理第i(i=1,2,„,20)台机器，第一阶段耗时Xi，第二阶段耗时Yi，共耗时Zi=Xi+Yi，已知E(Xi)=0.5，E(Yi)=0.3，故E(Zi)=0.2+0.3=0.5。 D(Zi)=D(Xi)+D(Yi)=0.22+0.32=0.13。 20台机器需要修理的时间可以近似服从正态分布，即有： Zi120i~N(20*0.5,20*0.13)N(10,2.6)。 故所求概率为： pP(Zi8)(i120820*0.5200.13)(1.21)0.1075 本次课的主要内容与目的在于让学生巩固所 学大数定律及中心极限定理的相关内容，通教学后记 过本次课的学习，学生对大数定律及中心极限定理特征的相关应用技巧有所提升。

上课时间 第十六周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 总复习 教学目的 使学生将本学期所学内容贯穿 教学方法 讲授及答疑 重点、难点 各章节的重难点及相互之间的关系 板书或课件时间分配 教学内容 版面设计 1.概率论的基本概念 1.1随机试验 1.2样本空间、随机事件 1.3频率与概率 1.4等可能概型（古典概型） 1.5条件概率 1.6性 2.随机变量及其分布 2.1随机变量 2.2离散型随机变量及其分布律 2.3随机变量的分布函数 2.4连续型随机变量及其概率密度 2.5随机变量的函数的分布 3.随机变量及其分布

3.1二维随机变量 3.2边缘分布 3.3条件分布 3.4相互的随机变量 3.5两个随机变量的函数分布 4.随机便量的数字特征 4.1数学期望 4.2方差 4.3协方差及相关系数 4.4矩、协方差矩阵 5.大数定律及中心极限定理 5.1大数定律 5.2中心极限定理 本次课的主要内容与目的在于对所有内容 教学后记 进行串联，综述本门课程的所有章节的重难点。